资源简介

微考点2-4 导数与三角函数结合问题的研究
有关导数与三角函数交汇的试题在高考与模拟试题中频频出现.在函数与导数试题中加入三角函数，由于三角函数具有周期性，无法通过多次求导使三角函数消失，使得后续问题的处理比较困难，从而造成学生思维上的难度.我们可从以下几个角度来突破此类问题的难点.
1.分段讨论
①以为端点分区间讨论; ②以三角函数的最值点为端点分段讨论.
2.巧用放缩，消去三角函数
①正弦函数:当时，. ②余弦函数:.
③正切函数:当时，. ④数值域:.
3.分离函数:将含有三角函数的式子放到一起.
4.分离参数:转化为函数值域问题.
5.半分离参数:将不等式等价转化，化为左右两边函数是一直线与一曲线，考虑端点处的切线斜率.
【精选例题】
【例1】
1．已知函数，，是的导数.
(1)讨论的单调性，并证明：；
(2)若函数在区间内有唯一的零点，求a的取值范围.
【例2】
2．已知函数，其中为实数，是自然对数的底数.
(1)若，证明：；
(2)若在上有唯一的极值点，求实数a的取值范围.
【例3】
3．已知函数，.
(1)求证：；
(2)若，问是否恒成立 若恒成立，求a的取值范围；若不恒成立，请说明理由
【例4】
4．已知函数．
(1)讨论在上的单调性；
(2)当时，恒成立，求a的取值范围．
【例5】
5．已知函数，其中.
(1)若在上恒成立，求的取值范围；
(2)证明：，有.
【例6】
6．已知函数.
(1)若，判断在上的单调性；
(2)设函数，若关于的方程有唯一的实根，求a的取值范围.
【例7】
7．已知函数，．
(1)求证：当，；
(2)若，恒成立，求实数的取值范围．
【例8】
8．已知函数．
(1)若，求证：；
(2)当时，对任意，都有，求整数的最大值．
【例9】
9．已知函数．
(1)若有两个极值点，求的取值范围；
(2)若，，求的取值范围．
【例10】
10．已知函数为其极小值点．
(1)求实数的值；
(2)若存在，使得，求证：．
【例11】（2023全国新高考2卷）
11．（1）证明：当时，；
（2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围．
【跟踪训练】
12．已知函数，e是自然对数的底数，若恰为的极值点.
(1)求实数a的值；
(2)求在区间上零点的个数.
13．已知函数．
(1)判断函数在区间上零点和极值点的个数，并给出证明；
(2)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
14．已知函数，且恒成立.
(1)求的值；
(2)证明：.
（注：其中为自然对数的底数）
15．已知函数，.
(1)设，求函数的极大值点；
(2)若对，不等式恒成立，求m的取值范围.
16．已知函数．
(1)当时，
（I）求处的切线方程；
（II）判断的单调性，并给出证明；
(2)若恒成立，求的取值范围．
17．已知.
(1)当时，求在内的单调区间；
(2)若对任意的时，恒成立，求实数的取值范围.
18．已知函数，其中为自然对数的底数．
(1)当时，证明：;
(2)当时，求函数零点个数．
19．已知函数.
(1)若，求的极值；
(2)若，，求的取值范围.
20．已知函数．
(1)证明：函数有唯一的极值点，及唯一的零点；
(2)对于（1）问中，，比较与的大小，并证明你的结论．
21．已知函数．
(1)若在上单调递增，求a的取值范围；
(2)若函数在上存在零点，求a的取值范围．
22．已知函数.
(1)求函数在区间上的最小值；
(2)判断函数的零点个数，并证明.
23．已知函数.
(1)当时，证明：.
(2)讨论的单调性.
24．（1）证明：当时，；
（2）是否存在正数，使得在上单调递增，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求出导函数，根据，分类讨论即可，构造函数，利用导数法求解最值即可证明；
（2）把问题转化为方程在区间内有唯一解，构造函数，利用导数研究单调性，数形结合即可求解.
【详解】（1）因为，所以，
当时，，则在上单调递增，
当时，令得，令得，
所以函数的增区间为，减区间为，
令，则，令得，
令得，所以函数的增区间为，减区间为，
所以当时，取得最小值为，
所以，得证；
（2）由（1）知，，
因为函数在区间内有唯一的零点，所以方程在区间内有唯一解，
令，则函数与在上只有一个交点，
记，则，所以在上单调递增，
所以，即，
故，
所以在上单调递增，又，
如图：

要使方程在区间内有唯一解，则.
所以a的取值范围是.
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：
一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；
二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理.
2．（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）构造函数，利用导数知，又，所以，即.
（2）由已知得在上有唯一的变号零点，利用参数分离法得，构造函数，，利用导数求得的最小值，又，，知方程在上有唯一的变号零点，即可求解.
【详解】（1）证明：当时，，
令，求导，令，得
当时，，在上为减函数，当时，，在上为增函数，
所以当时，函数取得极小值也是最小值为，即
而，所以，即.
（2）在上有唯一的极值点，等价于在上有唯一的变号零点，
令
设，，求导，
，，令，得
当时，，，，在上为减函数；
当时，，，，在上为增函数，
所以当时，函数取得极小值也是最小值为，
又，，
所以当时，方程在上有唯一的变号零点，，
所以a的取值范围是.
【点睛】方法点睛：本题考查利用导数求函数的单调区间与极值，求函数极值的步骤
（1）确定函数的定义域；
（2）求导数；
（3）解方程，求出函数定义域内的所有根；
（4）列表检验在的根左右两侧值的符号，如果左正右负，那么在处取极大值，如果左负右正，那么在处取极小值．
3．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）直接作差令，求导判定差函数单调性及最小值即可得出结论；
（2）令，利用端点效应即得出时恒成立，再证明充分性即可.
【详解】（1）令，，
当，，所以此时单调递减；
当，，所以此时单调递增；
即当时，取得极小值也是最小值，所以，得证；
（2）设，
即证在上恒成立，
易得，
当时，若，
下面证明：当时，，在上恒成立，
因为，设，
令，
所以在上是单调递增函，所以，
又因为，则
所以在上是单调递增函数，
所以，所以在上是严格增函数，
若时，，即在右侧附近单调递减，此时必存在，
不满足恒成立，
故当时，不等式恒成立.
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
4．(1)在上的单调递增
(2)
【分析】（1）求导得，分，分别确定导数的符号，从而得函数单调性；
（2）方法一：转化不等式，构造函数令，，求导，对函数进行单调性讨论，即可求得函数最值，从而得a的取值范围；方法二：令，，，将不等式转化为函数凸凹性应用，求导结合图象分析即可求得a的取值范围.
【详解】（1）
当时，，，
当时，，，
即：在上恒成立
所以在上的单调递增.
（2）方法一：
由得：
当时，恒成立，符合题意
令，
由（1）得：在上的单调递增，
①当时，
所以在上的单调递增
所以，符合题意
②当时，，
∴存在，使得
当时，；
所以在上的单调递减，
当时，，这不符合题意
综上，a的取值范围是.
方法二：
令，，
则，符合题意
，
由（1）得：在上恒成立，在上单调递增
所以，
所以在上单调递增，其图象是下凸的，如图：

所以，曲线在点处的切线方程为：
要使得在上恒成立
只需
所以，a的取值范围是.
【点睛】方法点睛：已知函数不等式恒成立求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）构造差函数：设差函数，求导转化为函数最值问题，从而确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
5．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）令，，求出函数的导函数，分、两种情况讨论，结合函数的单调性，即可得解；
（2）由（1）知，当时，，，再证明，则问题转化为证明，令，，利用导数说明函数的单调性，即可证明.
【详解】（1）令，，则，
当时，，单调递增，所以，
当时，令，则，
所以对，，则在上单调递增，
又因为，，
所以由零点存在定理可知，使得，
所以当时，，单调递减，，与题意矛盾，
综上所述，.
（2）由（1）知，当时，，.
先证，，
令，则，
所以单调递增，，即.
所以当时，，.
要证，有，只需证.
令，，则.
所以在上单调递减，所以，即.
综上可得，有.
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
6．(1)函数在上单调递增.
(2)或
【分析】（1）通过构造函数，求导判断函数单调性；
（2）将方程根的个数转化为函数图象的交点个数，分离参数后，构造函数，用导数判断函数的单调性，描出函数草图，可解.
【详解】（1）当时，
令则.
当时，（时等号成立）； （时等号成立），
所以，即函数在上递增，
所以，即函数在上单调递增.
（2）方程即有唯一的实根，
则只有一个解，等价于直线与函数的图象只有一个交点.
令，则，
因为，所以的符号由分子决定，
令，则.
所以在上递减，
因为，所以当时，；当时，.
即当时，；当时，.
所以函数在上递增，在上递减，
当趋于时，趋于0且大于0，分子趋于，则趋于；
当时，；
当趋于时，趋于，分子也趋于，
令，则，
当时，，
则趋于时，增长速率大于的增长速率，
故趋于时，趋于0.
画出函数的草图，并画出直线，

要使直线与函数的图象只有一个交点.
则或.
所以当或时，方程有唯一的实根.
【点睛】第二问，在判断完函数单调性后，要分析函数具体的图象特征，可结合函数增长差异来判断函数值的变化趋势.
7．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题意，构造函数，，求导，根据其单调性即可证明；
（2）根据题意，构造函数，将不等式转化为求函数的最小值，然后利用导数研究讨论，即可得到结果.
【详解】（1）证明：设，，则，
所以在区间上单调递增，
所以，即.
（2）由在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
设，则在区间上恒成立，
而，令，则，
设，则，当时，，
所以函数在区间上单调递增，故在区间上，，
即在区间上，，
由（1）知：在区间上，，
即，所以在区间上函数单调递增，
当时，，故在区间上函数，
所以函数在区间上单调递增，
又，故，即函数在区间上恒成立.
当时，，
，
故在区间上函数存在零点，即，
又在区间上函数单调递增，
故在区间上函数，所以在区间上函数单调递减，
由，所以在区间上，与题设矛盾.
综上，的取值范围为.
【点睛】关键点睛：本题主要考查了利用导数证明不等式问题以及利用导数研究不等式恒成立问题，难度较大，解答本题的关键在于得到不等关系，在区间上，，然后通过函数的单调性，即可得到结果.
8．(1)证明见解析
(2)3
【分析】（1）将恒成立问题转化为最值问题，利用导数判断函数单调性进而即得；
（2）选特值，时，举反例验证结论不成立，从而得出，赋值，通过参数放缩与导数，来证明结论成立，即找到了整数的最大值.
【详解】（1）时，设，则，，
即在上恒成立，
在上单调增， 又，
即；
（2）时，当时，，所以．
下证符合．
时，当时，，所以当时，．
记，则只需证对恒成立．
，令，则在递减，
又，所以存在，使得，
则在递增，在递减；
又，所以存在使得，且，
所以在递增，在递减，又，所以对恒成立，
因为，所以符合．
综上，整数的最大值为3．
【点睛】当出现两个参数时，尽可能通过讨论或参数放缩来减少参数的个数，降低解题难度.
9．(1)
(2)．
【分析】（1）先将有两个极值点转化为有两个不同实根，分离参数得，根据
函数的性质，可得的取值范围；
（2）先将问题转化为在恒成立，再转化为函数的最小值大于或等于0，进而求的取值范围.
【详解】（1）由，得，
因为有两个极值点，则，即方程有两个不等实数根，
令，则，
知时，，单调递减，
时，，单调递增，
则时，取得极小值，也即为最小值，
且时，，时，，
时，，时，，
故，即时，
方程有两个实数根，不妨设为，．
可知时，，时，，时，，
即，分别为的极大值和极小值点．
所以有两个极值点时，的取值范围是．
（2）令，原不等式即为，
可得，，，
令，则，
又设，则，
时，，可知在单调递增，
若，有，，则；
若，有，则，
所以，，，则即单调递增，
①当即时，，则单调递增，
所以，恒成立，则符合题意．
②当即时，
，，
存在，使得，
当时，，则单调递减，所以，与题意不符，
综上所述，a的取值范围是．
【点睛】方法点睛：
若恒成立，则；
若恒成立，则.
10．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据求出，再根据极小值点的定义加以验证即可；
（2）分类讨论和，转化为证明当，时，，继续转化为证明当时，，构造函数，利用导数判断单调性可证不等式成立.
【详解】（1）的定义域为，
，依题意得，得，
此时，
当时，，，，故，在内单调递减，
当时，，，，故，在内单调递增，
故在处取得极小值，符合题意.
综上所述：.
（2）由（1）知，，
不妨设，
当时，不等式显然成立；
当，时，不等式显然成立；
当，时，由（1）知在内单调递减，因为存在，使得，所以，
要证，只要证，
因为，所以，又在内单调递减，
所以只要证，又，所以只要证，
设，
则
，
令，则，
因为，所以，在上为减函数，所以，
即，
所以在上为减函数，
所以，即.
综上所述：.
【点睛】方法点睛：对于含双变量的不等式的证明一般采用以下两种方法：
①比值代换：设，将不等式化为关于的不等式，再构造函数，利用导数证明即可；
②构造函数，其中为极值点，利用导数判断单调性，根据单调性证明即可.
11．（1）证明见详解（2）
【分析】（1）分别构建，，求导，利用导数判断原函数的单调性，进而可得结果；
（2）根据题意结合偶函数的性质可知只需要研究在上的单调性，求导，分类讨论和，结合（1）中的结论放缩，根据极大值的定义分析求解.
【详解】（1）构建，则对恒成立，
则在上单调递增，可得，
所以；
构建，
则，
构建，则对恒成立，
则在上单调递增，可得，
即对恒成立，
则在上单调递增，可得，
所以；
综上所述：.
（2）令，解得，即函数的定义域为，
若，则，
因为在定义域内单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
则在上单调递减，在上单调递增，
故是的极小值点，不合题意，所以.
当时，令
因为，
且，
所以函数在定义域内为偶函数，
由题意可得：，
（i）当时，取，，则，
由（1）可得，
且，
所以，
即当时，，则在上单调递增，
结合偶函数的对称性可知：在上单调递减，
所以是的极小值点，不合题意；
（ⅱ）当时，取，则，
由（1）可得，
构建，
则，
且，则对恒成立，
可知在上单调递增，且，
所以在内存在唯一的零点，
当时，则，且，
则，
即当时，，则在上单调递减，
结合偶函数的对称性可知：在上单调递增，
所以是的极大值点，符合题意；
综上所述：，即，解得或，
故a的取值范围为.
【点睛】关键点睛：
1.当时，利用，换元放缩；
2.当时，利用，换元放缩.
12．(1)
(2)1
【分析】（1）求出函数的导数，令起等于0，即可求得a的值，结合极值点定义进行验证即可；
（2）对于分段讨论，判断的单调性，结合函数值情况，即可判断其零点个数.
【详解】（1）由题意得，
因为为的极值点，故，
此时，则时，，故，
则在上单调递增；
由，
令，
当时，，则，
则在上单调递减，故，即，
故在上单调递减，
则为的极大值点，符合题意，
故.
（2）由（1）知，，
时，，在上单调递增，则，
故在上不存在零点；
当时，，故在上单调递减，则，
故在上不存在零点；
当时，，即为的零点，
综合上述，在区间上零点的个数为1.
【点睛】方法点睛：（1）根据极值点求参数时，利用导数等于0求得参数值之后，要注意验证；（2）判断函数零点个数，要注意对区间分段讨论，结合函数的单调性进行判断.
13．(1)函数在区间上只有一个极值点和一个零点，证明见解析
(2)实数的取值范围是
【分析】（1）首先求函数的导数，并利用二阶导数判断导数的单调性，并结合零点存在性定理证明极值点个数，并结合函数单调性，以及端点值判断函数零点个数；
（2）首先由不等式构造函数，，并求函数的导数，根据，以及，分，，三种情况讨论不等式恒成立的条件.
【详解】（1）函数在区间上只有一个极值点和一个零点，
证明如下，，设，
，
当时，，所以单调递减，又，，
所以存在唯一的，使得，
所以当时，，当时，，
所以在单调递增，在单调递减，
所以是的一个极大值点，
因为，，，
所以在无零点，在上有唯一零点，
所以函数在区间上只有一个极值点和一个零点；
（2）由，得，
令，，则，
，，
①若，则，当时，，
令，则，
当时，，所以在上单调递减，又，
所以，所以，即
又，所以，
即当时，恒成立，
②若，因为当时，单调递减，
且，，
所以存在唯一的，使得，
当时，，在上单调递增，不满足恒成立，
③若，
因为
不满足恒成立，
综上所述，实数的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数解决函数零点，不等式恒成立问题，本题第一问需要求函数的二阶导数，利用二阶导数分析一阶导数的单调性，结合零点存在性定理判断零点问题，第二问的关键是这个条件，再根据，讨论的取值.
14．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）将问题转化为恒成立，令，求导后，分三种情况讨论函数的单调性和最小值，只需即可，
（2）由（1）可知，所以只需证，设，利用导数可得，所以只需证，即，令，利用导数即可得答案.
【详解】（1）因为恒成立，所以恒成立，
令，则（），
当时，，所以在上递增，当时，，所以，不合题意，
当时，，不合题意，
当时，令，得，
令，则，
所以在上递增，且，
所以有唯一实根，即有唯一实根，设为，即，
且时，，时，
所以在上为减函数，在上为增函数，
所以，
所以只需，
令，则上式转化为，
设，则，
当时，，当时，，
所以在上递增，在上递减，
所以，所以，
所以，得，
所以，得，
（2）证明：由（1）知，当时，对任意恒成立，
所以，（当且仅当时取等号），
则，
所以要证明，
只需证明，
即证，
设，则由（1）可知，
在上恒成立，所以在上递减，
所以，，所以，
所以要证，只要证，
即，令，
则，
当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，
所以当时，，
即恒成立，
所以原命题成立.
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数解决不等式恒成立问题，考查利用导数证明不等式，第（2）问解题的关键是将问题转化为证恒成立，再利用导数证明得，，再次将问题转化为恒成立，构造函数，利用导数证明其最小值大于等于零即可，考查数学转化思想和计算能力，属于难题.
15．(1)；
(2).
【分析】（1）求出函数及其导数，再探讨导数值为正为负的取值区间作答.
（2）验证时，不等式成立，当时，变形给定不等式，构造函数，利用导数分类讨论求解作答.
【详解】（1）函数，求导得，由，得，
当时，，即，函数单调递增；
当时，，即，函数单调递减，
因此函数在处有极大值，
所以函数的极大值点为.
（2）依题意，，，不等式，
当时，成立，则，
当时，，，
令，，求导得，
令，，求导得，
因此在上单调递增，即有，而，
又函数在上的值域是，则函数，即在上的值域是,
当时，，当且仅当时取等号，于是函数在上单调递增，
对，，因此，
当时，存在，使得，当时，，函数在上单调递减，
当时，，不符合题意，
所以m的取值范围为.
【点睛】思路点睛：涉及函数不等式恒成立问题，可以借助分段讨论函数的导函数，结合函数零点探讨函数值正负，以确定单调性推理作答.
16．(1)（I）；（II）单调递增，证明见解析
(2)
【分析】（1）由导数的几何意义可求得切线的斜率，从而可求切线方程；由，令，求导判断单调性得，即可求解；
（2）当，取判断不成立；当时，三次求导结合隐零点进行判断不成立；当时，，可得，即.
【详解】（1）当时，，可得.
（I），
所以在处的切线方程为，即.
（II），
设，则单调递增，
所以，即，
所以当时，单调递增.
（2）设，
由题意恒成立.
①当时，不恒成立，不合题意；
②当时，设，，
，，，
设，，，单调递增，
由零点存在定理得，使得.
在上，，即，
所以在上单调递减，，不恒成立，不合题意；
③当时， ，
则，
当时，，即，则，
所以当时，单调递增.
可得：，即，所以.
综上，的取值范围为．
【点睛】不等式恒成立问题常见方法：
①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；
②数形结合( 图象在 上方即可)；
③分类讨论参数.
17．(1)单调增区间为：，；单调减区间为：，；
(2).
【分析】（1）把代入，求出函数的导数，分段讨论求解、作答.
（2）探讨函数的奇偶性，把问题转化为时，恒成立求解.
【详解】（1）当时，，求导得，
而，由，得，
当时， ，当时，，
则当时，若，则；若，则，
当时，若，则；若，则，
所以函数在内的单调增区间为：，；
单调减区间为：，.
（2）因为，
于是函数为偶函数，
则对任意恒成立，等价于对任意的，恒有成立，
求导得，
当时，当，成立时，恒成立，
即恒成立，函数在内单调递增，则有，
因此，解得，则；
当，时，函数在上单调递减，且，
因此存在，使得当时，，，函数在上递减，
此时，，不符合题意，
所以实数的取值范围为.
【点睛】关键点睛：探讨函数是偶函数，把在实数集上恒成立问题转化为时，不等式恒成立求解是关键.
18．(1)证明见解析；
(2)2.
【分析】（1）把代入，利用导数探讨函数单调性，借助函数最小值0推理作答.
（2）把代入，利用导数探讨函数单调性，求出函数最小值，再借助零点存在性定理求解作答.
【详解】（1）当时，，，求导得，
显然，当时，，则，
当时，，则，因此函数在上单调递减，在上单调递增，
则当时，，
所以.
（2）当时，，，求导得，
当时，，则，当时，，则，
当时，函数都递增，即函数在上单调递增，
而，因此存在，使得，
当时，，当时，，
从而当时，，当时，，
即有函数在上单调递减，在上单调递增，，
而，于是函数在，各存在一个零点，
所以函数零点个数是2.
【点睛】思路点睛：涉及函数零点个数问题，可以利用导数分段讨论函数的单调性，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题.
19．(1)，无极大值.
(2)
【分析】（1）求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，从而求出函数的极值；
（2）令，，则原不等式即为，求出函数的导函数，再分和两种情况讨论，即可得到函数的单调性，从而求出参数的取值范围.
【详解】（1）当时，则，
令，则，，
所以当时，单调递减且，当时，单调递增，
所以当时，即，当时，即，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值，即，无极大值.
（2）令，，则原不等式即为，
可得，，，
令，则，
令，，则，所以在上单调递增，则，
则时，，所以，
当时，所以，
所以在上恒成立，
所以即在上单调递增，
当，即时，所以单调递增，
所以恒成立，所以符合题意，
当，即时，，
所以存在使得，
当时，则单调递减，所以，与题意不符，
综上所述，的取值范围是.
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
20．(1)证明见解析
(2)，证明见解析
【分析】（1）确定函数的单调性，然后结合零点存在定理即可解决；
（2）要比较与的大小，只要比较与0的大小即可，然后根据函数的单调性即可证明.
【详解】（1）当时，由于单调递减，单调递增，所以单调递减，
又，
所以只有一个零点（设为），无极值点；
当时，由得，
设，则，
由于和在上均单调递减，所以单调递减，
又，所以存在，使得，
当时，，单调递增，即单调递增，
当时，，单调递减，即单调递减，
又，
所以当时，恒成立，且存在，使得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以是的极值点，
又，
所以当时，恒成立，即函数无零点；
综上，函数有唯一的极值点，及唯一的零点.
（2），证明如下：
由（1）知，，
由于为的极值点，所以，即，
所以，
设，则，所以单调递增，
所以，即，
所以，
令，则，
所以在上单调递减，所以，所以，又在递减，
所以.
【点睛】方法点睛：
1.导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
2.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
21．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，求导列出不等式，即可得到结果；
（2）根据题意，分,,与讨论，即可得到结果.
【详解】（1）由题得，因为在上单调递增，所以在上恒成立，
即在上恒成立，因为，所以.
（2）因为，则，注意到：，，
若，则，所以在上单调递增，
所以，在上不存在零点，
若，则，所以在上单调递减，
所以，在上不存在零点，
若，显然，在上不存在零点，
若，显然存在，使得，且在上单调递增，
注意到：，，
所以在上小于零，在上大于零，
所以在上单调递减，在上单调递增，
注意到：，，且，所以存在唯一使得，
综上，所以.
【点睛】关键点睛：本题主要考查了利用导数研究函数零点问题，难度较难，解答本题的关键在于，，然后分的范围进行讨论，即可得到结果.
22．(1)
(2)有个零点，证明见解析
【分析】（1）对求导，令，，得出在的单调性，结合零点存在性定理可得在上单调递增，在上单调递减，再比较的大小，即可得出答案.
（2）利用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理，讨论，和时，的正负，即可得出证明.
【详解】（1）的定义域为，故，
令，，
当时，，
所以在上单调递减，且，
，
所以由零点存在定理可知，在区间存在唯一的，使
又当时，；当时，；
所以在上单调递增，在上单调递减，
又因为，，
所以函数在区间上的最小值为.
（2）有个零点，证明如下：
因为，，
若，，
所以在区间上单调递增，又，，
结合零点存在定理可知，在区间有且仅有一个零点，
若，则，则，
若，因为，所以，
综上，函数在有且仅有一个零点.
23．(1)证明见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）由导数求出的最小值，与的最大值比较可证不等式成立；
（2）求导后，分类讨论，解导函数的不等式可得结果.
【详解】（1）当时，，，
令，得，令，得，
所以在上为减函数，在上为增函数，
所以，当且仅当时，等号成立，
而当时，，当且时，，
所以.
（2）的定义域为，
，
当时，，令，得，令，得，
所以在上为减函数，在上为增函数.
当时，令，得或，
若，即时，令，得或；令，得，
所以在和上为减函数，在上为增函数；
若，即时，在上恒成立，所以在上为减函数；
若，即时，令，得或，令，得，所以在和上为减函数，在上为增函数.
综上所述：当时，在上为减函数，在上为增函数；
当时，在和上为减函数，在上为增函数；
当时，在上为减函数；
当时，在和上为减函数，在上为增函数.
24．（1）证明见解析；（2）存在，
【分析】（1）构造函数，其中，利用导数分析函数在上的单调性，可证得，进而可得出，由此可证得结论成立；
（2）令，注意到，由此可得出结论成立的必要条件为，求出，然后利用导数分析出函数在上单调递增，然后证明出当、时在不恒为增函数，即可得出实数的值.
【详解】（1）设，其中，则，
由可得，由可得，
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，当时，，即（*），
由（*）可知，当时，得，原不等式得证；
（2），则，
设，则，
在上单调递增在上恒成立，
注意到，只需在处取得最小值，
易知其必要条件为，则，
下面证明充分性：
令，则且不恒为零，
所以，函数在上单调递增，当时，，即，
当时，，即，
当时，，则，
故，
①当时，，
所以在上单调递增，即在上单调递增；
②当时，若，
则，
若，则，
所以在上单调递减，即在上单调递减.
由①②可知，，故当时，在上单调递增.
当时，由（1）知当时，
，
当时，，单调递减，不合题意；
当时，同理可得当时，，
当时，，单调递减，不合题意.
综上所述：当时，函数在上单调递增.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

展开更多......

收起↑