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第04讲 平面向量基本定理及坐标表示
考点1：平面向量基本定理
定理 条件 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量
结论 对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2
基底 把不共线的向量e1，e2叫做表这一平面内所有向量的一组基底
考点2：平面向量的正交分解被坐标的表示
1．平面向量的正交分解
把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量，叫做平面向量的正交分解．
2．平面向量的坐标表示
(1)基底：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底．
(2)坐标：对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x、y，使得a＝xi＋yj，我们把有序实数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做向量a在x轴上的坐标，y叫做向量a在y轴上的坐标．
(3)坐标表示：a＝(x，y)就叫做向量的坐标表示．
(4)特殊向量的坐标：i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．
3．向量与坐标的关系
设＝xi＋yi，则向量的坐标(x，y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标就是向量的坐标(x，y)．因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示．即以原点为起点的向量与实数对是一一对应的．
考点3：平面向量的坐标运算
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则有下表：
文字描述 符号表示
加法 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)
减法 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差 a－b＝(x1－x2，y1－y2)
数乘 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 λa＝(λx1，λy1)
向量坐标公式 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)
考点4：平面向量的垂直与平行
1．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，当且仅当x1y2＝x2y1时，a∥b．
两个向量共线条件的三种表示方法
已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
(1)当b≠0时，a＝λb．
这是几何运算，体现了向量a与b的长度及方向之间的关系．
(2)x1y2－x2y1＝0．
这是代数运算，用它解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少未知数的个数，而且使问题的解决具有代数化的特点和，程序化的特征．
(3)当x2y2≠0时，＝．
即两向量的相应坐标成比例，通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误．
2．平面向量的数量积与向量垂直的坐标表示
设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).
数量积 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即a·b＝x1x2＋y1y2
两个向量垂直 a⊥b x1x2＋y1y2＝0
注意：1.公式a·b＝|a||b|cos与a·b＝x1x2＋y1y2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导．若题目中给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用公式a·b＝|a||b|cos求解；若已知两向量的坐标，则可选用公式a·b＝x1x2＋y1y2求解．
2．已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b与a⊥b的坐标表示如下：
a∥b x1y2＝x2y1，即x1y2－x2y1＝0；
a⊥b x1x2＝－y1y2，即x1x2＋y1y2＝0．
分别简记为：纵横交错积相等，横横纵纵积相反．
3．平面向量的模与夹角的坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则有下表：
坐标表示
模 |a|2＝x＋y或|a|＝
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝
夹角 cosθ＝＝(a，b为非零向量)
【题型1 用基底表示向量】
【典例1】如图，点B与点C关于点A对称，点D在线段OB上，，DC和OA交于点E.设，，用和表示向量，.

【答案】，
【分析】根据向量数乘运算及平面向量基本定理求解.
【详解】∵点与点关于点对称，
∴是的中点，，
，
，
，
且，
.
综上：， .
【变式1-1】如图，的对角线AC和BD交于点M，，，试用基底，表示，，和．

【答案】，，，
【分析】根据向量的加法、减法法则，以及数乘运算求解．
【详解】由向量加法的平行四边形法则．
因为平行四边形的对角线互相平分，
所以．
从而，
，
．
【变式1-2】如图，已知梯形中，，且，、分别是、的中点，设，，试用，表示，，，．

【答案】，，
【分析】根据题意知，，，并且有，分别求出和;
再由三角形法则对应的首尾相连法则得，结合图形和题意用和表示出来即可．
【详解】因为，且，、分别是、的中点，故CD=AF且CD//AF，
所以四边形AFCD为平行四边形，则，，
所以.
【题型2 平面向量基本定理的应用】
【典例2】已知为的边所在直线上一点，且，点在直线上，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由平面向量基本定理的推论求解．
【详解】，
而三点共线，故，即，
故选：A
【变式2-1】在平行四边形中，如图，，依次是对角线上的两个三等分点，设试用与表示和，则= ，= ．

【答案】
【分析】利用平面向量的基本定理求解.
【详解】，
．
故答案为: ;.
【变式2-2】如图，在中，为上一点，，为上一点，，且，则的值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平面向量基本定理得到，从而得到，求出答案.
【详解】因为，，所以，，
又，所以，
故.
故选：D
【题型3 平面向量的加减运算的坐标表示】
【典例3】已知向量、的坐标，求、的坐标．
(1)，；
(2)，；
(3)，；
(4)，．
【答案】(1)，
(2)，
(3)，
(4)，
【分析】（1）（2）（3）（4）利用平面向量加法与减法的坐标运算可得出向量、的坐标．
【详解】（1）解：因为，，则，
.
（2）解：因为，，则，
.
（3）解：因为，，则，
.
（4）解：因为，，则，
.
【变式3-1】如图，已知的三个顶点为，求顶点D的坐标．

【答案】．
【分析】利用向量的线性运算的坐标表示求解．
【详解】因为，
所以点D的坐标是．
【题型4 平面向量数乘运算的坐标表示】
【典例4】已知，，求，的坐标
【答案】，
【分析】利用平面向量线性运算的坐标表示可求得向量，的坐标.
【详解】解：因为，，则，
.
【变式4-1】已知，，求，，的坐标．
【答案】，，
【分析】根据平面向量的坐标运算求解即可.
【详解】由题意，，
，
.
【变式4-2】解答下列各题：
(1)设向量，，求；
(2)已知两点和，点P满足，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）由向量线性运算的坐标表示求解；
（2）由向量的坐标表示求解.
【详解】（1）．
（2）由已知两点和，可得，
设点P的坐标是，则．
由已知，可得，
∴解得∴点P的坐标是．
【变式4-3】已知向量，，.
(1)求；
(2)求满足的实数，；
【答案】(1)
(2)、
【分析】（1）直接利用向量的坐标运算法则求解即可．
（2）利用平面向量坐标运算和向量相等列出方程组即可求解．
【详解】（1）解：，，，
．
（2）解：因为，
所以，
所以，解得．
即、.
【题型5 向量共线、平行和垂直的坐标表示】
【典例5】已知向量，，点．
(1)求线段BD的中点M的坐标；
(2)若点满足点P，B，D三点共线，求y的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据向量的坐标运算，求得点的坐标，利用中点坐标公式，可得答案；
（2）由点的坐标表示出向量的坐标，利用共线向量的坐标公式建立方程，可得答案.
【详解】（1）设，，，
，
，，
，同理可得，
设BD的中点，
则，，
.
（2），，
三点共线，，
，解得.
【变式5-1】已知向量，，且与共线，求的值.
【答案】
【分析】根据向量的线性坐标运算及向量共线的坐标运算列式求解即可.
【详解】因为向量，，所以，，
又与共线，所以，解得.
【变式5-2】已知.
(1)求的坐标；
(2)为何值时，与共线.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由向量线性运算的坐标表示即可求解.
（2）由向量共线的充要条件即可求解.
【详解】（1）因为，
所以.
（2）因为,
所以,
又与共线,
所以.
【变式5-3】平面给定三个向量，，
(1)若，求的值；
(2)若向量与向量共线，求实数k的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）运用向量加、减、数乘运算即可求得结果.
（2）运用向量共线的坐标公式计算即可.
【详解】（1）由题知，，
所以，
又因为，
所以，解得，
所以.
（2）由题知，，
又因为与共线，
所以，解得：.
【典例6】已知向量，，
(1)分别求，的坐标；
(2)若向量，且与向量平行，求实数k的值
【答案】(1)，；
(2).
【分析】（1）利用向量线性运算的坐标表示求解即得.
（2）求出向量的坐标，再利用向量共线的坐标表示求解即得.
【详解】（1）依题意，，
.
（2）由（1）知，而，
由与向量平行，得，解得：，
所以实数k的值是.
【变式6-1】已知点，，，M是线段的中点.
(1)求点M和的坐标：
(2)若D是x轴上一点，且满足，求点D的坐标.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用中点坐标公式求出点的坐标，并根据求出的坐标；
（2）设出，求出，根据平行得到方程，求出答案.
【详解】（1）是线段的中点，
点的坐标为，
故；
（2）设，则，
因为与平行，所以
解得，
点的坐标是.
【变式6-2】平面内给定三个向量，，.
(1)设，求m，n的值；
(2)若，求实数k的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据向量，，，由，利用向量相等求解；
（2）根据向量，，，得到和的坐标，由求解；
【详解】（1）解：因为向量，，，且，
所以，
所以，解得；
（2）因为向量，，，
所以，，
因为，
所以.
【变式6-3】已知向量，，.
(1)求；
(2)若，求实数的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用平面向量的坐标运算可求得向量的坐标；
（2）求出向量、的坐标，利用平面向量共线的坐标表示可求得实数的值.
【详解】（1）解：因为，，.
所以，.
（2）解：由已知可得，
，
因为，则，解得.
【典例7】已知向量，．
(1)求；
(2)若，求m的值．
【答案】(1)5
(2)
【分析】（1）利用向量数量积的坐标运算即可求得的值；
（2）利用向量垂直的充要条件列出关于m的方程，解之即可求得m的值．
【详解】（1）∵，
∴；
（2）由，可得
即，即，解得．
【变式7-1】已知平面向量
(1)若，求x；
(2)当x为何值时最小，最小值是多少．
【答案】(1)或
(2)当时最小，最小值是
【分析】（1）根据向量数量积的坐标表示可得，解方程即可求得或；
（2）由坐标运算可得，表示出再利用二次函数的最值即可求得结果.
【详解】（1）由可得，
又可得，
所以，解得或；
（2）易知，
所以，
显然当时，，最小，此时，
即当时最小，最小值是.
【变式7-2】已知平面向量
(1)若，求x的值：
(2)若，求
【答案】(1)或
(2)或
【分析】（1）直接利用向量垂直的坐标表示列方程求解；
（2）先通过向量平行的坐标公式求出，再通过向量的坐标运算求模.
【详解】（1），
，
解得或；
（2），
，即解得或，
当时，，，；
当时，，，，
或.
【变式7-3】已知向量.
(1)若，求的值；
(2)若与共线，求与同向的单位向量的坐标.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由垂直的的向量表示即数量积为0求得值；
（2）由共线向量的坐标表示求得，再求得，从而易得结论．
【详解】（1）因为，且，
所以，
所以；.
（2）因为与共线，且，
所以，
，
所以，
，
因为与同向的单位向量为，
所以与同向的单位向量坐标为.
【题型6 向量坐标运算与平面几何的交汇】
【典例8】如图，已知平行四边形ABCD的三个顶点B C D的坐标分别是（-1，3） （3，4） （2，2），
(1)求向量BC；
(2)求顶点A的坐标.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由点B C的坐标即可求解的坐标；
（2）设顶点A的坐标为，由四边形ABCD为平行四边形，有，从而即可求解.
【详解】（1）解：因为点B C的坐标分别是（-1，3） （3，4），
所以；
（2）解：设顶点A的坐标为，
因为四边形ABCD为平行四边形，D的坐标是（2，2），
所以，即，
所以，解得，
所以顶点A的坐标为.
【变式8-1】已知梯形，其中，且，三个顶点，，，求点D的坐标．
【答案】
【解析】在梯形中，，．得到，设点D的坐标为，根据向量相等得到方程组，解得.
【详解】解：∵在梯形中，，，，，．
∴．设点D的坐标为．
则，．
∴，即，
∴解得故点的坐标为．
【点睛】本题考查向量的坐标运算以及向量相等，属于基础题.
【变式8-2】如图，已知的三个顶点A，B，C的坐标分别是，，，求顶点D的坐标．
【答案】
【解析】设顶点D的坐标为，表示出的坐标，根据得到方程组，解得.
【详解】解：设顶点D的坐标为．
，，，
，，
又，
所以．
即解得
所以顶点D的坐标为．
【点睛】本题考查向量的坐标运算，向量相等，属于基础题.
【题型7向量坐标运算与三角函数的交汇】
【典例9】已知向量，，．设．
(1)求函数的最小正周期；
(2)若，且，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用向量的坐标运算求出，然后利用三角公式整理为的形式，就可以求出周期了；
（2）先通过求出，再通过展开计算即可.
【详解】（1）
，
所以的最小正周期为；
（2）由（1）得，由得，
所以，
则
．
【变式9-1】已知，，.
(1)求；
(2)求的模的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接用平面向量数量积的坐标运算，结合两角差的余弦公式求解；
（2）结合公式求解.
【详解】（1）
（2）∵，，∴
∴
∴当时，.
【变式9-2】设平面向量，，.
(1)求的值；
(2)若，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据向量的坐标运算，结合模长公式即可求解，结合三角恒等变换即可求解，
（2）根据二倍角公式即可求解.
【详解】（1）.
∴
∵∴所以.
（2），得：，∴，
∴
【变式9-3】已知平面向量，函数.
(1)求不等式的解集；
(2)求函数在上的单调递增区间.
【答案】(1)
(2)单调递增区间为
【分析】（1）先利用三角恒等变化将函数表达式化简成，从而等价于，
即，解不等式即可.
（2）由题意令，解不等式即可进一步求解.
【详解】（1）由题意，得
，
由，得，即，
所以，
解得，
所以不等式的解集为.
（2）由（1）知，令，
解得，
所以的单调递增区间为，
当时，的单调递增区间为，
所以函数在上的单调递增区间为.
一、单选题
1．在梯形中，设，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由向量基本定理进行求解.
【详解】.
故选：A
2．已知向量，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用向量加法的坐标表示，求出的坐标
【详解】.
故选：B.
3．已知向量，则（ ）
A．10 B．5 C． D．
【答案】C
【分析】先根据向量加法的坐标运算得，再代入模的坐标公式求解即可.
【详解】因为，所以，所以.
故选：C
4．已知平面向量，，若，则实数的值为（ ）
A．或 B． C．或 D．
【答案】B
【分析】根据向量数量积的公式可得与同向共线，进而可得解.
【详解】由可知与同向共线,
令，解得或，
当时，，，符合题意；
当时，，，不符合题意．
所以，
故选：B.
5．已知向量，则（ ）
A．10 B．18 C． D．
【答案】A
【分析】根据平面向量的坐标运算法则进行运算即可.
【详解】因为向量，
所以，
故选:A.
6．已知向量，，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】对两边平方化简可得答案.
【详解】，，
，
解得，
又，，即与的夹角为.
故选：D.
7．已知，若，则（ ）
A．4 B． C． D．-4
【答案】D
【分析】根据向量垂直结合数量积的运算律，利用模的坐标表示以及数量积的坐标表示，即可求得答案.
【详解】由题意得，
即，
，
故选：D.
8．设，向量，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据条件，利用向量垂直的坐标运算，得出，从而可得出，再利用向量数量积公式即可求出结果.
【详解】因为，，又，所以，得到，
所以，得到，
所以，
故选：B.
二、填空题
9．已知向量，则 ．
【答案】
【分析】根据向量的坐标运算求得结果.
【详解】，，
.
故答案为：.
10．已知向量，，则 .
【答案】
【分析】根据向量的坐标运算即可求解.
【详解】因为，，所以，
故.
故答案为：
11．已知向量，满足，，则 ．
【答案】32
【分析】利用向量的坐标进行运算，求数量积.
【详解】因为，所以，又因为，
则.
故答案为：32.
12．已知向量，若，则的值为 ．
【答案】
【分析】根据题目条件可得，代入化简即可.
【详解】已知向量，，若，则有，
∴.
故答案为：.
13．若向量，，且，则实数x的值为 ．
【答案】/
【分析】由平行向量的坐标表示求解即可.
【详解】因为向量，，且，
所以，解得：.
故答案为：.
三、解答题
14．已知,,,求，，，.
【答案】；；；
【分析】根据平面向量的坐标运算求解即可.
【详解】因为,，
所以，且，
所以，
，
因为，所以，
则.
15．已知，，，分别求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】根据平面向量的坐标运算求解即可.
【详解】（1）原式
（2）原式
（3），∴.
16．已知向量，的坐标，求．
(1)，；
(2)，．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）由数量积的坐标表示计算；
（2）由数量积的坐标表示计算．
【详解】（1）由已知；
（2）由已知．
17．如图所示，M是内一点，且满足，BM的延长线与AC的交点为N.

(1)设，，请用，表示；
(2)设，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用基底表示向量即可；
（2）利用向量的的分解和共线向量的线性关系表示即可.
【详解】（1）∵，则，
解得，即.
（2）过M作交AB于P，过M作交于Q，则，
因为，则，
又因为相似于，所以,
所以，即.

18．已知向量，，，且，
(1)求x的值；
(2)若，求实数的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意可得，结合向量平行的坐标表示运算求解；
（2）根据题意可得，结合向量垂直的坐标表示运算求解.
【详解】（1）由题意可得：，
因为，则，解得.
（2）由题意可得：，
因为，则，解得.
19．在中，已知在线段上，且，设．
(1)用向量表示；
(2)若，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据向量基本定理求出答案；
（2）先求出，结合（1）中所求的，利用向量数量积公式求出的值.
【详解】（1）因为，所以，
由题得；
（2）由已知得，
．
20．已知向量与向量共线，且，，
(1)求向量的坐标；
(2)求实数的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，由数量积的坐标表示求得后得结论；
（2）由向量垂直的坐标表示计算可得．
【详解】（1）共线， 可设，
，解得：， ，
（2）∵，∴，
即，解得：
21．已知，，设．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)若，且，求的值．
【答案】(1)，（）
(2)
【分析】（1）利用向量数量积的坐标表示将表达出来，结合降幂公式、辅助角公式化简，再结合整体思想即可求出的单调递增区间，
（2）由、，求出的正余弦值，再利用两角和的余弦公式即可求解.
【详解】（1），
由，（），得，（）
所以函数的单调递增区间为，（）
（2）由题设得，又，
则，
∴，
所以.第04讲 平面向量基本定理及坐标表示
考点1：平面向量基本定理
定理 条件 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量
结论 对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2
基底 把不共线的向量e1，e2叫做表这一平面内所有向量的一组基底
考点2：平面向量的正交分解被坐标的表示
1．平面向量的正交分解
把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量，叫做平面向量的正交分解．
2．平面向量的坐标表示
(1)基底：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底．
(2)坐标：对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x、y，使得a＝xi＋yj，我们把有序实数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做向量a在x轴上的坐标，y叫做向量a在y轴上的坐标．
(3)坐标表示：a＝(x，y)就叫做向量的坐标表示．
(4)特殊向量的坐标：i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．
3．向量与坐标的关系
设＝xi＋yi，则向量的坐标(x，y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标就是向量的坐标(x，y)．因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示．即以原点为起点的向量与实数对是一一对应的．
考点3：平面向量的坐标运算
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则有下表：
文字描述 符号表示
加法 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)
减法 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差 a－b＝(x1－x2，y1－y2)
数乘 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 λa＝(λx1，λy1)
向量坐标公式 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)
考点4：平面向量的垂直与平行
1．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，当且仅当x1y2＝x2y1时，a∥b．
两个向量共线条件的三种表示方法
已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
(1)当b≠0时，a＝λb．
这是几何运算，体现了向量a与b的长度及方向之间的关系．
(2)x1y2－x2y1＝0．
这是代数运算，用它解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少未知数的个数，而且使问题的解决具有代数化的特点和，程序化的特征．
(3)当x2y2≠0时，＝．
即两向量的相应坐标成比例，通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误．
2．平面向量的数量积与向量垂直的坐标表示
设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).
数量积 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即a·b＝x1x2＋y1y2
两个向量垂直 a⊥b x1x2＋y1y2＝0
注意：1.公式a·b＝|a||b|cos与a·b＝x1x2＋y1y2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导．若题目中给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用公式a·b＝|a||b|cos求解；若已知两向量的坐标，则可选用公式a·b＝x1x2＋y1y2求解．
2．已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b与a⊥b的坐标表示如下：
a∥b x1y2＝x2y1，即x1y2－x2y1＝0；
a⊥b x1x2＝－y1y2，即x1x2＋y1y2＝0．
分别简记为：纵横交错积相等，横横纵纵积相反．
3．平面向量的模与夹角的坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则有下表：
坐标表示
模 |a|2＝x＋y或|a|＝
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝
夹角 cosθ＝＝(a，b为非零向量)
【题型1 用基底表示向量】
【典例1】如图，点B与点C关于点A对称，点D在线段OB上，，DC和OA交于点E.设，，用和表示向量，.

【变式1-1】如图，的对角线AC和BD交于点M，，，试用基底，表示，，和．

【变式1-2】如图，已知梯形中，，且，、分别是、的中点，设，，试用，表示，，，．

【题型2 平面向量基本定理的应用】
【典例2】已知为的边所在直线上一点，且，点在直线上，且，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】在平行四边形中，如图，，依次是对角线上的两个三等分点，设试用与表示和，则= ，= ．

【变式2-2】如图，在中，为上一点，，为上一点，，且，则的值为（ ）

A． B． C． D．
【题型3 平面向量的加减运算的坐标表示】
【典例3】已知向量、的坐标，求、的坐标．
(1)，； (2)，；
(3)，； (4)，
【变式3-1】如图，已知的三个顶点为，求顶点D的坐标．

【题型4 平面向量数乘运算的坐标表示】
【典例4】已知，，求，的坐标
【变式4-1】已知，，求，，的坐标．
【变式4-2】解答下列各题：
(1)设向量，，求；
(2)已知两点和，点P满足，求点P的坐标．
【变式4-3】已知向量，，.
(1)求；
(2)求满足的实数，；
【题型5 向量共线、平行和垂直的坐标表示】
【典例5】已知向量，，点．
(1)求线段BD的中点M的坐标；
(2)若点满足点P，B，D三点共线，求y的值．
【变式5-1】已知向量，，且与共线，求的值.
【变式5-2】已知.
(1)求的坐标；
(2)为何值时，与共线.
【变式5-3】平面给定三个向量，，
(1)若，求的值；
(2)若向量与向量共线，求实数k的值.
【典例6】已知向量，，
(1)分别求，的坐标；
(2)若向量，且与向量平行，求实数k的值
【变式6-1】已知点，，，M是线段的中点.
(1)求点M和的坐标：
(2)若D是x轴上一点，且满足，求点D的坐标.
【变式6-2】平面内给定三个向量，，.
(1)设，求m，n的值；
(2)若，求实数k的值.
【变式6-3】已知向量，，.
(1)求；
(2)若，求实数的值.
【典例7】已知向量，．
(1)求；
(2)若，求m的值．
【变式7-1】已知平面向量
(1)若，求x；
(2)当x为何值时最小，最小值是多少．
【变式7-2】已知平面向量
(1)若，求x的值：
(2)若，求
【变式7-3】已知向量.
(1)若，求的值；
(2)若与共线，求与同向的单位向量的坐标.
【题型6 向量坐标运算与平面几何的交汇】
【典例8】如图，已知平行四边形ABCD的三个顶点B C D的坐标分别是（-1，3） （3，4） （2，2），
(1)求向量BC；
(2)求顶点A的坐标.
【变式8-1】已知梯形，其中，且，三个顶点，，，求点D的坐标．
【变式8-2】如图，已知的三个顶点A，B，C的坐标分别是，，，求顶点D的坐标．
【题型7向量坐标运算与三角函数的交汇】
【典例9】已知向量，，．设．
(1)求函数的最小正周期；
(2)若，且，求的值．
【变式9-1】已知，，.
(1)求；
(2)求的模的最小值.
【变式9-2】设平面向量，，.
(1)求的值；
(2)若，求的值.
【变式9-3】已知平面向量，函数.
(1)求不等式的解集；
(2)求函数在上的单调递增区间.
一、单选题
1．在梯形中，设，，若，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量，，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量，则（ ）
A．10 B．5 C． D．
4．已知平面向量，，若，则实数的值为（ ）
A．或 B． C．或 D．
5．已知向量，则（ ）
A．10 B．18 C． D．
6．已知向量，，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
7．已知，若，则（ ）
A．4 B． C． D．-4
8．设，向量，，且，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．已知向量，则 ．
10．已知向量，，则 .
11．已知向量，满足，，则 ．
12．已知向量，若，则的值为 ．
13．若向量，，且，则实数x的值为 ．
三、解答题
14．已知,,,求，，，.
15．已知，，，分别求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)．
16．已知向量，的坐标，求．
(1)，；
(2)，．
17．如图所示，M是内一点，且满足，BM的延长线与AC的交点为N.

(1)设，，请用，表示；
(2)设，求的值.
18．已知向量，，，且，
(1)求x的值；
(2)若，求实数的值.
19．在中，已知在线段上，且，设．
(1)用向量表示；
(2)若，求．
20．已知向量与向量共线，且，，
(1)求向量的坐标；
(2)求实数的值.
21．已知，，设．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)若，且，求的值．

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