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微考点2-2 2024新高考新试卷结构二轮复习利用导数研究
恒成立能成立整数点问题
考点一：利用导数研究函数恒成立问题
【精选例题】
【例1】
1．已知函数 ， 若对任意恒成立， 则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例2】
2．已知函数，若恒成立，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【例3】
3．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例4】
4．若恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【例5】
5．若存在实数使得关于的不等式成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例6】
6．若存在实数，使不等式对一切正数都成立（其中为自然对数的底数），则实数的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【例7】
7．已知关于不等式对任意和正数恒成立，则的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【跟踪训练】
8．已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．已知不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．已知对任意恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
11．若恒成立，则实数的最大值为（ ）
A． B．2 C．1 D．
12．若对任意正实数都有，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
13．已知函数，若恒成立，则实数a的最大值为（ ）
A． B． C．2e D．
考点二：利用导数研究函数能成立问题
【精选例题】
【例1】
14．已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围 ．
【跟踪训练】
15．已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围 ．
考点三：利用导数研究函数的最值问题
【精选例题】
【例1】
16．若函数在上有最大值，则的取值不可能为（ ）
A． B． C． D．
【跟踪训练】
17．函数在内有最小值，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
18．若函数在区间(,)内存在最小值，则实数的取值范围是（ ）
A．[－5,1) B．(－5,1)
C．[－2,1) D．(－2,1)
考点四：利用导数处理双函数恒能成立问题
【精选例题】
【例1】
19．设函数，其中.若对，都，使得不等式成立，则的最大值为（ ）
A．0 B． C．1 D．
【例2】
20．已知函数，，若，使得成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例3】
21．已知函数，，若存在，使得成立，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【跟踪训练】
22．已知函数，．若对任意，总存在，使得成立，则实数的最大值为（ ）
A．7 B．5 C． D．3
23．已知，，若存在，，使得成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
24．已知函数若对任意的，存在，使，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
考点五：利用导数处理整数点个数问题
【精选例题】
【例1】
25．已知关于的不等式恰有3个不同的正整数解，则实数的取值范围是 ．
【例2】
26．已知函数，对任意的，关于的方程有两个不同实根，则整数的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【精选例题】
27．若关于的不等式的解集中恰有个整数，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
28．设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
试卷第2页，共2页
试卷第1页，共1页
参考答案：
1．D
【分析】求函数的导函数，利用导数求得函数的最小值，由最小值大于0，即得．
【详解】因为
所以，
当时，，函数在上为减函数，
又当时，，不满足在定义域内恒成立；
当时，由，解得，
当时，，当时，，
所以当时，函数为减函数，当时，函数为增函数，
所以=＝
由，得，即，
所以k的取值范围是.
故选：D．
2．B
【分析】求导后分析函数的单调性，令，然后设，构造函数然后求最值.
【详解】解：由题意得：
当时，，函数在上单调递增，无最大值，不符合题意；
当时，令，解得，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，所以.
令，则，所以，设，则
若，即，则，此时单调递减，符合题意；
若，由，得，此时，解得，所以的最小值为.
故选：B
3．C
【分析】根据题意，当时，通过分离参数得，换元，令，则，则，构造函数并通过导数研究函数的单调性和最值，从而得出；同理当时，得出；当时，可知恒成立；综合三种情况即可求出实数的取值范围.
【详解】解：由题可知，时，不等式恒成立，
当时，得，
令，则，，
令，，
则，显然在上，，
所以单调递减，，因此；
当时，得，
令，则，，
令，，
则，显然在上，，
所以单调递减，，因此；
由以上两种情况得：.
显然当时，得恒成立，
综上得：实数的取值范围为.
故选：C.
4．C
【分析】问题可转化为不等式恒成立求参数问题.根据底数分类讨论，当时不成立；当时，分离参数转化为函数最值问题求解.
【详解】当时，，则，不符合题意；

当时，，
恒成立，
即恒成立，
设，
令，得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
故当时，取得最大值，
所以，解得，
故选：C．
5．A
【分析】不等式可化为，即表示曲线上一点与直线上一点的距离的平方不超过，然后确定当且仅当为平行于直线与相切时的切点时，不等式成立，从而求出实数的取值范围.
【详解】不等式成立，
即，即，
其几何意义表示点与的距离的平方不超过，即最大值为．
∵为直线：即上一点，
∴设与平行，且与相切于点，
∴，由导数的几何意义，在点处切线的斜率，
∴解得，∴，
∴直线：上的点与曲线的距离的最小值即点到直线的距离，
∴当且仅当时，，
∴解得，
综上所述，的取值集合为．
故选：A．
【点睛】关键点点睛：将不等式化为，根据两点间距离公式确定不等式的几何意义是求解本题的关键.
6．C
【分析】临界条件即为直线恰为函数的公切线. 设的切点为，设的切点为，得到
，再求出方程小的零点为，方程另外一个零点一定大于,即得解.
【详解】存在实数，使不等式对一切正数都成立，要求的最大值，
临界条件即为直线恰为函数的公切线.
设的切点为，.
设的切点为，,
所以.
由题得.
设，
所以，
所以函数在上单调递减，在单调递增.
又，
当时，，
所以方程另外一个零点一定大于.
所以方程小的零点为，
所以.
故选：C
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的公切线问题，考查利用导数研究函数的单调区间和零点问题，考查利用导数研究不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
7．B
【分析】讨论的取值范围，利用函数图象，构造新函数，结合导数求出，的取值范围，可得的最小值.
【详解】设，，
若，对任意和正数恒成立，
则，对任意和正数恒成立，
如图，
时，，对任意和正数不恒成立；
如图，
时，
，则，
设，解得，且，
∴当的切线斜率为1时，切点坐标为，
由直线的点斜式方程可得切线方程为，
即，
若，对任意和正数恒成立，则
∴
∴，
设，
，
∴，，，
∴，
∴
故选：B.
【点睛】本题考查不等式恒成立求参数取值范围问题，需要结合图象分类讨论，构造函数将问题转化，考查数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想和运算求解能力，是难题.
8．B
【分析】通过参变分离可得，构造函数，只需求出即可，利用求导数，判断单调区间，得出，进而求出的取值范围.
【详解】恒成立，
则，只需
设

当，；
当，；
所以，
故选：B
【点睛】本题考查了含参不等式恒成立求参数取值范围问题，构造函数，求函数最值等基本知识，考查数学运算能力和逻辑推理能力，转化的数学思维，属于中档题.
9．B
【解析】根据不等式恒成立，转化成求新函数的最小值大于，即可求解.
【详解】令，
则，，
故可知在上，在上，
在上
又不等式恒成立，
.
故选：B
【点睛】本题考查不等式的恒成立问题，导数与最值的关系，考查理解辨析能力与运算求解能力.
10．A
【分析】令，由题意可知：对任意恒成立，且，可得，解得，并代入检验即可.
【详解】令，则，
由题意可知：对任意恒成立，且，
可得，解得，
若，令，
则，
则在上递增，可得，
即对任意恒成立，
则在上递增，可得，
综上所述：符合题意，即实数的取值范围为.
故选：A.
11．D
【分析】先确定时的情况，在当时，参变分离可得，构造函数，求出函数的最小值即可.
【详解】当时，，不等式成立；
当时，恒成立，即，
令，则，
因为时，（后证）
所以当时，，单调递减，当时，，单调递减，
故，
所以，即实数的最大值为.
证明当时，，
令，，则，
则在上单调递增，所以，即.
故选：D.
12．A
【分析】运用分离参数求最值，即将原不等式化为，再构造函数（），求其最大值，进而求得结果.
【详解】化简不等式可得，即：，
令（），则对任意的，，
所以，设，，
则，令，
所以，所以在上单调递减，
又因为，
所以，，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以，解得：，即：的取值范围为.
故选：A.
13．C
【分析】根据题意转化为函数与直线的位置关系，以相切为临界，利用导数求过点的切线斜率，结合图象即可得结果.
【详解】由题意可得：，则，
当时，则；当时，则；
故在上单调递减，在上单调递增，
若与直线相切时，设切点为，则切线斜率，
所以该切线方程为，
注意到切线过点，则，
整理得，解得或，
当时，；当时，；
结合图象可得实数a的取值范围为，即实数a的最大值为2e．
故选：C．
【点睛】方法定睛：根据过某点切线方程(斜率)或其与某线平行、垂直等求参数问题的解法：利用导数的几何意义、切点坐标、切线斜率之间的关系构建方程(组)或函数求解．
14．
【分析】由题意，即，构造函数，利用导数求出最大值即可.
【详解】存在，使得可得，
构造函数，其中，则，
当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，
则，所以，，解得，因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
15．
【分析】分离参数得，设，利用导数求出其最小值即可.
【详解】因为，由，即，
即，设，
根据题意知存在，使得成立，即成立，
由，可得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以当时，函数取得最小值，最小值为，所以，
即实数的取值范围是.
故答案为：.
16．D
【分析】先求出的单调性，可得极大值，根据单调性可知，在上有最大值即为，只需令即可，故可求出的解或，则，解之即可求得结果.
【详解】令，得，.
当，；当或时，.
从而在处取得极大值.
根据单调性可知，在上有最大值即为，
由，得，解得或.
在上有最大值，即，
，.
故选D.
【点睛】本题考查根据函数的最值求参数的范围，要求学生会利用导数研究函数的最值，本题关键在于得出函数极大值即为最大值的结论，由此可列不等式求解，属中档题.
17．A
【分析】求出，设，得出有一正根一负根，因此题意说明正根在区间内，从而由得参数范围．
【详解】，
设，因为，因此有两个不同实根，
又，因此两根一正一负，
由题意正根在内，
所以，解得，
故选：A．
18．C
【分析】先求出函数的极值点，要使函数在区(,)内存在最小值，只需极小值点在该区间内，且在端点处的函数值不能超过极小值．
【详解】由，令，可得或，
由得：或，由得：，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在处取得极小值，
令，解得或，
若函数在(,)内存在最小值，则，得．
故选：C
19．C
【分析】由题意易知恒成立，则可等价为对，恒成立，利用参变分离，可变形为恒成立，易证，则可得，即可选出答案.
【详解】对，都，使得不等式成立，
等价于,
当时，，所以，
当时，，所以，
所以恒成立，当且仅当时，，
所以对，恒成立，即，
当，成立，
当时，恒成立.
记,
因为恒成立，
所以在上单调递增，且，
所以恒成立，即
所以.
所以的最大值为1.
故选：C.
【点睛】本题考查导数在不等式的恒成立与有解问题的应用，属于难题，
此类问题可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有成立，故；
（5）若，，有，则的值域是值域的子集．
20．A
【分析】将问题转化为使得成立，通过求得导数和单调性，可得最值，再根据不等式成立，结合参数分离可得的范围．
【详解】，使得成立，等价为使得成立，
由得，当时，，此时单调递增，当时，，此时单调递减，，故
在成立，
当时，，
设，，则，
由，得，
所以在递减，所以，
则在递减，所以，
则，所以．
故选：A
21．C
【分析】根据题意可得的值域与 的值域有交集即可，先求导分析的值域，再求导分情况讨论的单调性与值域，结合解集区间的端点关系列式求解即可
【详解】①当时，，则在上恒成立，
所以函数在区间上单调递减，则，即，
②当时，，函数在区间上单调递增，
所以，即，
综上，函数f（x）的值域为；
由题意，的值域与的值域有交集，故分析的值域.
又，，
若时，则，函数在上单调递增，所以，即，
此时若要满足题意，只需，当时恒成立；
当时，令，解得，，.
当时，，故函数在上单调递增，故，所以，所以，解得，
当时，，故函数在上单调递减，在上单调递增；因为，，
故若值域满足与有交集，则只能，解得，此时
当时，，在上单调递减，所以，，此时，不满足题意
综上，实数a的取值范围为
故选：C．
22．D
【分析】分别求出两个函数在对应区间上的最大值，然后可得答案.
【详解】因为，所以，
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
因为，，，，
所以当时，，
因为，所以在区间上单调递减，
所以当时，，
因为对任意，总存在，使得成立，所以，即，
所以实数的最大值为3，
故选：D
23．B
【分析】原命题等价于，再求和解不等式即得解.
【详解】，使得成立，则，
由题得，
当时，，当时，，
所以函数在（-∞，0）单调递增，在（0，+∞）单调递减，
所以，
由题得，
∴
故选：B.
24．C
【分析】根据题意可将问题转化成，求出函数的最小值，对实数分类讨论解不等式即可求出答案.
【详解】根据题意“对任意的，存在，使”,转化成；
易知，又，令，可得；
所以时，，即在上单调递减，
时，，即在上单调递增；
因此时，取到在上的极小值，也是最小值，；
易得，，易知二次函数开口向上，对称轴；
①当时，在上单调递增，，
所以，解得，不合题意，此时无解；
②当时，在处取得最小值，，
所以，解得或，所以可得
③当时，在上单调递减，，
所以，解得，所以可得；
综上所述，实数的取值范围是.
故选：C
25．
【分析】
由题意知，关于x的不等式恰有3个不同的正整数解．设函数，，作出函数图象，由图象观察，可得实数的k取值范围．
【详解】
当时，不等式有无数个正整数解，不满足题意；
当时，当时，不等式恒成立，有无数个不同的正整数解，不满足题意；
当时，不等式等价于，
令，所以，
当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
又，结合单调性可知，当时，恒成立，
而表示经过点的直线，
由图像可知，关于的不等式恰有3个不同的正整数解，故只需满足以下条件：
解得．则实数的取值范围是，
故答案为：．

【点睛】
用数形结合思想解决不等式解的问题一般有以下几类：
（1）解含参不等式：在解决含有参数不等式时，由于涉及参数，往往需要讨论，导致演算过程复杂，若利用数形结合的方法，问题将简单化；
（2）确定参数范围：在确定不等式参数的范围时，几何图形更能使问题直观；
（3）证明不等式：把证明的不等式赋予一定的几何意义，将复杂的证明问题明快解决.
26．A
【分析】根据已知条件化为，构造函数，对函数求导判断函数的单调性，得到存在使得，即，因为方程有两个不同实根，则，求出且为整数即可得.
【详解】由，即，得，
设，则，
显然是上的增函数.因为，
所以存在，使得，即；
当时，，当时，0，
则；
令，则，当时，，在上单调递减，
因为，所以，则，又为整数，所以.
故选：A
27．C
【分析】将不等式转化为，构建，利用导数判断其单调性和最值，根据题意利用数形结合，列式求解即可.
【详解】因为，且，可得，
构建，则，
令，解得；令，解得；
则在上单调递增，在上单调递减，可得，
且，
由题意可得，解得，
所以的取值范围是.
故选：C.

28．D
【分析】根据给定条件，构造函数，将问题转化为存在唯一的整数使得
在直线下方，再借助导数探讨求解作答.
【详解】令，，显然直线恒过点，
则“存在唯一的整数，使得”等价于“存在唯一的整数使得点在直线下方”，
，当时，，当时，，即在上递减，在上递增，
则当时，，当时，，而，
即当时，不存在整数使得点在直线下方，
当时，过点作函数图象的切线，设切点为，则切线方程为：，
而切线过点，即有，整理得：，而，解得，
因，又存在唯一整数使得点在直线下方，则此整数必为2，
即存在唯一整数2使得点在直线下方，
因此有，解得，
所以的取值范围是.
故选：D
【点睛】思路点睛：解决过某点的函数f(x)的切线问题，先设出切点坐标，求导并求出切线
方程，然后将给定点代入切线方程转化为方程根的问题求解.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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