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2023-2024学年第二学期天域全国名校协作体联考
高三年级数学学科 试题
考生须知：
1.本卷共5页满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。
4.考试结束后，只需上交答题纸。
选择题部分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知，是全集的非空子集，且，则（ ）
A. B. C. D.
2.我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图象特征.则函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
3.已知复数且有实数根，则（ ）
A. B.12 C. D.20
4.已知等边的边长为2，点，分别为，的中点，若，则（ ）
A.1 B. C. D.
5.已知，是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点满足，则双曲线离心率的最小值为（ ）
A. B. C.2 D.
6.在数列中，为其前项和，首项，且函数的导函数有唯一零点，则（ ）
A.26 B.63 C.57 D.25
7.已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，，则（ ）
A.4036 B.4040 C.4044 D.4048
8.已知直线与曲线有三个交点、、，且，则以下能作为直线的方向向量的坐标是（ ）.
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知由样本数据组成的一个样本，得到回归直线方程为，且.剔除一个偏离直线较大的异常点后，得到新的回归直线经过点.则下列说法正确的是（ ）
A.相关变量，具有正相关关系
B.剔除该异常点后，样本相关系数的绝对值变大
C.剔除该异常点后的回归直线方程经过点
D.剔除该异常点后，随值增加相关变量值减小速度变小
10.在平面直角坐标系中，角以坐标原点为顶点，以轴的非负半轴为始边，其终边经过点，，定义，，则（ ）
A. B.
C.若，则 D.是周期函数
11.如图，多面体由正四棱雉和正四面体组合而成，其中，则下列关于该几何体叙述正确的是（ ）
A.该几何体的体积为 B.该几何体为七面体
C.二面角的余弦值为 D.该几何体为三棱柱
非选择题部分
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.从某工厂生产的零件中随机抽取11个，其尺寸值为43，45，45，45，49，50，50，51，51，53，57（单位：mm），现从这11个零件中任取3个，则3个零件的尺寸刚好为这11个零件尺寸的平均数、第六十百分位数、众数的概率为________.
13.已知偶函数的图像关于点中心对称，且在区间上单调，则________.
14.若实数，满足，则的最大值为________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知函数，
（1）若在定义域内是减函数，求的取值范围；
（2）当时，求的极值点.
16.（15分）
据新华社北京2月26日报道，中国航天全年预计实施100次左右发射任务，有望创造新的纪录，我国首个商业航天发射场将迎来首次发射任务，多个卫星星座将加速组网建设；中国航天科技集团有限公司计划安排近70次宇航发射任务，发射290余个航天器，实施一系列重大工程任务。由于航天行业拥有广阔的发展前景，有越来越多的公司开始从事航天研究，某航天公司研发了一种火箭推进器，为测试其性能，对推进器飞行距离与损坏零件数进行了统计，数据如下：
飞行距离 56 63 71 79 90 102 110 117
损坏零件数（个） 61 73 90 105 119 136 149 163
参考数据：，，，
（1）建立关于的回归模型，根据所给数据及回归模型，求关于的回归方程（精确到0.1，精确到1）；
（2）该公司进行了第二项测试，从所有同型号推进器中随机抽取100台进行等距离飞行测试，对其中60台进行飞行前保养，测试结束后，有20台报废，其中保养过的推进器占比30%，请根据统计数据完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为推进器是否报废与保养有关？
保养 未保养 合计
报废 20
未报废
合计 60 100
附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，，；
0.25 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001
1.323 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
17.（15分）
在三棱锥中，平面，，点在平面内，且满足平面平面，垂直于.
（1）当时，求点的轨迹长度；
（2）当二面角的余弦值为时，求三棱锥的体积.
18.（17分）
在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，已知椭圆长轴长是短轴长的2倍，且椭圆过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知平行四边形的四个顶点均在上，求平行四边形的面积的最大值.
19.（17分）
对称变换在对称数学中具有重要的研究意义.
若一个平面图形在（旋转变换或反射变换）的作用下仍然与原图形重合，就称具有对称性，并记为的一个对称变换.例如，正三角形在（绕中心作的旋转）的作用下仍然与重合（如图1图2所示），所以是的一个对称变换，考虑到变换前后的三个顶点间的对应关系，记；又如，在（关于对称轴所在直线的反射）的作用下仍然与重合（如图1图3所示），所以也是的一个对称变换，类似地，记.记正三角形的所有对称变换构成集合.
一个非空集合对于给定的代数运算。来说作成一个群，假如同时满足：
Ⅰ.，； Ⅱ.，；
Ⅲ.，，； Ⅳ.，，.
对于一个群，称Ⅲ中的为群的单位元，称Ⅳ中的为在群中的逆元.
一个群的一个非空子集叫做的一个子群，假如对于的代数运算来说作成一个群.
（1）直接写出集合（用符号语言表示中的元素）；
（2）同一个对称变换的符号语言表达形式不唯一，如.对于集合中的元素，定义一种新运算*，规则如下：，.
①证明集合对于给定的代数运算*来说作成一个群；
②已知是群的一个子群，，分别是，的单位元，，，分别是在群，群中的逆元.猜想，之间的关系以及，之间的关系，并给出证明；
③写出群的所有子群.
图1 图2 图3
2023-2024学年第二学期天域全国名校协作体联考
高三年级数学学科参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C D A D C D C
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
题号 9 10 11
答案 BC ACD ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 13. 14.
四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（1）∵，∴，
若在定义域内是减函数，则对恒成立，即恒成立，
所以，，解得……………………………………………………6分
（2）当时，，∴在上单调递增，∴无极值点；…………………8分
当时，，令，解得，
令，解得，
则在上是单调递减，在上是单调递增，在上是单调递减，∴的极小值点为，极大值点为.…………………………12分
综上，当时，无极值点；当时，的极小值点为，极大值点为.……13分
16.（1）由题意……3分
………………………………6分
故关于的线性回归方程为……………………………………7分
（2）设零假设为：是否报废与是否保养无关
由题意，报废推进器中保养过的共台，未保养的推进器共台.
补充列联表如下：
保养 未保养 合计
报废 6 14 20
未报废 54 26 80
合计 60 40 100
…………………………………………………………11分
则……………………………………14分
根于小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为是否报废与是否保养有关，此推断的错误的概率不大于0.01.…………………………………………………………15分
17.（1）作交于，因为平面平面，且平面平面，所以平面，又因为平面，所以，因为平面，且平面，所以，因为，，平面，，所以平面，又因为平面，所以…………………………………………3分
分别以直线，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，
设，因为，所以，，，
所以，即…………………………………………5分
设中点为，则，
如图：
又，所以，
因此，的轨迹为圆弧，其长度为……………………………………7分
（2）由（1）知，可设，，，
设平面的一个法向量为，
则即，令则，，…………10分
为平面的一个法向量，令二面角为角
，因为所以
解得，（舍去）或，则，或…………………………13分
从而可得三棱锥的体积
………………………………………………15分
18.（1）由题意知，
解得，所以；
所以椭圆的方程为；……………………………………4分
（2）①若直线的斜率存在，设的方程为，，，
因为，故可设方程设为，
由得，
则，且，……………………………………7分
所以，
同理，………………………………………………9分
因为，所以，因为，所以.……………………11分
设两平行线，间的距离为，则，因为，所以.
所以.
所以当时，的面积取得最大值为4.…………………………14分
②若直线的斜率不存在，此时平行四边形为矩形，设，易知，
又，所以，当且仅当时取等；………………16分
综上所述：的面积的最大值为4.……………………………………………………17分
19.解析：（1）由题设可知，正三角形的对称变换如下：绕中心作的旋转变换；绕中心作的旋转变换；绕中心作的旋转变换；关于对称轴所在直线的反射变换；关于对称轴所在直线的反射变换；关于对称轴所在直线的反射变换.
综上，.（形式不唯一）………………………………………………3分
（2）①Ⅰ.，，；Ⅱ.，，，
所以
……………………………………5分
Ⅲ.
，
而，所以；
Ⅳ.，
；…………………………7分
综上可知，集合对于给定的新运算*来说能作成一个群.……………………………………8分
②，，证明如下：
先证明：由于是的子群，取，则，，
根据群的定义，有，，所以，
所以，即，
即，所以.………………………………………………10分
再证明：由于，，，
所以，所以，
所以，所以.…………………………………………12分
③的所有子群如下：
，
，，……………………14分
，
…………17分

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