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2024年陕西省西安市碑林区铁一中学中考数学一模试卷
一、选择题（共7小题，每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）下列无理数中，大小在0和1之间的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（3分）如图，AB和CD是直尺的两边，且AB∥CD，把三角尺的直角顶点放在CD上．若∠1＝52°，则∠2的度数是（　　）
A．52° B．38° C．28° D．45°
4．（3分）已知a+b＜0，ab＞0，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是（　　）
A．（a，b） B．（a，﹣b） C．（﹣a，b） D．（﹣a，﹣b）
5．（3分）如图，在Rt△ABC中，AB＝6，点F是斜边BC的中点，以AF为边作正方形ADEF．若S正方形ADEF＝25，则tanC＝（　　）
A． B． C． D．
6．（3分）如图，⊙M和⊙N都经过A，B两点，且点N在⊙M上．点C是优弧上的一点（点C不与A，B重合），AC的延长线交⊙N于点P，连接AB，BC，BP．若∠APB＝30°，AB＝3，则MN长为（　　）
A． B．3 C． D．
7．（3分）对任意实数x，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）满足x2+2x+5≤y≤2x2+4x+6，则a﹣b+c的值是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（共6小题）
8．（3分）分解因式：m3﹣4m2n+4mn2＝　 　．
9．（3分）如图，六边形ACDEFB是由正△ABC和正五边形BCDEF组成的，则∠ABE的度数是 　 　．
10．（3分）三国时期魏国的数学家刘徽为古籍《九章算术》作注释时提出了一个以形证数的勾股定理证明方法，可惜图已失传，只留下一段文字：“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不动也，合成弦方之幂，开方除之，即弦也．”后人根据这段文字补了一张图，如图所示，大意是：Rt△ABC，以AB为边的正方形ABDE为朱方，以BC为边的正方形BCGF为青方，引AC为边的正方形切割朱方和青方，多出的部分正好可以和弦方缺亏的部分相补．若，则＝　 　．
11．（3分）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝9，AD是∠BAC的角平分线，点E是BC的中点，EF∥AD，则AF的长是 　 　．
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△OAB在第一象限，∠B＝90°，BO＝BA，点M是OB的中点，点A和点M都在反比例函数上．若点M的坐标为（m，2），则k的值是 　 　．
13．（3分）如图所示，已知△ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D和点E分别是AB和AC边上的动点，满足AD＝CE，连接DE，点F是DE的中点，则的最大值为 　 　．
三、解答题（共13小题，解答应写出过程）
14．．
15．先化简，再求值．，其中．
16．解关于x的不等式组：．
17．已知△ABC，∠B＝45°，∠C＝30°．请你在BC边上确定点D，使得．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的一条角平分线，AN是△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，AC与DE交于点F，请你猜想DF与AB的数量关系和位置关系，并证明你的结论．
19．如图，△ABC是一张直角三角形纸片，∠C＝90°，它的两条直角边分别是a和b（a＞b），将这张直角三角形纸片分别以它的两条直角边所在直线为轴旋转一周，得到两个圆锥．试猜想哪个圆锥的体积更大，并通过计算证明自己的猜想．
20．小远在文具店买了一盒24色马克笔和一种黑色中性笔6根，共用了27元．已知他买一盒马克笔的钱比6根黑色中性笔的钱多3元．求该文具店中这种黑色中性笔的单价．
21．如图，将一枚棋子依次沿着正方形ABCD的四个顶点A，B，C，D，A，B，C，…移动．开始时，棋子位于点A处；然后，根据掷骰子掷得的点数移动棋子（如掷得1点就移动1步到B处，如掷得3点就移动3步到点D处，如掷得6点就移动6步到点C处…）；接着，以移动后棋子所在位置为新的起点，再进行同样的操作．
（1）从A点开始，掷一次骰子后到点C处的概率是 　 　．
（2）在第二次掷骰子后，棋子回到点A处的概率是多少？
22．为了了解秦兵马俑的身高情况，某研究学习小组通过查阅网络相关资料，获取了秦始皇兵马俑博物馆中18个陶俑的“通高”和“足至顶高”的数据，并把数据绘制成如下统计图：
组别 “足至顶高”b/cm 频数 组内陶俑的平均“通高”/cm
A′ 170＜b≤175 4 174
B′ 175＜b≤180 8 179
C′ 180＜b≤185 4 183
D′ b＞185 2 187
根据上述信息，解答下列问题：
（1）这18个陶俑的“通高”中位数落在 　 　组．（填A或B或C或D）
（2）求这18个陶俑的“足至顶高”的平均身高．（结果保留4位有效数字）
（3）目前秦始皇兵马俑已发现的陶俑大约有8000个，请估计陶俑“足至顶高”高度在180cm以上的陶俑大约有多少个？（结果保留整数）
23．如图，一座塔坐落于某小山的山腰上，小山的高度CD是150米．从地面上的点B处测望山峰，人的眼睛点B、塔顶点E和山顶点C三点共线．从点B处望塔底和塔顶，仰角满足tan∠ABF＝，tan∠ABE＝，观测点B距离山脚A处100米．请你求出塔高EF的长．
24．一支水银温度计刻度均匀，但是不太准确．经过测量发现，在一个标准大气压下，将温度计的玻璃泡放置于冰水混合物中，读数为3摄氏度；在沸腾的热水中读数为87摄氏度．若该温度计的读数y和实际温度x符合一次函数关系，请你计算：
（1）一个标准大气压下，该温度计的读数y和实际温度x满足的函数关系式；
（2）一个标准大气压下，实际温度为多少时，温度计的示数与实际温度相同．
25．如图，AB是⊙O的直径，点C和点E在⊙O上，AC平分∠EAB，过点C作AE所在直线的垂线，垂足为点D，CD交AB的延长线于点P．
（1）求证：⊙O与PD相切．
（2）若，⊙O半径是3，求DE的长．
26．已知：平面坐标系内点P（x，y）和点A（0，1），点P到点A的距离始终等于点P到x轴的距离．
（1）请你求出点P满足的函数关系式．
（2）如果（1）中求出的函数图象记为L，L′是L沿着水平方向平移得到的，若点M在L上，点N是L平移后点M的对应点，点Q是x轴上的点．是否存在这样的点M，使得以M、N、O、Q为顶点的四边形是有一个内角为60°且的菱形？若存在，请你求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
2024年陕西省西安市碑林区铁一中学中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共7小题，每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）下列无理数中，大小在0和1之间的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用无理数的估算逐项判断即可．
【解答】解：∵0＜＜2，
∴0＜＜1，
则A符合题意；
∵π＞3，
∴＞1，
则B不符合题意；
∵1＜2，
∴1＜，
则C不符合题意；
是分数，不是无理数，
则D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查无理数的估算，熟练掌握估算无理数大小的方法是解题的关键．
2．（3分）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项分析即可，在平面内，一个图形经过中心对称能与原来的图形重合，这个图形叫做叫做中心对称图形；一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形．
【解答】解：A．该图是轴对称图形，但不是中心对称图形，故符合题意；
B．该图既是轴对称图形，也是中心对称图形，故不符合题意；
C．该图既是轴对称图形，也是中心对称图形，故不符合题意；
D．该图不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键．
3．（3分）如图，AB和CD是直尺的两边，且AB∥CD，把三角尺的直角顶点放在CD上．若∠1＝52°，则∠2的度数是（　　）
A．52° B．38° C．28° D．45°
【分析】先根据平行线的性质得出∠CFE的度数，再由∠EFG＝90°得出∠DFG的度数，进而得出结论．
【解答】解：∵AB∥CD，∠1＝52°，
∴∠1＝∠CFE＝52°，∠2＝∠DFG，
∵∠EFG＝90°，
∴∠DFG＝90°﹣∠CFE＝90°﹣52°＝38°，
∴∠2＝38°．
故选：B．
【点评】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同位角相等是解题的关键．
4．（3分）已知a+b＜0，ab＞0，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是（　　）
A．（a，b） B．（a，﹣b） C．（﹣a，b） D．（﹣a，﹣b）
【分析】因为ab＞0，所以a、b同号，又a+b＜0，所以a＞0，b＞0，观察图形判断出小手盖住的点在第二象限，然后解答即可．
【解答】解：∵a+b＜0，ab＞0，
∴a＜0，b＜0．
A、（a，b）在第三象限，因为小手盖住的点在第二象限，故此选项不符合题意；
B、（a，﹣b）在第二象限，因为小手盖住的点在第二象限，故此选项符合题意；
C、（﹣a，b）在第四象限，因为小手盖住的点在第二象限，故此选项不符合题意；
D、（﹣a，﹣b）在第一象限，因为小手盖住的点在第二象限，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
5．（3分）如图，在Rt△ABC中，AB＝6，点F是斜边BC的中点，以AF为边作正方形ADEF．若S正方形ADEF＝25，则tanC＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】先根据正方形的面积可得AF＝5，从而利用直角三角形，斜边上的中线性质可得BC＝10，然后在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC的长，最后利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．
【解答】解：∵S正方形ADEF＝25，
∴AF＝5，
在Rt△ABC中，点F是斜边BC的中点，
∴BC＝2AF＝10，
∵AB＝6，
∴AC＝＝＝8，
∴tanC＝＝＝，
故选：C．
【点评】本题考查了解直角三角形，勾股定理，直角三角形斜边上的中线，正方形的性质，熟练掌握勾股定理，以及锐角三角函数的定义是解题的关键．
6．（3分）如图，⊙M和⊙N都经过A，B两点，且点N在⊙M上．点C是优弧上的一点（点C不与A，B重合），AC的延长线交⊙N于点P，连接AB，BC，BP．若∠APB＝30°，AB＝3，则MN长为（　　）
A． B．3 C． D．
【分析】连接MN，AN，BN，过点M作MD⊥AN于D，根据圆心角和圆周角之间的关系得∠ANB＝2∠P＝60°，则△ABN为等边三角形，点M为等边△ABN的外心，由此的∠MND＝30°，DN＝AN＝1.5，然后在Rt△MND中利用锐角三角函数即可求出MN的长．
【解答】解：连接MN，AN，BN，过点M作MD⊥AN于D，如图所示：
∵⊙M和⊙N都经过A，B两点，∠APB＝30°，AB＝3，
∴∠ANB＝2∠P＝60°，
又∵AN＝BN，
∴△ABN为等边三角形，
∴AN＝AB＝3，
∴△ABN内接于⊙M，
∴点M为等边△ABN的外心，
∴MN平分∠ANB，MD垂直平分AN，
∴∠MND＝30°，DN＝AN＝1.5，
∴cos∠MND＝DN/MN，
∴MN＝＝＝．
故选：C．
【点评】此题主要考查了圆周角和圆心角之间的关系，等边三角形的性质，锐角三角函数等，理解圆周角和圆心角之间的关系，熟练掌握等边三角形的性质是解决问题的关键．
7．（3分）对任意实数x，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）满足x2+2x+5≤y≤2x2+4x+6，则a﹣b+c的值是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】依据题意，由y＝ax2+bx+c，又对于任意x都有，x2+2x+5≤y≤2x2+4x+6，从而x2+2x+5≤ax2+bx+c≤2x2+4x+6，进而令x＝﹣1得，4≤a﹣b+c≤4，故可判断得解．
【解答】解：由题意，∵y＝ax2+bx+c，
又对于任意x都有，x2+2x+5≤y≤2x2+4x+6，
∴x2+2x+5≤ax2+bx+c≤2x2+4x+6．
∴可令x＝﹣1得，4≤a﹣b+c≤4．
∴a﹣b+c＝4．
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，解题时要熟练掌握能灵活运用是关键．
二、填空题（共6小题）
8．（3分）分解因式：m3﹣4m2n+4mn2＝　m（m﹣2n）2　．
【分析】直接提取公因式m，再利用完全平方公式分解因式得出答案．
【解答】解：m3﹣4m2n+4mn2
＝m（m2﹣4mn+4n2）
＝m（m﹣2n）2．
故答案为：m（m﹣2n）2．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式分解因式是解题关键．
9．（3分）如图，六边形ACDEFB是由正△ABC和正五边形BCDEF组成的，则∠ABE的度数是 　132°　．
【分析】利用等边三角形的性质求得∠ABC的度数，再利用多边形的内角和及正多边形的性质求得∠BCF，∠F的度数，根据等腰三角形及三角形的内角和求得∠EBF的度数，最后利用角的和差计算即可．
【解答】解：∵△ABC是正三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵五边形BCDEF是正五边形，
∴∠CBF＝∠F＝＝108°，BF＝EF，
∴∠EBF＝＝36°，
∴∠ABE＝∠ABC+∠CBF﹣∠EBF＝60°+108°﹣36°＝132°，
故答案为：132°．
【点评】本题考查多边形的内角和，正多边形的性质，等边及等腰三角形的性质，三角形的内角和，结合已知条件求得∠BCF，∠F，∠EBF的度数是解题的关键．
10．（3分）三国时期魏国的数学家刘徽为古籍《九章算术》作注释时提出了一个以形证数的勾股定理证明方法，可惜图已失传，只留下一段文字：“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不动也，合成弦方之幂，开方除之，即弦也．”后人根据这段文字补了一张图，如图所示，大意是：Rt△ABC，以AB为边的正方形ABDE为朱方，以BC为边的正方形BCGF为青方，引AC为边的正方形切割朱方和青方，多出的部分正好可以和弦方缺亏的部分相补．若，则＝　　．
【分析】由DJ∥BA证明△JDC∽△ABC，则＝＝，求得＝，再证明△HCG≌△ACB，得HG＝AB＝BD，推导出HF＝CD，再证明△HKF≌△CJD，得KF＝JD，则＝＝，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵四边形ABDE是正方形，△ABC是直角三角形，
∴DE∥BA，∠ABD＝∠ABC＝90°，
∴点D在BC边上，
∵DJ∥BA，
∴△JDC∽△ABC，
∴＝，
∵＝，
∴＝，
∴＝或＝（不符合题意，舍去），
∵四边形ACHI和四边形BCGF都是正方形，
∴HC＝AC，GC＝BC＝FG，AC∥IH，∠ACH＝∠BCG＝∠CBF＝∠F＝∠FGC＝90°，
∴∠HCG＝∠ACB＝90°﹣∠BCH，
∴△HCG≌△ACB（SAS），
∴HG＝AB＝BD，∠HGC＝∠ABC＝90°＝∠FGC，
∴点H在FG边上，
∴FG﹣HG＝BC﹣BD，
∴HF＝CD，
∵∠ABC+∠CBF＝180°，
∴A、B、F三点在同一条直线上，
∴∠HKF＝∠CAB＝∠CJD，
∵∠JDC＝∠ABC＝90°，
∴∠F＝∠JDC，
∴△HKF≌△CJD（AAS），
∴KF＝JD，
∴＝＝，
故答案为：．
【点评】此题重点考查正方形的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明△JDC∽△ABC及△HKF≌△CJD是解题的关键．
11．（3分）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝9，AD是∠BAC的角平分线，点E是BC的中点，EF∥AD，则AF的长是 　2　．
【分析】根据三角形的中位线定理，得EN∥AB，EN＝AB；根据平行线的性质和等腰三角形的判定，得FN＝EN，从而求解．
【解答】解：如图，设点N是AC的中点，连接EN，
则EN∥AB，EN＝AB，
∴∠CNE＝∠BAC．
∵EF∥AD，
∴∠DAC＝∠EFN．
∵AD是∠BAC的平分线，∠CNE＝∠EFN+∠FEN，
∴∠EFN＝∠FEN．
∴FN＝EN＝AB，
∴FC＝FN+NC＝AB+AC＝7．
∴AF＝AC﹣FC＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了三角形中位线定理，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造三角形中位线是解题的关键．
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△OAB在第一象限，∠B＝90°，BO＝BA，点M是OB的中点，点A和点M都在反比例函数上．若点M的坐标为（m，2），则k的值是 　　．
【分析】构造全等三角形推出点A的含有m的坐标，利用同一反比例函数上点的坐标之积相等列出关于m的方程，解出m即可求出M的坐标，
【解答】解：过点B作x轴的平行线交y轴于点C，过点A作y轴的平行线交CB的延长线于点D．
∵点M的坐标为（m，2），点M是OB的中点，
∴B（2m，4），
∴BC＝2m，OC＝4，
∵∠BOC+∠OBC＝90°，∠ABD+∠OBC＝90°
∴∠BOC＝∠ABD，
∵∠BCO＝∠ADB＝90°，BO＝BA．
∴△BCO≌△ADB（AAS），
∴BC＝AD＝2m，CO＝BD＝4．
∴B（2m+4，4﹣2m），
∵点M、A都在反比例函数上，
∴2m＝（2m+4）（4﹣2m），
解得：m1＝，m2＝（舍去），
∴点M的坐标为（，2），
∴k＝xy＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了反比例函数上点的坐标特征，构造一线三垂直出现全等三角形是本题的突破口．
13．（3分）如图所示，已知△ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D和点E分别是AB和AC边上的动点，满足AD＝CE，连接DE，点F是DE的中点，则的最大值为 　+1　．
【分析】构造一线三垂直得△ADE≌△CEM，再利用三角形两边之和大于第三边解答即可．
【解答】解：过E作EM⊥ED，且EM＝ED，连DM，MC．
取ME中点N，连ND、NC、NF．
∵∠ADE+∠AED＝90°，
∠AED+∠MEC＝90°，
∴∠ADE＝∠MEC，
在△ADE和△CEM中，
，
∴△ADE≌△CEM（SAS），
∴∠ECM＝∠DAE＝90°．
设AF＝1，
∵F为DE中点，
∴DE＝2AF＝2．，
∴EM＝2，
∵N为EM中点，
∴CN＝EN＝1．
∴DN＝＝，
∵ND+NC≥DC，
∴CD最大值+1，
∴＝（+1）÷1＝+1，
故答案为：+1，
【点评】本题考查了全等三角形的知识，构造一线三垂直是解题关键．
三、解答题（共13小题，解答应写出过程）
14．．
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：
＝1+9+﹣3+1
＝11﹣2．
【点评】本题考查了实数的运算，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
15．先化简，再求值．，其中．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把m的值代入进行计算即可．
【解答】解：
＝（1+m）
＝（1+m）
＝，
当时，
原式＝
＝
＝
＝﹣
＝﹣
＝﹣
＝﹣3﹣2．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
16．解关于x的不等式组：．
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可得．
【解答】解：，
解不等式①得：x≤，
解不等式②得：x≤﹣2，
则不等式组的解集为x≤﹣2．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
17．已知△ABC，∠B＝45°，∠C＝30°．请你在BC边上确定点D，使得．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
【分析】过A作MN⊥BC于D，点D即为所求．
【解答】解：过A作MN⊥BC于D，如图：
点D即为所求；
理由：∵∠B＝45°，
∴AD＝BD，
∵∠C＝30°，
∴＝tan30°＝，
∴＝，
∴＝．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，解题的关键是掌握等腰直角三角形，含30°的直角三角形三边的关系．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的一条角平分线，AN是△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，AC与DE交于点F，请你猜想DF与AB的数量关系和位置关系，并证明你的结论．
【分析】由在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的一条角平分线，可得AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，又由AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，可得∠DAE＝90°，又由CE⊥AN，即可证得：四边形ADCE为矩形，可得AF＝CF，又由AD是BC边的中线，即可得DF是△ABC的中位线，则可得DF∥AB，DF＝AB．
【解答】解：DF∥AB，DF＝AB，理由如下：
在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的一条角平分线，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，BD＝CD，
∴∠ADC＝90°，
∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，
∴∠MAN＝∠CAN，
∴∠DAE＝∠CAD+∠CAN＝90°，
∵CE⊥AN，
∴∠AEC＝90°，
∴四边形ADCE为矩形，
∴AF＝CF，
又∵BD＝CD，
∴DF是△ABC的中位线，
∴DF∥AB，DF＝AB．
【点评】此题考查了矩形的判定与性质、等腰三角形三线合一以及三角形中位线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
19．如图，△ABC是一张直角三角形纸片，∠C＝90°，它的两条直角边分别是a和b（a＞b），将这张直角三角形纸片分别以它的两条直角边所在直线为轴旋转一周，得到两个圆锥．试猜想哪个圆锥的体积更大，并通过计算证明自己的猜想．
【分析】根据圆锥的体积公式分别求出以直角边a、b所在直线为轴旋转一周，得到的圆锥的体积，比较大小得到答案．
【解答】解：以直角边b所在直线为轴旋转一周，得到的圆锥的体积更大．
证明如下：以直角边a所在直线为轴旋转一周，得到的圆锥的体积为：π×b2×a＝πab2，
以直角边b所在直线为轴旋转一周，得到的圆锥的体积为：π×a2×b＝πa2b，
∵＝＜1，
∴πab2＜πa2b，
∴以直角边b所在直线为轴旋转一周，得到的圆锥的体积更大．
【点评】本题考查的是圆锥的计算，掌握圆锥的体积公式是解题的关键．
20．小远在文具店买了一盒24色马克笔和一种黑色中性笔6根，共用了27元．已知他买一盒马克笔的钱比6根黑色中性笔的钱多3元．求该文具店中这种黑色中性笔的单价．
【分析】设该文具店中这种黑色中性笔的价格为x元/根，则一盒马克笔的价格为（6x+3）元，根据“购买一盒24色马克笔和一种黑色中性笔6根，共用了27元”列出方程并解答．
【解答】解：设该文具店中这种黑色中性笔的价格为x元/根，则：
6x+6x+3＝27．
解得x＝2．
答：该文具店中这种黑色中性笔的单价是2元．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程解决问题．
21．如图，将一枚棋子依次沿着正方形ABCD的四个顶点A，B，C，D，A，B，C，…移动．开始时，棋子位于点A处；然后，根据掷骰子掷得的点数移动棋子（如掷得1点就移动1步到B处，如掷得3点就移动3步到点D处，如掷得6点就移动6步到点C处…）；接着，以移动后棋子所在位置为新的起点，再进行同样的操作．
（1）从A点开始，掷一次骰子后到点C处的概率是 　　．
（2）在第二次掷骰子后，棋子回到点A处的概率是多少？
【分析】（1）根据第一次掷骰子有6种等可能结果，要使棋子移动到C点时，需要掷得数字2或6，两种可能，由此可得棋子到点C处的概率；
（2）列表求出两次掷骰子总共有36种可能的结果，要使棋子回到点A处，两次掷得的点数之和必须为4，8或12，在由上表求出两次掷得的点数之和必须为4，8或12的结果总共有9种，由此可得棋子回到点A处的概率．
【解答】解：（1）∵骰子是一个正方体，六个面上的数字一次是1，2，3，4，5，6，
∴第一次掷骰子有6种等可能结果，
∵当棋子移动到C点时，需要掷得数字2或6，共2种可能，
∴从A点开始，掷一次骰子后到点C处的概率是：．
故答案为：．
（2）两次掷骰子的结果如下表所示：
第2次 第1次 1 2 3 4 5 6
1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） （1，6）
2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （2，5） （2，6）
3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） （3，5） （3，6）
4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （4，5） （4，6）
5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） （5，6）
6 （6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） （6，6）
从上表得：总共有36种可能的结果，
要使棋子回到点A处，两次掷得的点数之和必须为4，8或12，
由上表可知：两次掷得的点数之和必须为4，8或12的结果总共有9种，
∴在第二次掷骰子后，棋子回到点A处的概率为：．
【点评】此题主要考查了画树状图求概率问题，理解题意，熟练掌握画树状图的方法与技巧，以及概率的计算公式P＝，其中m是所有等可能结果数n，m是符合事件结果数．
22．为了了解秦兵马俑的身高情况，某研究学习小组通过查阅网络相关资料，获取了秦始皇兵马俑博物馆中18个陶俑的“通高”和“足至顶高”的数据，并把数据绘制成如下统计图：
组别 “足至顶高”b/cm 频数 组内陶俑的平均“通高”/cm
A′ 170＜b≤175 4 174
B′ 175＜b≤180 8 179
C′ 180＜b≤185 4 183
D′ b＞185 2 187
根据上述信息，解答下列问题：
（1）这18个陶俑的“通高”中位数落在 　B′　组．（填A或B或C或D）
（2）求这18个陶俑的“足至顶高”的平均身高．（结果保留4位有效数字）
（3）目前秦始皇兵马俑已发现的陶俑大约有8000个，请估计陶俑“足至顶高”高度在180cm以上的陶俑大约有多少个？（结果保留整数）
【分析】（1）根据中位数的定义求解可得；
（2）根据平均数的定义求解可得；
（3）利用样本估计总体思想求解可得．
【解答】解：（1）∵获取了秦始皇兵马俑博物馆中18个陶俑的“通高”和“足至顶高”的数据，
∴中位数为第9、10个数据的平均数，而第9、10个数据均落在B组，
则这18个陶俑的“通高”中位数落在B′组，
故答案为：B′；
（2）这18个陶俑的“足至顶高”的平均身高为×（4×174+8×179+4×183+2×187）≈179.7（cm）；
（3）估计陶俑“足至顶高”高度在180cm以上的陶俑大约有8000×＝2667（个）．
【点评】此题考查统计表、扇形统计图以及样本估计总体的统计思想，理清统计图中各个数据之间的关系是解决问题的关键．
23．如图，一座塔坐落于某小山的山腰上，小山的高度CD是150米．从地面上的点B处测望山峰，人的眼睛点B、塔顶点E和山顶点C三点共线．从点B处望塔底和塔顶，仰角满足tan∠ABF＝，tan∠ABE＝，观测点B距离山脚A处100米．请你求出塔高EF的长．
【分析】延长EF，交BD于点H，设AH＝x米，根据正切的定义用x表示出EH、FH，证明△AHF∽△ADC，根据相似三角形的性质列出比例式，求出x，进而求出EF．
【解答】解：如图，延长EF，交BD于点H，
则∠EHB＝90°，
设AH＝x米，则BH＝（100+x）米，
在Rt△FBH中，tan∠ABF＝，即＝，
∴FH＝（100+x）米，
在Rt△EBH中，tan∠ABE＝，即＝，
∴EH＝（100+x）米，
在Rt△CBD中，tan∠CBD＝，CD＝150米，
则BD＝150长＝300（米），
∴AD＝BD﹣AB＝200米，
∵FH⊥BD，CD⊥BD，
∴△AHF∽△ADC，
∴＝，即＝，
解得：x＝80，
∴EH＝（100+x）＝90米，FH＝（100+x）＝60米，
∴EF＝90﹣60＝30（米），
答：塔高EF的长为30米．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握正切的定义、相似三角形的判定和性质是解题的关键．
24．一支水银温度计刻度均匀，但是不太准确．经过测量发现，在一个标准大气压下，将温度计的玻璃泡放置于冰水混合物中，读数为3摄氏度；在沸腾的热水中读数为87摄氏度．若该温度计的读数y和实际温度x符合一次函数关系，请你计算：
（1）一个标准大气压下，该温度计的读数y和实际温度x满足的函数关系式；
（2）一个标准大气压下，实际温度为多少时，温度计的示数与实际温度相同．
【分析】（1）根据待定系数法即可求出该温度计的读数y和实际温度x满足的函数关系式；
（2）令（1）中关系式中y＝x，解出方程即可．
【解答】解：（1）设温度计的读数y和实际温度x满足的函数关系式为y＝kx+b，
由题意，得当x＝0时，y＝3；当x＝100时，y＝87，
所以，
解得，
∴温度计的读数y和实际温度x满足的函数关系式为y＝0.84x+3；
（2）令y＝x，则x＝0.84x+3，
解得x＝，
答：实际温度为度时，温度计的示数与实际温度相同．
【点评】本题考查一次函数的应用，理解题意，掌握待定系数法时解题的关键．
25．如图，AB是⊙O的直径，点C和点E在⊙O上，AC平分∠EAB，过点C作AE所在直线的垂线，垂足为点D，CD交AB的延长线于点P．
（1）求证：⊙O与PD相切．
（2）若，⊙O半径是3，求DE的长．
【分析】（1）连接OC，则OC＝OA，所以∠OCA＝∠BAC，而∠EAC＝∠BAC，所以∠OCA＝∠EAC，则OC∥AE，所以∠OCP＝∠D＝90°，即可证明⊙O与PD相切；
（2）连接BC、CE，由⊙O的半径是3，AB是⊙O的直径，得AB＝6，∠ACB＝90°，由∠EAC＝∠BAC，得＝，则CE＝BC＝＝2，再证明∠CED＝∠ABC，则＝cos∠CED＝cos∠ABC＝＝，求得DE＝CE＝2．
【解答】（1）证明：连接OC，则OC＝OA，
∴∠OCA＝∠BAC，
∵AC平分∠EAB，
∴∠EAC＝∠BAC，
∴∠OCA＝∠EAC，
∴OC∥AE，
∵CD⊥AE交AE的延长线于点E，
∴∠OCP＝∠D＝90°，
∵OC是⊙O的半径，且PD⊥OC，
∴⊙O与PD相切．
（2）解：连接BC、CE，
∵⊙O的半径是3，AB是⊙O的直径，
∴AB＝6，∠ACB＝90°，
∵∠EAC＝∠BAC，AC＝2，
∴＝，
∴CE＝BC＝＝＝2，
∵∠CED+∠AEC＝180°，∠ABC+∠AEC＝180°，
∴∠CED＝∠ABC，
∴＝cos∠CED＝cos∠ABC＝＝＝，
∴DE＝CE＝×2＝2，
∴DE的长是2．
【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的判定定理、圆周角定理、勾股定理、同角的补角相等、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
26．已知：平面坐标系内点P（x，y）和点A（0，1），点P到点A的距离始终等于点P到x轴的距离．
（1）请你求出点P满足的函数关系式．
（2）如果（1）中求出的函数图象记为L，L′是L沿着水平方向平移得到的，若点M在L上，点N是L平移后点M的对应点，点Q是x轴上的点．是否存在这样的点M，使得以M、N、O、Q为顶点的四边形是有一个内角为60°且的菱形？若存在，请你求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由题意得PA＝PB，PB⊥x轴，PD⊥y轴．利用勾股定理得AP2＝PD2+AD2，再计算即可．
（2）过M作MG⊥x轴，由菱形性质得OQ＝OM＝k，由直角三角形中30度角性质得OG＝OM＝k，求出M（，），代入函数解析式计算即可．
【解答】解：（1）如图：PA＝PB，PB⊥x轴，PD⊥y轴．
在Rt△PDA中，
AP2＝PD2+AD2，
∴y2＝x2+（y﹣1）2，
∴y＝x2+．
∴点P满足的函数关系式为y＝x2+．
（2）如图：过M作MG⊥x轴，
设OQ＝OM＝k，
∴OG＝OM＝k，
∴MG＝OG＝k，
∴M（，），
∴＝（）2+，
∴k＝2±2，
∴Q（2+2，0），Q1（2﹣2，0），
根据对称性得Q（﹣2﹣2，0），Q1（﹣2+2，0）．
综上所述，Q坐标为（2+2，0）、（2﹣2，0）、（﹣2﹣2，0）、（﹣2+2，0）．
【点评】本题考查了函数的动点问题，画出函数图象，再分类讨论是解题关键．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/3/20 11:18:06；用户：做点儿难题；邮箱：15039859108；学号：20368882

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