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第03讲 向量的数量积
考点1：平面向量的数量积
(1) 已知两个非零向量和，作＝，＝，∠AOB＝θ(0≤θ≤)叫作向量与的夹角．记作，并规定.如果与的夹角是，就称与垂直，记为.
(2) ||| |cos 叫作与的数量积(或内积)，记作,即＝| || |cos .
规定：零向量与任一向量的数量积为0.两个非零向量与垂直的充要条件是=0.
两个非零向量与平行的充要条件是＝| || |.
考点2：平面向量数量积的几何意义
数量积等于的长度| |与在方向上的射影| |cos θ的乘积．即＝| || |cos θ.( 在方向上的射影| |cos θ;在方向上的射影| |cosθ).
考点3：平面向量数量积的重要性质
性质1 .
性质2
性质3 当与同向时；当当与反向时.
或.
性质4
性质5
注意：利用向量数量积的性质2可以解决有关垂直问题；利用性质3可以求向量长度；利用性质4可以求两向量夹角；利用性质5可解决不等式问题.
考点4：平面向量数量积满足的运算律
（1）（交换律）；
（2）为实数）；
（3）（分配律）。
数量积运算法则满足交换律、分配律，但不满足结合律，不可约分
.
【题型1 向量的投影】
【典例1】向量，夹角为，且，|，则在方向上的投影的数量等于（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
【答案】D
【分析】根据数量积的几何意义，投影向量的公式可求.
【详解】由题意，在方向上的投影的数量等于.
故选：D
【变式1-1】已知，，，则在方向上的投影向量是 .
【答案】
【分析】设与方向相同的单位向量为， 则在方向上的投影向量与共线，可用表示,由已知表示单位向量，并求出可得所求向量.
【详解】设与方向相同的单位向量为，则，
则在方向上的投影向量为.
故答案为：.
【变式1-2】如图所示，求出以下向量的数量积．

(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)1
(2)0
(3)
【分析】（1）（2）根据图得到向量夹角及向量的模，利用数量积公式计算；
（3）根据向量在向量上投影的数量计算.
【详解】（1）图可知，
因此
（2）由图可知，，因此0．
（3）由图可知，向量在向量上的投影的数量为，且为单位向量，因此根据向量数量积的几何意义可知．
【变式1-3】已知与的夹角为.
(1)求；
(2)求在上的投影向量的模长.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由平面向量数量积的定义即可求得答案；
（2）先求出在上投影，进而求出投影向量的模长.
【详解】（1）.
（2）因为，所以在上的投影向量的模长为.
【题型2 向量数量积的计算】
【典例2】已知向量与的夹角为，且，求：
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)12
【分析】(1)利用向量数量积的定义直接求解即可.
(2)利用向量数量积的运算律，求解即可.
【详解】（1）由已知得
（2）．
【变式2-1】已知，，与的夹角为，计算下列各式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据数量积的运算律计算可得；
（2）根据数量积的定义求出，再由数量积的运算律计算可得.
【详解】（1）因为，，
所以.
（2）因为，，与的夹角为，
所以，
所以.
【变式2-2】已知向量，，与的夹角为.求
(1)
(2)求；
(3)求.
【答案】(1)3
(2)
(3)
【分析】（1）根据数量积的定义运算求解；
（2）根据向量模长公式结合数量积的运算律运算求解；
（3）根据数量积的运算律运算求解.
【详解】（1）由题意可得：.
（2）由题意可得：.
（3）由题意可得：.
【题型3求向量的夹角(夹角的余弦值)】
【典例3】已知向量，满足，，.
(1)求；
(2)若，，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求出，然后根据向量的夹角公式求解；
（2）先表示出，然后根据数量积的定义求解.
【详解】（1）因为，所以，，
所以，.
（2）因为，所以，，
所以，边的长度为.
【变式3-1】已知，，，求与的夹角．
【答案】
【分析】根据已知模长、数量积，应用向量夹角公式求夹角即可.
【详解】由，而，
所以.
【变式3-2】已知，，.
(1)求；
(2)求向量与的夹角的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用两个向量的数量积的运算法则，以及求向量的模的方法，求出；
（2）设向量与的夹角的夹角为，根据两个向量的夹角公式，求出的值.
【详解】（1）已知，，
，
，
；
（2）设向量与的夹角的夹角为，
则，
向量与的夹角的余弦值为.
【变式3-3】已知向量与的夹角，且，.
(1)求与的夹角的余弦值.
(2)若，求在上的投影向量的坐标.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由数量积公式计算出，对平方再开方求出；设与的夹角为，再由向量的夹角公式计算可得答案；
（2）根据投影向量公式直接计算可得答案.
【详解】（1）由已知，得，
；
设与的夹角为，
则，
因此，与的夹角的余弦值为；
（2）因为，
所以在上的投影向量为
.
【题型4 已知向量的夹角求参数】
【典例4】已知，，与的夹角是.
(1)计算；
(2)当k为何值时，？
【答案】(1)
(2)
【分析】根据数量积的计算规则计算.
【详解】（1），，与的夹角是，
则，
即有；
（2）由
可得，即，
即，解得.则当k为时，；、
综上，（1），（2）.
【变式4-1】已知的夹角为，
(1)求的值；
(2)当为何值时，.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用向量的数量积公式及向量的模公式即可求解；
（2）根据（1）的结论及向量垂直的条件即可求解.
【详解】（1）因为的夹角为，
所以.
所以.
（2）由（1）知，，，
因为，
所以，即，
所以，解得.
所以当时，.
【变式4-2】设向量，满足，，满足．
(1)判断与能否垂直；
(2)若与的夹角为，求实数的值．
【答案】(1)与不垂直
(2)
【分析】（1）根据题意结合数量积的运算律可得，结合向量垂直分析判断；
（2）根据数量积的定义可得，运算求解即可.
【详解】（1）∵，即，
整理得，
又∵，即，则，
整理得，
注意到，则，
故与不垂直.
（2）若与的夹角为，则，
则，解得，
故实数的值为.
【变式4-3】如图，在平行四边形中，，垂足为.
(1)若，求的长；
(2)设，求的值.
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）利用线性运算将转化为，然后根据和得到，然后求即可；
（2）根据三点共线得到，根据数量积公式得到，，即可得到，然后解方程即可.
【详解】（1）在平行四边形中，，垂足为，
，
，
解得，故长为2.
（2），且三点共线，
①，
又，
则，
由可知，
展开，化简得到②
联立①②解得，故.
【题型5 向量的模】
【典例5】已知平面向量满足．
(1)求与的夹角；
(2)求在方向上的投影向量的模．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由两边平方化简结合已知条件可得，再利用向量的夹角公式可求得答案，
（2）先求出，再利用向量数量积的几何意义可求得结果
【详解】（1）∵
，
∵，
∴
解得
，
，
（2）
∵，
∴，
在方向上的投影向量的模为：
【变式5-1】已知，，且向量与的夹角为，则向量的模为 .
【答案】
【分析】先根据平面向量数量积的运算计算，再求即可.
【详解】因为，
所以.
故答案为：
【变式5-2】已知非零向量满足，且，则向量的模长为 ．
【答案】
【分析】将两边平方并化简，进而结合即可求得答案.
【详解】设的夹角为，因为，
所以，
所以．
故答案为：．
【变式5-3】已知非零向量，满足=2，则向量的模是（ ）
A．4 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】根据向量的模长公式直接计算即可.
【详解】由已知得，
故，
所以，
故选：D
【题型6 向量数量积的最值问题】
【典例6】已知向量，满足，，则的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】D
【分析】根据向量数量积的运算性质，可得答案.
【详解】因为，所以，即，
整理得，
又，所以，即，
所以，即，又，
所以当与反向时，取得最大值，且最大值为.
故选：D.
【变式6-1】若，且，则的最大值为 .
【答案】
【分析】将分解计算，利用向量数量积的运算即可得解.
【详解】
.
故答案为：.
【变式6-2】已知向量满足，则的最大值是 ，最大值是 ．
【答案】 3
【分析】综合应用平面向量的数量积和三角函数的知识即可解决.
【详解】设向量的夹角为，，因为，
所以，
故的最大值是3；
同理，所以，
则，因为，所以，故.
因为，所以，故最大值是.
故答案为：3；.
【变式6-3】如图，是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，若，，点M为线段上的动点，则的最大值为（ ）

A． B． C．6 D．10
【答案】D
【分析】利用平面向量的线性表示和数量积，转化为函数的最值问题求解.
【详解】根据题意可得，，
所以，
又因为，
所以,，
设,则，
所以，
，
所以
，
令，
当单调递增，单调递减，
当，取最大值为.
故选：D
一、单选题
1．在边长为2的等边中，的值是（ ）
A．4 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】根据平面向量数量积运算求得正确答案.
【详解】∵，向量与的夹角为120°，
∴.
故选：D
2．已知，，且，的夹角为，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】根据向量的减法运算可得，平方后结合数量积的运算，即可求得答案.
【详解】由题意得，所以
，
故，
故选：D
3．若向量满足，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据向量数量积的运算求得，结合投影向量的定义进行求解即可.
【详解】因为，所以，
又，，所以，
则在上的投影向量为.
故选：A．
4．设向量，满足，，则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】利用的平方与的平方之间的关系求解.
【详解】因为，，
以上两式相减，可得，即，
所以.
故选：B
5．已知非零向量满足，且，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据数量积的运算律及向量夹角的运算公式求解.
【详解】解：因为，
所以，
设与的夹角为，
所以，
所以.
故选：D
6．在中，满足，，，则（ ）
A． B．0 C．25 D．65
【答案】C
【分析】先判断三角形是直角三角形，再结合向量线性运算与数量积运算知识进行计算即可.
【详解】如图所示，
因为在中，满足，，，
所以，即，
所以.
故选：C
7．已知单位向量与单位向量的夹角为，则（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】D
【分析】根据向量数量积定义将平方即可计算得出其模长.
【详解】由题意可知，
则，
可得.
故选：D
8．已知向量满足，，，则（ ）
A． B． C．5 D．20
【答案】B
【分析】先根据，求出，再求，即可求.
【详解】因为，所以，所以，
所以.
故选：B.
9．已知非零向量，满足，且，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】B
【分析】利用向量数量积与模长关系结合二次函数的性质计算即可.
【详解】因为，
所以，当且仅当时，等号成立.
故选：B
10．中，，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】根据数量积求解，，进而求解三角形的面积.
【详解】因为，
所以，
则.
故选：A.
11．已知为单位向量，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用平面向量数积量运算法则求得，再利用向量夹角余弦公式即可得解.
【详解】因为为单位向量，，
所以，则，
所以.
故选：D.
二、填空题
12．设向量，，若，则 ．
【答案】
【分析】根据，利用数量积的坐标运算求解.
【详解】解：因为向量，，
所以，
又因为，
所以 ，
解得 ，
故答案为：-3
13．已知为平面向量，．若在方向上的投影向量为，则 .
【答案】
【分析】先设的夹角为，由在方向上的投影向量为，求得，进而求得的值，则可求得.
【详解】设的夹角为，
因为在方向上的投影向量为，，
所以，得．
从而.
.
故答案为：.
14．在中，，若，则 ．
【答案】0
【分析】根据向量线性运算得，利用向量数量积运算可得解.
【详解】，
，
又，即，
.
故答案为：0.
15．已知向量与向量满足：，，且与的夹角为，则 ．
【答案】2
【分析】由向量模、数量积公式先求出，再由公式即可得解.
【详解】由题意，，
所以 .
故答案为：2.
16．已知向量、满足，，与的夹角为，若，则 .
【答案】/
【分析】计算出的值，由已知可得出，利用平面向量数量积的运算性质可求出的值.
【详解】因为，，与的夹角为，
所以.
由，
得，
解得.
故答案为：.
17．已知向量满足，，，则与的夹角为 ．
【答案】
【分析】利用模长的平方等于向量的平方和向量数量积运算法则求解即可.
【详解】因为，，，
所以，解得，
所以，
又，故.
故答案为：.
三、解答题
18．，的夹角为，，.
(1)求；
(2)若与互相垂直，求
【答案】(1)7
(2).
【分析】（1）利用，展开后代入数量积公式求得答案；
（2）由与互相垂直，得，展开后化为关于的方程求解.
【详解】（1），的夹角为，，，
.
故.
（2）若与互相垂直，则，
即.
所以，整理得，
即，解得.
19．已知向量与的夹角为，且，．向量与共线，
(1)求实数的值；
(2)求向量与的夹角．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据共线向量定理，即可求解；
（2）根据向量夹角公式，，再代入数量积的运算公式，即可求解.
【详解】（1）若向量与共线，
则存在实数，使得，
则，则；
（2）由（1）知，，
，
，
，
，
所以，且，
所以.
20．已知在中，N是边AB的中点，且，设AM与CN交于点P.记，.

(1)用，表示向量，；
(2)若，，求的余弦值.
【答案】(1)，；
(2)
【分析】（1）根据平面向量基本定理，结合平面向量的线性运算定义进行求解即可；
（2）根据平面向量垂直的性质，结合平面向量数量积的运算性质和定义进行求解即可.
【详解】（1），
；
（2）因为，所以，
因为，，
所以，
把代入式，得，
.第03讲 向量的数量积
考点1：平面向量的数量积
(1) 已知两个非零向量和，作＝，＝，∠AOB＝θ(0≤θ≤)叫作向量与的夹角．记作，并规定.如果与的夹角是，就称与垂直，记为.
(2) ||| |cos 叫作与的数量积(或内积)，记作,即＝| || |cos .
规定：零向量与任一向量的数量积为0.两个非零向量与垂直的充要条件是=0.
两个非零向量与平行的充要条件是＝| || |.
考点2：平面向量数量积的几何意义
数量积等于的长度| |与在方向上的射影| |cos θ的乘积．即＝| || |cos θ.( 在方向上的射影| |cos θ;在方向上的射影| |cosθ).
考点3：平面向量数量积的重要性质
性质1 .
性质2
性质3 当与同向时；当当与反向时.
或.
性质4
性质5
注意：利用向量数量积的性质2可以解决有关垂直问题；利用性质3可以求向量长度；利用性质4可以求两向量夹角；利用性质5可解决不等式问题.
考点4：平面向量数量积满足的运算律
（1）（交换律）；
（2）为实数）；
（3）（分配律）。
数量积运算法则满足交换律、分配律，但不满足结合律，不可约分
.
【题型1 向量的投影】
【典例1】向量，夹角为，且，|，则在方向上的投影的数量等于（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
【变式1-1】已知，，，则在方向上的投影向量是 .
【变式1-2】如图所示，求出以下向量的数量积．

(1)； (2)； (3)．
【变式1-3】已知与的夹角为.
(1)求；
(2)求在上的投影向量的模长.
【题型2 向量数量积的计算】
【典例2】已知向量与的夹角为，且，求：
(1)；
(2)
【变式2-1】已知，，与的夹角为，计算下列各式：
(1)；
(2)．
【变式2-2】已知向量，，与的夹角为.求
(1)
(2)求；
(3)求.
【题型3求向量的夹角(夹角的余弦值)】
【典例3】已知向量，满足，，.
(1)求；
(2)若，，求.
【变式3-1】已知，，，求与的夹角．
【变式3-2】已知，，.
(1)求；
(2)求向量与的夹角的余弦值.
【变式3-3】已知向量与的夹角，且，.
(1)求与的夹角的余弦值.
(2)若，求在上的投影向量的坐标.
【题型4 已知向量的夹角求参数】
【典例4】已知，，与的夹角是.
(1)计算；
(2)当k为何值时，？
【变式4-1】已知的夹角为，
(1)求的值；
(2)当为何值时，.
【变式4-2】设向量，满足，，满足．
(1)判断与能否垂直；
(2)若与的夹角为，求实数的值．
【变式4-3】如图，在平行四边形中，，垂足为.
(1)若，求的长；
(2)设，求的值.
【题型5 向量的模】
【典例5】已知平面向量满足．
(1)求与的夹角；
(2)求在方向上的投影向量的模．
【变式5-1】已知，，且向量与的夹角为，则向量的模为 .
【变式5-2】已知非零向量满足，且，则向量的模长为 ．
【变式5-3】已知非零向量，满足=2，则向量的模是（ ）
A．4 B． C．2 D．
【题型6 向量数量积的最值问题】
【典例6】已知向量，满足，，则的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．4
【变式6-1】若，且，则的最大值为 .
【变式6-2】已知向量满足，则的最大值是 ，最大值是 ．
【变式6-3】如图，是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，若，，点M为线段上的动点，则的最大值为（ ）

A． B． C．6 D．10
一、单选题
1．在边长为2的等边中，的值是（ ）
A．4 B． C．2 D．
2．已知，，且，的夹角为，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
3．若向量满足，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
4．设向量，满足，，则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．已知非零向量满足，且，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
6．在中，满足，，，则（ ）
A． B．0 C．25 D．65
7．已知单位向量与单位向量的夹角为，则（ ）
A．2 B． C． D．1
8．已知向量满足，，，则（ ）
A． B． C．5 D．20
9．已知非零向量，满足，且，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．1
10．中，，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．2
11．已知为单位向量，若，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
12．设向量，，若，则 ．
13．已知为平面向量，．若在方向上的投影向量为，则 .
14．在中，，若，则 ．
15．已知向量与向量满足：，，且与的夹角为，则 ．
16．已知向量、满足，，与的夹角为，若，则 .
17．已知向量满足，，，则与的夹角为 ．
三、解答题
18．，的夹角为，，.
(1)求；
(2)若与互相垂直，求
19．已知向量与的夹角为，且，．向量与共线，
(1)求实数的值；
(2)求向量与的夹角．
20．已知在中，N是边AB的中点，且，设AM与CN交于点P.记，.

(1)用，表示向量，；
(2)若，，求的余弦值.

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