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第四章 图形与变换
第六节 解直角三角形
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 锐角三角函数 ☆☆☆ 锐角三角函数及其应用是数学中考中比较重要的考点,其考察内容主要包括①考查正弦、余弦、正切的定义，②特殊角的三角函数值，③解直角三角形与其应用等.出题时除了会单独出题以外，还常和四边形、圆、网格图形等结合考察，是近几年中考填空压轴题常考题型.预计2024年各地中考还将以选题和综合题的形式出现，在牢固掌握定义的同时，一定要理解基本的方法，利用辅助线构造直角三角形，是得分的关键.
考点2 解直角三角形 ☆☆
考点3 解直角三角形的应用 ☆☆
1．锐角三角函数的意义：
如图，在Rt△ABC中，设∠C＝90°，∠α为Rt△ABC的一个锐角，则：
∠α的正弦sinα＝；
∠α的余弦cosα＝；
∠α的正切tanα＝
2．同角三角函数之间的关系：
sin2A＋cos2A＝ 1 ，tanA＝．
3．互余两角三角函数之间的关系：
(1)sinα＝cos(90°－α)，cosα＝sin(90°－α)．
(2)tanα·tan(90°－α)＝1.
(3)锐角的正弦值或正切值随着角度的增大而增大，锐角的余弦值随着角度的增大而减小．
(4)对于锐角A有0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0.
4．特殊的三角函数值：
三角函数 30° 45° 60°
sinα
cosα
tanα 1
5．如图，直角三角形的三条边与三个角这六个元素中，有如下的关系：
(1)三边的关系(勾股定理)：a2＋b2＝c2．
(2)两锐角间的关系：∠A＋∠B＝90°．
(3)边与角的关系：sinA＝cosB＝，
cosA＝sinB＝，tanA＝，tanB＝．
6．直角三角形的边角关系在现实生活中有着广泛的应用，它经常涉及测量、工程、航海、航空等，其中包括了一些概念，一定要根据题意理解其中的含义才能正确解题．
(1)仰角：向上看时，视线与水平线的夹角，如图．
(2)俯角：向下看时，视线与水平线的夹角，
(3)坡角：坡面与水平面的夹角．
(4)坡度：坡面的铅直高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，一般情况下，我们用h表示坡的铅直高度，用l表示坡的水平宽度，用i表示坡度，即i＝＝tanα，显然，坡度越大，坡角就越大，坡面也就越陡，如图．
(5)方向角：指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的锐角叫做方向角．
■考点一　锐角三角函数
◇典例1：（2023 淳安县一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c．则下列各式中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】锐角三角函数的定义．
【答案】C
【点拨】根据锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．
【解析】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c，
∴sinA＝＝，
故选：C．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
◆变式训练
1．（2022 萧山区校级一模）cos45°＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】特殊角的三角函数值．
【答案】D
【点拨】根据特殊角的三角函数值可得答案．
【解析】解：cos45°＝．
故选：D．
【点睛】此题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解决此题的关键．
2．（2022 长兴县模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，则cosB的值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】锐角三角函数的定义．
【答案】D
【点拨】根据勾股定理计算出BC长，再根据余弦定义可得答案．
【解析】解：∵AB＝4，AC＝3，
∴BC＝＝＝，
∴cosB＝＝．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了锐角三角函数，关键是掌握余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．
3．（2022 钱塘区一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°．若3AB＝5AC，则tanA＝　　．
【考点】锐角三角函数的定义．
【答案】．
【点拨】根据3AB＝5AC，可得＝，根据勾股定理求出BC，再根据锐角三角函数的定义进行计算即可．
【解析】解：∵3AB＝5AC，
∴＝，
在Rt△ABC中，∠C＝90°．
设AC＝3k，则AB＝5k，由勾股定理得，
BC＝＝4k，
∴tanA＝＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查锐角三角函数，掌握锐角三角函数的定义以及勾股定理是正确解答的前提．
4．（2023 杭州一模）在△ABC中，∠C＝90°，sinB＝，则tanA＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】互余两角三角函数的关系．
【答案】B
【点拨】由锐角的正弦、正切定义即可计算．
【解析】解：∵∠C＝90°，sinB＝＝，
∴令AC＝4x，则AB＝5x，
∴BC＝＝3x，
∴tanA＝＝＝．
故选：B．
【点睛】本题考查解直角三角形，关键是掌握锐角的正弦、正切定义．
■考点二 解直角三角形
◇典例2：（2023 南浔区一模）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，求BC的长和cosA的值．
【考点】解直角三角形；勾股定理．
【答案】BC＝5，cosA＝．
【点拨】根据勾股定理以及锐角三角函数的定义即可求出答案．
【解析】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
由勾股定理可知：BC＝＝＝5，
cosA＝＝．
【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用勾股定理以及锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．
◆变式训练
1．（2023 东阳市三模）如图，在△ABC中，∠A＝88°，∠C＝42°，AB＝60，则点A到BC的距离为（　　）
A．60sin50° B． C．60cos50° D．60tan50°
【考点】解直角三角形；点到直线的距离．
【答案】A
【点拨】过点A作AD⊥BC，通过三角形内角和定理求出∠B的度数，再在直角三角形中利用正弦求出点A到BC的距离．
【解析】解：过点作AD⊥BC，垂足为D，
在△ABC中，∠A＝88°，∠C＝42°，AB＝60，
∴∠B＝180°﹣88°﹣42°＝50°，
在Rt△ADB中，sin50°＝，
∴AD＝60sin50°，
∴点A到BC的距离为60sin50°．
故选：A．
【点睛】本题考查了解直角三角形和点到直线的距离，解题的关键是掌握解直角三角形和点到直线的距离定义．
2．（2022 西湖区校级一模）在△ABC中，AC＝4，BC＝6，∠C为锐角且tanC＝1．
（1）求△ABC的面积；
（2）求AB的值；
（3）求cos∠ABC的值．
【考点】解直角三角形；勾股定理．
【答案】（1）12；（2）2；（3）．
【点拨】（1）过点A作AD⊥BC，根据∠C的正切值确定∠C的度数，再利用直角三角形的边角间关系求出AD、CD，最后利用三角形的面积公式算出△ABC的面积；
（2）先利用线段的和差关系求出BD，再利用勾股定理求出AB；
（3）在Rt△ABD中利用直角三角形的边角间关系求出∠B的余弦值．
【解析】解：（1）过点A作AD⊥BC，垂足为D．
∴∠ADC＝∠ADB＝90°．
∵∠C为锐角且tanC＝1，
∴∠C＝45°＝∠DAC．
∴AD＝DC．
∵sinC＝，AC＝4，
∴DC＝AD＝sin45°×AC＝×4＝4．
∴S△ABC＝BC×AD＝×6×4＝12．
（2）∵DC＝AD＝4，BC＝6，
∴BD＝BC﹣DC＝2．
在Rt△ABD中，
AB＝＝＝2．
（3）在Rt△ABD中，
cos∠ABC＝＝＝．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、特殊角的三角函数值、三角形的面积公式及勾股定理是解决本题的关键．
■考点三 解直角三角形的应用
◇典例3：（2022 绍兴）圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”），当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表AC垂直圭BC，已知该市冬至正午太阳高度角（即∠ABC）为37°，夏至正午太阳高度角（即∠ADC）为84°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为4米．
（1）求∠BAD的度数．
（2）求表AC的长（最后结果精确到0.1米）．
（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，tan84°≈）
【考点】解直角三角形的应用．
【答案】（1）47°；
（2）3.3米．
【点拨】（1）根据三角形的外角等于与它不相邻两个内角的和解答即可；
（2）分别求出∠ADC和∠ABC的正切值，用AC表示出CD和CB，得到一个只含有AC的关系式，再解答即可．
【解析】解：（1）∵∠ADC＝84°，∠ABC＝37°，
∴∠BAD＝∠ADC﹣∠ABC＝47°，
答：∠BAD的度数是47°．
（2）在Rt△ABC中，，
∴．
在Rt△ADC中，，
∵BD＝4，
∴，
∴，
∴AC≈3.3（米），
答：表AC的长是3.3米．
【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质和三角函数，熟练掌握建模思想是解决本题的关键．
◆变式训练
1．（2023 丽水）如图，某工厂为了提升生产过程中所产生废气的净化效率，需在气体净化设备上增加一条管道A﹣D﹣C，已知DC⊥BC，AB⊥BC，∠A＝60°，AB＝11m，CD＝4m，求管道A﹣D﹣C的总长．
【考点】解直角三角形的应用．
【答案】18m．
【点拨】过点D作DE⊥AB于点E，则∠AED＝90°，四边形BCDE是矩形，得BE＝CD＝4m，则AE＝7m，再由锐角三角函数定义求出AD＝14m，即可解决问题．
【解析】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
则∠AED＝90°，四边形BCDE是矩形，
∴BE＝CD＝4m，
∴AE＝AB﹣BE＝11﹣4＝7（m），
∵∠A＝60°，
∴cosA＝＝cos60°＝，
∴AD＝2AE＝2×7＝14（m），
∴AD+CD＝14+4＝18（m），
即管道A﹣D﹣C的总长为18m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用以及锐角三角函数定义等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
1．（2023 金华模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，sinA＝，则AB的值为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．7.5
【考点】锐角三角函数的定义．
【答案】C
【点拨】根据正弦函数的定义即可直接求解．
【解析】解：∵sinA＝＝，
设BC＝4x，AB＝5x，
∴AC＝3x，
∴3x＝6，
解得x＝2，
∴AB＝10．
故选：C．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，解决本题的关键是掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
2．（2021 长兴县模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则cosA等于（　　）
A． B． C． D．
【考点】同角三角函数的关系．
【答案】D
【点拨】根据tanA＝求出第三边长的表达式，求出cosA即可．
【解析】解：如图：
设BC＝5x，
∵tanA＝，
∴AC＝12x，AB＝＝13x，
∴cosA＝＝＝．
故选：D．
【点睛】本题利用了勾股定理和锐角三角函数的定义．解题的关键是掌握勾股定理和锐角三角函数的定义．
3．（2001 湖州）sin230°+cos230°的值为（　　）
A．1 B． C．2 D．
【考点】同角三角函数的关系；特殊角的三角函数值．
【答案】A
【点拨】根据特殊角的三角函数值计算即可．
【解析】解：因为sin30°＝，cos30°＝，
所以sin230°+cos230°＝+＝1，
所以sin230°+cos230°＝1．
故选：A．
【点睛】本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，要掌握特殊角度的三角函数值．
4．（2022 宁波三模）如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanA的值是（　　）
A． B． C．2 D．
【考点】锐角三角函数的定义．
【答案】D
【点拨】首先构造以A为锐角的直角三角形，然后利用正切的定义即可求解．
【解析】解：连接BD．
则BD＝，AD＝2，
则tanA＝＝＝．
故选：D．
【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，构造直角三角形是本题的关键．
5．（2023 临平区二模）如图，在△ABC中，∠B和∠C都是锐角，若∠B＝α，∠C＝β，则（　　）
A．AB cosβ＝AC cosα B．AB sinα＝AC cosβ C．AB sinα＝AC sinβ D．AB sinβ＝AC sinα
【考点】解直角三角形．
【答案】C
【点拨】过点A作AD⊥BC于D，则sinB＝，sinC＝，∠B＝α，∠C＝β，于是AB sinα＝AC sinβ，得到答案．
【解析】解：如图，过点A作AD⊥BC于D，
则∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵sinB＝，sinC＝，∠B＝α，∠C＝β，
∴AD＝AB sinα，AD＝AC sinβ，
∴AB sinα＝AC sinβ，
故选：C．
【点睛】本题考查了解直角三角形，合理添加辅助线构造直角三角形，熟练运用三角函数的定义是解题的关键．
6．（2022 金华）一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形．已知BC＝6m，∠ABC＝α，则房顶A离地面EF的高度为（　　）
A．（4+3sinα）m B．（4+3tanα）m C．（4+）m D．（4+）m
【考点】解直角三角形的应用．
【答案】B
【点拨】过点A作AD⊥BC于点D，利用直角三角形的边角关系定理求得AD，．用AD+BE即可表示出房顶A离地面EF的高度．
【解析】解：过点A作AD⊥BC于点D，如图，
∵它是一个轴对称图形，
∴AB＝AC，
∵AD⊥BC，
∴BD＝BC＝3m，
在Rt△ADB中，
∵tan∠ABC＝，
∴AD＝BD tanα＝3tanα m．
∴房顶A离地面EF的高度＝AD+BE＝（4+3tanα）m，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的意义，轴对称的性质，等腰三角形的三线合一，利用直角三角形的边角关系定理求得AD的长是解题的关键．
7．（2021 金华）如图是一架人字梯，已知AB＝AC＝2米，AC与地面BC的夹角为α，则两梯脚之间的距离BC为（　　）
A．4cosα米 B．4sinα米 C．4tanα米 D．米
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【答案】A
【点拨】直接利用等腰三角形的性质得出BD＝DC，再利用锐角三角函数关系得出DC的长，即可得出答案．
【解析】解：过点A作AD⊥BC于点D，
∵AB＝AC＝2米，AD⊥BC，
∴BD＝DC，
∴cosα＝＝，
∴DC＝2cosα（米），
∴BC＝2DC＝2×2cosα＝4cosα（米）．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用以及等腰三角形的性质，正确表示出DC的长是解题关键．
8．（2023 衢州）如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，调节杆，AB＝b，AB的最大仰角为α．当∠C＝45°时，则点A到桌面的最大高度是（　　）
A． B． C．a+bcosα D．a+bsinα
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【答案】D
【点拨】过点A作AF⊥BE于F，过点B作BG⊥CD于G，利用解直角三角形可得AF＝bsinα，BG＝a，根据点A到桌面的最大高度＝BG+AF，即可求得答案
【解析】解：如图，过点A作AF⊥BE于F，过点B作BG⊥CD于G，
在Rt△ABF中，AF＝AB sinα＝bsinα，
在Rt△BCG中，BG＝BC sin45°＝a×＝a，
∴点A到桌面的最大高度＝BG+AF＝a+bsinα，
故选：D．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是添加辅助线，构造直角三角形，利用解直角三角形解决问题．
9．（2023 杭州）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（△DAE，△ABF，△BCG，△CDH）和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，∠ABF＞∠BAF，连接BE．设∠BAF＝α，∠BEF＝β，若正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1：n，tanα＝tan2β，则n＝（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
【考点】解直角三角形的应用；勾股定理的证明．
【答案】C
【点拨】设AE＝a，DE＝b，则BF＝a，AF＝b，解直角三角形可得，化简可得（b﹣a）2＝ab，a2+b2＝3ab，结合勾股定理及正方形的面积公式可求得S正方形EFGH；S正方形ABCD＝1：3，进而可求解n的值．
【解析】解：设AE＝a，DE＝b，则BF＝a，AF＝b，
∵tanα＝，tanβ＝，tanα＝tan2β，
∴，
∴（b﹣a）2＝ab，
∴a2+b2＝3ab，
∵a2+b2＝AD2＝S正方形ABCD，（b﹣a）2＝S正方形EFGH，
∴S正方形EFGH：S正方形ABCD＝ab：3ab＝1：3，
∵S正方形EFGH：S正方形ABCD＝1：n，
∴n＝3．
故选：C．
【点睛】本题主要考查勾股定理的证明，解直角三角形的应用，利用解直角三角形求得（b﹣a）2＝ab，a2+b2＝3ab是解题的关键．
10．（2023 杭州二模）计算：tan60°﹣sin60°＝　　．
【考点】特殊角的三角函数值．
【答案】
【点拨】代入特殊角的三角函数值进行计算即可．
【解析】解：原式＝﹣＝（1﹣）＝，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，关键是熟练掌握30°、45°、60°角的各种三角函数值．
11．（2021 湖州）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，AB＝2，则sinB的值是 　　．
【考点】锐角三角函数的定义．
【答案】容
【点拨】根据在直角三角形中sinB＝，代值计算即可得出答案．
【解析】解：∵∠ACB＝90°，AC＝1，AB＝2，
∴sinB＝＝．
故答案为：．
【点睛】此题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握在直角三角形中，正弦＝是解题的关键．
12．（2022 嘉兴二模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC：BC＝1：2，则sinB的值为 　　．
【考点】锐角三角函数的定义．
【答案】．
【点拨】根据勾股定理，可得AB，根据锐角三角函数的正弦等于对边比斜边，可得答案．
【解析】解：设AC＝x，BC＝2x，由勾股定理，得
AB＝，
由三角函数的正弦等于对边比斜边，得
sinB＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
13．（2021 上城区二模）比较sin30°和cos30°的大小，用“＜”连接　sin30°＜cos30°　．
【考点】锐角三角函数的增减性；特殊角的三角函数值．
【答案】sin30°＜cos30°．
【点拨】将余弦转化为正弦，根据正弦的锐角三角函数的增减性比较大小即可．
【解析】解：∵cos30°＝sin60°，正弦的锐角三角函数值随角度的增大而增大，
∴sin30°＜sin60°，
故答案为：sin30°＜cos30°．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的增减性，将余弦转化为正弦是解题的关键．
14．（2022 萧山区校级一模）如图，在△ABC中，sinB＝，tanC＝，AB＝4，则AC的长为 　　．
【考点】解直角三角形．
【答案】．
【点拨】过点A作AD⊥BC，垂足为D，先在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，再在Rt△ADC中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，然后根据勾股定理求出AC的长即可解答．
【解析】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，
在Rt△ABD中，sinB＝，AB＝4，
∴AD＝AB sinB＝4×＝1，
在Rt△ADC中，tanC＝，
∴DC＝＝＝2，
∴AC＝＝＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
15．（2020 鹿城区校级二模）如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶26米，已知cosα＝，则小车上升的高度是 　10　米．
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【答案】10．
【点拨】在Rt△ABC中，先求出AB，再利用勾股定理求出BC即可．
【解析】解：如图，当AC＝26米，CB⊥AB，
∵cosα＝＝，
∴AB＝24米，
∴BC＝＝＝10（米），
∴小车上升的高度是10m．
故答案为：10．
【点睛】此题主要考查解直角三角形，锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是学会构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
16．（2023 拱墅区二模）如图，边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、E在格点上，连接AE、BC，点D在BC上，且满足AD⊥BC，则∠AED的正切值是　　．
【考点】解直角三角形．
【答案】．
【点拨】如图以O为圆心，1为半径作⊙O，首先算出∠ABD的正切值，根据圆周角定理可得∠AED＝∠ABD，进而得到∠AED的正切值．
【解析】解：如图以O为圆心，1为半径作⊙O，
∵AB＝2，AC＝1．
∴∠ABD的正切值＝＝，
∵∠AED＝∠ABD，
∴∠AED的正切值是，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了圆周角定理以及锐角三角函数，关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
17．（2023 金东区二模）如图，一个立方体有盖盒子，棱长为8cm，当正方形PDCS合上时，点A与点P重合，点B与点S重合，此时，两个全等的长方形ADFE与长方形BCHG向内合上，且顶点E，G都落在AB边上，点E在点G的右侧，EG＝2cm．
（1）AE的长度是 　5　cm．
（2）长方形ADFE和长方形BCHG，从底面ABCD翻开的过程中，当EG＝1cm且∠EAB最大时，∠EAB的余弦值为 　　．
【考点】解直角三角形；认识立体图形．
【答案】（1）5；
（2）．
【点拨】（1）由两个全等的长方ADFE与长方BCHG向内合上，且顶点E，G都落AB边上，点E在点G的右侧．EG＝2cm可得AE＝BG，AG＝BE，2AG+2＝8，解得：AG＝3，可得AE＝3+2＝5（cm）；
（2）从底ABCD翻开的过程中，EG＝1cm且∠EAB最大时，如图示：过E作EM⊥AB于M，过G作GN⊥AB于N，由题意可得：EG∥，AE＝BG＝5，可得EM＝GN，EG＝MN＝1，证明Rt△AEM≌Rt△BGN，AM＝BN＝，可得∠EAB的余弦值为＝．
【解析】解：（1）∵两个全等的长方形ADFE与长方形BCHG向内合上，且顶点E，G都落在AB边上，
点E在点G的右侧，EG＝2cm．
∴AE＝BG，
∴AG＝BE，
∴2AG+2＝8，解得：AG＝3，
∴AE＝3+2＝5（cm），
故答案为：5；
（2）从底面ABCD翻开的过程中，当EG＝1cm且∠EAB最大时，如图：
过E作EM⊥AB于M，
由题意可得AE2﹣AM2＝BE2﹣BM2，
∴52﹣AM2＝62﹣（8﹣AM）2，
∴AM＝，
∴AM＝BN＝，
∴∠EAB的余弦值为＝．
答案为：．
【点睛】本题考查的是线段的和差运算，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，求解锐角的余弦，理解题意，利用数形结合的方法解题是关键．
18．（2022 金华）计算：（﹣2022）0﹣2tan45°+|﹣2|+．
【考点】特殊角的三角函数值；绝对值；算术平方根；实数的运算；零指数幂．
【答案】见试题解答内容
【点拨】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质、算术平方根分别化简，进而计算得出答案．
【解析】解：原式＝1﹣2×1+2+3
＝1﹣2+2+3
＝4．
【点睛】此题主要考查了零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质、算术平方根，正确化简各数是解题关键．
19．（2022 宁波）每年的11月9日是我国的“全国消防安全教育宣传日”，为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图1，架在消防车上的云梯AB可伸缩（最长可伸至20m），且可绕点B转动，其底部B离地面的距离BC为2m，当云梯顶端A在建筑物EF所在直线上时，底部B到EF的距离BD为9m．
（1）若∠ABD＝53°，求此时云梯AB的长．
（2）如图2，若在建筑物底部E的正上方19m处突发险情，请问在该消防车不移动位置的前提下，云梯能否伸到险情处？请说明理由．
（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）
【考点】解直角三角形的应用．
【答案】（1）此时云梯AB的长为15m；
（2）在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处，理由见解答．
【点拨】（1）在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，即可解答；
（2）根据题意可得DE＝BC＝2m，从而求出AD＝17m，然后在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，进行比较即可解答．
【解析】解：（1）在Rt△ABD中，∠ABD＝53°，BD＝9m，
∴AB＝≈＝15（m），
∴此时云梯AB的长为15m；
（2）在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处，
理由：由题意得：
DE＝BC＝2m，
∵AE＝19m，
∴AD＝AE﹣DE＝19﹣2＝17（m），
在Rt△ABD中，BD＝9m，
∴AB＝＝＝（m），
∵m＜20m，
∴在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
20．（2023 舟山）图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头A的仰角、俯角均为15°，摄像头高度OA＝160cm，识别的最远水平距离OB＝150cm．
（1）身高208cm的小杜，头部高度为26cm，他站在离摄像头水平距离130cm的点C处，请问小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别？
（2）身高120cm的小若，头部高度为15cm，踮起脚尖可以增高3cm，但仍无法被识别，社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为20°（如图3），此时小若能被识别吗？请计算说明．
（精确到0.1cm，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；视点、视角和盲区；全等三角形的判定与性质．
【答案】（1）小杜最少需要下蹲12.9厘米才能被识别；
（2）踮起脚尖小若能被识别．
【点拨】（1）过C作OB的垂线分别交仰角、俯角线于点E，D，交水平线于点F，在Rt△AEF中，根据三角函数的定义得到EF＝AF tan15°≈130×0.27＝35.1（cm），根据全等三角形的性质得到结论；
（2）如图2，过B作OB的垂线分别交仰角、俯角线于M．N．交水平线于P，根据三角函数的定义得到MP＝AP tan20°≈150×0.36＝54.0（cm），根据全等三角形的性质得到PN＝MP＝54.0cm，于是得到结论．
【解析】解：（1）过C作OB的垂线分别交仰角、俯角线于点E，D，交水平线于点F，
在Rt△AEF中，tan∠EAF＝，
∴EF＝AF tan15°≈130×0.27＝35.1（cm），
∵AF＝AF，∠EAF＝∠DAF，∠AFE＝∠AFD＝90°，
∴△ADF≌△AEF（ASA），
∴EF＝DF＝35.1cm，
∴CE＝160+35.1＝195.1（cm），
∴小杜最少需要下蹲208﹣195.1＝12.9厘米才能被识别；
（2）如图2，过B作OB的垂线分别交仰角、俯角线于M．N．交水平线于P，
在Rt△APM中，tan∠MAP＝，
∴MP＝AP tan20°≈150×0.36＝54.0（cm），
∵AP＝AP，∠MAP＝∠NAP，∠APM＝∠APN＝90°，
∴△AMP≌△ANP（ASA），
∴PN＝MP＝54.0cm，
∴BN＝160﹣54.0＝106.0（cm），
∴小若踮起脚尖后头顶的高度为120+3＝123（cm），
∴小若头顶超出点N的高度为：123﹣106.0＝17.0（cm）＞15cm，
∴踮起脚尖小若能被识别．
【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，正确作出辅助线是解题关键．
21．（2023 绍兴）图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱OA垂直地面OB，支架CD与OA交于点A，支架CG⊥CD交OA于点G，支架DE平行地面OB，篮筐EF与支架DE在同一直线上，OA＝2.5米，AD＝0.8米．∠AGC＝32°．
（1）求∠GAC的度数；
（2）某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面3米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62）
【考点】解直角三角形的应用．
【答案】（1）∠GAC的度数为58°；
（2）该运动员能挂上篮网，理由见解答．
【点拨】（1）根据垂直定义可得∠ACG＝90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答；
（2）延长OA，ED交于点M，根据垂直定义可得∠AOB＝90°，从而利用平行线的性质可得∠DMA＝∠AOB＝90°，再根据对顶角相等可得∠DAM＝∠GAC＝58°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得∠ADM＝32°，然后在Rt△ADM中，利用锐角三角函数的定义求出AM的长，从而利用线段的和差关系求出MO的长，比较即可解答．
【解析】解：（1）∵CG⊥CD，
∴∠ACG＝90°，
∵∠AGC＝32°，
∴∠GAC＝90°﹣∠AGC＝90°﹣32°＝58°，
∴∠GAC的度数为58°；
（2）该运动员能挂上篮网，
理由如下：延长OA，ED交于点M，
∵OA⊥OB，
∴∠AOB＝90°，
∵DE∥OB，
∴∠DMA＝∠AOB＝90°，
∵∠GAC＝58°，
∴∠DAM＝∠GAC＝58°，
∴∠ADM＝90°﹣∠DAM＝32°，
在Rt△ADM中，AD＝0.8米，
∴AM＝AD sin32°≈0.8×0.53＝0.42（米），
∴OM＝OA+AM＝2.5+0.424＝2.924（米），
∵2.924米＜3米，
∴该运动员能挂上篮网．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
1．（2023 西湖区一模）cos30°等于（　　）
A． B． C． D．
【考点】特殊角的三角函数值．
【答案】D
【点拨】根据特殊角的三角函数值即可直接求解．
【解析】解：cos30°＝．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，是基础题目，比较简单，熟练记忆特殊角的三角函数值是解题关键．
2．（2022 拱墅区模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝AC，则sinB的值为（　　）
A． B． C． D．2
【考点】锐角三角函数的定义．
【答案】A
【点拨】先设BC＝a，AC＝2a，利用勾股定理求出AB的长，然后根据锐角三角函数的定义判断即可．
【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝AC，
∴设BC＝a，AC＝2a，
∴AB＝＝＝a，
∴sinB＝＝＝，
故选：A．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的正弦，余弦，正切是解题的关键．
3．（2021 余杭区一模）在 Rt△ABC中，∠C＝90°，cosB＝，则tanA的值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】互余两角三角函数的关系．
【答案】C
【点拨】利用余弦的定义得到cosB＝＝，设BC＝x，AB＝3x，则可求出AC＝2x，然后根据正切的定义求解．
【解析】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴cosB＝＝，
设BC＝x，AB＝3x，则AC＝2x，
∴tanA＝＝＝．
故选：C．
【点睛】本题考查了互余两角三角函数的关系：若∠A+∠B＝90°，那么sinA＝cosB或sinB＝cosA．也考查了锐角三角函数的定义．
4．（2023 西湖区模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，定义：斜边与∠A的对边的比叫做∠A的余割，用“cscA”表示．如设该直角三角形的三边分别为a，b，c，则，那么下列说法正确的是（　　）
A．cscB sinA＝1 B． C．cscA cosB＝1 D．csc2A+csc2B＝1
【考点】同角三角函数的关系．
【答案】C
【点拨】根据余割的定义：斜边与∠A的对边的比进行计算，再选择即可．
【解析】解：根据定义得，cscB＝，故B不符合题意；
cscB sinA＝ ＝，故A不符合题意；
cscA cosB＝ ＝1，故C符合题意；
csc2A+csc2B＝+＝，故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，同角三角函数的关系，掌握余割的定义：斜边与∠A的对边的比叫做∠A的余割，用“cscA”表示，是解题的关键
5．（2023 拱墅区二模）如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，D是BC上一点，连接AD，若∠B＝α，∠ADC＝β，AB＝a，则CD的长可表示为（　　）
A．acosβ B．asinα C． D．
【考点】解直角三角形．
【答案】C
【点拨】在Rt△ACD中，先用CD表示出AC，然后在Rt△ACB中用sinα表示即可．
【解析】解：∵∠ACB＝90°，∠ADC＝β，
在Rt△ACD中，AC＝tanβ CD，
∵∠B＝α，AB＝a，
在Rt△ACB中，sinα＝，
∴tanβ CD＝sinα AB，
即CD＝．
故选：C．
【点睛】本题考查解直角三角形，熟记锐角三角函数的定义并灵活运用是解题的关键．
6．（2021 绍兴模拟）已知△ABC是锐角三角形，若AB＞AC，则（　　）
A．sinA＜sinB B．sinB＜sinC C．sinA＜sinC D．sinC＜sinA
【考点】锐角三角函数的增减性．
【答案】B
【点拨】大边对大角，可得∠C＞∠B，当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；依此即可求解．
【解析】解：△ABC是锐角三角形，若AB＞AC，
则∠C＞∠B，
则sinB＜sinC．
故选：B．
【点睛】考查了锐角三角函数的增减性，当角度在0°～90°间变化时，①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．
7．（2021 温州）图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC．若AB＝BC＝1，∠AOB＝α，则OC2的值为（　　）
A．+1 B．sin2α+1 C．+1 D．cos2α+1
【考点】解直角三角形的应用；勾股定理．
【答案】A
【点拨】在Rt△OAB中，sinα＝，可得OB的长度，在Rt△OBC中，根据勾股定理OB2+BC2＝OC2，代入即可得出答案．
【解析】解：∵AB＝BC＝1，
在Rt△OAB中，sinα＝，
∴OB＝，
在Rt△OBC中，
OB2+BC2＝OC2，
∴OC2＝（）2+12＝．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法进行计算是解决本题的关键．
8．（2022 鹿城区校级三模）“儿童放学归来早，忙趁东风放纸鸢”，小明周末在龙潭公园草坪上放风筝，已知风筝拉线长100米且拉线与地面夹角为65°（如图所示，假设拉线是直的，小明身高忽略不计），则风筝离地面的高度可以表示为（　　）
A．100sin65° B．100cos65° C．100tan65° D．
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【答案】A
【点拨】过点A作AC⊥BC于C，根据正弦的定义解答即可．
【解析】解：如图，过点A作AC⊥BC于C，
在Rt△ABC中，sinB＝，
则AC＝AB sinB＝100sin65°（米），
故选：A．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
9．（2023 龙港市一模）图1是一地铁站入口的双翼闸机，双翼展开时示意图如图2所示，它是一个轴对称图形，AC＝40cm，则双翼边缘端点C与D之间的距离为（　　）
A．（60﹣40cosα）cm B．（60﹣40sinα）cm C．（60﹣80cosα）cm D．（60﹣80sinα）cm
【考点】解直角三角形的应用；轴对称图形．
【答案】D
【点拨】作辅助线如图，由题意可得CE＝DF，EF＝60cm，解直角三角形ACE求出CE＝40sinα cm，然后根据CD＝EF﹣2CE即可得出答案．
【解析】解：如图，作直线CD，交双翼闸机于点E、F，则CE⊥AE，DF⊥BF，
由题意可得CE＝DF，EF＝60cm，
在直角三角形ACE中，
CE＝AC sinα＝40sinα，
∴CD＝EF﹣2CE＝（60﹣80sinα）cm．
故选：D．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题意、熟练掌握锐角三角函数的知识是解题的关键．
10．（2023 金华模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，E为AB上一点且AE＝4EB，EF⊥AC于F，连结FB，则tan∠CFB＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】解直角三角形；含30度角的直角三角形．
【答案】D
【点拨】先根据EF⊥AC及∠C＝90°得到EF∥BC，从而得到，再在Rt△ABC中，∠A＝30°，设AB＝2x，则BC＝x，AC＝，从而表示出CF，最后根据锐角三角函数的定义求出tan∠CFB．
【解析】解：∵EF⊥AC，
∴∠AFE＝90°＝∠C，
∴EF∥BC，
∴，
在Rt△ABC中，∠A＝30°，
设AB＝2x，则CB＝x，
∴AC＝，
∴CF＝AC＝，
∴tan∠CFB＝＝．
故选：D．
【点睛】本题主要考查解直角三角形，涉及到平行线的判定，平行线分线段成比例，勾股定理，锐角三角函数的定义等，解题关键是熟练使用相关概念进行推理．
11．（2020 拱墅区二模）若sinα＝cos60°，则锐角α＝　45°　．
【考点】特殊角的三角函数值．
【答案】45°
【点拨】根据30°，45°，60°角的三角函数值解答即可．
【解析】解：∵sinα＝cos60°＝×＝，
∴α＝45°．
故答案为：45°．
【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
12．（2023 杭州一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AB＝10，sinB＝　　．
【考点】锐角三角函数的定义．
【答案】．
【点拨】根据题意画出图形，由勾股定理求出BC的长，再由锐角三角函数的定义进行解答即可．
【解析】解：如图所示：
∵Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AB＝10，
∴AC＝
＝
＝6，
∴sinB＝＝＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．
13．（2022 龙泉市一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝12，sinA＝，则BC＝　4　．
【考点】锐角三角函数的定义．
【答案】4．
【点拨】在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答．
【解析】解：∵∠C＝90°，AB＝12，sinA＝，
∴BC＝AB sinA＝12×＝4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
14．（2023 西湖区模拟）如图，CD⊥AD于点D，若，，则tan∠ABC＝　　．
【考点】解直角三角形．
【答案】．
【点拨】由题意可得：，可求得，，则可求解．
【解析】解：∵CD⊥AD，，
∴，
∴，AD＝，
∵，
∴，
∴，
∴tan∠ABC＝＝．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查解直角三角形，解答的关键是由已知条件求得．
15．（2023 鄞州区校级模拟）如图，在△ABC中，AD⊥BC，BD＝5，CD＝3，，则线段AD的长 　2+3　．
【考点】解直角三角形；勾股定理．
【答案】2+3．
【点拨】过B作BE⊥AC，垂足为E交AD于F，证明△AFE∽△BCE，推出，可得AF＝6，由△BDF∽△ADC推出FD：DC＝BD：AD，设FD长为x，由此构建方程求解x，进一步求得结果；
【解析】解：过B作BE⊥AC，垂足为E交AD于F，如图，
过B作BE⊥AC，垂足为E交AD于F，
∵tan∠BAE＝，
∵∠C+∠EBC＝90°，∠C+∠EAF＝90°，
∴∠EAF＝∠EBC，
∵∠AEF＝∠BEC＝90°
∴△AFE∽△BCE，
∴，
∵BC＝BD+CD＝8，
∴AF＝6，
又∵∠BDF＝∠ADC＝90°，
∴△BDF∽△ADC，
∴FD：DC＝BD：AD，
设FD长为x，则：
x：3＝5：（x+6），
解得：x＝2﹣3或﹣2﹣3（舍去），
∴AD＝AF+FD＝6+2﹣3＝2+3．
故答案为：2+3．
【点睛】本题考查了解直角三角形，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形．
16．（2022 衢州二模）如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，线段AB，BC可分别绕点A，B转动，已知AB＝18cm．当AB转动到∠BAD＝30°，BC转动到与AD垂直时，点C恰好落在AD上；当AB转动到∠BAD＝60°，BC转动到∠ABC＝50°时，点C到AD的距离为 　7.1　cm．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，）
【考点】解直角三角形的应用．
【答案】7.1．
【点拨】当AB转动到∠BAD＝30°，BC转动到与AD垂直时，点C恰好落在AD上，先在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，当AB转动到∠BAD＝60°，BC转动到∠ABC＝50°时，过点B作BF⊥AD，垂足为F，过点C作CG⊥BF，垂足为G，过点C作CE⊥AD，垂足为E，根据题意可得FG＝CE，∠BGC＝90°，然后在Rt△ABF中，利用锐角三角函数的定义求出BF的长，再在Rt△BCG中，利用锐角三角函数的定义求出BG的长，进行计算即可解答．
【解析】解：当AB转动到∠BAD＝30°，BC转动到与AD垂直时，点C恰好落在AD上，如图：
在Rt△ABC中，BC＝AB＝×18＝9（cm），
当AB转动到∠BAD＝60°，BC转动到∠ABC＝50°时，如图：
过点B作BF⊥AD，垂足为F，过点C作CG⊥BF，垂足为G，过点C作CE⊥AD，垂足为E，
则FG＝CE，∠BGC＝90°，
在Rt△ABF中，AB＝18cm，∠BAD＝60°，
∴BF＝AB sin60°＝18×＝9（cm），
∠ABF＝90°﹣∠BAD＝30°，
∵∠ABC＝50°，
∴∠CBG＝∠ABC﹣∠ABF＝20°，
∴∠BCG＝90°﹣∠CBG＝70°，
在Rt△BCG中，BC＝9cm，
∴BG＝BC sin70°≈9×0.94＝8.46（cm），
∴CE＝FG＝BF﹣BG＝9﹣8.46≈7.1（cm），
∴点C到AD的距离为7.1cm，
故答案为：7.1．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
17．（2023 婺城区模拟）计算：．
【考点】特殊角的三角函数值；实数的运算．
【答案】0．
【点拨】根据特殊角的三角函数值解决此题即可．
【解析】解：原式＝+﹣×
＝1﹣1
＝0．
【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解决本题的关键．
18．（2022 湖州）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3．求AC的长和sinA的值．
【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理．
【答案】4，．
【点拨】根据勾股定理求AC的长，根据正弦的定义求sinA的值．
【解析】解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，
∴AC＝＝＝4，
sinA＝＝．
答：AC的长为4，sinA的值为．
【点睛】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．
19．（2022 台州）如图1，梯子斜靠在竖直的墙上，其示意图如图2．梯子与地面所成的角α为75°，梯子AB长3m，求梯子顶部离地竖直高度BC．（结果精确到0.1m；参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【答案】2.9m．
【点拨】在Rt△ABC中，AB＝3m，sin∠BAC＝sin75°＝≈0.97，解方程即可．
【解析】解：在Rt△ABC中，AB＝3m，∠BAC＝75°，
sin∠BAC＝sin75°＝≈0.97，
解得BC≈2.9．
答：梯子顶部离地竖直高度BC约为2.9m．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
20．（2021 宁波模拟）已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BC＝14，AD＝12，sinB＝．
求：（1）线段DC的长；
（2）tan∠ACB的值．
【考点】解直角三角形．
【答案】（1）5；（2）．
【点拨】（1）根据sinB＝，求得AB＝15，由勾股定理得BD＝9，从而计算出CD；
（2）再利用三角函数，求出tan∠ACB的值即可．
【解析】解：（1）∵AD是BC上的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°．
∵sinB＝，AD＝12，
∴AB＝15，
∴BD＝，
∵BC＝14，
∴DC＝BC﹣BD＝14﹣9＝5；
（2）由（1）知，CD＝5，AD＝12，
∴tan∠ACB＝＝．
【点睛】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，熟练掌握好三角形边角之间的关系是解题的关键．
21．（2021 下城区一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，BC＝25．AD是BC边上的高，点E在边AC上，EF⊥BC于点F．
（1）求证：sinB＝sin∠CEF．
（2）若AE＝5，求证：△ABD≌△CEF．
【考点】解直角三角形；全等三角形的判定；勾股定理．
【答案】（1）sinB＝sin∠CEF；
（2）△ABD≌△CEF．
【点拨】（1）首先根据AD是BC边上的高，EF⊥BC于点F得出AD∥EF，然后根据等量代换得出∠B＝∠CEF，即可得到结果；
（2）首先根据勾股定理得出AC，进而得出CE＝AB，再根据第（1）问的结论就可以证明△ABD≌△CEF．
【解析】解：（1）∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝∠CFE＝90°，
∴AD∥EF，
∴∠CEF＝∠CAD，
∴∠B+∠BAD＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠DAC+∠BAD＝90°，
∴∠B＝∠CAD＝∠CEF，
∴sinB＝sin∠CEF；
（2）∵AB＝15，BC＝25，
在Rt△ABC中，AC＝＝20，
∴CE＝AC﹣AE＝15，
在△ABD和△CEF中，
，
∴△ABD≌△CEF（AAS）．
【点睛】本题考查解直角三角形，全等三角形的判定，勾股定理，利用相等的角三角函数值相等是解第（1）问的关键，通过勾股定理得出线段长度是解第（2）问的关键．
22．（2023 衢州二模）如图，准备在宽24米的迎宾大道AB路边安装路灯，设计要求：路灯的灯臂CD长4米，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，灯柱BC与大道路面AB垂直，此时O恰好为AB中点．
（1）∠DOB的度数为 　60　°．
（2）现在由于道路两边都要装路灯，要求，且灯臂CD缩短为1米，其它的位置关系不变．则现在路灯的灯柱BC高度应该比原设计高度缩短了 　　米．
【考点】解直角三角形的应用．
【答案】（1）60．
（2）．
【点拨】（1）利用四边形的内角和即可求出∠DOB；
（2）延长OD，BC交于E，由直角三角形的性质求出BE，CE的长，即可求出BC的长，即可解答．
【解析】解：（1）∵OD⊥DC，BC⊥AB，
∴∠ODC＝∠ABC＝90°，
∵∠DCB＝120°，
∴∠DOB＝360°﹣∠ODC﹣∠DCB﹣∠ABC＝60°，
故答案为：60．
（2）如图，延长OD，BC交于点E，
在Rt△OBE中，∠E＝90°﹣∠EOB＝90°﹣60°＝30°，
当DC＝4米时，点O为AB的中点，
∴（米），
∴OE＝2OB＝24（米），
∴（米），
在Rt△DCE中，∠EDC＝90°，CE＝2DC＝2×4＝8（米），
∴ 米，
当DC＝1 米时，在Rt△DCE中，∠EDC＝90°，
∴CE＝2DC＝2×1＝2（米），
∵AB＝24 米，，
∴（米），
∴OE＝2OB＝2×6＝12（米），
∴（米），
∴ 米，
∴BC高度应该比原设计高度缩短了： 米，
故答案为：．
【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是延长OD，BC交于E，构造直角三角形．
23．（2023 温州）根据背景素材，探索解决问题．
测算发射塔的高度
背景素材 某兴趣小组在一幢楼房窗口测算远处小山坡上发射塔的高度MN（如图1），他们通过自制的测倾仪（如图2）在A，B，C三个位置观测，测倾仪上的示数如图3所示．
经讨论，只需选择其中两个合适的位置，通过测量、换算就能计算发射塔的高度
问题解决
任务1 分析规划 选择两个观测位置：点 　A　和点 　B（答案不唯一）　．
获取数据 写出所选位置观测角的正切值，并量出观测点之间的图上距离．
任务2 推理计算 计算发射塔的图上高度MN．
任务3 换算高度 楼房实际宽度DE为12米，请通过测量换算发射塔的实际高度．
注：测量时，以答题纸上的图上距离为准，并精确到1mm．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【答案】任务1：A、B；tan∠MBG＝，tan∠MAF＝，tan∠MBG＝，测得图上AB＝4mm；
任务2：MN＝18mm；
任务3：43.2m．
【点拨】通过作垂线，构造直角三角形，依据直角三角形的边角关系进行计算即可．
【解析】解：任务1：【分析规划】选择点A和点B（答案不唯一），
故答案为：A、B（答案不唯一）；
【获取数据】tan∠MBG＝，tan∠MAF＝，tan∠MBG＝，测得图上AB＝4mm；
任务2：如图1，过点A作AF⊥MN于点F，过点B作BG⊥MN于点G，则FG＝AB＝4mm，
设MF＝x mm，则MG＝（x+4）mm，
∵tan∠MAF＝＝，
tan∠MBG＝＝，
∴AF＝4x，BG＝3x+12，
∵AF＝BG，即4x＝3x+12，
∴x＝12，
即MF＝12mm，
∴AF＝BG＝4x＝48（mm），
∵tan∠FAN＝＝，
∴FN＝6mm，
∴MN＝MF+FN＝12+6＝18（mm），
任务3：测得图上DE＝5mm，设发射塔的实际高度为h m，由题意得，
＝，
解得h＝43.2（m），
∴发射塔的实际高度为43.2m．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
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第四章 图形与变换
第六节 解直角三角形
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 锐角三角函数 ☆☆☆ 锐角三角函数及其应用是数学中考中比较重要的考点,其考察内容主要包括①考查正弦、余弦、正切的定义，②特殊角的三角函数值，③解直角三角形与其应用等.出题时除了会单独出题以外，还常和四边形、圆、网格图形等结合考察，是近几年中考填空压轴题常考题型.预计2024年各地中考还将以选题和综合题的形式出现，在牢固掌握定义的同时，一定要理解基本的方法，利用辅助线构造直角三角形，是得分的关键.
考点2 解直角三角形 ☆☆
考点3 解直角三角形的应用 ☆☆
1．锐角三角函数的意义：
如图，在Rt△ABC中，设∠C＝90°，∠α为Rt△ABC的一个锐角，则：
∠α的正弦sinα＝ ；
∠α的余弦cosα＝ ；
∠α的正切tanα＝ ；
2．同角三角函数之间的关系：
sin2A＋cos2A＝ ，tanA＝．
3．互余两角三角函数之间的关系：
(1)sinα＝cos ，cosα＝sin ．
(2)tanα·tan ＝1.
(3)锐角的正弦值或正切值随着角度的增大而 ，锐角的余弦值随着角度的增大而 ．
(4)对于锐角A有0＜sinA＜1， ＜cosA＜ ，tanA＞0.
4．特殊的三角函数值：
三角函数 30° 45° 60°
sinα
cosα
tanα
5．如图，直角三角形的三条边与三个角这六个元素中，有如下的关系：
(1)三边的关系(勾股定理)：a2＋b2＝c2．
(2)两锐角间的关系：∠A＋∠B＝90°．
(3)边与角的关系：sinA＝cosB＝，
cosA＝sinB＝，tanA＝，tanB＝．
6．直角三角形的边角关系在现实生活中有着广泛的应用，它经常涉及测量、工程、航海、航空等，其中包括了一些概念，一定要根据题意理解其中的含义才能正确解题．
(1)仰角：向上看时，视线与水平线的夹角，如图．
(2)俯角：向下看时，视线与水平线的夹角，
(3)坡角：坡面与水平面的夹角．
(4)坡度：坡面的铅直高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，一般情况下，我们用h表示坡的铅直高度，用l表示坡的水平宽度，用i表示坡度，即i＝＝tanα，显然，坡度越大，坡角就越大，坡面也就越陡，如图．
(5)方向角：指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的锐角叫做方向角．
■考点一　锐角三角函数
◇典例1：（2023 淳安县一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c．则下列各式中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2022 萧山区校级一模）cos45°＝（　　）
A． B． C． D．
2．（2022 长兴县模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，则cosB的值为（　　）
A． B． C． D．
3．（2022 钱塘区一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°．若3AB＝5AC，则tanA＝　　．
4．（2023 杭州一模）在△ABC中，∠C＝90°，sinB＝，则tanA＝（　　）
A． B． C． D．
■考点二 解直角三角形
◇典例2：（2023 南浔区一模）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，求BC的长和cosA的值．
◆变式训练
1．（2023 东阳市三模）如图，在△ABC中，∠A＝88°，∠C＝42°，AB＝60，则点A到BC的距离为（　　）
A．60sin50° B． C．60cos50° D．60tan50°
2．（2022 西湖区校级一模）在△ABC中，AC＝4，BC＝6，∠C为锐角且tanC＝1．
（1）求△ABC的面积；
（2）求AB的值；
（3）求cos∠ABC的值．
■考点三 解直角三角形的应用
◇典例3：（2022 绍兴）圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”），当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表AC垂直圭BC，已知该市冬至正午太阳高度角（即∠ABC）为37°，夏至正午太阳高度角（即∠ADC）为84°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为4米．
（1）求∠BAD的度数．
（2）求表AC的长（最后结果精确到0.1米）．
（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，tan84°≈）
◆变式训练
1．（2023 丽水）如图，某工厂为了提升生产过程中所产生废气的净化效率，需在气体净化设备上增加一条管道A﹣D﹣C，已知DC⊥BC，AB⊥BC，∠A＝60°，AB＝11m，CD＝4m，求管道A﹣D﹣C的总长．
1．（2023 金华模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，sinA＝，则AB的值为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．7.5
2．（2021 长兴县模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则cosA等于（　　）
A． B． C． D．
3．（2001 湖州）sin230°+cos230°的值为（　　）
A．1 B． C．2 D．
4．（2022 宁波三模）如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanA的值是（　　）
A． B． C．2 D．
5．（2023 临平区二模）如图，在△ABC中，∠B和∠C都是锐角，若∠B＝α，∠C＝β，则（　　）
A．AB cosβ＝AC cosα B．AB sinα＝AC cosβ C．AB sinα＝AC sinβ D．AB sinβ＝AC sinα
6．（2022 金华）一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形．已知BC＝6m，∠ABC＝α，则房顶A离地面EF的高度为（　　）
A．（4+3sinα）m B．（4+3tanα）m C．（4+）m D．（4+）m
7．（2021 金华）如图是一架人字梯，已知AB＝AC＝2米，AC与地面BC的夹角为α，则两梯脚之间的距离BC为（　　）
A．4cosα米 B．4sinα米 C．4tanα米 D．米
8．（2023 衢州）如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，调节杆，AB＝b，AB的最大仰角为α．当∠C＝45°时，则点A到桌面的最大高度是（　　）
A． B． C．a+bcosα D．a+bsinα
9．（2023 杭州）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（△DAE，△ABF，△BCG，△CDH）和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，∠ABF＞∠BAF，连接BE．设∠BAF＝α，∠BEF＝β，若正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1：n，tanα＝tan2β，则n＝（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
10．（2023 杭州二模）计算：tan60°﹣sin60°＝　　．
11．（2021 湖州）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，AB＝2，则sinB的值是 　　．
12．（2022 嘉兴二模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC：BC＝1：2，则sinB的值为 　　．
13．（2021 上城区二模）比较sin30°和cos30°的大小，用“＜”连接　 　．
14．（2022 萧山区校级一模）如图，在△ABC中，sinB＝，tanC＝，AB＝4，则AC的长为 　　．
15．（2020 鹿城区校级二模）如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶26米，已知cosα＝，则小车上升的高度是 　　米．
16．（2023 拱墅区二模）如图，边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、E在格点上，连接AE、BC，点D在BC上，且满足AD⊥BC，则∠AED的正切值是　　．
17．（2023 金东区二模）如图，一个立方体有盖盒子，棱长为8cm，当正方形PDCS合上时，点A与点P重合，点B与点S重合，此时，两个全等的长方形ADFE与长方形BCHG向内合上，且顶点E，G都落在AB边上，点E在点G的右侧，EG＝2cm．
（1）AE的长度是 　 　cm．
（2）长方形ADFE和长方形BCHG，从底面ABCD翻开的过程中，当EG＝1cm且∠EAB最大时，∠EAB的余弦值为 　　．
18．（2022 金华）计算：（﹣2022）0﹣2tan45°+|﹣2|+．
19．（2022 宁波）每年的11月9日是我国的“全国消防安全教育宣传日”，为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图1，架在消防车上的云梯AB可伸缩（最长可伸至20m），且可绕点B转动，其底部B离地面的距离BC为2m，当云梯顶端A在建筑物EF所在直线上时，底部B到EF的距离BD为9m．
（1）若∠ABD＝53°，求此时云梯AB的长．
（2）如图2，若在建筑物底部E的正上方19m处突发险情，请问在该消防车不移动位置的前提下，云梯能否伸到险情处？请说明理由．
（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）
20．（2023 舟山）图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头A的仰角、俯角均为15°，摄像头高度OA＝160cm，识别的最远水平距离OB＝150cm．
（1）身高208cm的小杜，头部高度为26cm，他站在离摄像头水平距离130cm的点C处，请问小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别？
（2）身高120cm的小若，头部高度为15cm，踮起脚尖可以增高3cm，但仍无法被识别，社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为20°（如图3），此时小若能被识别吗？请计算说明．
（精确到0.1cm，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）
21．（2023 绍兴）图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱OA垂直地面OB，支架CD与OA交于点A，支架CG⊥CD交OA于点G，支架DE平行地面OB，篮筐EF与支架DE在同一直线上，OA＝2.5米，AD＝0.8米．∠AGC＝32°．
（1）求∠GAC的度数；
（2）某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面3米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62）
1．（2023 西湖区一模）cos30°等于（　　）
A． B． C． D．
2．（2022 拱墅区模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝AC，则sinB的值为（　　）
A． B． C． D．2
3．（2021 余杭区一模）在 Rt△ABC中，∠C＝90°，cosB＝，则tanA的值为（　　）
A． B． C． D．
4．（2023 西湖区模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，定义：斜边与∠A的对边的比叫做∠A的余割，用“cscA”表示．如设该直角三角形的三边分别为a，b，c，则，那么下列说法正确的是（　　）
A．cscB sinA＝1 B． C．cscA cosB＝1 D．csc2A+csc2B＝1
5．（2023 拱墅区二模）如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，D是BC上一点，连接AD，若∠B＝α，∠ADC＝β，AB＝a，则CD的长可表示为（　　）
A．acosβ B．asinα C． D．
6．（2021 绍兴模拟）已知△ABC是锐角三角形，若AB＞AC，则（　　）
A．sinA＜sinB B．sinB＜sinC C．sinA＜sinC D．sinC＜sinA
7．（2021 温州）图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC．若AB＝BC＝1，∠AOB＝α，则OC2的值为（　　）
A．+1 B．sin2α+1 C．+1 D．cos2α+1
8．（2022 鹿城区校级三模）“儿童放学归来早，忙趁东风放纸鸢”，小明周末在龙潭公园草坪上放风筝，已知风筝拉线长100米且拉线与地面夹角为65°（如图所示，假设拉线是直的，小明身高忽略不计），则风筝离地面的高度可以表示为（　　）
A．100sin65° B．100cos65° C．100tan65° D．
9．（2023 龙港市一模）图1是一地铁站入口的双翼闸机，双翼展开时示意图如图2所示，它是一个轴对称图形，AC＝40cm，则双翼边缘端点C与D之间的距离为（　　）
A．（60﹣40cosα）cm B．（60﹣40sinα）cm C．（60﹣80cosα）cm D．（60﹣80sinα）cm
10．（2023 金华模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，E为AB上一点且AE＝4EB，EF⊥AC于F，连结FB，则tan∠CFB＝（　　）
A． B． C． D．
11．（2020 拱墅区二模）若sinα＝cos60°，则锐角α＝　　．
12．（2023 杭州一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AB＝10，sinB＝　　．
13．（2022 龙泉市一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝12，sinA＝，则BC＝　　．
14．（2023 西湖区模拟）如图，CD⊥AD于点D，若，，则tan∠ABC＝　　．
15．（2023 鄞州区校级模拟）如图，在△ABC中，AD⊥BC，BD＝5，CD＝3，，则线段AD的长 　　．
16．（2022 衢州二模）如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，线段AB，BC可分别绕点A，B转动，已知AB＝18cm．当AB转动到∠BAD＝30°，BC转动到与AD垂直时，点C恰好落在AD上；当AB转动到∠BAD＝60°，BC转动到∠ABC＝50°时，点C到AD的距离为 　 　cm．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，）
17．（2023 婺城区模拟）计算：．
18．（2022 湖州）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3．求AC的长和sinA的值．
19．（2022 台州）如图1，梯子斜靠在竖直的墙上，其示意图如图2．梯子与地面所成的角α为75°，梯子AB长3m，求梯子顶部离地竖直高度BC．（结果精确到0.1m；参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）
20．（2021 宁波模拟）已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BC＝14，AD＝12，sinB＝．
求：（1）线段DC的长；
（2）tan∠ACB的值．
21．（2021 下城区一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，BC＝25．AD是BC边上的高，点E在边AC上，EF⊥BC于点F．
（1）求证：sinB＝sin∠CEF．
（2）若AE＝5，求证：△ABD≌△CEF．
22．（2023 衢州二模）如图，准备在宽24米的迎宾大道AB路边安装路灯，设计要求：路灯的灯臂CD长4米，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，灯柱BC与大道路面AB垂直，此时O恰好为AB中点．
（1）∠DOB的度数为 　 　°．
（2）现在由于道路两边都要装路灯，要求，且灯臂CD缩短为1米，其它的位置关系不变．则现在路灯的灯柱BC高度应该比原设计高度缩短了 　米．
23．（2023 温州）根据背景素材，探索解决问题．
测算发射塔的高度
背景素材 某兴趣小组在一幢楼房窗口测算远处小山坡上发射塔的高度MN（如图1），他们通过自制的测倾仪（如图2）在A，B，C三个位置观测，测倾仪上的示数如图3所示．
经讨论，只需选择其中两个合适的位置，通过测量、换算就能计算发射塔的高度
问题解决
任务1 分析规划 选择两个观测位置：点 　 　和点 　 　．
获取数据 写出所选位置观测角的正切值，并量出观测点之间的图上距离．
任务2 推理计算 计算发射塔的图上高度MN．
任务3 换算高度 楼房实际宽度DE为12米，请通过测量换算发射塔的实际高度．
注：测量时，以答题纸上的图上距离为准，并精确到1mm．
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