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*22.2.5 一元二次方程的根与系数的关系
素养目标
1.在已有的一元二次方程解法的基础上,探索出一元二次方程根与系数的关系.
2.掌握一元二次方程根与系数的关系的初步应用.
3.通过探究一元二次方程的根与系数的关系,培养观察分析、总结归纳的能力.
◎重点:根与系数的关系及其推导.
预习导学
知识点一 一元二次方程的根与系数的关系
阅读课本本课时“试一试”中的所有内容,回答下列问题.
1.回顾:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当b2-4ac　 　0,方程的两根分别为x1=　 　,x2=　.
2.一元二次方程x2+3x-4=0的两个根分别为x1=　 　,x2=　 　,于是我们可得x1+x2=　 　,x1·x2=　 　.观察一元二次方程x2+3x-4=0可知,二次项的系数是　 　,一次项的系数是　 　,常数项是　.
3.结合“2”中的探究,关于“根”与“系数”之间的关系,我们可以提出如下猜想:
二次项系数为1的一元二次方程的两根之和(x1+x2)等于一次项系数的　 　,两根之积(x1·x2)等于　 　.
阅读课本本课时“探索”“概括”中的所有内容,填空.
1.关于一元二次方程x2+px+q=0,当p2-4q　 　0,由一元二次方程的求根公式有:x1=　 　,x2=　.
2.计算:x1+x2=　 　+　 　=　 　,x1·x2=　 　=　 　,即x1+x2=　 　,x1·x2=　.
归纳总结　二次项系数为1的一元二次方程的根与系数的关系:设x1、x2是一元二次方程x2+px+q=0的两个根,则x1+x2=　 　,x1·x2=　 　.
【答案】1.≥　　
2.1　-4　-3　-4　1　3　-4
3.相反数　常数项
1.≥　　
2.　　-p
×　q　-p　q
归纳总结　-p　q
知识点二 一元二次方程的根与系数关系的应用
阅读课本本课时“例8”中的所有内容,填空.
1.观察方程x2+3x-5=0,可知二次项系数是　 　,一次项系数是　 　,常数项是　 　,由一元二次方程的根与系数的关系有x1+x2=　 　,x1·x2=　.
2.观察方程2x2-3x-5=0,
(1)它的二次项系数是　.
(2)能直接利用上面的“根与系数的关系”的结论求此一元二次方程的根吗
(3)你能把此方程的二次项系数化为1吗 应该怎么做
(4)将此方程的二次项系数化为1后的方程为　 　,一次项系数是　 　,常数项是　 　,由一元二次方程的根与系数的关系有x1+x2=　 　,x1·x2=　.
阅读课本本课时“例9”中的所有内容,填空.
1.观察方程ax2+bx+c=0(a≠0),它的二次项系数是　.
2.能直接利用上面的“根与系数的关系”的结论求此方程的根吗
3.你能把方程ax2+bx+c=0(a≠0)的二次项系数化为1吗
4.二次项的系数化为1后的方程为　 　,一次项的系数是　 　,常数项是　 　,由一元二次方程的根与系数的关系有x1+x2=　 　,x1·x2=　.
5.利用以上结论,我们可以直接写出“例8”的第(2)题的答案:方程2x2-3x-5=0的二次项系数是　 　,一次项系数是　 　,常数项是　 　,所以x1+x2=　 　=　 　,x1·x2=　 　=　.
归纳总结　一元二次方程的根与系数的关系:设一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1、x2,则x1+x2=　 　,x1·x2=　.
【答案】1.1　3　-5　-3　-5
2.(1)2　(2)不能.　(3)能;等式两边同时除以2.　(4)x2-x-=0　-　-　　-
1.a
2.不能.
3.能;等式两边同时除以a.
4.x2+x+=0　　　-　
5.2　-3　-5　-　　　-
归纳总结　-　
对点自测
根据所学知识,填表:
一元二次方程 x1 x2 x1+x2 x1·x2
x2+2x-8=0
x2+3x+2=0
x2-x+=0
【答案】2　-4　-2　-8　-1　-2　-3　2　1
合作探究
任务驱动一 一元二次方程的根与系数的关系
1.若a、b是一元二次方程x2+5x-6=0的两个根,则a+b-ab等于 ( )　　　　 　　　　 　　　　
A.-11 B.-1 C.1 D.11
变式演练　一元二次方程x2+5x-6=0的两根之和为　 　,两根之积为　.
2.若方程x2+bx+3=0的一个根为1,则另一个根为　 　,b的值为　.
方法归纳交流　若x1、x2是一元二次方程x2+px+q=0的两个根,则x1+x2=　 　,x1·x2=　.
【答案】1.C
变式演练　-5　-6
2.3　-4
方法归纳交流　-p　q
任务驱动二 一元二次方程的根与系数关系的应用
3.不解方程,求下列方程的两根之和与两根之积.
(1)x(x+3)=8;
(2)3x2-1=7x.
方法归纳交流　若x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根,则x1+x2=　 　,x1·x2=　.
【答案】3.解:(1)方程x(x+3)=8可化为x2+3x-8=0,设x1、x2是一元二次方程x(x+3)=8的两个根,则x1+x2=-3,x1·x2=-8.
(2)方程3x2-1=7x可化为3x2-7x-1=0,设x1、x2是一元二次方程3x2-1=7x的两个根,则x1+x2=,x1·x2=-.
方法归纳交流　-　

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