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第01讲 平面向量的概念
知识点1： 向量的实际背景与概念
(1)数量与向量
在数学中,把既有大小又有方向的量叫做向量,而把只有大小没有方向的量称为数量.
注意：向量不能比较大小.数量可以比较大小.
(2)向量的二要素
向量由大小与方向两个要素组成.向量的大小是代数特征,方向是几何特征.
知识点2： 向量的几何表示
（1）有向线段的概念
具有方向的线段叫做有向线段. 通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向,以 A为起点、B 为终点的有向线段记作 （如图）；
以B 为起点,A 为终点的有向线段记作(如图 ).
注意：起点一定要写在终点的前面。
①有向线段的长度线段
AB 的长度也叫做有向线段的长度,记作,易知=
②有向线段的三要素
有向线段包含三个要素:起点、方向、长度.知道了有向线段的起点、方向和长度,它的终点就唯一确定了.
(2)向量的表示
几何表示：向量可以用有向线段表示,我们把这个向量记作向量
字母表示：向量也可以用字母a,b,c,···表示.
注意：印刷用黑体a,b,c,书写用 ,注意区分.
（3）向量的长度
向量AB的大小称为向量的长度(或称模),记作.向量的长度在数值上等于线段 的长度,因此向量的长度是非负实数。
（4）两种特殊的向量
长度为0的向量叫做零向量,记作0
注意：0与0的区别及联系,0是一个实数，0是一个向量，且有=0.长度等于1 个单位长度的向量,叫做单位向量.
知识点3：相等向量与共线向量
（1）相等向量：同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等向量．
（2）向量共线或平行：通过有向线段的直线，叫做向量的基线．
如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行．向量平行于向量，
记作∥．
说明：共线向量的方向相同或相反，　
注意：这里说向量平行，包含向量基线重合的情形，与两条直线平行的概念有点不同．
知识点4：用共线(平行 )向量或相等向量刻画几何关系
(1)利用向量的模相等可以证明线段相等,利用向量相等可以证明线段平行且相等（需说明向量所在的直线无公共点）
(2)利用向量共线可以证明直线与直线平行
(3)利用向量可以判断图形的形状(如平行四边形等腰三角形等)证明多点共线等.
【题型1 向量的概念】
【典例1】下列量中是向量的为（ ）
A．频率 B．拉力 C．体积 D．距离
【答案】B
【分析】根据向量与数量的意义直接判断即可.
【详解】显然频率、体积、距离，它们只有大小，不是向量，而拉力既有大小，又有方向，所以拉力是向量.
故选：B
【变式1-1】已知向量如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A．也可以用表示 B．方向是由M指向N C．起点是M D．终点是M
【答案】D
【详解】由向量的几何表示知，A、B、C正确，D不正确．故选D．
【变式1-2】用有向线段表示下列物体运动的速度．
(1)向正东方向匀速行驶的汽车在2h内的位移是60km（用的比例尺）；
(2)做自由落体运动的物体在1s末的速度（用1cm的长度表示速度2m/s）．
【答案】(1)答案见解析．
(2)答案见解析．
【分析】（1）以为起点，向右作长度是3cm的有向线段；
（2）以为起点，向下作长度为的有向线段．
【详解】（1），
以为起点，向右作有向线段，它的长度是3cm，

（2），时，，
以为起点，向下作有向线段，长度为：

【题型2 向量的几何表示】
【典例2】在如图的方格纸中，画出下列向量．

(1)，点在点的正西方向；
(2)，点在点的北偏西方向；
(3)求出的值．
【答案】(1)答案见解析；
(2)答案见解析；
(3)3
【分析】（1）根据向量的大小和方向，作向量，
（2）根据向量的大小和方向，作向量，
（3）根据向量的模的定义求.
【详解】（1）因为，点在点的正西方向，故向量的图示如下：

（2）因为，点在点的北偏西方向，故向量的图示如下：

（3）
.
【变式2-1】如图，某人从点A出发，向西走了200m后到达B点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点，发现D点在B点的正北方．
(1)作出、、（图中1个单位长度表示100m）；
(2)求的模．
【答案】(1)作图见解析
(2)
【分析】（1）根据行走方向和单位长度即可确定各点在坐标系中的位置，即可做出所有向量；
（2）由题意可知，四边形是平行四边形，则可求得的模.
【详解】（1）根据题意可知，B点在坐标系中的坐标为，
又因为D点在B点的正北方，所以，
又，所以，即D、 C两点在坐标系中的坐标为，；
即可作出、、如下图所示.
（2）如图，作出向量，
由题意可知，且，
所以四边形是平行四边形，
则，
所以的模为
【变式2-2】一艘军舰从基地A出发向东航行了200海里到达基地B，然后改变航线向东偏北航行了400海里到达C岛，最后又改变航线向西航行了200海里到达D岛．
（1）试作出向量；
（2）求．
【答案】（1）作图见解析；（2）400（海里）．
【分析】（1）根据题设以为正东方向，过A垂直于向上为正北方向，结合题设画出向量即可.
（2）由题设知，易知为平行四边形，即可求.
【详解】（1）建立如图所示的直角坐标系，向量即为所求．
（2）根据题意，向量与方向相反，故向量，又，
∴在中，，故为平行四边形，
∴，则（海里）．
【变式2-3】已知飞机从地按北偏东方向飞行到达地，再从地按南偏东方向飞行到达地，再从地按西南方向飞行到达地．画图表示向量，并指出向量的模和方向．
【答案】答案见解析.
【分析】根据方向角及飞行距离可作出向量，然后在三角形中求向量的模和方向．
【详解】以为原点，正东方向为轴正方向，正北方向为轴正方向建立直角坐标系．
由题意知点在第一象限，点在x轴正半轴上，点在第四象限，
向量如图所示，
由已知可得，

为正三角形，所以．
又，，
所以为等腰直角三角形，
所以，．
故向量的模为，方向为东南方向．
【题型3 向量相等或共线】
【典例3】如图，O是正六边形ABCDEF的中心.

(1)图中所示的向量中与的模相等的向量有几个
(2)图中所示的向量中与共线的向量有几个
【答案】(1)11
(2)4
【分析】（1）根据平面向量的概念即可得出结论；
（2）由共线向量的概念即可得出结论.
【详解】（1）因为ABCDEF为正六边形，所以中心O到各顶点的距离相等，且均等于正六边形的边长.
因此题图中所示的向量中与 的模相等的向量有，，， ，，，，，，，，共11个.
（2）由题知，图中所示的向量中与 共线的向量有，、、，共4个.
【变式3-1】如图，四边形和四边形都是平行四边形．
(1)写出与向量相等的向量；
(2)写出与向量共线的向量．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据向量相等的概念直接求解；
（2）根据共线向量的概念直接求解即可.
【详解】（1）∵四边形和四边形都是平行四边形，
∴，，
∴.
故与向量相等的向量是，.
（2）由共线向量的条件知，与共线的向量有，，，，，，.
【变式3-2】如图，多边形ABCDEF为正六边形，在以此六边形各顶点和中心为起点、终点的向量中：
(1)写出与相等的向量；
(2)写出的负向量；
(3)写出与平行的向量；
(4)写出与长度相等的向量．
【答案】(1)，，
(2)，，，
(3)，，，，，，，，
(4)，，，，
【分析】（1）（2）（3）（4）由相等向量，负向量，平行向量，长度相等向量定义可得答案.
【详解】（1）两向量相等是指两向量方向相同，长度相等，由图可得与相等的向量为：，，；
（2）向量的负向量是指与方向相反，长度相等的向量，由图可得的负向量为：，，，；
（3）两向量平行，是指两向量方向相同或相反，由图可得平行的向量为：
，，，，，，，，.
（4）由图，因图形为正六边形，则，故与长度相等的向量为：，，，，.
【典例4】多选题下列命题中错误的有（ ）
A．起点相同的单位向量，终点必相同；
B．已知向量，则四边形ABCD为平行四边形；
C．若，则；
D．若，则
【答案】AC
【分析】由单位向量的定义、向量共线和相等的条件，判断各选项的结论.
【详解】单位向量的方向不确定，所以起点相同的，终点不一定相同，A选项错误；
四边形ABCD中，，则且，四边形ABCD为平行四边形，B选项正确；
当时，满足，但不能得到，C选项错误；
由向量相等的条件可知，若，则，D选项正确.
故选：AC
【变式4-1】若向量与向量不相等，则与一定（　　）
A．不共线 B．长度不相等
C．不都是单位向量 D．不都是零向量
【答案】D
【分析】向量相等为长度和方向都相同，所以若向量与向量不相等，则说明向量与向量的方向和长度至少有一个不同，分析选项可得结果.
【详解】若向量与向量不相等，则说明向量与向量的方向和长度至少有一个不同，
所以与有可能共线，有可能长度相等，也有可能都是单位向量，
所以A，B，C都是错误的，
但是与一定不都是零向量．
故选：D.
【变式4-2】设，都是非零向量，下列四个条件中，能使一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据非零向量的方向是否相同分别判断各个选项即可.
【详解】因为，故同向.
对于A:，方向相反,A选项错误；
对于B:，得出,不能得出方向，B选项错误；
对于C:,方向向相同,则成立，C选项正确；
对于D:,不能确定的方向，D选项错误.
故选：C．
【变式4-3】下列命题正确的是（ ）
A．零向量没有方向 B．若，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】C
【分析】A选项，由零向量的定义进行判断；B选项，根据向量的模及相等向量判断；
C选项，根据向量的性质判断，D选项，根据共线向量的定义判断；
【详解】对于A项：零向量的方向是任意的并不是没有方向，故A项错误；
对于B项：因为向量的模相等，但向量不一定相等，故B项错误；
对于C项：因为，，所以可得：，故C项正确；
对于D项：若，则不共线的，也有，，故D项错误.
故选：C.
【变式4-4】（多选）下列命题正确的是（　　）
A．若都是单位向量，则.
B．“”是“”的必要不充分条件
C．若都为非零向量，则使＋＝成立的条件是与反向共线
D．若，则
【答案】BCD
【分析】根据平面向量的定义以及向量共线的概念一一判断.
【详解】对A，都是单位向量，则模长相等，但方向不一定相同，
所以得不到，A错误；
对B，“”推不出“”，但 “”能推出 “”，
所以“”是“”的必要不充分条件，B正确；
对C，因为与反向共线，
且，都为单位向量，则＋＝，C正确；
对D，若，则，D正确，
故选:BCD.
【题型4 用向量关系研究几何图形的性质】
【典例5】如图所示，点D在的边上，且与点B，C不重合，点E，F分别在，上，.求证：.
【答案】证明见解析
【解析】根据相等向量的定义，可以得到一个平行四边形，根据平行四边形的性质得到线线平行，再根据已知的向量相等，可得到一组平行线，这样可以得到两组角对应相等，利用相似三角形的判定理可以证明.
【详解】证明：∵，∴且，
∴四边形是平行四边形，∴，∴.
由，得.∴
【点睛】本题考查了相等向量的定义，考查了平行四边形的判定定理和性质定理，考查了平行线的性质定理，考查了三角形相似的判定定理，考查了推理论证能力.
【变式5-1】如图所示，在平行四边形中，，分别是，的中点.
(1)写出与向量共线的向量；
(2)求证：.
【答案】(1)，，；
(2)证明见解析.
【分析】根据条件，可得四边形为平行四边形，即可写出与向量共线的向量；
根据题意可得出四边形是平行四边形，从而得出，，进而得出结论.
【详解】（1）解：因为在平行四边形中，，分别是，的中点，，，
所以四边形为平行四边形，所以.
所以与向量共线的向量为：，，.
（2）证明：在平行四边形中，，.
因为，分别是，的中点，
所以且，
所以四边形是平行四边形，
所以，，
故.
【变式5-2】如图，四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，且，．求证：四边形ABCD是平行四边形．
【答案】答案见解析
【分析】由，可得AC、BD互相平分，利用平行四边形的判定定理即可证明.
【详解】因为四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，且，．
所以四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，
所以四边形ABCD是平行四边形．
即证.
【变式5-3】如图，已知在四边形中，M，N分别是，的中点，又.求证：.
【答案】证明见解析
【解析】根据相等向量的定义、中点的定义、平行四边形的判定定理和性质定理，可以证明出.
【详解】证明：由可知且，
所以四边形为平行四边形，
从而.
又M，N分别是，的中点，于是.
所以且.
所以四边形是平行四边形.
从而.
【点睛】本题考查了相等向量的定义，考查了平行四边形的判定定理和性质定理的应用，考查了推理论证能力.
一、单选题
1．如图，在正六边形中，点为其中点，则下列判断错误的是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据正六边形的性质逐项判断后可得正确的选项.
【详解】对于A，由正六边形的性质可得四边形为平行四边形，故，故A正确.
对于B，因为，故，故B正确.
对于C，由正六边形的性质可得，故，故C正确.
对于D，因为交于，故不成立，故D错误，
故选：D.
2．设点O是正三角形ABC的中心，则向量，，是（ ）
A．相同的向量 B．模相等的向量
C．共线向量 D．共起点的向量
【答案】B
【分析】根据正三角形的中心到三个顶点的距离相等，得到这三个向量的模长相等，即可判断得解
【详解】是正的中心，向量分别是以三角形的中心和顶点为起点和终点的向量，
到三个顶点的距离相等，但向量，，不是相同向量，也不是共线向量，也不是起点相同的向量.
故选：B
3．下列命题正确的个数是（ ）
（1）向量就是有向线段；（2）零向量是没有方向的向量；
（3）零向量的方向是任意的；（4）零向量的长度为0．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】（1）由向量的几何表示判断；（2）（3）（4）根据对零向量的规定判断.
【详解】（1）向量可以用有向线段表示，但不能把两者等同，故错误；
（2）根据对零向量的规定零向量是有方向的，是任意的，故错误；
（3）根据对零向量的规定，零向量的方向是任意的，故正确；
（4）根据对零向量的规定，零向量的大小为0，所以零向量的长度为0，故正确．
故选：B
4．已知两个非零向量与共线，下列说法不正确的是（　　）
A．或
B．与平行
C．与方向相同或相反
D．存在实数，使得
【答案】A
【分析】根据共线向量的概念，以及向量共线定理，逐项判断，即可得出结果.
【详解】非零向量与共线，
对于A，，，故A错误；
对于B，∵向量与共线，∴向量与平行，故B正确；
对于C，∵向量与共线，∴与方向相同或相反，故C正确；
对于D，∵与共线，∴存在实数，使得，故D正确．
故选:A．
5．下列各物理量表示向量的是（ ）
A．质量 B．距度 C．力 D．体重
【答案】C
【分析】根据向量的定义判断可得出结论.
【详解】由向量的定义可知，力为向量，质量、距离、体重都为数量.
故选：C.
6．如果一架飞机向西飞行，再向南飞行，记飞机飞行的路程为，位移为，则（ ）．
A． B． C． D．与不能比较大小
【答案】A
【分析】根据题意，作图，结合向量的几何意义，可得答案.
【详解】由题意，作图如下：
则该飞机由先飞到，再飞到，则，，，
则飞机飞行的路程为，，
所以.
故选：A.
7．设为两个非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合共线向量的定义分析判断
【详解】因为，所以同向共线，所以，
因为，所以同向共线，此时不一定成立，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
二、多选题
8．下列说法中,错误的有（ ）
A．单位向量都相等 B．模相等的两个平行向量相等
C．若且,同向,则 D．,若,,则
【答案】ABC
【分析】根据平面向量的概念一一判断即可.
【详解】对于A,单位向量的方向不能确定,根据两个向量相等的概念,两向量不一定相等,故A错误;
对于B,相反向量模相等,且为平行向量,但不是相等向量,故B错误;
对于C,向量的模可以比较大小,但向量不能比较大小,故C错误;
对于D,因为,所以若,,则,故D正确.
故选:ABC.
9．以下说法正确的是（ ）
A．两个相等向量的模相等
B．平行向量方向相同
C．若和都是单位向量，则
D．平行向量一定是共线向量
【答案】AD
【分析】根据相等向量、平行向量、单位向量、共线向量的概念分析可得答案.
【详解】根据相等向量的概念可知，两个相等向量的模相等，故A正确；
根据平行向量的概念可知，平行向量方向可能相同、可能相反，零向量与任何向量平行，此时不谈方向，故B不正确；
若和都是单位向量，则，不一定有，故C不正确；
平行向量与共线向量是同一个概念，故D正确.
故选：AD.
10．下面关于向量的说法正确的是（ ）
A．单位向量：模为的向量
B．零向量：模为的向量
C．平行共线向量：方向相同的向量
D．相等向量：模相等，方向相同的向量
【答案】ABD
【分析】由单位向量、零向量、相等向量、共线向量的概念可知.
【详解】C项，方向相反的向量也是共线向量，故错误；
ABD项，由单位向量、零向量、相等向量概念可知，正确.
故选：ABD.
11．给出下面四个命题，其中是真命题的是（ ）
A．
B．零向量与任意向量平行
C．是的充分不必要条件
D．向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上
【答案】AB
【分析】利用相反向量的定义判断选项A；利用规定：零向量和任意向量平判断选项B；利用相等向量的定义判断选项C；利用平行四边形可判断选项D.
【详解】对A，，A正确；
对B，我们规定：零向量与任意向量平行，B正确；
对C，由只能确定长度相等，不等确定方向，
所以推不出，
又由可得，
所以是的必要不充分条件，C错误；
对D，在平行四边形中，向量与向量是共线向量，
但点A，B，C，D不在同一条直线上，D错误；
故选:AB.
三、填空题
12．在如图所示的向量中（小正方形的边长为1），找出存在下列关系的向量：

①共线向量： ；
②方向相反的向量： ；
③模相等的向量： .
【答案】 与，与 与，与
【分析】观察图形，利用共线向量、方向相反向量、模相等的向量的意义判断作答.
【详解】观察图形，，因此与是共线向量，并且方向相反；与是共线向量，并且方向相反，
显然，因此的模相等.
故答案为：与，与；与，与；
13．已知是单位向量，在四边形ABCD中，，，则四边形ABCD的形状为 ．（矩形、正方形、菱形、梯形）.
【答案】菱形；
【分析】利用向量得到四边形对边和邻边的位置关系，判断四边形的形状.
【详解】是单位向量，在四边形ABCD中，，，
则，在四边形ABCD中，，，可知四边形ABCD是平行四边形，
又，，所以四边形ABCD是菱形.
故答案为：菱形.
14．若与任意都平行，则 .
【答案】
【分析】根据零向量的性质可直接得到结果.
【详解】零向量与任意向量都平行，.
故答案为：.
四、解答题
15．用有向线段分别表示一个方向向上、大小为20N的力，以及一个方向向下、大小为30N的力（用1cm的长度表示大小为10N的力）．
【答案】答案见解析．
【分析】根据有向线段的定义作图．
【详解】如图，有向线段表示方向向上、大小为20N的力，有向线段表示方向向下、大小为30N的力，
16．已知O为正六边形ABCDEF的中心，在下图所标出的向量中：

(1)找出与相等的向量；
(2)找出几组相反向量．
【答案】(1)
(2)与，与，与
【分析】（1）根据相等向量定义判断选择即可；
（2）根据相反向量定义判断选择即可.
【详解】（1）与方向相同且长度相等，故．
（2）与，与，与方向相反且长度相等分别互为相反向量．
17．如图，D，E分别为的边AB，AC的中点，求证：与共线，并用表示．

【答案】证明见解析；
【分析】由三角形的中位线的性质及共线向量基本定理可得结果.
【详解】证明：因为D，E分别为AB，AC的中点，
所以，
即与共线．
又，且与同向，
所以．
18．如图，已知四边形中，，分别是，的中点，且，求证：.
【答案】见解析
【解析】根据平行四边形及向量相等的定理即可证明；
【详解】解：因为，所以且，
所以四边形是平行四边形，
所以且.
又与的方向相同，所以.
同理可证，四边形是平行四边形，所以.
因为，，所以，
又与的方向相同，所以
【点睛】本题考查向量相等的定义的应用，属于基础题.
19．某人从A点出发向西走了200m到达B点，然后改变方向向西偏北60°走了450m到达C点，最后又改变方向向东走了200m到达D点
（1）作出向量，，(表示200m)；
（2）求的模.
【答案】（1）见解析；（2）450m
【分析】（1）利用具体方位，用有向线段表示向量；
（2）借助相反向量模相等，得到.
【详解】（1）根据题意，如图所示.
（2）由题意及（1）可得，四边形为平行四边形,所以.
【点睛】本题考查具体方位，用有向线段表示向量，向量的平行四边形法则以及相反向量模相等．
20．如图,在中,已知向量,,求证:.
【答案】证明见解析
【解析】先证明四边形是平行四边形,再证明即可.
【详解】证明 ∵,∴D为的中点.
∵,
∴,
∴四边形是平行四边形,
∴,
∴E为的中点,
∴,
∴.
【点睛】本题主要考查了相等向量的证明,属于基础题型.第01讲 平面向量的概念
知识点1： 向量的实际背景与概念
(1)数量与向量
在数学中,把既有大小又有方向的量叫做向量,而把只有大小没有方向的量称为数量.
注意：向量不能比较大小.数量可以比较大小.
(2)向量的二要素
向量由大小与方向两个要素组成.向量的大小是代数特征,方向是几何特征.
知识点2： 向量的几何表示
（1）有向线段的概念
具有方向的线段叫做有向线段. 通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向,以 A为起点、B 为终点的有向线段记作 （如图）；
以B 为起点,A 为终点的有向线段记作(如图 ).
注意：起点一定要写在终点的前面。
①有向线段的长度线段
AB 的长度也叫做有向线段的长度,记作,易知=
②有向线段的三要素
有向线段包含三个要素:起点、方向、长度.知道了有向线段的起点、方向和长度,它的终点就唯一确定了.
(2)向量的表示
几何表示：向量可以用有向线段表示,我们把这个向量记作向量
字母表示：向量也可以用字母a,b,c,···表示.
注意：印刷用黑体a,b,c,书写用 ,注意区分.
（3）向量的长度
向量AB的大小称为向量的长度(或称模),记作.向量的长度在数值上等于线段 的长度,因此向量的长度是非负实数。
（4）两种特殊的向量
长度为0的向量叫做零向量,记作0
注意：0与0的区别及联系,0是一个实数，0是一个向量，且有=0.长度等于1 个单位长度的向量,叫做单位向量.
知识点3：相等向量与共线向量
（1）相等向量：同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等向量．
（2）向量共线或平行：通过有向线段的直线，叫做向量的基线．
如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行．向量平行于向量，
记作∥．
说明：共线向量的方向相同或相反，　
注意：这里说向量平行，包含向量基线重合的情形，与两条直线平行的概念有点不同．
知识点4：用共线(平行 )向量或相等向量刻画几何关系
(1)利用向量的模相等可以证明线段相等,利用向量相等可以证明线段平行且相等（需说明向量所在的直线无公共点）
(2)利用向量共线可以证明直线与直线平行
(3)利用向量可以判断图形的形状(如平行四边形等腰三角形等)证明多点共线等.
【题型1 向量的概念】
【典例1】下列量中是向量的为（ ）
A．频率 B．拉力 C．体积 D．距离
【变式1-1】已知向量如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A．也可以用表示B．方向是由M指向NC．起点是M D．终点是M
【变式1-2】用有向线段表示下列物体运动的速度．
(1)向正东方向匀速行驶的汽车在2h内的位移是60km（用的比例尺）；
(2)做自由落体运动的物体在1s末的速度（用1cm的长度表示速度2m/s）．
【题型2 向量的几何表示】
【典例2】在如图的方格纸中，画出下列向量．

(1)，点在点的正西方向；
(2)，点在点的北偏西方向；
(3)求出的值．
【变式2-1】如图，某人从点A出发，向西走了200m后到达B点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点，发现D点在B点的正北方．
(1)作出、、（图中1个单位长度表示100m）；
(2)求的模．
【变式2-2】一艘军舰从基地A出发向东航行了200海里到达基地B，然后改变航线向东偏北航行了400海里到达C岛，最后又改变航线向西航行了200海里到达D岛．
（1）试作出向量；
（2）求．
【变式2-3】已知飞机从地按北偏东方向飞行到达地，再从地按南偏东方向飞行到达地，再从地按西南方向飞行到达地．画图表示向量，并指出向量的模和方向．
【题型3 向量相等或共线】
【典例3】如图，O是正六边形ABCDEF的中心.

(1)图中所示的向量中与的模相等的向量有几个
(2)图中所示的向量中与共线的向量有几个
【变式3-1】如图，四边形和四边形都是平行四边形．
(1)写出与向量相等的向量；
(2)写出与向量共线的向量．
【变式3-2】如图，多边形ABCDEF为正六边形，在以此六边形各顶点和中心为起点、终点的向量中：
(1)写出与相等的向量；
(2)写出的负向量；
(3)写出与平行的向量；
(4)写出与长度相等的向量．
【典例4】多选题下列命题中错误的有（ ）
A．起点相同的单位向量，终点必相同；
B．已知向量，则四边形ABCD为平行四边形；
C．若，则；
D．若，则
【变式4-1】若向量与向量不相等，则与一定（　　）
A．不共线 B．长度不相等
C．不都是单位向量 D．不都是零向量
【变式4-2】设，都是非零向量，下列四个条件中，能使一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】下列命题正确的是（ ）
A．零向量没有方向 B．若，则
C．若，，则 D．若，，则
【变式4-4】（多选）下列命题正确的是（　　）
A．若都是单位向量，则.
B．“”是“”的必要不充分条件
C．若都为非零向量，则使＋＝成立的条件是与反向共线
D．若，则
【题型4 用向量关系研究几何图形的性质】
【典例5】如图所示，点D在的边上，且与点B，C不重合，点E，F分别在，上，.求证：.
【变式5-1】如图所示，在平行四边形中，，分别是，的中点.
(1)写出与向量共线的向量；
(2)求证：.
【变式5-2】如图，四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，且，．求证：四边形ABCD是平行四边形．
【变式5-3】如图，已知在四边形中，M，N分别是，的中点，又.求证：.
一、单选题
1．如图，在正六边形中，点为其中点，则下列判断错误的是（ ）

A． B．
C． D．
2．设点O是正三角形ABC的中心，则向量，，是（ ）
A．相同的向量 B．模相等的向量
C．共线向量 D．共起点的向量
3．下列命题正确的个数是（ ）
（1）向量就是有向线段；（2）零向量是没有方向的向量；
（3）零向量的方向是任意的；（4）零向量的长度为0．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知两个非零向量与共线，下列说法不正确的是（　　）
A．或
B．与平行
C．与方向相同或相反
D．存在实数，使得
5．下列各物理量表示向量的是（ ）
A．质量 B．距度 C．力 D．体重
6．如果一架飞机向西飞行，再向南飞行，记飞机飞行的路程为，位移为，则（ ）．
A． B． C． D．与不能比较大小
7．设为两个非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多选题
8．下列说法中,错误的有（ ）
A．单位向量都相等 B．模相等的两个平行向量相等
C．若且,同向,则 D．,若,,则
9．以下说法正确的是（ ）
A．两个相等向量的模相等
B．平行向量方向相同
C．若和都是单位向量，则
D．平行向量一定是共线向量
10．下面关于向量的说法正确的是（ ）
A．单位向量：模为的向量
B．零向量：模为的向量
C．平行共线向量：方向相同的向量
D．相等向量：模相等，方向相同的向量
11．给出下面四个命题，其中是真命题的是（ ）
A．
B．零向量与任意向量平行
C．是的充分不必要条件
D．向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上
三、填空题
12．在如图所示的向量中（小正方形的边长为1），找出存在下列关系的向量：

①共线向量： ；
②方向相反的向量： ；
③模相等的向量： .
13．已知是单位向量，在四边形ABCD中，，，则四边形ABCD的形状为 ．（矩形、正方形、菱形、梯形）.
14．若与任意都平行，则 .
四、解答题
15．用有向线段分别表示一个方向向上、大小为20N的力，以及一个方向向下、大小为30N的力（用1cm的长度表示大小为10N的力）．
16．已知O为正六边形ABCDEF的中心，在下图所标出的向量中：

(1)找出与相等的向量；
(2)找出几组相反向量．
17．如图，D，E分别为的边AB，AC的中点，求证：与共线，并用表示．

18．如图，已知四边形中，，分别是，的中点，且，求证：.
19．某人从A点出发向西走了200m到达B点，然后改变方向向西偏北60°走了450m到达C点，最后又改变方向向东走了200m到达D点
（1）作出向量，，(表示200m)；
（2）求的模.
20．如图,在中,已知向量,,求证:.

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