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第02讲 平面向量的运算
知识点1： 向量的加法运算
（1）向量加法的定义及两个重要法则：
1. 定义：求两个向量的和向量的运算叫做向量的加法.
2. 运算法则：
①三角形法则：已知向量，在平面上任取一点，作，，再作向量，则向量叫做和 的和（或和向量），记作，即．
②平行四边形法则：① 已知两个不共线的向量，，作，，则，，三点不共线，以， 为邻边作平行四边形，则对角线上的向量，这个法则叫做向量求和的平行四边 形法则．
　　　　　
多边形法则：
已知个向量，依次把这个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第个向量的终点为终点的向量叫做这个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则．
知识点2：向量的加法运算定律
向量加法的交换律：
向量加法的结合律：
关于：
知识点3：向量的减法运算
（1）相反向量
我们规定,与向量“长度相等,方向相反的向量,叫做a 的相反向量,记作 -a 零向量的相反向量仍是零向量
由相反向量的定义,我们有如下结论:　　　
-( -a) =a; (2)a+( -a) =( -a) a=0;
(3)若a,b 互为相反向量,则a= -b,b= -a,a +b=0.
（2）向量减法的定义
向量a加上b的相反向量,叫做a 与b的差,即a-b=a +(-b).求两个向量差的运算叫做向量的减法
向量减法的三角形法则
如下图,已知向量a,b,在平面内任取一点 0,作 =a,=b则=-=a-b.即a -b 可以表示为从向量 b 的终点指向向量a 的终点的向量，这是向量减法的几何意义.
知识点4：向量形式的三角不等式
（1）当向量a,b不共线时,作=a,= b,则a+b = ,如图(1),根据三角形的三边关系,有llal - lbll （2）当a 与b同向共线或a,b 中至少有一个为零向量时,作法同上,如图(2),此时la +bl =lal +lbl;当a与b反向共线或a,b 中至少有一个为零向量时,不妨设lal >lbl,作法同上,如图 (3),此时la +bl =llal - lbll.故对于任意向量a,b,总有llal -lbll知识点4：向量的数乘运算
（1）向量的数乘的定义
一般地,我们规定实数与向量 a 的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作 a,它的长度与方向规定如下:
(1)
当>0时,a 的方向与a 的方向相同;当<0时,a 的方向与a 的方向相反
（2）向量的数乘的几何意义
(1)当>1时,有 > lal,这意味着表示向量 a 的有向线段在原方向(>1)或反方向( < -1)上伸长到原来的倍;
(2)当0<<1 时,有 < lal,这意味着表示向量 a 的有向线段在原方向(0<<1)或反方向( -1 <<0)上缩短到原来的倍
（3）向量的数乘的运算律
设,从为实数,那么(1);(2);
(3). 特别地,我们有( -)a = -(a) =( -a),(a -b) =a -b.
（4）向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量 a,b.
以及任意实数,,恒有
知识点5：向量共线定理
向量共线的条件：
如果，则∥；反之，如果∥，且，则一定存在唯一的一个实数，使．
【题型1 向量的加减运算】
【典例1】如图，按下列要求作答．
(1)以A为始点，作出；
(2)以B为始点，作出；
(3)若为单位向量，求、和．
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
(3)，，
【分析】（1）根据向量加法的平行四边形法则即可作出；（2）先将共线向量计算出结果再作出；（3）根据利用勾股定理即可计算出各向量的模长.
【详解】（1）将的起点同时平移到A点，利用平行四边形法则作出，如下图所示：
（2）先将共线向量的起点同时平移到B点,计算出,再将向量与之首尾相接，利用三角形法则即可作出，如下图所示：
（3）由是单位向量可知，根据作出的向量利用勾股定理可知，
；
由共线向量的加法运算可知；
利用图示的向量和勾股定理可知，.
【变式1-1】化简 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据向量加法运算律即可求解.
【详解】.
故选：B.
【变式1-2】化简下列各式:
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）（2）应用向量加法运算律化简即可.
【详解】（1）原式.
（2）原式
【变式1-3】已知用向量加法的三角形法则作出.
(1)； (2).
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）（2）利用向量加法法则即可求解.
【详解】（1）
（2）
【典例2】化简下列各式：
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据平面向量加法和减法的运算法则化简即可得出结果；
（2）首先化简出两个向量的结果，再与第三个向量进行加减运算即可求得结果.
【详解】（1）利用平面向量的加减运算法则可得，
（2）由平面向量的加减运算法则可得
【变式2-1】简化 ．
【答案】
【分析】根据向量加减法法则运算即可.
【详解】，
故答案为：
【变式2-2】如图，已知向量，，不共线，求作向量．

【答案】答案见解析
【分析】根据向量的减法运算法则及几何意义作图即可.
【详解】如图，作，则即为，
再作，则向量即为．

【题型2 三角形( 平行四边形 ) 法则的应用】
【典例3】如图，在平行四边形中，下列计算不正确的是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用向量加法、减法法则可判断各选项.
【详解】根据向量加法的平行四边形法则知，故A正确；
，故B错误；
，故C正确；
，故D正确．
故选：B．
【变式3-1】如图，在平行四边形中，，，则可以表示为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据向量减法运算法则直接计算.
【详解】由题意得，，
因为，，
所以.
故选：B
【变式3-2】如图，在平行四边形中，（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据向量运算得.
【详解】由图知，
故选：B.
【变式3-3】已知为三角形所在平面内一点，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】题目考察三角形四心的问题，易得：为三角形的重心，位于中线的三等分点处，从而求出三角形面积的比例关系
【详解】
如图所示，由得：为三角形的重心，是中线的交点，
且，所以，，底边为，
所以，
故选：B
【题型3 向量的线性运算】
【典例4】计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)利用向量运算律可化解合并(2)利用向量运算律可化解合并
【详解】（1）原式=
（2）原式=
【变式3-1】化简下列各式：
(1)；
(2)
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由向量的线性运算法则即可求解.
（2）由向量的线性运算法则即可求解.
【详解】（1）
（2）
【点睛】本题主要考查向量的线性运算，属于基础题.
【变式3-2】化简
（1）；
（2）
【答案】（1）；（2）.
【分析】结合平面向量的线性运算化简整理即可求出结果.
【详解】（1）；
（2）
.
【变式3-3】化简：
(1)；
(2)；
(3).
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】根据平面向量的线性运算求解即可.
【详解】（1）.
（2）.
（3）.
【变式3-4】化简：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】利用平面向量的线性运算的运算律求解即可.
【详解】（1）
（2）
（3）
【题型4 用已知向量表示相关向量】
【典例5】若向量，满足，，、为已知向量，求向量，．
【答案】，
【分析】根据题意列出方程组，即可求解向量.
【详解】由方程组，解得，.
【变式5-1】已知，，求，与．
【答案】，，.
【分析】利用平面向量的线性运算化简计算可得结果.
【详解】解：因为，，则，
，
.
【变式5-2】已知，是两个不共线的向量，向量，，求（用，表示）．
【答案】
【分析】根据向量的数乘运算化简即可求解.
【详解】，,
【变式5-3】（1）已知，，求.
（2）已知向量，且，，求，.
【答案】（1）--5；（2）-.
【分析】(1)利用向量的数乘及加减法计算即可；
（2）解方程即可得出结果.
【详解】解(1)原式 =+=-+.
∵，，
∴原式=-(3+2)+(2-)= +=--5.
(2)将3-=两边同乘2，得6-2=2.
与5+2=相加，得11=+2，∴=+.
∴=3-=3-=-.
【题型5 向量共线定理的应用】
【典例6】已知，是平面内两个不共线的非零向量，，，，且，，三点共线．
(1)求实数的值；
(2)若，，求的坐标；
(3)已知，在（2）的条件下，若四边形是平行四边形，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3).
【分析】（1）利用向量线性运算以及向量共线定理求解；
（2）利用向量的坐标运算求解；
（3）利用共线向量的坐标运算求解.
【详解】（1）．
因为，，三点共线，
所以存在实数，使得，
即，得．
因为，是平面内两个不共线的非零向量，
所以，解得，．
（2）．
（3）因为四边形是平行四边形，所以,
设，则，
因为，
所以，解得，
即点的坐标为．
【变式6-1】已知，，求证：与共线.
【答案】证明见解析
【分析】根据向量的线性运算及共线定理证明.
【详解】因为，
所以由共线向量定理知，与共线.
【变式6-2】设，是不共线的两个非零向量.
(1)若，求证：A，B，C三点共线；
(2)若与共线，求实数k的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）要证明三点共线，即证明三点组成的两个向量共线即可.
（2）由共线性质求出参数即可.
【详解】（1）因为，
而
所以，所以与共线，且有公共点，
所以三点共线；
（2）因为与共线，
所以存在实数，使得，
因为与不共线，所以，解得，所以.
【题型6向量线性运算在三角形中的运用】
【典例7】如图，G是△OAB的重心，P，Q分别是边OA、OB上的动点，且P，G，Q三点共线．
(1)设，将用，，表示；
(2)设，，证明：是定值．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）寻找包含的图形，利用向量的加法法则知 ，再根据和 即可
（2）根据（1）结合，知： ，再根据是 的重心知：
，最后根据 不共线得到关于 的方程组即可求解
【详解】(1)解　＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ.
(2)证明　一方面，由(1)，得
＝(1－λ)＋λ＝(1－λ)x＋λy；①
另一方面，∵G是△OAB的重心，∴＝＝× (＋)＝＋.②
而，不共线，∴由①②，得解得
∴＋＝3(定值)．
【点睛】本题考查了向量的加减法，三角形的重心的性质，平面向量的定值问题，属于基础题．
【变式7】在中，点M为边AB的中点，点N为边AC的中点，求证：．
【答案】证明见解析
【分析】根据向量的线性运算将分别用表示，进而可得出答案.
【详解】在中，点M为边AB的中点，点N为边AC的中点，
则，
，
所以．
一、单选题
1．如图，在平行四边形中，（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据向量加法的平行四边形法则分析求解.
【详解】因为为平行四边形，所以.
故选：B.
2．化简得（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用向量的加减运算法则化简即可.
【详解】.
故选：D
3．在中，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量减法即可得到答案.
【详解】，
故选：C.
4．在中，为边上的中线，，若，则（ ）
A． B．1 C．0 D．
【答案】D
【分析】根据题意画出三角形，结合向量加减法运算法则进行计算即可.
【详解】
因为,
所以，
即，
所以.
故选：D
5．已知向量，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量混合运算即可.
【详解】，
故选：C.
6．已知，则下列命题正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据数乘向量的模的意义即可得解.
【详解】由数乘向量的模的意义可知，故AB错误，C正确，
当或时，，故D错误.
故选：C.
7．若平面四边形满足，则该四边形一定是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．梯形
【答案】D
【分析】分析可得且，利用梯形的定义判断可得出结论.
【详解】因为平面四边形满足，则且，
故四边形一定是梯形，
故选：D.
8．在中，为上一点，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据平面向量的加法、减法、数乘运算及平面向量基本定理即可求解.
【详解】
由题意知，，因为，且，
所以，故答案为C.
故选：C
二、多选题
9．如图，点是线段的三等分点，则下列结论正确的有（ ）

A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】利用向量相等的定义即可求解，两个向量相等必须是大小相等且方向相同.
【详解】由题知，点是线段的三等分点，
所以，，，
对于A：且方向相同，所以，A选项正确；
对于B：，所以，B选项错误；
对于C：，所以，C选项错误；
对于D：且方向相同，所以，D选项正确；
故选：AD.
10．若都是非零向量，且，则（ ）
A．方向相同 B．方向相反 C． D．
【答案】AC
【分析】根据相等向量的概念判断各选项即可.
【详解】由相等向量的概念可知，由都是非零向量，且，
则方向相同，长度相等，故AC正确，B错误；
而，故D错误.
故选：AC.
三、填空题
11．若向量与共线，且，则 ．
【答案】0或2
【分析】由题可知与相等或互为相反向量，据此即可求
【详解】向量与共线，且，∴与相等或互为相反向量，
当与相等时，，
当与互为相反向量时，．
故答案为：0或2．
12．已知向量不共线，，，，则实数 ．
【答案】
【分析】根据平面向量共线向量定理，得出，再由对应向量系数相等，即可求出.
【详解】因为，所以，，则，解得．
故答案为：
13．填空：
（1） ；
（2） ．
【答案】
【分析】（1）（2）利用平面向量的加法法则可化简所求向量.
【详解】（1）；
（2）.
故答案为：（1）；（2）.
14．若向量满足，则的最小值为 ，的最大值为 ．
【答案】 1 5
【分析】根据向量的性质，根据的夹角情况求、的最值.
【详解】当反向时，有最小值；
当反向时，有最大值.
故答案为：
15．如图所示，已知到平行四边形的三个顶点的向量分别为，则 (用表示)．
【答案】
【分析】利用向量线性运算直接推导即可.
【详解】.
故答案为：.
16．已知向量、、满足关系式，那么可用向量、表示向量
【答案】
【分析】由等式变形可得出关于、的表达式.
【详解】因为，所以，，则.
故答案为：.
17．如图，已知，若，则 ， .
【答案】
【分析】根据向量的加减法运算以及共线向量的表示方法可求解.
【详解】如图，,
故答案为: ,.
四、解答题
18．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）（2）应用向量的运算律化简即可.
【详解】（1）原式．
（2）原式.
19．已知，，求证，，三点共线.
【答案】证明见解析.
【分析】利用共线向量定理即可推理作答.
【详解】因为，，则有，
因此，而与有公共点，
所以，，三点共线.
20．一质点从点出发，先向北偏东方向运动了到达点，再从点向正西方向运动了到达点，又从点向西南方向运动了到达点，试画出向量、、以及．
【答案】作图见解析
【分析】根据题意可作出向量、、以及.
【详解】根据题意，、、以及的示意图如下图所示：
21．作出以下图形
(1)如图1，已知向量 不共线，作向量.
(2)如图2，已知向量，求作向量.
【答案】(1)详见解答
(2)详见解答
【分析】（1）根据向量的加法运算法则及几何意义作图即可
（2）根据向量的减法运算法则及几何意义作图即可
【详解】（1）如图所示，在平面中取任意一点作，则
（2）如图所示，在平面中取任意一点作，则
22．如图，的两条对角线相交于点M，且，，用，表示，，和．
【答案】，，，．
【解析】根据向量加减法的平行四边形法则、三角形法则和数乘运算法则进行运算即可.
【详解】在中，，．
由平行四边形的两条对角线互相平分，得
，
，
，
．
【点睛】本题考查利用平行四边形的性质，用向量表示几何元素，结合向量的加减法和数乘运算等性质，用向量来解决几何问题.
23．已知在四边形ABCD中，＝＋2，＝－4－，＝－5－3，求证：四边形ABCD为梯形．
【答案】证明见解析
【分析】由平面向量加法法则先求向量，然后根据向量与共线且不相等可证.
【详解】证明　如图所示．
∵＝＋＋
＝(＋2)＋(－4－)＋(－5－3)
＝－8－2＝2(－4－)，
∴＝2．
∴与共线，且||＝2||．
又∵这两个向量所在的直线不重合，
∴AD∥BC，且AD＝2BC．
∴四边形ABCD是以AD，BC为两条底边的梯形．第02讲 平面向量的运算
知识点1： 向量的加法运算
（1）向量加法的定义及两个重要法则：
1. 定义：求两个向量的和向量的运算叫做向量的加法.
2. 运算法则：
①三角形法则：已知向量，在平面上任取一点，作，，再作向量，则向量叫做和 的和（或和向量），记作，即．
②平行四边形法则：① 已知两个不共线的向量，，作，，则，，三点不共线，以， 为邻边作平行四边形，则对角线上的向量，这个法则叫做向量求和的平行四边 形法则．
　　　　　
多边形法则：
已知个向量，依次把这个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第个向量的终点为终点的向量叫做这个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则．
知识点2：向量的加法运算定律
向量加法的交换律：
向量加法的结合律：
关于：
知识点3：向量的减法运算
（1）相反向量
我们规定,与向量“长度相等,方向相反的向量,叫做a 的相反向量,记作 -a 零向量的相反向量仍是零向量
由相反向量的定义,我们有如下结论:　　　
-( -a) =a; (2)a+( -a) =( -a) a=0;
(3)若a,b 互为相反向量,则a= -b,b= -a,a +b=0.
（2）向量减法的定义
向量a加上b的相反向量,叫做a 与b的差,即a-b=a +(-b).求两个向量差的运算叫做向量的减法
向量减法的三角形法则
如下图,已知向量a,b,在平面内任取一点 0,作 =a,=b则=-=a-b.即a -b 可以表示为从向量 b 的终点指向向量a 的终点的向量，这是向量减法的几何意义.
知识点4：向量形式的三角不等式
（1）当向量a,b不共线时,作=a,= b,则a+b = ,如图(1),根据三角形的三边关系,有llal - lbll （2）当a 与b同向共线或a,b 中至少有一个为零向量时,作法同上,如图(2),此时la +bl =lal +lbl;当a与b反向共线或a,b 中至少有一个为零向量时,不妨设lal >lbl,作法同上,如图 (3),此时la +bl =llal - lbll.故对于任意向量a,b,总有llal -lbll知识点4：向量的数乘运算
（1）向量的数乘的定义
一般地,我们规定实数与向量 a 的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作 a,它的长度与方向规定如下:
(1)
当>0时,a 的方向与a 的方向相同;当<0时,a 的方向与a 的方向相反
（2）向量的数乘的几何意义
(1)当>1时,有 > lal,这意味着表示向量 a 的有向线段在原方向(>1)或反方向( < -1)上伸长到原来的倍;
(2)当0<<1 时,有 < lal,这意味着表示向量 a 的有向线段在原方向(0<<1)或反方向( -1 <<0)上缩短到原来的倍
（3）向量的数乘的运算律
设,从为实数,那么(1);(2);
(3). 特别地,我们有( -)a = -(a) =( -a),(a -b) =a -b.
（4）向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量 a,b.
以及任意实数,,恒有
知识点5：向量共线定理
向量共线的条件：
如果，则∥；反之，如果∥，且，则一定存在唯一的一个实数，使．
【题型1 向量的加减运算】
【典例1】如图，按下列要求作答．
(1)以A为始点，作出；
(2)以B为始点，作出；
(3)若为单位向量，求、和．
【变式1-1】化简 （ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】化简下列各式:
(1) (2)
【变式1-3】已知用向量加法的三角形法则作出.
(1)； (2).
【典例2】化简下列各式：
(1) (2)
【变式2-1】简化 ．
【变式2-2】如图，已知向量，，不共线，求作向量．

【题型2 三角形( 平行四边形 ) 法则的应用】
【典例3】如图，在平行四边形中，下列计算不正确的是（ ）

A． B．
C． D．
【变式3-1】如图，在平行四边形中，，，则可以表示为（ ）

A． B． C． D．
【变式3-2】如图，在平行四边形中，（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】已知为三角形所在平面内一点，，则（ ）
A． B． C． D．
【题型3 向量的线性运算】
【典例4】计算：
(1)； (2)．
【变式3-1】化简下列各式：
(1)； (2)
【变式3-2】化简
（1）； （2）
【变式3-3】化简：
(1)； (2)；
(3).
【变式3-4】化简：
(1)； (2)；
(3)．
【题型4 用已知向量表示相关向量】
【典例5】若向量，满足，，、为已知向量，求向量，．
【变式5-1】已知，，求，与．
【变式5-2】已知，是两个不共线的向量，向量，，求（用，表示）．
【变式5-3】（1）已知，，求.
（2）已知向量，且，，求，.
【题型5 向量共线定理的应用】
【典例6】已知，是平面内两个不共线的非零向量，，，，且，，三点共线．
(1)求实数的值；
(2)若，，求的坐标；
(3)已知，在（2）的条件下，若四边形是平行四边形，求点的坐标．
【变式6-1】已知，，求证：与共线.
【变式6-2】设，是不共线的两个非零向量.
(1)若，求证：A，B，C三点共线；
(2)若与共线，求实数k的值.
【题型6向量线性运算在三角形中的运用】
【典例7】如图，G是△OAB的重心，P，Q分别是边OA、OB上的动点，且P，G，Q三点共线．
(1)设，将用，，表示；
(2)设，，证明：是定值．
一、单选题
1．如图，在平行四边形中，（ ）
A． B． C． D．
2．化简得（ ）
A． B． C． D．
3．在中，，则（ ）
A． B． C． D．
4．在中，为边上的中线，，若，则（ ）
A． B．1 C．0 D．
5．已知向量，那么等于（ ）
A． B． C． D．
6．已知，则下列命题正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．若平面四边形满足，则该四边形一定是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．梯形
8．在中，为上一点，且，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．如图，点是线段的三等分点，则下列结论正确的有（ ）

A． B．
C． D．
10．若都是非零向量，且，则（ ）
A．方向相同 B．方向相反 C． D．
三、填空题
11．若向量与共线，且，则 ．
12．已知向量不共线，，，，则实数 ．
13．填空：
（1） ；
（2） ．
14．若向量满足，则的最小值为 ，的最大值为 ．
15．如图所示，已知到平行四边形的三个顶点的向量分别为，则 (用表示)．
16．已知向量、、满足关系式，那么可用向量、表示向量
17．如图，已知，若，则 ， .
四、解答题
18．计算：
(1) (2)．
19．已知，，求证，，三点共线.
20．一质点从点出发，先向北偏东方向运动了到达点，再从点向正西方向运动了到达点，又从点向西南方向运动了到达点，试画出向量、、以及．
21．作出以下图形
(1)如图1，已知向量 不共线，作向量.
(2)如图2，已知向量，求作向量.
22．如图，的两条对角线相交于点M，且，，用，表示，，和．
23．已知在四边形ABCD中，＝＋2，＝－4－，＝－5－3，求证：四边形ABCD为梯形．

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