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微考点3-1 新高考中三角函数的图象与性质应用中的九大核心考点
考点五：三角函数图象的单调性
【精选例题】
【例1】
1．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．最小正期是 B．的图像关于对称
C．在上单调递减 D．是奇函数
【例2】
2．已知函数，下面结论错误的是（ ）
A．函数的最小正周期
B．是的图像的一个对称中心
C．函数在区间上是减函数
D．函数在区间上是减函数
【例3】
3．函数的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
【例4】
4．已知，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【例5】
5．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．的最大值为2
C．的图象关于直线对称
D．在上单调递减
【跟踪训练】
6．下列不等式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
7．已知点是函数的图象的一个对称中心，则（ ）
A．是奇函数
B．，
C．若在区间上有且仅有条对称轴，则
D．若在区间上单调递减，则或
8．已知函数，把的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则（ ）
A．是奇函数
B．的图象关于直线对称
C．在上单调递增
D．不等式的解集为
9．已知函数，其中为实数，且，若对恒成立，且，则的单调递增区间为 .
10．已知函数，则（ ）
A．函数的最小正周期为2
B．点是函数图象的一个对称中心
C．将函数图象向左平移个单位长度，所得到的函数图象关于轴对称
D．函数在区间上单调递增
11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的最大值为2 B．函数的最小值为
C．函数在上单调递减 D．函数在内有且只有一个零点
考点六：三角函数中范围问题
【精选例题】
【例1】
12．已知函数（），若在区间内有且仅有3个零点和3条对称轴，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例2】
13．已知函数，若方程在区间上恰有3个实根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例3】
14．已知函数在上有且仅有三个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【例4】
15．已知函数在区间内没有零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例5】
16．已知函数在上单调，且，则的取值不可能为（ ）
A． B． C． D．
【例6】
17．已知函数在区间上有且仅有4条对称轴，则下面给出的结论中，正确的是（ ）．
A．的取值范围是
B．的最小正周期可能是2
C．在区间上可能恰有4个零点
D．在区间上可能单调递增
【跟踪训练】
18．已知，，下列结论正确的是（ ）
A．若使成立的，则
B．若的图像向左平移个单位长度后得到的图像关于轴对称，则
C．若在上恰有6个极值点，则的取值范围为
D．存在，使得在上单调递减
19．已知函数，其中，且恒成立，在上单调，则的取值范围是 .
20．已知函数，的图象关于直线对称，且在上单调，则的最大值为 .
21．若函数（）在区间上单调递增，则的取值范围 .
22．记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为 ．
考点七：三角函数图象的平移问题
解题思路：异名三角函数的平移：跟同名三角函数的平移基本上相同，区别在于需要根据诱导公式将其变为同名三角函数的平移问题，再按同名三角函数平移平移思路进行平移．
【精选例题】
【例1】
23．为了得到函数的图象，可将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
【例2】
24．为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向右平移个单位
【例3】
25．将函数,图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得图像向左平行移动个单位长度，则得到的图像的解析式为 .
【例4】
26．把函数的图像向左平移个单位，所得到的图像对应的函数为奇函数，则的最小值是 .
【跟踪训练】
27．要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点（ ）
A．先向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）
B．先向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）
C．先向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）
D．先向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）
28．要得到函数的图象，需（ ）
A．将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）
B．将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）
C．将函数图象上所有点向左平移个单位．
D．将函数图象上所有点向左平移个单位
29．已知函数，将函数的图象向右平移个单位长度后与函数的图象重合，则的值可以是 .
30．把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）
A． B．
C． D．
考点八：三角函数图象加绝对值问题
解题思路：①分析奇偶性，周期性；②．去绝对值，写成分段函数；③画出草图，结合图象及对称性的定义判断，包括代入必要的特值．
【精选例题】
【例1】
31．关于函数有下列四个结论：
①的图象关于原点对称；
②在区间上单调递增；
③的一个周期为；
④在是有四个零点
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
【例2】
32．已知函数，下列说法正确的有（ ）
A．为最大值为3 B．在上单调递增
C．为周期函数 D．方程在上有三个实根
【例3】
33．关于函数的叙述正确的是（ ）
A．是偶函数 B．在区间单调递減
C．在有4个零点 D．是的一个周期
【跟踪训练】
34．关于函数，下列结论正确的是（ ）
A．的最小正周期为 B．的最大值为2
C．在上单调递减 D．是的一条对称轴
35．关于函数，下述结论正确的是（ ）
A．是偶函数 B．在区间单调递减
C．在有5个零点 D．的最大值为
36．已知函数，且函数的最小正周期为，则下列关于函数的说法，
①；
②点是的一个对称中心；
③直线是函数的一条对称轴；
④函数的单调递增区间是.
其中正确的（ ）
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
考点九：三角函数图象的综合运用
【精选例题】
【例1】
37．下面关于函数的叙述中，正确的是（ ）
①的最小正周期为
②的对称中心为
③的单调增区间为
④的对称轴为
A．①③ B．②③④ C．②④ D．①③④
【例2】
38．已知函数，现给出下列四个结论：
①为偶函数；
②的最小正周期为；
③在上单调递增；
④在内有2个解．
其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【例3】
39．对于函数给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（ ）
A．该函数是以为最小正周期的周期函数；
B．当且仅当时，该函数取得最小值；
C．该函数的图象关于直线对称；
D．当且仅当时，
【例4】
40．已知，则下列说法正确的是（ ）
A．是周期函数 B．有对称轴
C．有对称中心 D．在上单调递增
【跟踪训练】
41．已知函数，则( )
A．的图象关于对称 B．的最小正周期为
C．的最小值为1 D．的最大值为
42．已知函数，下列关于该函数结论错误的是（　　）
A．的一个周期是 B．的图象关于直线对称
C．的最大值为2 D．是上的增函数
43．已知，则下列选项中正确的是（ ）
A． B．关于轴对称
C．关于中心对称 D．的值域为
44．已知函数，，则下列说法不正确的是（ ）
A．与的定义域都是
B．为奇函数，为偶函数
C．的值域为，的值域为
D．与都不是周期函数
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．AB
【分析】由周期公式判断A；由代值法判断B；根据正弦函数的单调性判断C；由奇偶性的定义判断D.
【详解】解：对于A．的最小正周期为，故A正确；
对于B．当时，，此时取得最小值，故B正确；
对于C．当时，，由正弦函数的单调性可得函数在不单调，故C错误；
对于D．因为，，所以函数既不是奇函数也不是偶函数，故D错误．
故选：AB．
2．D
【分析】利用正弦型函数的性质，逐项判定，即可求解.
【详解】由题可知周期，A选项正确；
令得，当时，，
即函数的一个对称中心为，B选项正确；
，
时，，
所以函数在单调递减，故C选项正确；
时，，所以函数在不上单调，故D选项错误.
故选：D
3．A
【分析】先换元,求定义域再结合复合函数的单调性,最后根据正弦函数的单调性求解即可.
【详解】设，即，，单调递增，取单调增的部分，
所以可得：，即，
解得：
答案：A.
4．A
【分析】根据的取值范围，明确三角函数的取值范围，利用指数函数和幂函数的单调性，可得答案.
【详解】解：已知，则，
因为在上是减函数，故；
因为幂函数在上是增函数，故，
故．
故选：A.
5．BD
【分析】由、是否成立判断A、C；由，结合余弦函数、二次函数性质判断B、D.
【详解】由，
所以不是的周期，A错；
由，
所以的图象不关于直线对称，C错；
由，而，
所以，B对；
由在上递减，且，
结合二次函数及复合函数的单调性知：在上单调递减，D对.
故选：BD
6．ABD
【分析】根据正弦函数、余弦函数的性质一一判断即可.
【详解】对于A：因为在上单调递增，所以，故A正确；
对于B：，，
又在上单调递减，所以，
所以，故B正确；
对于C：因为在上单调递减，所以，故C错误；
对于D：，，
又，即，
，即，
所以，故D正确；
故选：ABD
7．BC
【分析】根据的对称中心求得，根据奇偶性、对称性、单调性等知识确定正确答案.
【详解】依题意，点是函数的图象的一个对称中心，
所以，且①，B选项正确.
则，
所以
，
由于是奇数，所以是偶函数，
A选项错误.
C选项，，
将代入得：
，
整理得，
由于在区间上有且仅有条对称轴，
所以，解得，由于，所以，
对应，所以C选项正确.
D选项，在区间上单调递减，
，
将代入得：
，
整理得，
则，解得，而，所以或，
时，，符合单调性，
时，，不符合单调性，所以舍去
所以，所以D选项错误.
故选：BC
8．AB
【分析】A选项，由左加右减得到的解析式，从而判断出奇偶性；B选项，，故B正确；C选项，整体法判断函数的单调性；D选项，由得到，求出不等式的解集.
【详解】A选项，，
由于的定义域为R，且，
故为奇函数，A正确；
B选项，，故的图象关于直线对称，B正确；
C选项，时，，其中在上不单调，
故在上不单调，故C错误；
D选项，，则，则，
故，D错误.
故选：AB
9．
【分析】由题意可知为函数的最大值或最小值，所以，由，得到或，即可得的表达式，根据，即可验证值，代入正弦函数单调递增区间，化简整理，即可得答案.
【详解】由对恒成立知，，
得到或，
因为，所以或，
当时，，
此时，，
，不合题意，舍，
当 时，，
此时，，
，符合题意，
所以，
所以由
得，
所以的单调递增区间是.
故答案为：
10．BC
【分析】先将化简为，再结合余弦函数的性质判断4个选项即可.
【详解】，故最小正周期为，A错误；
，点是一个对称中心，B正确；
向左平移个单位长度得到，关于轴对称，C正确；
，单调递减，D错误.
故选：BC.
11．BCD
【分析】先用诱导公式及恒等变形，再通过换元成二次函数，研究这人二次函数就可以判断每一个选项.
【详解】，令，则，易知函数在上单调递增，在上单调递减，故当时，函数取得最大值，为，当时，函数取得最小值，为，所以的最大值为，最小值为，故A错误，B正确；
当时，单调递减，且，此时单调递增，所以函数在上单调递减，C正确；
当时，先增后减且，易知在内有且仅有一个零点，且，数形结合可知在内有唯一根，即函数在内有且只有一个零点，D正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是换元思想的运用，二是数形结合思想的运用，三是单调性的研究.
12．A
【分析】利用整体换元法，结合余弦函数的性质即可求解.
【详解】函数．
当时，令，则，
若在有且仅有3个零点和3条对称轴，
则在有且仅有3个零点和3条对称轴，
则，解得.
故选：A．

13．A
【分析】通过方程解出，再由条件确定的范围，得到可能取值，即可通过条件中的恰有3个实根，建立不等式确定的取值范围.
【详解】若方程，
则，即或，
当时，，
则的可能取值为，
因为原方程在区间上恰有3个实根，
所以，
解得，
即的取值范围是，
故选：A.
14．D
【分析】利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，利用函数的零点个数，转化为方程的根的个数，利用三角函数的有界性，转化求解即可．
【详解】因为，
故可得，
由，故可得，
令，可得，
则或或或，，
因为在上有且仅有三个解，
，解得．
故选：D.
【点睛】本题考查函数的零点的判断三角函数的图象与形状的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．
15．D
【分析】根据题意若要函数在区间内没有零点，由，又因为，所以或，化简即可得解.
【详解】由，且，
所以，
由题意可得或，
解得或 ，
因为，
所以或者，
故选：D
16．B
【分析】由已知易得、，结合，利用正弦型函数的图象讨论不同对应点求的取值，即可得答案.
【详解】由在上单调，，故，
而，则，又，如下图依次讨论对应为点四种情况，
若，则，满足；
若，则，满足；
由，若，则，满足；
若，则，不满足，其它情况均不符合；
综上，B不可能，A、C、D可能.
故选：B
17．AC
【分析】令,则,结合题中条件可得有四个整数符合，可求出的取值范围，再根据三角函数的性质逐项分析即可.
【详解】由，
令，则，
因为函数在区间上有且仅有4条对称轴，
即有四个整数符合，
由，得，
则，即，
所以，故A正确；
若函数的最小正周期为，则，故B错误；
当时，，
又，
当时，有三个不同的零点；
当，有四个不同的零点，
则在区间上可能恰有4个零点,故C正确；
当时，，
因为
所以，
而，所以在区间上不单调递增，故D错误，
故选：AC.
【点睛】本题的关键点是：根据题中条件，求出的取值范围.
18．BC
【分析】利用三角函数的图像和性质逐项判断即可.
【详解】对于A，若，则，
则，故A错误；
对于B，将的图像向左平移个单位长度后得到
，
若所得图象关于轴对称，则，得，，
所以，故B正确；
对于C，由，得，
若在上恰有6个极值点，
则，解得，故C正确；
对于D，由，得，
因为，所以在上不可能单调递减，故D错误．
故选：BC．
19．
【分析】由可知，则，由正弦函数的单调性建立不等式组，解之即可求解.
【详解】由题意知，，则，即，解得.
由，，得，
即，
若函数在上单调递增，则，
即，，解得，则不等式组无解；
若函数在上单调递减，则，
即，，解得，则，
所以实数的取值范围为.
故答案为：
20．
【分析】先根据正弦函数的对称性可求出的一个范围，再根据函数在上单调，可得，再求出的一个范围，进而可得出答案.
【详解】因为的图象关于直线对称，
所以，，解得，，
因为在上单调，所以，
即，解得，
当时，，
当时，，
所以当时，单调递减，
故的最大值为.
故答案为：.
21．
【分析】由 ,得，
根据函数在区间的单调递增，求解的范围.
【详解】由，
得，
取，得，
又由在区间上单调递增，
则,即，
又，所以的取值范围为.
故答案为：.
22．
【分析】首先表示出，根据求出，再根据为函数的零点，即可求出的取值，从而得解；
【详解】解： 因为，（，）
所以最小正周期，因为，
又，所以，即，
又为的零点，所以，解得，
因为，所以当时；
故答案为：
23．D
【分析】化简函数的解析式，再根据函数的平移变换法可得函数的变换情况.
【详解】由已知，
设将函数向左平移个单位，得，
所以，解得，
即将函数向左平移个单位长度可得，
故选：D.
24．B
【分析】先将两个三角的名字根据诱导公式化为相同，然后再平移即可.
【详解】
将函数向左平移个单位得：
故选：B
25．
【分析】首先化简函数，再根据图像变化规律求函数的解析式.
【详解】，图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍，得函数，再将图像上的点向左平移个单位，得函数.
故答案为：
26．.
【分析】根据相位变化得到，由奇函数列方程，即可求解.
【详解】把函数的图像向左平移个单位，得到.
要使函数为奇函数，只需，所以.
因为，所以当时，最小.
故答案为：.
27．A
【分析】利用两角和的余弦公式化简为，再由函数的图象变换规律得出结论．
【详解】，
将函数的图象上所有的点向右平移个单位长度得到，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍得到，
故选：.
28．D
【分析】根据三角函数图象平移的规律可得答案.
【详解】将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，故A错误；
将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到
的图象，故B 错误；
将函数图象上所有点向左平移个单位得到图象，故C错误；
D. 将函数图象上所有点向左平移个单位得到的图象，故D正确.
故选：D.
29．（答案不唯一，只需满足即可）
【分析】利用诱导公式可得出，求出平移后所得函数的解析式，进而可得出的表达式，即可得解.
【详解】因为，
将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数，
所以，，解得.
故答案为：（答案不唯一，只需满足即可）
30．B
【分析】解法一：从函数的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到，即得，再利用换元思想求得的解析表达式；
解法二：从函数出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到的解析表达式.
【详解】解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象，
根据已知得到了函数的图象，所以，
令,则,
所以,所以；
解法二：由已知的函数逆向变换，
第一步：向左平移个单位长度，得到的图象，
第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，
即为的图象，所以.
故选：B.
31．A
【分析】对于①，由函数的定义域和，可得函数是奇函数，再由奇函数的图象性质可判断；
对于②，当时，，化简，根据正弦函数的性质可判断；
对于③，由，以及函数的周期性的定义可判断；
对于④，令，解得，由此可判断.
【详解】解：对于①，函数的定义域为R，且，
所以函数是奇函数，所以函数的图象关于原点对称，故①正确；
对于②，当时，，，所以，
又因为在上单调递增，所以在上单调递增，故②正确；
对于③，因为，所以不是函数的周期，故③不正确；
对于④，在时，令，即，解得，共3个零点，故④不正确；
综上得正确命题的编号为：①②，
故选：A.
32．CD
【分析】利用正弦函数和余弦函数的最值可判断A选项；利用特殊值法可判断B选项；利用函数周期性的定义可判断C选项；当时，解方程，可判断D选项的正误．
【详解】对于A选项，由平方关系知时，，时，，
所以，所以，A选项错误；
对于B选项，，，则，故函数在上不是增函数，B选项错误；
对于C选项，，
故函数为周期函数，C选项正确；
对于D选项，由，解得或或，
所以，方程在上有三个实根，D选项正确．
故选：CD．
33．AB
【分析】根据三角函数的奇偶性、单调性、零点、周期性对选项进行分析，由此确定正确选项.
【详解】A.因为的定义域为，
又，∴是偶函数，故A正确；
B.当时，，在单调递减，故B正确；
C.当时，令，得或，又在上为偶函数，
∴在上的根为，0，，有3个零点，故C错误；
D. ，所以不是的一个周期，故D错误．
故选：AB.
34．AD
【分析】依题意可得，再根据正弦函数的性质判断即可.
【详解】因为，
所以，所以的最小正周期为，故A正确．
当时取最大值，且最大值为，故B错误．
当时，，所以函数在上单调递增，
故函数在上单调递增，故C错误．
因为，
所以是的一条对称轴，故D正确.
故选：AD
35．ABD
【分析】A选项，判断函数与的关系既可以判断奇偶性；
B选项，在区间，即可求得函数解析式，即可判断出函数单调性；
C选项，先判断函数在的零点，在根据函数的奇偶性可以判断另半个区间的零点；
D选项，根据函数的有界性可以求得最大值为2.
【详解】由函数，则，
故函数是偶函数，故A选项正确；
当，，所以函数在区间单调递减，故B选项正确；
因为，所以，令
，，
当 时，，当时，有两个零点；
当时，；
因为函数为偶函数，所以在有3个零点，故C选项错误；
因为，故的最大值为，故D选项正确.
故选：ABD
36．D
【分析】由题得，所以，所以①正确；
函数没有对称中心，对称轴方程为，故②不正确，③正确；
令，得的单调递增区间是，故④正确.
【详解】因为函数的最小正周期为，所以，所以①正确；
函数没有对称中心，且对称轴方程为，所以当时，对称轴方程为，故②不正确，③正确；
令，解得，所以的单调递增区间是，故④正确.
故选：D.
37．D
【分析】先利用三角恒等变换化简函数式，再逐一判定即可.
【详解】 ，
①，函数的最小正周期，①正确；
的定义域关于原点对称且为偶函数，
的对称轴为
∴②错误，④正确；
当，即时，单调递增，③正确.
故选：D
38．B
【分析】①利用函数的奇偶性判断即可.②由可知.③利用复合函数的单调性可知在上单调递增，在上单调递减.④数形结合判断即可.
【详解】因为的定义域为R，，
所以为偶函数，①正确．
由，可得的最小正周期为，②错误．
当时，函数单调递增，值域为，
当时，函数单调递增，故在上单调递增．
当时，函数单调递增，值域为，
当时，函数单调递减，故在上单调递减，③错误．
，则，，或，．
当时，，有两个解，，无解，
故在内有2个解，④正确．
故选：B.
【点睛】本题利用复合函数，综合考察三角函数的基本性质，属于难题.在判断函数的奇偶性时需注意先看函数的定义域是否关于原点对称.
39．CD
【分析】求得的最小正周期为，画出在一个周期内的图象，通过图象可得对称轴、最小值和最大值，即可判断正确答案．
【详解】函数 ,
可得，当，时，，
当，时，，
则的最小正周期为，故A错误；
画出在一个周期内的图象，

当或，时，取得最小值，故B错误；
由图可知的图象关于直线对称，故C正确；
当且仅当时，，
的最大值为，可得，故D正确．
故选：CD．
40．ACD
【分析】根据周期函数的定义判断判断A，证明，由此判断C，利用导数判断函数的单调性，判断D，结合单调性和周期的性质作出函数在上的图象，由此判断B.
【详解】因为，
所以，
所以函数为周期函数，A正确；
因为
所以，
所以函数为奇函数，故函数的图象关于原点对称，
所以为函数的中心对称，C正确；
当时，，
因为，
所以，所以函数在上单调递增，D正确；
由可得，
当时，由，可得，
函数在上单调递增，
当，由，可得，
函数在上单调递增，
又，，
作出函数在的大致图象可得：
结合函数是一个周期为的函数可得函数没有对称轴，B错误.
故选：ACD.
41．ACD
【分析】A：验证与是否相等即可；
B：验证与相等，从而可知为f(x)的一个周期，再验证f(x)在(0，)的单调性即可判断为最小正周期；
C、D：由B选项即求f(x)最大值和最小值.
【详解】，故选项A正确；
∵，
故为的一个周期.
当时，，
此时，
令，得，故.
∵当时，；当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，故的最小正周期为，选项B错误；
由上可知在上的最小值为，最大值为，由的周期性可知，选项CD均正确.
故选：ACD.
42．C
【分析】判断是否成立判断A；判断是否成立判断B；由确定判断C；利用复合函数的单调性判断D作答.
【详解】依题意，，
因此的一个周期是，A正确；
因为
，所以的图象关于直线对称，B正确；
因为，则，于是，C错误；
当时，且单调递增，函数在上单调递增，
因此在 上为增函数，
当时，函数且单调递减，函数在上单调递减，
因此在 上为增函数，
所以函数是上的增函数，D正确.
故选：C
43．AB
【分析】根据函数的周期性，对称性逐项检验即可判断ABC，利用正余弦函数的性质可判断D．
【详解】A中，因为，所以，所以A正确；
B中，由A可得，，所以，所以可得是函数的对称轴，所以B正确；
C中，因为，而，所以对称轴为，所以C不正确；
D中，因为，所以，所以D不正确，
故选：AB．
44．ABD
【分析】根据正弦函数和余弦函数的性质判断选项A；根据奇偶性的定义判断选项B；根据正弦函数和余弦函数的单调性判断选项C；根据函数周期性的定义判断选项D．
【详解】选项A，与的定义域都是，A错误；
选项B，，为偶函数，
，为偶函数，B错误；
选项C，，且在上单调递增，在上单调递减，；
，且在上单调递增，，C正确；
选项D，，，则与都是周期函数，故D错误；
故选：ABD
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页微考点3-1 新高考中三角函数的图象与性质应用中的
九大核心考点
【考点目录】
考点一：三角函数识图问题
考点二：由三角函数图象的基本性质求参数（解析式）
考点三：三角函数图象的周期性的综合应用
考点四：三角函数图象的对称性、奇偶性的综合应用
考点五：三角函数图象的单调性
考点六：三角函数中范围问题
考点七：三角函数图象的平移问题
考点八：三角函数图象加绝对值问题
考点九：三角函数图象的综合运用
考点一：三角函数识图问题
【精选例题】
1．函数的图象可能是（ ）．
A． B． C． D．
2．函数的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．以下四个选项中的函数，其函数图象最适合如图的是（ ）

A． B．
C． D．
【跟踪训练】
4．函数的大致图像为（ ）
A． B．
C． D．
5．函数的大致图象为（ ）
A． B． C． D．
6．函数在区间内的图象是（ ）
A． B．
C． D．
考点二：由三角函数图象的基本性质求参数（解析式）
解题思路：①一般先由最高点最低点求振幅；②再由周期性求的值；③再根据最值或五点法作图求
【精选例题】
7．设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数（，）的部分图象如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
9．设函数的部分图象如图所示，若，且，则（ ）

A． B． C． D．
10．如图是某质点作简谐运动的部分图象，位移（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系式是，则下列命题正确的是（ ）

A．该简谐运动的初相为
B．该简谐运动的频率为
C．前6秒该质点的位移为
D．当时，位移随着时间的增大而增大
11．已知函数的部分图象如图所示，且阴影部分的面积为，若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 ．

12．已知函数的部分图象如图所示．
(1)求的解析式；
(2)将图象上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若与的图象关于对称，求不等式的解集．
【跟踪训练】
13．已知函数，部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数的图象关于直线对称
C．函数在上单调递增
D．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象
14．如图所示的曲线为函数（，，）的部分图象，将图象上的所有点的横坐标伸长到原来的，再将所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）

A．函数在上单调递减 B．点为图象的一个对称中心
C．直线为图象的一条对称轴 D．函数在上单调递增
15．如图，已知函数（）的图像与轴的交点为 ，并已知其在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和．记，则 ．
16．已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为 ．
17．函数的部分图象如图所示，现将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向下平移1个单位所得图象对应的函数为，则下列结论正确的是（ ）
A．函数在区间单调递减
B．
C．点是函数图象的一个对称中心
D．直线是函数的一条对称轴
考点三：三角函数图象的周期性的综合应用
【精选例题】
18．下列函数中是奇函数，且最小正周期是的函数是（ ）
A． B．
C． D．
19．记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（ ）
A．1 B． C． D．3
20．已知的最大值为，若存在实数，使得对任意实数总有成立，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
21．函数是（ ）
A．最小正周期为的偶函数
B．最小正周期为的奇函数
C．最小正周期为的奇函数
D．最小正周期为的偶函数
22．函数的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
23．设函数，则的最小正周期（ ）
A．与有关，且与有关 B．与有关，但与无关
C．与无关，且与无关 D．与无关，但与有关
【跟踪训练】
24．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上为减函数的是（ ）
A． B．
C． D．
25．在下列四个函数，①②（3）④中，最小正周期为π的所有函数为（ ）
A．①②③ B．②③④ C．②③ D．③④
26．下列函数中，以为周期且在区间单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
27．下列选项中满足最小正周期为，且在上单调递增的函数为（ ）
A． B． C． D．
28．函数的最小正周期（ ）
A．与有关，且与有关 B．与有关，但与无关
C．与无关，且与有关 D．与无关，与无关
29．已知函数的图象关于点中心对称，其最小正周期为T，且，则（ ）
A． B． C．1 D．
【精选例题】
30．已知函数，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
31．将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若直线是图象的一条对称轴，则的值可能为（ ）
A． B． C． D．
32．已知函数的图象关于点对称，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
33．将图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，则的一个对称中心为（ ）
A． B． C． D．
34．已知的图象关于对称，则函数的图象的一条对称轴是（ ）
A． B． C． D．
35．已知，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
36．若为偶函数，则 ．
【跟踪训练】
37．已知是常数，若函数图像的一条对称轴是直线．则的值不可能在区间（ ）中．
A． B． C． D．
38．将函数的图象向左平移个单位长度后得到的函数为奇函数，则实数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
39．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A． B．函数的最小正周期为2
C．函数的对称轴方程为 D．函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
40．下列坐标所表示的点中，是函数图像的对称中心的是（ ）
A． B． C． D．
41．下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．定义域为 B．在区间上单调递增
C．最小正周期是 D．图象关于直线对称
42．已知函数，曲线的一个对称中心为，一条对称轴为，则的最小值为 .
43．已知函数对任意实数x都有成立，且，则实数b的值为 ．
44．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数为偶函数，则
45．函数的最大值为，最小值为，若，则 ．
46．若函数为偶函数，则 .
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】利用排除法，结合函数的奇偶性以及函数值的符号分析判断.
【详解】因为定义域为，
且，
所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故B，D都不正确；
对于C，时，，，
所以，所以，故C不正确；
对于选项A，符合函数图象关于原点对称，也符合时，，故A正确．
故选：A.
2．A
【分析】根据函数的奇偶性可排除两个选项，再由特殊值的函数值即可得解.
【详解】函数的定义域为，
因为，
所以函数为奇函数，函数图像关于原点对称，故排除C，D，
当时，，故,
而，故此时，故排除B．
故选：A．
3．B
【分析】通过图像，知当时，及函数图像关于轴对称，再逐一对各个选项分析判断即可得出结果.
【详解】由图知，当时，，选项C，当时，，所以选项C错误；
又由图知，函数图像关于轴对称，对于选项A，，，，所以选项A不正确；
对于选项B，，所以，所以选项B满足题意；
选项D，，，，所以选项D不正确.
故选：B.
4．D
【分析】根据函数奇偶性和特殊点的函数值进行判断即可.
【详解】函数定义域为，
又因为，
所以函数是奇函数，函数图像关于原点对称，故A和B错误；
当时，则，故C错误.
故选：D.
5．D
【分析】对函数化简后，利用排除法，先判断函数的奇偶性，再取特殊值判断即可
【详解】因为，，
所以为偶函数，所以函数图象关于轴对称，所以排除A，C选项；
又，所以排除B选项，
故选：D．
6．B
【分析】分别在和的情况下，化简函数解析式，根据正切函数和正弦函数的单调性和性质可判断出结果.
【详解】当时，，
此时函数为减函数，且，可排除CD；
当时，，
此时函数为增函数，且，可排除A.
故选：B.
7．C
【分析】由图可得：函数图象过点，即可得到，结合是函数图象与轴负半轴的第一个交点即可得到，即可求得，再利用三角函数周期公式即可得解.
【详解】由图可得：函数图象过点，
将它代入函数可得：
又是函数图象与轴负半轴的第一个交点，
所以，解得：
所以函数的最小正周期为
故选：C
【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.
8．B
【分析】利用图象得出，，进而求得，再代入点坐标，可得，进而求出.
【详解】由函数的图像可知，
，则，．
由，解得，
则，
故，.
故选：B
9．C
【分析】先由图象得出函数解析式再利用三角函数的图象与性质计算即可.
【详解】由图象可知：，
结合五点法作图可得，故．
如果，且，
则，
由正弦函数的对称性可知，
所以.
故选：C．
10．AD
【分析】由图易得，再代入可得，然后根据每个选项逐个分析即可
【详解】由图可知，∴
故此时，再代入点可得，
且在内，随着的增大而增大，
此时，故，∴，
对于A：∵，∴该简谐运动的初相为，故A正确；
对于B：∵，∴，∴，∴B错误；
对于C：当时，，∴C错误；
对于D：时，，
∴当，时，且，
所以根据的单调性可得，位移随着时间的增大而增大，∴D正确．
故选：AD．
11．
【分析】先根据图像及阴影面积求出周期，再结合三角函数单调性求出m的范围即可.
【详解】由图可知．连接，
则根据三角函数图象的对称性，知阴影部分的面积等于平行四边形的面积，
易知，所以，
所以．
因为函数的图象过点，且该点位于的递增区间，
所以，即．
因为，所以当时，，则，
于是由，得函数的单调递增区间为，
当时，函数的一个单调递增区间为，
所以，
由题意知，实数的取值范围是．

故答案为：
12．(1)
(2)
【分析】（1）根据函数的图象，得到，求得，再根据，得到，结合，求得，即可求解；
（2）根据三角函数的图象变换和对称性，求得即，由，结合余弦函数的性质，得到，即可求解.
【详解】（1）由函数的图象，可得，所以，
又由，所以，可得，所以，
因为，即，
解得，即，
又因为，所以，所以，
即函数的解析式为.
（2）将图象上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），
得到函数，
设是函数的图象上的任意一点，点关于直线的对称点为，
则，代入函数，
可得，即，
又由不等式，即，
设，即，
由余弦函数的性质，可得，即，
解得或，
即，
即不等式的解集为.
13．ABC
【分析】由图像求出表达式，再逐项判断即可.
【详解】由图可知，函数的周期，，由，解得，
将代入函数，可得方程，解得，
由，则，所以.A正确
对于B，由，则，根据正弦函数的对称性，
可知直线是函数的对称轴，故B正确；
对于C，由，则，根据正弦函数的单调性，
函数在上单调递增，故C正确；
对于D，由，
该函数图象向左平移个单位可得新函数的解析式为
，故D错误.
故选：ABC.
14．CD
【分析】由图象求出三角函数的表达式，通过分析该函数的的性质，即可得出选项.
【详解】由图象知 ,
∵,
∴ 的一个最低点为 ,
∵ 的最小正周期为 ,
∴ .
∵, 则 ,
∴, 即 ,
∵ ,
∴,
∴ .
将函数 图象上的所有点的横坐标伸长到原来的得： 的图象, 再把所得曲线向右平移个单位长度得 ：，即 .
由 得 , ,
由 得, ，
∴在上单调递增, 在上单调递减，
∴当时, 可知 在上单调递增, 在上单调递减，
∴A错误；
B项，
∵ ,
∴ 不是图象的一个对称中心, 故B错误；
C项，
∵ ,
∴直线是图象的一条对称轴，故C正确；
D项，
∵在上单调递增, C
∴函数在上单调递增, 故D正确.
故选：CD.
15．
【分析】由图象可知且，根据求出，将点代入解析式求出，进而求出的解析式，即可求解.
【详解】由题意知，函数图象在y轴的右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为，
则，且，得，
又，所以，
所以，又函数图象过点，
所以，由解得，
故，
所以.
故答案为：
16．2
【分析】先根据图象求出函数的解析式，再求出的值，然后求解三角不等式可得最小正整数或验证数值可得.
【详解】由图可知，即，所以；
由五点法可得，即；
所以.
因为，；
所以由可得或；
因为，所以，
方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足，即，
解得，令，可得，
可得的最小正整数为2.
方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足，又，符合题意，可得的最小正整数为2.
故答案为：2.
【点睛】关键点睛：根据图象求解函数的解析式是本题求解的关键，根据周期求解，根据特殊点求解.
17．B
【分析】根据图象求出函数的解析式，进而利用正弦函数的性质逐项进行分析即可.
【详解】由图象可知，又由于，
所以，由图象可知，
则，所以，则.
又因为，所以，则，
将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向下平移1个单位所得图象对应的函数为，
对于选项A，当，则，函数先减后增，故选项A错误；
对于选项B，，故选项B正确；
对于选项C，，所以点不是函数图象的对称中心，故选项C错误；
对于选项D，因为，所以直线不是函数的一条对称轴，故选项D错误，
故选：B.
18．D
【分析】确定和，为偶函数，排除，验证D选项满足条件，得到答案.
【详解】对选项A：，函数定义域为，，
函数为偶函数，排除；
对选项B：，函数定义域为，，
函数为偶函数，排除；
对选项C：，函数定义域为，，
函数为偶函数，排除；
对选项D：，函数定义域为，
，函数为奇函数，，满足条件；
故选：D.
19．A
【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.
【详解】由函数的最小正周期T满足，得，解得，
又因为函数图象关于点对称，所以，且，
所以，所以，，
所以.
故选：A
20．B
【分析】化简得到，即可得到，，然后根据题意求的最小值即可.
【详解】，
所以，，
由题意得为最小值，为最大值，
所以最小为半个周期，
所以的最小值为.
故选：B.
21．D
【分析】使用三角恒等变换对三角进行化简，次数降为一次后用相关公式直接求解即可.
【详解】易知,
则，故是偶函数，且
故选：D
22．C
【分析】先利用辅助角公式将函数化简，再根据图象性质求周期.
【详解】，
将函数图象在x轴下方部分翻折到x轴上方，所以最小正周期为.
故选：C.
23．D
【分析】根据三角函数的周期性，结合周期成倍数关系的两个函数之和，其周期为这两个函数的周期的最小公倍数这一结论，解答即可.
【详解】，
对于，其最小正周期为，对于，其最小正周期为，
所以对于任意，的最小正周期都为，
对于，其最小正周期为，
故当时，，其最小正周期为；
当时，，其最小正周期为，
所以的最小正周期与无关，但与有关.
故选：D.
【点睛】结论点睛：若两个函数的周期成倍数关系，则这两个函数之和是周期函数，且其周期为这两个函数的周期的最小公倍数.
24．B
【分析】AC选项，最小正周期不是；D选项，在上为增函数；B选项，画出的图象，得到B正确.
【详解】对于选项A：由于的周期为，故选项A不正确；
对于选项B：画出的图象，可以看出以为最小正周期，且在区间上为减函数，

故选项B正确；
对于选项C：故由于的周期为，故选项C不正确；
对于选项D：由于在区间上为增函数，故选项D不正确.
故选：B
25．B
【分析】对每一个函数逐一研究其周期即可得解.
【详解】①，为偶函数，不具有周期性，①不满足题意；
②函数的图像是将的图像在轴下方的全部对称到轴上方，故函数的最小正周期为，故②满足题意；
③函数的周期为，故③满足题意；
④函数的周期为，故④满足题意.
故选：B.
26．B
【分析】先根据周期为排除CD选项，再结合单调性可得答案.
【详解】因为，所以周期为，不符合题意；
对于，，，
所以周期不是，不合题意；
对于，周期为，但是在区间单调递减，不合题意；
对于，周期为，当时，，
在区间单调递增，符合题意.
故选：B.
27．C
【分析】利用周期排除A， B，再利用复合函数单调性在C ，D中可得到正确答案.
【详解】对选项A， B其周期为，选项C ，D其周期为，故排除选项A， B；
对于C：在上为单调递减，则在上为单调递增，故C正确；
对于D：在上为单调递增，则在上为单调递减，故D错误.
故选：C
28．B
【分析】直接利用同角三角函数关系式的变换的应用，把函数的关系式变形成二次函数的形式，进一步求出函数的周期的影响变量．
【详解】解：函数
，
所以函数的关系式，是以为自变量的二次函数，
所以函数的周期与有关，与无关.
当时，，
所以函数的最小正周期为，
当时，，
所以函数的最小正周期为．
故选：B．
29．D
【分析】利用降幂公式得，再根据其对称性得到，则得到函数解析式，再解出，利用其周期性得到，则可得到值.
【详解】根据题意，，因为的图象关于点中心对称，
分析可得，则，
所以，
则，解得，
又因为最小正周期为，且，所以，则，
所以当时，的值为．
故选：D．
30．D
【分析】根据周期的计算可判断A，根据对称轴以及对称中心可判断BC，代入验证的表达式可判断D.
【详解】由，得的最小正周期为，故选项A正确；
因为，所以关于点对称，故选项B正确；
因为，所以关于直线对称，故选项C正确；
因为而
，所以，故选项D错误.
故选：D
31．B
【分析】由题意先求出表达式，再根据正弦函数的对称轴即可列出方程求出.
【详解】由题意，
因为直线是图象的一条对称轴，
所以，则，
对比选项可知当时，．
故选：B．
32．A
【分析】利用辅助角公式化简，结合其图象关于点对称，可推出辅助角的表达式，结合其意义求得a的值，再结合函数最值以及周期，即可求得答案.
【详解】由题意得，（），
由于函数的图象关于点对称，
故，即，
由于，故，
故，最小正周期为，
由于，故中的一个为函数最大值，另一个为最小值，
即的最小值为，
故选：A
33．A
【分析】先根据图像变换得到的解析式，再求出的对称中心，最后逐一验证选项的点是否符合即可.
【详解】图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍得到，
令，解得，所以的对称中心为，
对于A：令，解得，所以是的一个对称中心，A正确；
对于B：令，解得，B错误；
对于C：令，解得，C错误；
对于D：令，解得，D错误，
故选：A
34．A
【分析】化简后结合三角函数的对称轴即可求解.
【详解】，
又图象关于对称，，可以求得，
故，
对称轴为，时即A项．
故选：A．
35．A
【分析】计算，，计算得到答案.
【详解】，则
.
故.
故选：A
36．.
【分析】化简函数为，结合，得出方程，即可求解.
【详解】由函数，
因为函数为偶函数，即，
又由，
所以，
所以，解得.
故答案为：.
37．C
【分析】由的对称性可得，求出，即可得出答案.
【详解】由的图象可知函数的对称轴为：，
因为函数图像的一条对称轴是直线，
所以，所以，
当，；当，；当，；
故ABD正确，C错误.
故选：C.
38．C
【分析】根据题意，利用三角函数的图象变换，求得，再由为奇函数，求得，进而得到取得最小值.
【详解】由函数，将函数的图象向左平移个单位长度后，
得到函数，
又由为奇函数，所以，解得，
因为，所以当时，取得最小值，最小值为.
故选：.
39．AC
【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的图象与性质逐项判断即得.
【详解】函数，A正确；
函数的最小正周期为，B错误；
由，得函数的对称轴方程，C正确；
函数的图象可由的图象向右平移个单位长度得到，
而的图象向左平移个单位长度得到的函数不能化成，D错误.
故选：AC
40．ABD
【分析】令，求出对称中心横坐标，对四个选项一一进行判断.
【详解】令，解得，
A选项，当时，，故对称中心为，A正确；
B选项，当时，，故对称中心为，B正确；
C选项，令，解得，不合要求，舍去，C错误；
D选项，当时，，故对称中心为，D正确；
故选：ABD
41．ACD
【分析】根据正切型函数的定义域、单调性、周期性、对称性结合绝对值函数的性质逐项判断即可.
【详解】函数，定义域满足，
解得，所以函数定义域为，故A正确；
当，则，所以函数在区间上单调递增，
则函数在区间上先减后增，故B不正确；
函数的最小正周期，
所以函数的最小正周期是，故C正确；
函数的对称轴满足，所以，
则函数图象关于直线对称，故D正确.
故选：ACD.
42．9
【分析】分别由对称轴和对称中心可得的表达式，由综合可得．
【详解】因为为的一个对称中心，为的一条对称轴，
，得，
，，代入①得，
，当，时，.
故答案为：9.
43．或
【分析】根据函数对称性以及三角函数的最值求解即可.
【详解】因为函数对任意实数x都有成立，
所以函数关于对称，
所以或，
代入，解得或.
故答案为：或
44．
【分析】利用三角函数平移变换求出，然后根据奇偶性求出参数的值.
【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，
得，
因为为偶函数，即为对称轴，
所以，
化简得，
因为，所以.
故答案为：
45．
【分析】将函数解析式化为，设，则，记，则为奇函数，根据奇函数的性质及，即可求得的值.
【详解】因为，
设，
则，
设，
则，
所以是上的奇函数，最大值为，最小值为，
所以，
由，得，
故答案为：
46．或
【分析】由题意可知为偶函数，所以，根据可得解
【详解】，
，
为偶函数，
，
，
或.
故答案为：或.
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