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微考点3-2 新高考新试卷结构立体几何解答题中与旋转体有关的问题
考点一：求直线和平面所成的角
如图，设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有.（易错点）
考点二：求二面角
如图，若于于，平面交于，则为二面角的平面角，.
若分别为面的法向量，，则二面角的平面角或，即二面角等于它的两个面的法向量的夹角或夹角的补角.
①当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于的夹角的大小.
②当法向量的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于的夹角的补角的大小.
③已知和分别是二面角的半平面的法向量，记二面角的大小为，若半平面，半平面（），则当与同号时，二面角的大小等于的夹角的大小.当与异号时，二面角的大小等于的夹角的补角的大小.
【精选例题】
【例1】
1．如图，四边形是圆柱的轴截面，圆柱的侧面积为，点在圆柱的底面圆周上，且是边长为的等边三角形，点是的中点.

(1)求证：平面；
(2)求二面角的正弦值.
【例2】
2．如图，已知的直角边，点是从左到右的四等分点（非中点）.已知椭圆所在的平面⊥平面，且其左右顶点为，左右焦点为，点在上.
(1)求三棱锥体积的最大值；
(2)证明：二面角不小于60°.
【例3】
3．如图所示，圆台的上、下底面圆半径分别为和，为圆台的两条不同的母线.
(1)求证：；
(2)截面与下底面所成的夹角大小为，且截面截得圆台上底面圆的劣弧的长度为，求截面的面积.
【例4】
4．已知椭圆C：（，）的左、右焦点分别为、，离心率为，经过点且倾斜角为（）的直线l与椭圆交于A、B两点（其中点A在x轴上方），的周长为8．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)如图，将平面xOy沿x轴折叠，使y轴正半轴和x轴所确定的半平面（平面）与y轴负半轴和x轴所确定的半平面（平面）互相垂直．
①若，求三棱锥的体积，
②若，异面直线和所成角的余弦值；
③是否存在（），使得折叠后的周长为与折叠前的周长之比为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
【例5】
5．如图，在圆锥中，是圆的直径，且是边长为4的等边三角形，为圆弧的两个三等分点，是的中点.
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
【例6】
6．如图，AB是半球O的直径，，依次是底面上的两个三等分点，P是半球面上一点，且．
(1)证明：；
(2)若点在底面圆上的射影为中点，求直线与平面所成的角的正弦值．
【跟踪训练】
7．如图所示，用平面 表示圆柱的轴截面，是圆柱底面的直径，为底面圆心，为母线 的中点，已知 为一条母线，且 ．

(1)求证：平面 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值．
8．如图，四边形是圆柱的轴截面，圆柱的侧面积为，点在圆柱的底面圆周上，且是边长为的等边三角形，点是的中点.

(1)求证：平面；
(2)求二面角的正弦值.
9．如图所示的几何体是由一个直三棱柱和半个圆柱拼接而成.其中，，点为弧的中点，且四点共面.
(1)证明：四点共面；
(2)若平面与平面夹角的余弦值为，求长.
10．如图，矩形是圆柱的一个轴截面，、分别为上下底面的圆心，为的中点，，．

(1)当点为弧的中点时，求证：平面；
(2)若点为弧的靠近点的三等分点，求直线与平面所成角的正弦值．
11．如图所示，圆台的上 下底面圆半径分别为和为圆台的两条不同的母线.分别为圆台的上 下底面圆的圆心，且为等边三角形.
(1)求证：；
(2)截面与下底面所成的夹角大小为，求异面直线与所成角的余弦值.
12．如图，线段是圆柱的母线，BC是圆柱下底面圆的直径．
(1)弦AB上是否存在点，使得平面，请说明理由；
(2)若，，，求二面角的余弦值．
13．如图，圆台的轴截面为等腰梯形为底面圆周上异于的点
(1)若是线段的中点，求证：平面
(2)若，设直线为平面与平面的交线，点与平面所成角为，求的最大值.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．(1)证明见解析
(2)
【分析】
（1）要证平面，需证①和②，而证明①，只需证明，可计算得到；要证②，需证平面，此结论易得；
（2）借助于过点的母线和建系，求出各相关点坐标和向量，由两平面的法向量，利用空间向量的夹角公式计算即得.
【详解】（1）点在圆柱的底面圆周上，，
四边形是圆柱的轴截面，平面，
因平面
平面，平面，
而平面①.
是边长为的等边三角形，，
.
圆柱的侧面积为，即，
则，又点是的中点，②.
又平面，由① ② 可得平面.
（2）
以为坐标原点，以及过点与平行的直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
则，.
设平面的法向量为，则
令，得.
由（1）知，平面，故是平面的一个法向量.
由图知二面角为锐角，设为，则，
，即二面角的正弦值为.
2．(1)
(2)证明见解析
【分析】
（1）根据题中条件求得椭圆的方程，表示出三棱锥的体积，利于点横坐标的范围即可求解；
（2）建立空间直角坐标系，设点，利于空间向量求得两个平面法向量夹角的余弦值，利于导数考查范围即可求解.
【详解】（1）因为椭圆所在的平面⊥平面,且交线为,
又平面,,则平面,
取中点，以为坐标原点，
建立如图所以空间直角坐标系．
设点．椭圆的方程为，
由题意，易知，
，,
则，，
解得，所以．
故三棱锥体积的最大值是．
（2）易知，，，
设，
则，，
,，
设平面的一个法向量，则
,
令，则，，
所以平面的一个法向量，
设平面的一个法向量，
则
令，则，
，
令，
则
，
当时，则，
所以，
令，
，
因为，所以，
令得，当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
,
当时，
令，
，
设，
则，
所以单调递减，所以，
即单调递减，，
综上，对成立，
即，
即，故二面角不小于60°得证．
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键一是设把三角函数转化为关于的函数；二是利于导数分类讨论考查函数的单调性，从而求得范围.
3．(1)证明见解析
(2)
【分析】
（1）根据台体的结构特征可知四点共面，结合面面平行的性质定理分析证明；
（2）解法一：建系，利用空间向量结合面面夹角可得，进而求截面面积；解法二：分别取的中点为，分析可知为截面与底面所成夹角，可得，进而求截面面积.
【详解】（1）因为圆台可以看做是由平行于圆锥底面的平面去截圆锥而得到，所以圆台的母线也就是生成这个圆台的圆锥相应母线的一部分.
可知母线与母线的延长线必交于一点，即四点共面，
又因为圆面∥圆面，且平面圆面，平面圆面，
所以∥.
（2）解法一：因为劣弧的长度为，则
由，可得.
如图，建立空间直角坐标系，设，

则，
可得，
设平面的一个法向量为，则，
令，则，可得，
由题意可知：底面的一个法向量，
因为截面与下底面所成的夹角大小为，
则，
解得，即，可得，
在等腰梯形中，，
可得等腰梯形的高，
所以.
解法二：如图，分别取的中点为，连结，，
由题意可得：，
所以为截面与底面所成夹角，即，

过点作于点，由，得，
则（即梯形的高），
所以.
4．(1)
(2)①；②；③存在，
【分析】
（1）由椭圆定义求得，结合离心率求得，再求出后即得椭圆标准方程；
（2）①求得点坐标，确定折叠后新坐标，然后由体积公式计算体积；②建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求异面直线所成的角；③建立解析中所示空间直角坐标系，设折叠前，，折叠后A，B在新图形中对应点记为，，，由三角形周长求得，设方程为，代入椭圆方程应用韦达定理得，，用坐标表示变形后代入，求出值，从而可得结论．
【详解】（1）
由椭圆的定义知：，，
所以的周长，所以，
又椭圆离心率为，所以，所以，，
由题意，椭圆的焦点在x轴上，
所以椭圆的标准方程为；
（2）
①由直线l：与，
由得或，
所以（因为点A在x轴上方）以及，
，，
②O为坐标原点，折叠后原y轴负半轴，原x轴，原y轴正半轴所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则

，，，，
，．
记异面直线和所成角为，则；
③设折叠前，，折叠后A，B在新图形中对应点记为，，，
折叠前周长是8，则折叠后周长是，
由，，故，
设方程为，
由，得，
，，
在折叠后的图形中建立如图所示的空间直角坐标系（原x轴仍然为x轴，原y轴正半轴为y轴，原y轴负半轴为z轴）；

，，
所以，（ⅰ）
又，
所以，（ⅱ）
由（ⅰ）（ⅱ）可得，
因为，
所以，
即，
所以，解得，
因为，所以．
5．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）证明：取的中点，连接，由题意可证得，再由线面平行的判定定理证明即可；
（2）以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.求出平面与平面的法向量，由二面角的向量公式求解即可.
【详解】（1）证明：取的中点，连接.
因为为圆弧的两个三等分点，所以.
因为分别为的中点，所以，
则，从而四边形为平行四边形，
故.因为平面平面，所以平面.
（2）解：以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系.
因为，所以，，
则.
设平面的法向量为，
则令，得.
设平面的法向量为，
则令，得.
设平面与平面所成锐二面角为，
则.
故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
6．(1)证明见解析
(2)
【分析】
（1）根据题意证明面，得到，再结合线面垂直的判定定理得证；
（2）根据题意建立空间直角坐标系，结合线面角的空间向量计算公式进行求解即可.
【详解】（1）连接，
因为依次是底面上的两个三等分点，
所以四边形是菱形，设，则为中点，且，
又因为，故是等边三角形，
连接，则，
又因为面，，所以面，
因为面，所以，
因为依次是底面上的两个三等分点，所以，所以，
又因为AB是半球O的直径， P是半球面上一点，所以，
因为面，，所以面，
又因为面，所以
（2）因为点在底面圆上的射影为中点，
所以面，
因为面，所以，
又因为，
所以以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，
所以，
所以，
设平面的法向量，
则，令，则，
设直线与平面所成角为，
则
所以直线与平面所成角的正弦值为
7．(1)证明见解析；
(2).
【分析】
（1）根据图形特征结合勾股逆定理先证，由线线垂直得线面垂直，根据线面垂直的性质可得面面垂直；
（2）建立合适的空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值.
【详解】（1）依题意可知，则是等腰直角三角形，故，
由圆柱的特征可知平面，又平面，，
因为平面，则平面，
而平面，则，
因为，则，
，
所以，
因为，，平面，
所以平面，
因为平面，所以平面平面；
（2）
由题意及（1）知易知两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系

则，
所以，
由（1）知是平面的一个法向量，设是平面的一个法向量，
则有，取，所以，
设平面 与平面 的夹角为，
所以.
即平面 与平面 夹角的余弦值为.
8．(1)证明见解析
(2)
【分析】
（1）要证平面，需证①和②，而证明①，只需证明，可计算得到；要证②，需证平面，此结论易得；
（2）借助于过点的母线和建系，求出各相关点坐标和向量，由两平面的法向量，利用空间向量的夹角公式计算即得.
【详解】（1）点在圆柱的底面圆周上，，
四边形是圆柱的轴截面，平面，
因平面
平面，平面，
而平面①.
是边长为的等边三角形，，
.
圆柱的侧面积为，即，
则，又点是的中点，②.
又平面，由① ② 可得平面.
（2）
以为坐标原点，以及过点与平行的直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
则，.
设平面的法向量为，则
令，得.
由（1）知，平面，故是平面的一个法向量.
由图知二面角为锐角，设为，则，
，即二面角的正弦值为.
9．(1)证明见解析；
(2).
【分析】
（1）连接，由题意可得，根据平行线性质有，即可证结论；
（2）法1：构建空间直角坐标系，应用向量法求面面角列方程求线段长；法2：取中点，连接，过作于，过作于，连接，利用线面垂直及面面角定义有是平面与平面所成的夹角，根据已知列方程求线段长.
【详解】（1）连接，因为，
所以直棱柱的底面为等腰直角三角形，，
在半圆上，是弧中点，所以，
所以，又，
所以，所以四点共面.
（2）法1：直棱柱中，以为原点，建立如图空间直角坐标系，
设，则，
设面的法向量为，则，取，所以，
，
设面的法向量为，则，取，所以，
平面与平面所成夹角，即与夹角或其补角，
所以，解得，所以
法2：设，由（1）知四点共面，则面面.

取中点，连接，则，而面，面，
故，，面，则平面，
过作于，又平面，所以平面，
过作于，连接，则，又是锐角.
所以是平面与平面所成的夹角，则，
所以在Rt中，，
在中，根据等面积法，
在中，.
所以.
所以，解得，即，
所以.
10．(1)证明见解析；
(2).
【分析】
（1）只需证明，，再利用线面垂直的判定定理证明即可；
（2）结合（1）问，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量求法求解即可.
【详解】（1）结合题意:易知底面是以为圆心，以为直径的半圆，
因为点为弧的中点，所以，
因为矩形是圆柱的一个轴截面，
所以面,
因为面,所以,
因为,且平面，
所以平面.
（2）取弧的中点连接,由（1）问可知：平面，
且易得，,,
故以坐标原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系如图所示：
因为，，点为弧的靠近点的三等分点，
所以,
所以
因为为的中点，所以，所以,
设平面的法向量为，
则,即，令，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.

11．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）依题四点共面，利用面面平行的性质定理即可证明；
（2）建立空间直角坐标系，利用截面与下底面所成的夹角可求得的大小，继而利用向量夹角余弦值向量表示求解即可.
【详解】（1）证明圆台可以看做是由平行于圆锥底面的平面去截圆锥而得到，
所以圆台的母线也就是生成这个圆台的圆锥相应母线的一部分.
母线与母线的延长线必交于一点，
四点共面.
圆面圆面，
且平面圆面，平面圆面.
.
（2）为等边三角形，
，如图建立空间直角坐标系，
设.
.
设平面的一个法向量.则有：
令，则.
底面的一个法向量，
因为截面与下底面所成的夹角大小为，
所以，
，
，
又坐标为.
，
.
异面直线与所成角的余弦是.
12．(1)存在，当点为中点时，理由见解析.
(2)
【分析】
（1）先确定点为的中点，再证明平面平面，再根据面面平行的性质即可得出结论；
（2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
【详解】（1）当点为的中点时，平面，证明如下：
取的中点，连接，
∵分别为的中点，则，
又平面，平面，
∴平面，
又∵，
平面，平面，
∴平面，
，平面，
∴平面平面，
由于平面，故平面；

（2）∵是的直径，可得，即，
且，，故，，
如图，以点为原点建立空间直角坐标系，
则，，，，
得，，
设为平面的一个法向量，
则，令，则，可得，
因为轴平面，
则可取平面的一个法向量为，
设二面角为，
则，
所以二面角的余弦值为.

13．(1)证明见解析
(2)
【分析】
（1）取中点，连接，通过证明四边形为平行四边形得到，然后根据线面平行的判定定理完成证明；
（2）延长交于点，建立合适空间直角坐标系，然后利用向量法表示出，再根据二次函数的性质求解出最大值即可.
【详解】（1）
取中点，连接，如图，
因为为中点，所以，
在等腰梯形中，，
所以，
所以四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以平面；
（2）延长交于点，作直线，则直线即为直线，
，则，
以直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
在等腰梯形中，，
此梯形的高为，
因为，所以为的中位线，
则，
所以，
设，则，
设平面的一个法向量为，
则，令，得，
则有：，
令，则，
当时，，此时，
当时，，
当且仅当，即时取等号，
综上所述，的最大值为.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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