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第2讲 一元二次函数、方程和不等式
1.两个实数a，b，其大小关系有三种可能，即a>b，a＝b，a依据 a>b ①
a＝b ②
a结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的④ 与 的大小
2.等式的基本性质
性质1　如果a＝b，那么⑥ ；
性质2　如果a＝b，b＝c，那么⑦ ；
性质3　如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性质4　如果a＝b，那么ac＝bc；
性质5　如果a＝b，c≠0，那么＝.
3.不等式的性质
性质 别名 性质内容 注意
1 对称性 a>b b⑧ a
2 传递性 a>b，b>c a>c 不可逆
3 可加性 a>b a＋c⑨ b＋c 可逆
4 可乘性 a>b，c>0 ⑩ a>b，c<0 c的符号
5 同向可加性 a>b，c>d 同向
6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0 同向
7 可乘方性 a>b>0 an bn(n∈N，n≥2) 同正
4.基本不等式
如果a>0，b>0， ，当且仅当 时，等号成立.其中，叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数.
变形：ab≤()2，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立.a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立.
5.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集
用不等式(组)表示不等关系
【例1】一辆汽车原来每天行驶x km，如果该辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么在8天内它的行程就超过2200 km，写出不等式为____________________.
【变式题】用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，要求菜园的面积不小于96 m2，靠墙的一边长为x m.试用不等式(组)表示其中的不等关系.
不等式的性质
【例2】 对于任意实数a，b，c，d，下列四个命题中：
①若a>b，c≠0，则ac>bc；②若a>b，则ac2>bc2；③若ac2>bc2，则a>b；④若a>b>0，c>d，则ac>bD.其中真命题的个数是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
【变式题】(1)已知a>b，c∈R，则下列不等式恒成立的是(　　)
A.a＋c>b＋c B.ac>bc C.a－c(2)已知a＞b，c＞d，则下列不等式恒成立的是 (　　)
A.a＋c＞b＋d B.a＋d>b＋c
C.a－c>b－d D.a－b>c－d
基本不等式及其应用
【例3】(1)(2021·湖南省学考)当x>0时，x＋的最小值是(　　)
A.1 B. C.2 D.4
(2)已知正实数x，y满足x＋4y＝1，求＋的最小值.
【变式题】(1)函数y＝x＋(x>1)的最小值是(　　)
A.4 B.5 C.6 D.7
(2)用12 cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形，则这个矩形的面积是(　　)
A.3 cm2 B.6 cm2 C.9 cm2 D.12 cm2
一元二次不等式的解法
【例4】解下列不等式：
(1)x2－5x－6>0；
(2)(2－x)(x＋3)<0.
【变式题】 (1)(2020·广东学考模拟)不等式x2－7x<0的解集是(　　)
A.{x|x<－7或x>0} B.{x|x<0或x>7} C.{x|－7(2)若关于x的不等式(x－m)(x－n)≤0的解集为{x|2≤x≤4}，则m＋n＝__________.
二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用
【例5】已知不等式ax2＋bx＋2<0的解集是(－2，－1)，则a＋b的值为(　　)
A.4 B.2 C.－1 D.－2
【变式题】已知不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为{x|－1＜x＜2}，则不等式2x2＋bx＋a＜0的解集为(　　)
A.{x|－1}
C.{x|－2＜x＜1} D.{x|x＜－2或x＞1}
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数学
第2讲 一元二次函数、方程和不等式
必修第一册
核心知识 评价要求
了解 理解 掌握
等式性质与不等式性质 √
基本不等式 √
二次函数与一元二次方程、不等式 √
a－b>0
a－b＝0
a－b<0
差
0
b＝a
a＝c
<
>
ac>bc
aca＋c>b＋d
ac>bd
>
≤
a＝b
{x|xx2}
{x|x1

探究点一：用不等式(组)表示不等关系
探究点二：不等式的性质
探究点三：基本不等式及其应用
探究点四：一元二次不等式的解法
探究点五：二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用
探究点一： 用不等式(组)表示不等关系
【变式题】
探究点二：不等式的性质
【变式题】
【变式题】
探究点三：集合间的基本运算
【变式题】
【变式题】
探究点四：一元二次不等式的解法
【变式题】
【变式题】
探究点五：二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用
【变式题】
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第2讲 一元二次函数、方程和不等式
1.两个实数a，b，其大小关系有三种可能，即a>b，a＝b，a依据 a>b ①
a＝b ②
a结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的④ 与 的大小
2.等式的基本性质
性质1　如果a＝b，那么⑥ ；
性质2　如果a＝b，b＝c，那么⑦ ；
性质3　如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性质4　如果a＝b，那么ac＝bc；
性质5　如果a＝b，c≠0，那么＝.
3.不等式的性质
性质 别名 性质内容 注意
1 对称性 a>b b⑧ a
2 传递性 a>b，b>c a>c 不可逆
3 可加性 a>b a＋c⑨ b＋c 可逆
4 可乘性 a>b，c>0 ⑩ a>b，c<0 c的符号
5 同向可加性 a>b，c>d 同向
6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0 同向
7 可乘方性 a>b>0 an bn(n∈N，n≥2) 同正
4.基本不等式
如果a>0，b>0， ，当且仅当 时，等号成立.其中，叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数.
变形：ab≤()2，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立.a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立.
5.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集
参考答案：①a－b>0；②a－b＝0；③a－b<0；④差；⑤0；⑥b＝a；⑦a＝c；⑧<；⑨>；⑩ac>bc； acb＋d； ac>bd； >； ≤； a＝b； {x|xx2}； {x|x1用不等式(组)表示不等关系
【例1】一辆汽车原来每天行驶x km，如果该辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么在8天内它的行程就超过2200 km，写出不等式为____________________.
解析：由题意知，汽车原来每天行驶x km，8天内它的行程超过2200 km，则8(x＋19)>2200.
答案： 8(x＋19)>2200
【变式题】用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，要求菜园的面积不小于96 m2，靠墙的一边长为x m.试用不等式(组)表示其中的不等关系.
解析：由于矩形菜园靠墙的一边长为x m，而墙长为18 m，所以0这时菜园的另一条边长为＝15－.
因此菜园面积S＝x·(15－)，依题意有S≥96，即x(15－)≥96，
故该题中的不等关系可用不等式组表示为
不等式的性质
【例2】 对于任意实数a，b，c，d，下列四个命题中：
①若a>b，c≠0，则ac>bc；②若a>b，则ac2>bc2；③若ac2>bc2，则a>b；④若a>b>0，c>d，则ac>bD.其中真命题的个数是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
解析：若a>b，c<0时，acd>0时，ac>bd，④错误.故选A.
答案： A
【变式题】(1)已知a>b，c∈R，则下列不等式恒成立的是(　　)
A.a＋c>b＋c B.ac>bc C.a－c(2)已知a＞b，c＞d，则下列不等式恒成立的是 (　　)
A.a＋c＞b＋d B.a＋d>b＋c
C.a－c>b－d D.a－b>c－d
解析：(1)在A中，若a>b，则a＋c>b＋c，A正确；在B中，若a>b，c<0，则acb，则a－c>b－c，C不正确；在D中，取a＝1，b＝－2，满足a>b，但a2(2)在A中，若a>b，c＞d，则a＋c>b＋c>b＋d，A正确；
在B中，若a＝1，b＝0，c＝2，d＝0，则a＋d在C中，若a＝1，b＝0，c＝2，d＝0，则a－c在D中，若a＝1，b＝0，c＝2，d＝0，则a－b答案：(1)A　(2)A
基本不等式及其应用
【例3】(1)(2021·湖南省学考)当x>0时，x＋的最小值是(　　)
A.1 B. C.2 D.4
(2)已知正实数x，y满足x＋4y＝1，求＋的最小值.
解析： (1)由基本不等式可得x＋≥2＝2，当且仅当x＝1时取等号，所以x＋的最小值为2.
(2)因为x>0，y>0，x＋4y＝1，所以＋＝(＋)(x＋4y)＝5＋＋≥5＋2＝5＋4＝9，当且仅当x＝，y＝时取等号.所以＋的最小值为9.
答案：(1)C
【变式题】(1)函数y＝x＋(x>1)的最小值是(　　)
A.4 B.5 C.6 D.7
(2)用12 cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形，则这个矩形的面积是(　　)
A.3 cm2 B.6 cm2 C.9 cm2 D.12 cm2
解析：(1)y＝x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝5，当且仅当x＝3时，函数取得最小值，最小值为5.
(2)设矩形的长、宽分别为x cm，y cm，则有2(x＋y)＝12，即x＋y＝6，
因为矩形的面积S＝xy，所以S＝xy≤＝9 cm2，当且仅当x＝y＝3时等号成立.
答案：(1)B　(2)C
一元二次不等式的解法
【例4】解下列不等式：
(1)x2－5x－6>0；
(2)(2－x)(x＋3)<0.
解析：(1)方程x2－5x－6＝0的两根为x1＝－1，x2＝6.
结合二次函数y＝x2－5x－6的图象知，原不等式的解集为{x|x<－1或x>6}.
(2)原不等式可化为(x－2)(x＋3)>0.
方程(x－2)(x＋3)＝0的两根为x1＝2，x2＝－3.
结合二次函数y＝(x－2)(x＋3)的图象知，原不等式的解集为{x|x<－3或x>2}.
【变式题】 (1)(2020·广东学考模拟)不等式x2－7x<0的解集是(　　)
A.{x|x<－7或x>0} B.{x|x<0或x>7} C.{x|－7(2)若关于x的不等式(x－m)(x－n)≤0的解集为{x|2≤x≤4}，则m＋n＝__________.
解析：(1)不等式x2－7x<0可化为x(x－7)<0，解得0所以不等式的解集是{x|0(2)由题可得 m，n的值为2和4，因此m＋n＝6.
答案：(1)D　(2)6
二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用
【例5】已知不等式ax2＋bx＋2<0的解集是(－2，－1)，则a＋b的值为(　　)
A.4 B.2 C.－1 D.－2
解析：由已知得－＝－2＋(－1)，＝－2×(－1)，解得a＝1，b＝3，故a＋b＝4.
答案：A
【变式题】已知不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为{x|－1＜x＜2}，则不等式2x2＋bx＋a＜0的解集为(　　)
A.{x|－1}
C.{x|－2＜x＜1} D.{x|x＜－2或x＞1}
解析：由题意知x＝－1，x＝2是方程ax2＋bx＋2＝0的根.
由根与系数的关系得
所以不等式2x2＋bx＋a＜0可化为2x2＋x－1＜0.
解得－1＜x＜.
答案：A
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