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2025人教版新教材数学高考第一轮
课时规范练35　解三角形的实际应用
基 础 　巩固练
1.(2024·河北高三学业考试)如图,一艘船沿正北方向航行,航行速度为每小时30海里,在A处看灯塔S在船的北偏东30°的方向上.1小时后,船航行到B处,在B处看灯塔S在船的北偏东75°的方向上,则船航行到B处时与灯塔S的距离为(　　)
A.15海里 B.15海里
C.30海里 D.10海里
2.(2024·河南驻马店模拟)如图,某景区为方便游客,计划在两个山头M,N间架设一条索道.为测量M,N间的距离,施工单位测得以下数据:两个山头的海拔高度MC=100 m,NB=50 m,在BC同一水平面上选一点A,测得M点的仰角为60°,N点的仰角为30°,以及∠MAN=45°,则M,N间的距离为(　　)
A.100 m B.120 m C.100 m D.200 m
3.(2023·浙江湖州、衢州、丽水二模)某学生为测量如图所示的建筑物的高度,在远处选取了与该建筑物的底端B在同一水平面内的两个测量基点C与D,现测得∠BCD=45°,∠BDC=105°,CD=100米,在点C处测得该建筑物顶端A的仰角∠ACB=28°,则该建筑物的高度约是(　　)(参考数据:≈1.4,≈2.4,tan 28°≈0.53)
A.91米 B.101米
C.111米 D.121米
4.(2024·宁夏银川模拟)某社区为了美化社区环境,欲建一块休闲草坪,其形状如图所示为四边形ABCD,AB=2,BC=4(单位:百米),CD=AD,∠ADC=,且拟在A,C两点间修建一条笔直的小路(路的宽度忽略不计),则当草坪ABCD的面积最大时,AC=(　　)
A.2百米 B.2百米
C.2百米 D.2百米
5.(2024·浙江丽水检测)如图,两座建筑物AB,CD的高度分别是12 m和20 m,从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的张角∠CAD=45°,则这两座建筑物AB和CD的底部之间的距离BD=　　　　m.
6.(2024·广东广州模拟)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象,若要测量如图所示的蓝洞的口径A,B两点间的距离,现在珊瑚群岛上取两点C,D,测得CD=35 m,∠ADB=135°,∠BDC=∠DCA=15°,∠ACB=120°,则A,B两点间的距离为　　　　 m.
7.一艘客船在A处测得灯塔B在它的北偏东75°,在A处测得灯塔C在它的北偏西30°,距离为18米.客船由A处向正北航行12米到达D处,再看灯塔B在它的南偏东60°,则AB=　　　　米;设灯塔C在D处的南偏西θ度,则θ=　　　　.
8.(2024·安徽合肥模拟)如图,某地需要经过一座山两侧的D,E两点修建一条穿山隧道.工程人员先选取直线DE上的三点A,B,C,设在隧道DE正上方的山顶P处测得A处的俯角为15°,B处的俯角为45°,C处的俯角为30°,且测得AB=1.4 km,BD=0.2 km,CE=0.5 km,则拟修建的隧道DE的长为　　　　 km.
9.(2024·河北沧州模拟)汾阳文峰塔建于明末清初,位于山西省汾阳市建昌村,该塔共十三层,雄伟挺拔,高度位于中国砖结构古塔之首.如图,某测绘小组为了测量汾阳文峰塔的实际高度AB,选取了与塔底B在同一水平面内的三个测量基点C,D,E,现测得∠BCD=30°,∠BDC=70°,∠BED=120°,BE=17.2 m,DE=10.32 m,在点C测得塔顶A的仰角为62°.参考数据:tan 62°≈1.88,sin 70°≈0.94,=12.04.
(1)求BD;
(2)估算塔高AB(结果精确到1 m).
10.(2024·浙江百校起点高三调研)天门山位于湖南省张家界市永定区大庸路.为了测量天门山的海拔,某人站在海拔600米的点A处,他让无人机从点A起飞,垂直向上飞行400米到达点B处,测得天门山的最高点C处的仰角为45°,他操作无人机从点B处移动到点D处(BD平行于地平面),已知B与D之间的距离为518米,从点D处测得天门山的最高点C处的仰角为α(tan α=2).
(1)设平面β过BD且平行于地平面,点C到平面β的距离为h米,求BC与CD的长(用h表示);
(2)已知cos∠BCD=,求天门山的海拔.
综 合 　提升练
11.(2024·江西南昌模拟)八一广场是南昌市的心脏地带,八一南昌起义纪念塔是八一广场的标志性建筑,塔座正面镌刻“八一南昌起义简介”碑文,东、西、南三门各有一幅反映武装起义的人物浮雕,塔身正面为“八一起义纪念塔”铜胎鎏金大字,塔顶由一支直立的巨型“汉阳造”步枪和一面八一军旗组成.现某兴趣小组准备在八一广场上对八一南昌起义纪念塔的高度进行测量,并绘制出测量方案示意图,A为纪念塔最顶端,B为纪念塔的基座(B在A的正下方),在广场内(与B在同一水平面内)选取C,D两点,测得CD的长为m.已知兴趣小组利用测角仪可测得的角有∠ACB,∠ACD,∠BCD,∠ADC,∠BDC,则根据下列各组中的测量数据,不能计算出纪念塔高度AB的是(　　)
A.m,∠ACB,∠BCD,∠BDC
B.m,∠ACB,∠BCD,∠ACD
C.m,∠ACB,∠ACD,∠ADC
D.m,∠ACB,∠BCD,∠ADC
12.(2024·浙江慈溪中学模拟)雷峰塔位于浙江省杭州市西湖区,地处西湖南岸夕照山(海拔46米)之上.现存建筑以原雷峰塔为原型设计,是西湖十景之一,中国九大名塔之一.小李同学为测量塔高,在西湖边相距400米的A,C两处(海拔均约16米)各放置一架垂直于地面高为1.5米的测角仪AB,CD(如图所示).在测角仪B处测得两个数据:塔顶M仰角∠MBP=30°及塔顶M与测角仪D处的视角∠MBD=16.3°,在测角仪D处测得塔顶M与测角仪B处的视角∠MDB=15.1°.小李根据以上数据能估计雷峰塔MN的高度约为(　　)(参考数据:sin 15.1°≈0.260 5,sin 31.4°≈0.521 0)
A.70.5米 B.71米 C.71.5米 D.72米
13.(2023·山东济南三模)某科技馆(如图1)的主体建筑采用与地形吻合的矩形设计,将数学符号“∞”完美嵌入其中,寓意无限未知、无限发展、无限可能和无限的科技创新.如图2,为了测量科技馆最高点A与其附近一建筑物楼顶B之间的距离,无人机在点C测得点A和点B的俯角分别为75°,30°,随后无人机沿水平方向飞行600米到点D,此时测得点A和点B的俯角分别为45°和60°(A,B,C,D在同一铅垂面内),则A,B两点之间的距离为　　　　米.
图1
图2
14.(2024·河北衡水中学校考)据气象部门报道某台风影响我国东南沿海一带,测定台风中心位于某市南偏东60°,距离该市400千米的位置,台风中心以40千米/时的速度向正北方向移动,在距离台风中心350千米的范围内都会受到台风影响,则该市从受到台风影响到影响结束,持续的时间为　　　　小时.
15.(2024·浙江S9联盟模拟)如图,A,B是某海域位于南北方向相距30(1+)海里的两个观测点,现位于A点北偏东45°,B点南偏东30°的C处有一艘渔船遇险后抛锚发出求救信号,位于B点正西方向且与B点相距100海里的D处的救援船立即前往营救,其航行速度为80海里/时.
该救援船前往营救渔船时应该沿南偏东　　　　的方向航行,救援船到达C处需要　　　　小时.(参考数据:cos 21.79°≈0.93,角度精确到0.01)
16.(2024·湖南邵阳模拟)人类从未停止对自然界探索的脚步,位于美洲大草原点C处正上空100 m的点P处,一架无人机正在对猎豹捕食羚羊的自然现象进行航拍.已知位于点C西南方向的草丛A处潜伏着一只饥饿的猎豹,猎豹正盯着其东偏北15°方向上点B处的一只羚羊,且无人机拍摄猎豹的俯角为45°,拍摄羚羊的俯角为60°,假设A,B,C三点在同一水平面上.
(1)求此时猎豹与羚羊之间的距离AB的长度;
(2)若此时猎豹到点C处比到点B处的距离更近,且开始以25 m/s的速度出击,与此同时机警的羚羊以20 m/s的速度沿北偏东15°方向逃跑,已知猎豹受耐力限制,最多能持续奔跑600 m,试问猎豹这次捕猎是否有成功的可能 请说明原因.
创 新 　应用练
17.(2024·浙江海宁模拟)某大学校园内有一个“少年湖”,湖的两侧有一个音乐教室和一个图书馆,如图,若设音乐教室在A处,图书馆在B处,为测量A,B两地之间的距离,甲同学选定了与A,B不共线的C处,构成△ABC,以下是测量方案:①测量∠A,∠B,∠C;②测量∠A,∠B,BC;③测量∠A,AC,BC;④测量∠C,AC,BC,其中要求能唯一确定A,B两地之间的距离,甲同学应选择的方案的序号为(　　)
A.①② B.②③
C.②④ D.②③④
18.某市民活动中心内有一块以O为圆心,半径为20米的半圆形区域,为丰富市民的业余文化生活,现提出如下设计方案:如图,在半圆形区域内搭建露天舞台,舞台为扇形OAB区域,其中两个端点A,B分别在圆周上,观众席为等腰梯形ABQP内且在半圆O外的区域,其中AP=AB=BQ,∠PAB=∠QBA=,且AB,PQ在点O的同侧,为保证视听效果,要求观众席内每一个观众到舞台中心O处的距离都不超过60米(即要求PO≤60),设∠OAB=α,α∈0,.
(1)当α=时,求舞台表演区域的面积及AB的长;
(2)对于任意α,上述设计方案是否均能符合要求 请说明理由.
课时规范练35　解三角形的实际应用
1.A　解析 由题意得,在△ABS中,∠BAS=30°,AB=30,∠BSA=75°-30°=45°,由正弦定理得,即,解得BS=15(海里).
2.A　解析 由题意,可得∠MAC=60°,∠NAB=30°,MC=100 m,NB=50 m,∠MAN=45°,且∠MCA=∠NBA=90°,在Rt△ACM中,可得AM==200 m,在Rt△ABN中,可得AN==100 m,在△AMN中,由余弦定理得MN2=AM2+AN2-2AM·ANcos∠MAN=20 000,所以MN=100 m.
3.B　解析 由题意得∠CBD=30°,在△BCD中,,又sin∠BDC=sin 105°=sin(60°+45°)=sin 60°cos 45°+cos 60°sin 45°=,所以BC==50().所以AB=BCtan∠ACB=50()×tan 28°≈101米.
4.C　解析 设∠ABC=θ,0<θ<π,在△ABC中,AC2=42+(2)2-2×4×2cos θ=28-16cos θ.由CD=AD,∠ADC=,所以△ABC为等边三角形.所以S四边形ABCD=S三角形ABC+S三角形DAC=4×2sin θ+AC2=4sin θ+(28-16cos θ)=7+8sinθ-,当θ-,即θ=时,草坪ABCD的面积最大,此时AC==2
5.24　解析
如图所示,过点A作AE⊥CD于点E,则AE=BD,设BD=x,则在Rt△AEC中,tan∠CAE=,在Rt△AED中,tan∠DAE=,因为tan∠DAE=tan(45°-∠CAE),所以,整理得x2-20x-96=0,解得x=24或x=-4(负值舍去),故BD=24 m.
6.35　解析 因为∠ADB=135°,∠BDC=∠DCA=15°,
所以∠ADC=150°,∠DAC=∠DCA=15°,所以AD=CD=35,
又∠ACB=120°,
所以∠BCD=135°,∠CBD=30°.
在△BCD中,由正弦定理得,即,解得BD=35,在△ABD中,由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2AD·BD·cos∠ADB,所以AB2=352+(35)2-2×35×35-=35×35×5,解得AB=35 m.
7.36　60°　解析 由题意画草图如下,
在△ABD中,由题意得∠ADB=60°,∠DAB=75°,AD=12,则∠B=45°.
由正弦定理,得AB==36,
在△ADC中,由余弦定理,得CD2=AD2+AC2-2AD·ACcos 30°=(12)2+(18)2-2×1218=216,即CD=6,因为AC2+CD2=AD2,所以∠ACD=90°,从而∠CDA=60°,所以灯塔C在D处的南偏西60°.
8.0.7　解析 由题意知,∠PAD=15°,∠PBD=45°,∠PCE=30°,∠APB=30°.在△PAB中,由正弦定理得,即,所以PB=2.8sin 15°.在△PBC中,因为∠BPC=180°-∠PBD-∠PCE=180°-45°-30°=105°,由正弦定理得,即,所以BC=sin 105°=2PB×sin 105°=5.6×sin 15°×sin 105°=5.6×sin 15°×cos 15°=2.8sin 30°=1.4(km),所以DE=BC-BD-EC=1.4-0.2-0.5=0.7(km),即拟修建的隧道DE的长为0.7 km.
9.解 (1)在△BDE中,由余弦定理得BD2=BE2+DE2-2BE·DE·cos∠BED,
则BD==2=2×12.04=24.08 m.
(2)在△BCD中,由正弦定理得,
则BC=45.27 m,在Rt△ABC中,∠ACB=62°,
所以AB=BC·tan∠ACB≈45.27×1.88≈85.11≈85 m,故塔高AB约为85 m.
10.解
(1)如图,过C作CO⊥β,垂足为O,则CO=h米,∠CBO=45°,∠CDO=α,
在Rt△COB中,BC=h米.
在Rt△COD中,CD=米,因为tan α=2,所以sin α=,所以CD=米.
(2)在△BCD中,由余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos∠BCD,由(1)得5182=2h2+h2-h2,整理得5182=h2,即h=518,所以天门山的海拔为600+400+518=1 518米.
11.B　解析 对于A,由m,∠BCD,∠BDC可以解△BCD,又AB=BC·tan∠ACB,可求塔高度AB,故选项A能计算出纪念塔高度AB;对于B,在△BCD中,由CD=m,∠BCD无法解三角形,在△ACD中,由CD=m,∠ACD无法解三角形,在△BCA中,已知两角∠ACB,∠ABC无法解三角形,所以无法解出任意三角形,故选项B不能计算出纪念塔高度AB;对于C,由CD=m,∠ACD,∠ADC可以解△ACD,可求AC,又AB=AC·sin∠ACB,即可求塔高度AB,故选项C能计算出纪念塔高度AB;
对于D,如图,过点B作BE⊥CD于点E,连接AE,由题意知,AB⊥平面BCD,CD 平面BCD,所以AB⊥CD,因为BE∩AB=B,BE,AB 平面ABE,所以CD⊥平面ABE,AE 平面ABE,所以CD⊥AE,则cos∠ACE=,由cos∠ACB=,cos∠BCD=,cos∠ACE=,知cos∠ACE=cos∠ACB·cos∠BCD,故可知∠ACD的大小,由∠ACD,∠ADC,m可解△ACD,故可求出AC,又AB=AC·sin∠ACB,即可求塔高度AB,故选项D能计算出纪念塔高度AB.
12.C　解析 在△BDM中,BD=400,∠MBD=16.3°,∠MDB=15.1°,所以∠BMD=180°-16.3°-15.1°=180°-31.4°,由正弦定理得,所以BM==200,在Rt△MBP中,MP=BM·sin∠MBP=200×sin 30°=100,将平面MBAP画成平面图如图所示,
由题意知MP=100,OP=QA+AB=16+1.5=17.5,ON=46,MN=MP-NP=MP-(ON-OP)=100-(46-17.5)=71.5.
13.100　解析 由题意,∠DCB=30°,∠CDB=60°,所以∠CBD=90°,所以在Rt△CBD中,BD=CD=300,BC=CD=300,又∠DCA=75°,∠CDA=45°,所以∠CAD=60°,在△ACD中,由正弦定理得,所以AC==200,在△ABC中,∠ACB=∠ACD-∠BCD=75°-30°=45°,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB=(200)2+(300)2-2×200300=150 000,所以AB=100
14.
　解析 如图,假设A点为某市的位置,B点是台风中心在向正北方向移动前的位置.设台风移动t小时后的位置为C,则BC=40t.又∠ABC=60°,AB=400,在△ABC中,由余弦定理,得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos 60°=4002+(40t)2-2×400×40t=1 600t2-16 000t+160 000,令AC≤350,则1 600t2-16 000t+160 000≤3502,整理可得16t2-160t+375≤0,解得t,又,所以该市从受到台风影响到影响结束,持续的时间为小时.
15.68.21°　1.75　解析 依题意得∠BAC=45°,∠ABC=30°,AB=30(1+),所以∠ACB=180°-(∠BAC+∠ABC)=180°-(45°+30°)=105°,
在△ABC中,由正弦定理得,所以,
sin 105°=sin(45°+60°)=,
故BC==60(海里).
依题意得∠DBC=∠DBA+∠ABC=90°+30°=120°,BD=100,在△DBC中,由余弦定理得CD2=1002+602-2×100×60×cos 120°=19 600,所以CD=140(海里),
所以救援船到达C处需要的时间为140÷80=1.75小时,
在△DBC中,由余弦定理得cos∠BDC=0.93,
因为0°<∠BDC<90°,cos 21.79°≈0.93,所以∠BDC≈21.79°,
所以该救援船前往营救渔船时应该沿南偏东90°-21.79°=68.21°的方向航行.
16.
解 (1)由题意作图如右,则∠PAC=45°,∠CBP=60°,∠BAC=45°-15°=30°,AC==100 m,BC==100 m.
由正弦定理得,
即sin∠ABC=
因此∠ABC=60°或120°,
当∠ABC=60°时,∠ACB=90°,猎豹与羚羊之间的距离AB==200 m,当∠ABC=120°时,∠ACB=∠BAC=30°,猎豹与羚羊之间的距离AB=BC=100 m.
(2)猎豹这次捕猎不成功.理由如下,由题意知AC由题意作图如右,设捕猎成功所需的最短时间为t,在△ABQ中,BQ=20t,AQ=25t,AB=200,∠ABQ=120°.由余弦定理得AQ2=BQ2+AB2-2BQ·ABcos∠ABQ,
即625t2=400t2+2002-2×20t×200×-.
整理得9t2-160t-1 600=0.
设f(t)=9t2-160t-1 600,显然f(0)<0,f<0,因为猎豹能坚持奔跑最长时间为=24 s,且f(24)=-256<0,所以猎豹不能捕猎成功.
17.C　解析 ①测量∠A,∠B,∠C,知道三个角度值,三角形边长不能确定,有无数多组解,故不能唯一确定A,B两地之间的距离;
②测量∠A,∠B,BC,可求出∠C,已知两角及一边,由正弦定理可知,即可求得AB,三角形有唯一的解,故能唯一确定A,B两地之间的距离;
③测量∠A,AC,BC,已知两边及其一边的对角,由正弦定理可知,求出sin B,∠B可能有两解,即三角形可能有两解,故此时不能唯一确定A,B两地之间的距离;
④测量∠C,AC,BC,已知两边及夹角,由余弦定理可求得AB的长,三角形有唯一的解,此时能唯一确定A,B两地之间的距离.
综上,一定能唯一确定A,B两地之间的距离的所有方案的序号是②④.
故选C.
18.解 (1)由题意知OA=OB=20,又α=,∴∠AOB=π-2,
∴S扇形AOB=202=,
AB==20,
即舞台表演区域的面积为平方米;AB的长为20米.
(2)均能符合要求.理由如下,
∵α∈0,,∴cos α>0.
在△AOB中,由余弦定理得AB==40cos α,即PA=40cos α,
又∠OAP=+α,∴PO2=OA2+PA2-2OA·PAcos+α=400+1 600cos2α-1 600cos αcos+α=400(6cos2α+2sin αcos α+1)=400(3cos 2α+sin 2α+4)=800sin2α++1 600.
∵0<α<,<2α+<π,
∴0∴P=1 600+800,
∴POmax=20+20<60,
即观众席内每一个观众到舞台中心O处的距离都不超过60米,
∴对于任意α,上述设计方案均能符合要求.
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