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【压轴题专练】第五章 相交线与平行线
【题型一 平行线中含一个拐点问题】
例题：如图，，若，，则∠E=______．
【答案】##66度
【详解】解：如图所示，过点E作，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式训练】
1．如图，AB∥EF，则∠A，∠C，∠E满足的数量关系是______．
【答案】
【详解】如下图所示，过点C作，
∵，
∴（两直线平行，同旁内角互补），
∵，，
∴，
∴（两直线平行，同旁内角互补），
∴，
∴，
∴在原图中，
故答案为：．
2．已知：ABEF，在平面内任意选取一点C．利用平行线的性质，探究∠B、∠F、∠C满足的数量关系．
图形 ∠B、∠F、∠C满足的数量关系
图（1）
图（2）
图（3）
图（4）
图（5）
图（6）
(1)将探究∠B、∠C、∠F之间的数量关系填写下表：
(2)请选择其中一个图形进行说明理由．
【详解】（1）
解：∠B、∠C、∠F之间的数量关系如下表：
图形 ∠B、∠F、∠C满足的数量关系
图（1） ∠B+∠F=∠C
图（2） ∠F-∠B=∠C
图（3） ∠B-∠F=∠C
图（4） ∠B+∠F+∠C=360°
图（5） ∠B-∠F=∠C
图（6） ∠F-∠B=∠C
（2）
解：图（1） ∠C与∠B、∠F之间的数量关系是：∠B+∠F=∠C．
理由：过点C作CGAB，
∴∠BCG=∠B，
∵ABEF，
∴CGEF，
∴∠GCF=∠F，
∴∠BCG+∠GCF=∠B+∠F，
∴∠B+∠F=∠BCF；
图（2） ∠C与∠B、∠F之间的数量关系是：∠F-∠B=∠C．
理由：过点C作CGAB，
∴∠BCG=∠B，
∵ABEF，
∴CGEF，
∴∠GCF=∠F，
∴∠GCF-∠BCG=∠F-∠B，
∴∠F-∠B=∠BCF；
图（3） ∠C与∠B、∠F之间的数量关系是：∠B-∠F=∠C．
理由：过点C作CGAB，
∴∠BCG=∠B，
∵ABEF，
∴CGEF，
∴∠GCF=∠F，
∴∠BCG-∠GCF =∠B-∠F，
∴∠B-∠F=∠BCF；
图（4） ∠C与∠B、∠F之间的数量关系是：∠B+∠F+∠C=360°．
理由：过点C作CGAB，
∴∠BCG+∠B=180°，
∵ABEF，
∴CGEF，
∴∠GCF+∠F=180°，
∴∠BCG+∠B+∠GCF+∠F=180°+180°，
∴∠B+∠F+∠BCF=360°；
图（5） ∠C与∠B、∠F之间的数量关系是：∠B-∠F=∠C．
理由：过点C作CGAB，
∴∠BCG=∠B，
∵ABEF，
∴CGEF，
∴∠GCF=∠F，
∴∠BCG-∠GCF =∠B-∠F，
∴∠B-∠F=∠BCF；
图（6） ∠C与∠B、∠F之间的数量关系是：∠F-∠B=∠C．
理由：过点C作CGAB，
∴∠BCG=∠B，
∵ABEF，
∴CGEF，
∴∠GCF=∠F，
∴∠GCF-∠BCG=∠F-∠B，
∴∠F-∠B=∠BCF；
【题型二 平行线中含两个拐点问题】
例题：如图所示，、BEFD是AB、CD之间的一条折线，则∠1+∠2+∠3+∠4=_____．
【答案】
【详解】解：连接BD，如图，
∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠CDB=180°，
∵∠2+∠3+∠EBD+∠FBD=360°，
∴∠2+∠3+∠EBD+∠FDB+∠ABD+∠CDB=540°，
即∠1+∠2+∠3+∠4=540°．
故答案为：540°．
【变式训练】
1．如图，直线 l1∥l2，若∠1=40°，∠2 比∠3 大 10°，则∠4=____．
【答案】30°##30度
【详解】解：过A点作AB直线l1，过C点作CD直线l2，
∴∠5=∠1=40°，∠4=∠8，
∵直线l1l2，
∴ABCD，
∴∠6=∠7，
∵∠2比∠3大10°，
∴∠2-∠3=10°，
∵∠5+∠6=∠2，∠7+∠8=∠3，
∴∠5+∠6-∠7-∠8=10°，
∴40°-∠4=10°，
解得∠4=30°．
故答案为：30°．
2．（1）如图①，如果，求证：．
（2）如图②，，根据上面的推理方法，直接写出___________．
（3）如图③，，若，则___________（用x、y、z表示）．
【详解】（1）证明：过P作，如图，

∴，
∵（已知），
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）如图，过点P作，过点Q作，
∵，，，
∴，
∴，，，
∴，
故答案为：；

（3）过点P作，过点Q作，
∵，，，
∴，
∴，，，
∴，
即，
∴，
故答案为：．

【题型三 平行线中含多个拐点问题】
例题：如图，直线，则的度数为___________°．
【答案】360
【详解】过E作EF∥CD，过G作GH∥CD，过M作MN∥CD，如图所示：
∵CD∥AB，
∴EF∥GH∥MN∥AB∥CD，
∴∠1=∠BEF，∠GEF+∠EGH=180°，∠HGM+∠GMN=180°，∠NMC=∠5，
∵∠2=∠BEF+∠GEF，∠3=∠EGH+∠HGM，∠4=∠GMN+∠NMC，
∴．
故答案为：360．
【变式训练】
1.如图：
(1)如图1， ， 若， 计算并直接写出的大小．
(2)如图2， 在图1的基础上， 将直线变成折线， 证明：
(3)如图3， 在图2的基础上， 继续将且线变成折现．请你写出一条关于 、的数量关系（无需证明直接写出）
【详解】（1）
解：过P作PE∥l1
∵l1∥l2
∴PE∥l2∥l1
∴∠A=∠1，∠B=∠2
∴∠APB=∠1+∠2=∠A+∠B=65°
即∠A+∠B=65°；
（2）
证明：过点P、Q分别作l1和l2的平行线分别记为l3和l4
∵l1∥l2
∴l1∥l2∥l3∥l4
∵l1∥l3（已知）
∴∠A=∠1（两直线平行，内错角相等）
∵l3∥l4（已知）
∴∠2＝∠3（两直线平行，内错角相等）
∵l2∥l4（已知）
∴∠4+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∴∠A+∠3+∠4+∠B=∠1+∠2+180°
又∵∠1+∠2=∠P，∠3+∠4=∠Q
∴∠A+∠B+∠Q=∠P+180°．
（3）
解：如图，分别过P，Q，M作PC∥l1，QD∥l1，ME∥l1，
∵，
∴
∴∠1=∠APC，∠QPC=∠PQD，∠DQM=∠EMQ，∠EMB=∠5，
∴∠2=∠1+∠PQD，∠4=∠5+∠DQM，
∴∠2+∠4=∠1+∠PQD+∠5+∠DQM=∠1+∠3+∠5，
∴∠1+∠3+∠5=∠2+∠4．
2．猜想说理：
（1）如图，，分别就图1、图2、图3写出，，的关系，并任选其中一个图形说明理由：
拓展应用：
（2）如图4，若，则 度；
（3）在图5中，若，请你用含n的代数式表示的度数．
【详解】解：（1）如图1：，
如图2：，
如图3：，
如图1说明理由如下：
∵，
∴，
∴，
即；
（2）如下图：
过F作，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
即；
故答案为：；
（3）如下图：，
过E作，过F作，
∵，
∴，
∴，，，
∴，
即；
综上所述：
由当平行线AB与CD间没有点的时候，，
当A、C之间加一个折点F时，；
当A、C之间加二个折点E、F时，则；
以此类推，如图5，，
当、之间加三个折点时，
则；
…
当、之间加n个折点时，
则，
即的度数是．
【题型四 平行线中与平移的综合问题】
例题：（2023下·全国·八年级假期作业）如图，线段AB，BC被直线AC所截，D是线段AC上的点，过点D作DE∥AB，连接AE，．将线段AE沿着直线AC平移得到线段PQ，连接DQ．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】解：（1）证明：，．
，，．
（2）如图，过点D作DF∥AE交AB于点F，则．
∵，
由平移的性质，得，
，．
，，
，
，
【变式训练】
1．（2023下·陕西咸阳·八年级统考期中）如图，将沿的方向平移得到．

(1)若，求的度数；
(2)若，求平移的距离．
【答案】(1)
(2)1cm
【分析】（1）根据平移的性质，得到对应角相等，即可得解；
（2）根据，求出的长，即为平移的距离
【详解】（1）解：将沿的方向平移得到，
∴；
（2）解：∵，
∴，即：平移的距离为1cm．
【点睛】本题考查平移的性质，熟练掌握平移的性质，是解题的关键．
2．（2023下·江苏淮安·七年级校联考期中）如图，将沿射线的方向平移个单位到的位置，点的对应点分别点．
(1)若，则______．
(2)若，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据平移的定义可知，进而可知；
（2）根据平移的性质可知，，再利用平行线的性质解答即可．
【详解】（1）解：∵将沿射线的方向平移个单位到的位置，
∴，
∵，
∴，
故答案为；
（2）解：由平移的性质可知：，，
∴，，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平移的性质，平移的定义，平行线的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
3．（2023下·江西南昌·七年级统考期末）将三角形沿射线方向平移到三角形的位置．

(1)如图1，当点D与点B重合时．
判断：_______；（用“＞”、“＝”、“＜”填空）
(2)如图2，当点D与点B不重合时，连接，．试探究，，三个角之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)=
(2)或，见解析
【分析】（1）根据平移的性质得出结论；
（2）根据点D的位置可分为点D在点左边和点在点右边两种情形，利用平行线的性质得出结果．
【详解】（1）解：，理由如下：
∵三角形是由三角形平移得到，
∴，
∴；
（2）解：根据点D的位置可分为两种情形，
① 若点D在点左边，如图．

由平移的性质可得：，，，
∵，
∴，
∴．
② 若点在点右边，如图：

由平移的性质可得：，，，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查图形的平移和平行线的性质，灵活运用这些性质和特点是解题的关键.
4．（2023下·河北邢台·七年级校考期末）如图1，，被直线所截，，过点A作，D是线段上的点，过点D作交于点E．

(1)求的度数；
(2)将线段沿线段方向平移得到线段，连接．
①如图2，当时，求的度数；
②如图3，当时，求的度数；
③在整个平移过程中，是否存在？若存在，直接写出此时的度数，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①；②；③存在，或
【分析】（1）利用平行线的性质得，，根据同角的补角相等可得答案；
（2）①如图1中，过点D作，则，再证明，根据平行线的性质可得答案；
②如图3中，过点D作，则，再证明，根据平行线的性质可得答案即可求解；
③分两种情形：图2，图3分别求解即可．
【详解】（1）∵，
∴．
∵，
∴，
∴；
（2）①如图2，过点D作，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴；
②如图3，过点D作，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴；
③存在，或．
如图2，当时，
由①知，，，
∴；
如图3，当时，
由②知，，，
∴

【点睛】本题考查了平移性质、平行线的性质，角的和差等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，并学会用分类讨论的思想思考问题．
5．（2023下·福建泉州·七年级统考期末）如图，将线段平移得到，使与对应，与对应，连接，．

(1)求证：；
(2)点在的延长线上，点与关于直线对称，直线交的延长线于点．点在线段上，且．
①设，求的度数（用含的代数式表示）；
②证明：．
【答案】(1)证明见解析
(2)①；②证明见解析
【分析】（1）根据平移的性质可知，，再利用平行线的性质可知；
（2）①根据平行线的性质及对称的性质可知，进而可知；②根据对称的性质可知的面积与的面积相等，再利用等面积法可知．
【详解】（1）证明：将线段平移得到，使与对应，与对应，
∴由平移性质知，，
∴，，
∴；
（2）①解：∵由（1）知，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
由对称性质知，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴；

②证明：过作于，于，并连接，
∴由对称性质知，的面积与的面积相等，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
过点作于点，
则，
∴，
．
【点睛】本题考查了平移的性质，平行线的性质，轴对称的性质，掌握平移的性质及轴对称的性质是解题的关键．
6．（2023下·北京海淀·七年级期末）如图，已知线段，点是线段外一点，连接，．将线段沿平移得到线段．点是线段上一动点，连接，．

(1)依题意在图1中补全图形，并证明：；
(2)过点C作直线．在直线上取点，使．
①当时，画出图形，并直接用等式表示与之间的数量关系；
②在点运动的过程中，当点到直线的距离最大时，的度数是________（用含的式子表示）．
【答案】(1)见解析
(2)①点在直线的上方时，；点在直线的下方时，；②．
【分析】（1）作，根据平行线的性质证明即可；
（2）①分两种情况，画出图形后，利用平行线的性质求解即可；②先确定点到直线的最大距离就是线段的长，再画出图形，利用平行线的性质和垂线的性质求解即可．
【详解】（1）证明：补全图形如图所示，作，
∵将线段沿平移得到线段，
∴，
∴，
∴，
∴，
即

（2）解：①分两种情况：
点在直线的上方时，如图所示：

由平移的性质得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
整理，得；
点在直线的下方时，如图所示：

，
∴，
整理，得；
②作，如图所示：

∵，
∴点到直线的距离就是线段的长，
∵，
∴点到直线的最大距离就是线段的长，此时，作于点，如图所示：

由平移的性质得：，
∴，
∵，
∴，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，平行线间的距离，点到直线的距离，角的和差，恰当分类并画出图形是解题的关键．中小学教育资源及组卷应用平台
【压轴题专练】第五章 相交线与平行线
【题型一 平行线中含一个拐点问题】
例题：如图，，若，，则∠E=______．
【变式训练】
1．如图，AB∥EF，则∠A，∠C，∠E满足的数量关系是______．
2．已知：ABEF，在平面内任意选取一点C．利用平行线的性质，探究∠B、∠F、∠C满足的数量关系．
图形 ∠B、∠F、∠C满足的数量关系
图（1）
图（2）
图（3）
图（4）
图（5）
图（6）
(1)将探究∠B、∠C、∠F之间的数量关系填写下表：
(2)请选择其中一个图形进行说明理由．
【题型二 平行线中含两个拐点问题】
例题：如图所示，、BEFD是AB、CD之间的一条折线，则∠1+∠2+∠3+∠4=_____．
【变式训练】
1．如图，直线 l1∥l2，若∠1=40°，∠2 比∠3 大 10°，则∠4=____．
2．（1）如图①，如果，求证：．
（2）如图②，，根据上面的推理方法，直接写出___________．
（3）如图③，，若，则___________（用x、y、z表示）．
【题型三 平行线中含多个拐点问题】
例题：如图，直线，则的度数为___________°．
【变式训练】
1.如图：
(1)如图1， ， 若， 计算并直接写出的大小．
(2)如图2， 在图1的基础上， 将直线变成折线， 证明：
(3)如图3， 在图2的基础上， 继续将且线变成折现．请你写出一条关于 、的数量关系（无需证明直接写出）
2．猜想说理：
（1）如图，，分别就图1、图2、图3写出，，的关系，并任选其中一个图形说明理由：
拓展应用：
（2）如图4，若，则 度；
（3）在图5中，若，请你用含n的代数式表示的度数．
【题型四 平行线中与平移的综合问题】
例题：（2023下·全国·八年级假期作业）如图，线段AB，BC被直线AC所截，D是线段AC上的点，过点D作DE∥AB，连接AE，．将线段AE沿着直线AC平移得到线段PQ，连接DQ．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
【变式训练】
1．（2023下·陕西咸阳·八年级统考期中）如图，将沿的方向平移得到．

(1)若，求的度数；
(2)若，求平移的距离．
2．（2023下·江苏淮安·七年级校联考期中）如图，将沿射线的方向平移个单位到的位置，点的对应点分别点．
(1)若，则______．
(2)若，求的度数．
3．（2023下·江西南昌·七年级统考期末）将三角形沿射线方向平移到三角形的位置．

(1)如图1，当点D与点B重合时．
判断：_______；（用“＞”、“＝”、“＜”填空）
(2)如图2，当点D与点B不重合时，连接，．试探究，，三个角之间的数量关系，并证明你的结论．
4．（2023下·河北邢台·七年级校考期末）如图1，，被直线所截，，过点A作，D是线段上的点，过点D作交于点E．

(1)求的度数；
(2)将线段沿线段方向平移得到线段，连接．
①如图2，当时，求的度数；
②如图3，当时，求的度数；
③在整个平移过程中，是否存在？若存在，直接写出此时的度数，若不存在，请说明理由．
5．（2023下·福建泉州·七年级统考期末）如图，将线段平移得到，使与对应，与对应，连接，．

(1)求证：；
(2)点在的延长线上，点与关于直线对称，直线交的延长线于点．点在线段上，且．
①设，求的度数（用含的代数式表示）；
②证明：．
6．（2023下·北京海淀·七年级期末）如图，已知线段，点是线段外一点，连接，．将线段沿平移得到线段．点是线段上一动点，连接，．

(1)依题意在图1中补全图形，并证明：；
(2)过点C作直线．在直线上取点，使．
①当时，画出图形，并直接用等式表示与之间的数量关系；
②在点运动的过程中，当点到直线的距离最大时，的度数是________（用含的式子表示）．

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