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第六章 图形与变换
第四节 尺规作图与定义、命题、定理
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 尺规作图 ☆☆☆ 本考点内容以考查尺规作图和真假命题为主，年年考查，是广大考生的得分点，分值为6分左右．预计2024年中考还将继续考查这两个知识点. 中考对尺规作图的考查涉及多种形式，不再是单一的对作图技法操作进行考查，而是把作图与计算、证明、分析、判断等数学思维活动有效融合，既体现了动手实践的数学思维活动，也考查了学生运用数学思考解决问题的能力，为避免丢分，学生应扎实掌握．
考点2 定义、命题、定理 ☆☆
1.尺规作图
（1）尺规作图的定义：在几何里，把限定用没有刻度的直尺和圆规来画图称为尺规作图．
（2）五种基本作图：
类型 图示 作图依据
作一条线段等于已知线段 圆上的点到圆心的距离等于半径.
作一个角等于已知角 1)三边分别相等的两个三角形全等； 2)全等三角形的对应角相等； 3)两点确定一条直线.
作一个角的平分线
作一条线段的垂直平分线 1)到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上； 2)两点确定一条直线.
过一点作已知直线的垂线 1)等腰三角形“三线合一”；
2)两点确定一条直线.
（3）根据基本作图作三角形
①已知三角形的三边，求作三角形；②已知三角形的两边及其夹角，求作三角形；③已知三角形的两角及其夹边，求作三角形；④已知三角形的两角及其中一角的对边，求作三角形；⑤已知直角三角形一直角边和斜边，求作直角三角形。
（4）与圆有关的尺规作图
①过不在同一直线上的三点作圆(即三角形的外接圆；②作三角形的内切圆。
(5)作图题的一般步骤
①已知；②求作；③分析；④作法；⑤证明；⑥讨论。其中步骤③④⑤⑥一般不作要求，但作图中一定要保留作图痕迹
(6)尺规作图的关键:①先分析题目，读懂题意，判断题目要求作什么；②读懂题意后，再运用几种基本作图方法解决问题。
(7)根据已知条件作等腰三角形或直角三角形求作三角形的关键是确定三角形的三个顶点，作图依据是三角形全等的判定，常借助基本作图来完成，如作直角三角形就先作一个直角。
2.定义、命题、定理
（1）定义与命题
①一般地，对某一名称或术语进行描述或作出规定就叫做该名称或术语的定义．
②判断一件事情的语句叫做命题．
③命题的组成：命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．
④命题的表达形式：命题可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论．
（2）真命题与假命题
①正确的命题叫做真命题．错误的命题叫做假命题
②要说明一个命题是正确的，需要根据命题的题设和已学的有关公理、定理进行说明（推理、证明）．
③要说明一个命题是假命题，只需举一个反例即可．
（3）逆命题
①把原命题的结论作为命题的条件，把原命题的条件作为命题的结论，所组成的命题叫做原命题的逆命题．
②在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题．
③正确写出一个命题的逆命题的关键是能够正确区分这个命题的题设和结论．
④每个命题都有逆命题，但原命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题．
（4）公理与定理
①如果一个命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理．
②如果一个命题可以从公理或其他命题出发，用逻辑推理的方法判断它是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的命题叫做定理．
③公理和定理都是真命题，都可作为证明其他命题是否为真命题的依据．
④由定理直接推出的结论，并且和定理一样可作为进一步推理依据的真命题叫做推论．
（5）逆定理
①如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理．
②任何一个命题都有逆命题，而一个定理并不一定有逆定理．
③角平分线性质定理及其逆定理、线段的垂直平分线性质定理及其逆定理、勾股定理及其逆定理等都是互逆定理．
（6）反证法
①定义：假设命题的结论不成立，即命题结论的反面成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明方法叫做反证法．
②反证法的步骤：①假设命题结论的反面正确；②从假设出发，经过逻辑推理，推出与公理、定理、定义或已知条件相矛盾的结论；③说明假设不成立，从而得出原命题正确．
■考点一　尺规作图
◇典例1：（2023 衢州）如图，在△ABC中，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点D，E．分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，交于∠BAC内一点F．连结AF并延长，交BC于点G．连结DG，EG．添加下列条件，不能使BG＝CG成立的是（　　）
A．AB＝AC B．AG⊥BC C．∠DGB＝∠EGC D．AG＝AC
◆变式训练
1．（2022 舟山）用尺规作一个角的角平分线，下列作法中错误的是（　　）
A．B． C．D．
2．（2023 湖州）如图，已知∠AOB，以点O为圆心，适当长为半径作圆弧，与角的两边分别交于C，D两点，分别以点C，D为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于∠AOB内一点P，连结OP，过点P作直线PE∥OA，交OB于点E，过点P作直线PF∥OB，交OA于点F．若∠AOB＝60°，OP＝6cm，则四边形PFOE的面积是（　　）
A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2
3．（2023 临沂一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和B为圆心，以相同的长（大于AB）为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E，连接CD，下列结论错误的是（　　）
A．AD＝BD B．BD＝CD C．∠A＝∠BED D．∠ECD＝∠EDC
■考点二 定义、命题、定理
◇典例2：（2023 浙江模拟）下列命题中：①若a＞b，则a2＞b2 ②若|a|＝b，则a＝b；③对顶角相等；④两边一角对应相等的两个三角形全等．是真命题的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
◆变式训练
1．（2022 宁波模拟）下列命题：
①等腰三角形的角平分线、中线和高重合，②等腰三角形两腰上的高相等；
③等腰三角形的最小边是底边；④等边三角形的高、中线、角平分线都相等；
⑤等腰三角形都是锐角三角形．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2023 江北区一模）能说明命题“对于任意实数x，x2＞0”是假命题的一个反例可以是（　　）
A． B．x＝1 C．x＝0 D．x＝﹣1
1．（2022 丽水二模）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形．其作法错误的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2021 杭州）已知线段AB，按如下步骤作图：①作射线AC，使AC⊥AB；②作∠BAC的平分线AD；③以点A为圆心，AB长为半径作弧，交AD于点E；④过点E作EP⊥AB于点P，则AP：AB＝（　　）
A．1： B．1：2 C．1： D．1：
3．（2022 金华模拟）下列选项中，可以用来证明命题“若a2＞b2，则a＞b“是假命题的反例是（　　）
A．a＝﹣2，b＝1 B．a＝3，b＝﹣2 C．a＝0，b＝1 D．a＝2，b＝1
4．（2022 定海区校级模拟）对于以下四个命题：①若直角三角形的两条边长为3与4，则第三边的长是5；②；③若点P（a，b）在第三象限，则点Q（﹣a，﹣b）在第一象限；④两边及其第三边上的中线对应相等的两个三角形全等，正确的说法是（　　）
A．只有①错误，其他正确 B．①②错误，③④正确
C．①④错误，②③正确 D．只有④错误，其他正确
5．（2023 义乌市模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，现以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点M，N．再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点D，射线AD交BC于点E，点F为AC的中点，连结EF．若AC＝4，BC＝6，则△CEF的面积为（　　）
A． B． C．7.5 D．7
6．（2023 台州）如图，锐角三角形ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，连接BE，CD．下列命题中，假命题是（　　）
A．若CD＝BE，则∠DCB＝∠EBC B．若∠DCB＝∠EBC，则CD＝BE
C．若BD＝CE，则∠DCB＝∠EBC D．若∠DCB＝∠EBC，则BD＝CE
7．（2021 滨江区一模）下列命题中（　　）
①底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等；
②对角线相等的四边形是矩形．
A．①正确②正确 B．①正确②错误 C．①错误②正确 D．①错误②错误
8．（2021 宁波模拟）在下列命题中：①有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③有一边上的高也是这边上的中线的三角形是等边三角形；④三个外角都相等的三角形是等边三角形．正确的命题有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
9．（2023 钱塘区三模）在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，AC＝10．以A为圆心，AM的长为半径作弧，分别交AC，AB于点M、N．再分别以M、N为圆心，适当长度为半径画弧，两弧交于点P．连接AP，并延长AP交BC于D．过D作DE⊥AC于点E，垂足为E，则DE的长度为（　　）
A． B． C．2 D．1
10．（2021 湖州）如图，已知在△ABC中，∠ABC＜90°，AB≠BC，BE是AC边上的中线．按下列步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于线段BC长度一半的长为半径作弧，相交于点M，N；②过点M，N作直线MN，分别交BC，BE于点D，O；③连接CO，DE．则下列结论错误的是（　　）
A．OB＝OC B．∠BOD＝∠COD C．DE∥AB D．DB＝DE
11．（2022 湖州）命题“如果|a|＝|b|，那么a＝b．”的逆命题是 　 　．
12．（2023 仙居县一模）关于某个四边形的三个特征描述：①对角线互相垂直；②对角线互相平分；③一组邻边相等．选择其中两个作为条件，另一个作为结论．若该命题是假命题，则选择的条件是 　 　．（填序号）
13．（2022 绍兴）如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠BAC＝80°，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交射线BA于点D，连结CD，则∠BCD的度数是 　．
14．（2023 诸暨市模拟）已知半径为5的圆O中有一条长度为8的弦AB，分别以A，B为圆心，长度大于4为半径作圆弧交于点M，N，连接MN，点C为直线MN与圆O的交点，点D为直线MN与弦AB的交点，则CD的长度为 　 　．
15．（2021 台州）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＜BC．分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于D，E两点，直线DE交BC于点F，连接AF．以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于点H，连接AH．若BC＝3，则△AFH的周长为 　 　．
16．（2023 婺城区模拟）如图，点A、B、C在⊙O上且AB＝AC，AB⊥AC，请你利用直尺和圆规，用三种不同的方法，找到圆心O．（保留作图痕迹）
17．（2022 宁波）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，分别按要求画出图形．
（1）在图1中画出等腰三角形ABC，且点C在格点上．（画出一个即可）
（2）在图2中画出以AB为边的菱形ABDE，且点D，E均在格点上．
18．（2023 台州）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠C，BD为对角线．
（1）证明：四边形ABCD是平行四边形；
（2）已知AD＞AB，请用无刻度的直尺和圆规作菱形BEDF，顶点E，F分别在边BC，AD上（保留作图痕迹，不要求写作法）．
1．（2021 温州模拟）下列命题是真命题的是（　　）
A．两个锐角的和是锐角 B．对顶角相等 C．＝a D．若x2﹣x＝0，则x＝0
2．（2023 鄞州区校级一模）下列选项中，可以用来说明命题“两个锐角的和是钝角”是假命题的例子是（　　）
A．∠A＝40°，∠B＝20° B．∠A＝40°，∠B＝60°
C．∠A＝40°，∠B＝90° D．∠A＝40°，∠B＝120°
3．（2023 上城区二模）如图，分别以A、B为圆心，大于的长度为半径作弧，交点分别为M、N，连接MN交AC于点D，下列说法一定正确的是（　　）
A．△ABD是直角三角形 B．△BCD是等腰三角形
C．△ABD是等腰三角形 D．△ABC是等腰三角形
4．（2023 舟山三模）如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA＝OB；分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC．若AB＝2cm，四边形AOBC的面积为8cm2．则OC的长为（　　）
A．5cm B．8cm C．10cm D．4cm
5．（2022 江北区模拟）下列命题为真命题的是（　　）
A．若|x|＝|y|，则x＝y B．若a＞b，则ac＞bc
C．任何一个角都比它的补角小 D．三角形的三条中线相交于一点
6．（2023 拱墅区三模）从下列四个命题中任选一个，是真命题的概率是（　　）
①同角的补角相等：
②一条直线截另外两条直线所得到的同位角相等：
③有公共顶点且相等的两个角是对顶角；
④两个无理数之和仍为无理数
A．0 B． C． D．1
7．（2022 台州）如图，点D在△ABC的边BC上，点P在射线AD上（不与点A，D重合），连接PB，PC．下列命题中，假命题是（　　）
A．若AB＝AC，AD⊥BC，则PB＝PC B．若PB＝PC，AD⊥BC，则AB＝AC
C．若AB＝AC，∠1＝∠2，则PB＝PC D．若PB＝PC，∠1＝∠2，则AB＝AC
8．（2022 衢州）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝36°．分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点D，E，作直线DE分别交AC，BC于点F，G．以G为圆心，GC长为半径画弧，交BC于点H，连结AG，AH．则下列说法错误的是（　　）
A．AG＝CG B．∠B＝2∠HAB C．△CAH≌△BAG D．BG2＝CG CB
9．（2023 浙江模拟）如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α＝（　　）
A．56° B．68° C．28° D．34°
10．（2023 南浔区二模）如图，在△ABC中，BA＝BC，∠B＝80°，按下列步骤作图：
①以点C为圆心，适当长度为半径作圆弧，与CA，BC延长线分别交于M，N两点；
②分别以M，N为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点D；
③过点C，D作射线CD．则∠DCN的度数为（　　）
A．60° B．65° C．70° D．75°
11．（2023 平湖市一模）尺规作图：过直线AB外一点P作直线AB的平行线．下列作法错误的是（　　）
A． B． C． D．
12．（2023 嘉善县一模）如图，已知平行四边形ABCD，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC＝BC，则下列做法正确的是（　　）
A．B．C．D．
13．（2023 萧山区二模）能说明命题“若X2＞16，则X＞4是假命题的一个反例可以是 　 .
14.（2022 长春模拟）用反证方法证明“在△ABC中，AB＝AC，则∠B必为锐角”的第一步是假设　　．
15．（2023 越城区模拟）如图，Rt△ABC中∠ACB＝90°，线段CO为斜边AB的中线．分别以点A和点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于P，Q两点，作过P、Q两点的直线恰过点C，交AB于点D，若AD＝1，则BC的长是 　　．
16．（2023 绍兴模拟）已知 Rt△ABC，其中∠ACB＝90°，分别以点A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点D，E，以C为圆心，AC长为半径作弧，与直线DE交于点F，则∠FCB为 　　°．
17．（2023 桐乡市一模）如图，已知△ABC的面积为12，结合尺规作图痕迹所提供的条件可知，△APC的面积为 　4　．
18．（2022 丽水）如图，在6×6的方格纸中，点A，B，C均在格点上，试按要求画出相应格点图形．
（1）如图1，作一条线段，使它是AB向右平移一格后的图形；
（2）如图2，作一个轴对称图形，使AB和AC是它的两条边；
（3）如图3，作一个与△ABC相似的三角形，相似比不等于1．
19．（2022 衢州）如图，在4×4的方格纸中，点A，B在格点上．请按要求画出格点线段（线段的端点在格点上），并写出结论．
（1）在图1中画一条线段垂直AB．
（2）在图2中画一条线段平分AB．
20．（2022 上城区一模）如图，将Rt△ABC的直角边AC沿过点A的直线折叠，使点C恰好落在斜边AB上．
（1）请用直尺和圆规作出折痕（只要求作出图形，并保留作图痕迹）．
（2）若∠B＝50°，求折痕与直角边BC所形成的锐角度数．
21．（2023 杭州一模）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2．
（1）求AB的长；
（2）用尺规作三角形ABC的外接圆（不写作法，保留作图痕迹），并求此外接圆的半径．
22．（2023 东阳市三模）已知点M，N在矩形的边上，利用直尺和圆规，按要求作图，保留作图痕迹．
（1）如图1，在矩形边上找点E，F，使得MNEF为平行四边形；
（2）如图2，在矩形边上找P，G，H三点，使得四边形MPGH为菱形．
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第六章 图形与变换
第四节 尺规作图与定义、命题、定理
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 尺规作图 ☆☆☆ 本考点内容以考查尺规作图和真假命题为主，年年考查，是广大考生的得分点，分值为6分左右．预计2024年中考还将继续考查这两个知识点. 中考对尺规作图的考查涉及多种形式，不再是单一的对作图技法操作进行考查，而是把作图与计算、证明、分析、判断等数学思维活动有效融合，既体现了动手实践的数学思维活动，也考查了学生运用数学思考解决问题的能力，为避免丢分，学生应扎实掌握．
考点2 定义、命题、定理 ☆☆
1.尺规作图
（1）尺规作图的定义：在几何里，把限定用没有刻度的直尺和圆规来画图称为尺规作图．
（2）五种基本作图：
类型 图示 作图依据
作一条线段等于已知线段 圆上的点到圆心的距离等于半径.
作一个角等于已知角 1)三边分别相等的两个三角形全等； 2)全等三角形的对应角相等； 3)两点确定一条直线.
作一个角的平分线
作一条线段的垂直平分线 1)到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上； 2)两点确定一条直线.
过一点作已知直线的垂线 1)等腰三角形“三线合一”；
2)两点确定一条直线.
（3）根据基本作图作三角形
①已知三角形的三边，求作三角形；②已知三角形的两边及其夹角，求作三角形；③已知三角形的两角及其夹边，求作三角形；④已知三角形的两角及其中一角的对边，求作三角形；⑤已知直角三角形一直角边和斜边，求作直角三角形。
（4）与圆有关的尺规作图
①过不在同一直线上的三点作圆(即三角形的外接圆；②作三角形的内切圆。
(5)作图题的一般步骤
①已知；②求作；③分析；④作法；⑤证明；⑥讨论。其中步骤③④⑤⑥一般不作要求，但作图中一定要保留作图痕迹
(6)尺规作图的关键:①先分析题目，读懂题意，判断题目要求作什么；②读懂题意后，再运用几种基本作图方法解决问题。
(7)根据已知条件作等腰三角形或直角三角形求作三角形的关键是确定三角形的三个顶点，作图依据是三角形全等的判定，常借助基本作图来完成，如作直角三角形就先作一个直角。
2.定义、命题、定理
（1）定义与命题
①一般地，对某一名称或术语进行描述或作出规定就叫做该名称或术语的定义．
②判断一件事情的语句叫做命题．
③命题的组成：命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．
④命题的表达形式：命题可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论．
（2）真命题与假命题
①正确的命题叫做真命题．错误的命题叫做假命题
②要说明一个命题是正确的，需要根据命题的题设和已学的有关公理、定理进行说明（推理、证明）．
③要说明一个命题是假命题，只需举一个反例即可．
（3）逆命题
①把原命题的结论作为命题的条件，把原命题的条件作为命题的结论，所组成的命题叫做原命题的逆命题．
②在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题．
③正确写出一个命题的逆命题的关键是能够正确区分这个命题的题设和结论．
④每个命题都有逆命题，但原命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题．
（4）公理与定理
①如果一个命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理．
②如果一个命题可以从公理或其他命题出发，用逻辑推理的方法判断它是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的命题叫做定理．
③公理和定理都是真命题，都可作为证明其他命题是否为真命题的依据．
④由定理直接推出的结论，并且和定理一样可作为进一步推理依据的真命题叫做推论．
（5）逆定理
①如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理．
②任何一个命题都有逆命题，而一个定理并不一定有逆定理．
③角平分线性质定理及其逆定理、线段的垂直平分线性质定理及其逆定理、勾股定理及其逆定理等都是互逆定理．
（6）反证法
①定义：假设命题的结论不成立，即命题结论的反面成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明方法叫做反证法．
②反证法的步骤：①假设命题结论的反面正确；②从假设出发，经过逻辑推理，推出与公理、定理、定义或已知条件相矛盾的结论；③说明假设不成立，从而得出原命题正确．
■考点一　尺规作图
◇典例1：（2023 衢州）如图，在△ABC中，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点D，E．分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，交于∠BAC内一点F．连结AF并延长，交BC于点G．连结DG，EG．添加下列条件，不能使BG＝CG成立的是（　　）
A．AB＝AC B．AG⊥BC C．∠DGB＝∠EGC D．AG＝AC
【考点】作图—基本作图；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．
【答案】D
【点拨】根据题意可知AG是三角形的角平分线，再结合选项所给的条件逐次判断能否得出BG＝CG即可．
【解析】解：根据题中所给的作图步骤可知，
AB是△ABC的角平分线，即∠BAG＝∠CAG．
当AB＝AC时，又∠BAG＝∠CAG，且AG＝AG，
所以△ABG≌△ACG（SAS），
所以BG＝CG，
故A选项不符合题意．
当AG⊥BC时，
∠AGB＝∠AGC＝90°，
又∠BAG＝∠CAG，且AG＝AG，
所以△ABG≌△ACG（ASA），
所以BG＝CG，
故B选项不符合题意．
当∠DGB＝∠EGC时，
因为∠BAG＝∠CAG，AD＝AE，AG＝AG，
所以△ADG≌△AEG（SAS），
所以∠AGD＝∠AGE，
又∠DGB＝∠EGC，
所以∠AGD+∠DGB＝∠AGE+∠EGC，
即∠AGB＝∠AGC．
又∠AGB+∠AGC＝90°，
所以∠AGB＝∠AGC＝90°，
则方法同（2）可得出BG＝CG，
故C选项不符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键．
◆变式训练
1．（2022 舟山）用尺规作一个角的角平分线，下列作法中错误的是（　　）
A．B． C．D．
【考点】作图—基本作图．
【答案】D
【点拨】根据各个选项中的作图，可以判断哪个选项符合题意．
【解析】解：由图可知，选项A、B、C中的线都可以作为角平分线；
选项D中的图作出的是平行四边形，不能保证角中间的线是角平分线，
故选：D．
【点睛】本题考查作图—基本作图，解答本题的关键是明确角平分线的做法，利用数形结合的思想解答．
2．（2023 湖州）如图，已知∠AOB，以点O为圆心，适当长为半径作圆弧，与角的两边分别交于C，D两点，分别以点C，D为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于∠AOB内一点P，连结OP，过点P作直线PE∥OA，交OB于点E，过点P作直线PF∥OB，交OA于点F．若∠AOB＝60°，OP＝6cm，则四边形PFOE的面积是（　　）
A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2
【考点】作图—基本作图；平行线的性质；角平分线的性质．
【答案】B
【点拨】过P作PE⊥OB于E，再判定四边形OEPF为平行四边形，再根据勾股定理求出边和高，最后求出面积．
【解析】解：过P作PB⊥OB于B，
由作图得：OP平分∠AOB，
∴∠PAB＝∠AOP＝∠AOB＝30°，
∴PB＝＝3cm，
∴OB＝＝3cm，
∵PE∥OA，PF∥OB，
∴四边形OEPF为平行四边形，∠EPO＝∠POA＝30°，
∴∠POE＝∠OPE，
∴OE＝PE，
设OE＝PE＝x cm，
在Rt△PEB中，PE2﹣BP2＝EB2，
即：x2﹣32＝（3﹣x）2，
解得：x＝2，
∴S四边形OEPF＝OE PB＝2×3＝6（cm）．
故选：B．
【点睛】本题考查了基本作图，掌握平行四边形的判定定理，勾股定理及平行四边形的面积公式是解题的关键．
3．（2023 临沂一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和B为圆心，以相同的长（大于AB）为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E，连接CD，下列结论错误的是（　　）
A．AD＝BD B．BD＝CD C．∠A＝∠BED D．∠ECD＝∠EDC
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．
【答案】D
【点拨】由题意可知：MN为AB的垂直平分线，可以得出AD＝BD；CD为直角三角形ABC斜边上的中线，得出CD＝BD；利用三角形的内角和得出∠A＝∠BED；因为∠A≠60°，得不出AC＝AD，无法得出EC＝ED，则∠ECD＝∠EDC不成立；由此选择答案即可．
【解析】解：∵MN为AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，∠BDE＝90°；
∵∠ACB＝90°，
∴CD＝BD；
∵∠A+∠B＝∠B+∠BED＝90°，
∴∠A＝∠BED；
∵∠A≠60°，AC≠AD，
∴EC≠ED，
∴∠ECD≠∠EDC．
故选：D．
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质以及直角三角形的性质．注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
■考点二 定义、命题、定理
◇典例2：（2023 浙江模拟）下列命题中：①若a＞b，则a2＞b2 ②若|a|＝b，则a＝b；③对顶角相等；④两边一角对应相等的两个三角形全等．是真命题的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】命题与定理；全等三角形的判定．
【答案】A
【点拨】根据不等式的性质、绝对值的性质、对顶角的性质以及全等三角形的判定定理判断即可．
【解析】解：①若a＞b，则a2＞b2或a2＝b2或a2＜b2，原命题是假命题；
②若|a|＝b，则a＝±b，原命题是假命题；
③对顶角相等，原命题是真命题；
④两边及夹角对应相等的两个三角形全等，原命题是假命题；
故选：A．
【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
◆变式训练
1．（2022 宁波模拟）下列命题：
①等腰三角形的角平分线、中线和高重合，②等腰三角形两腰上的高相等；
③等腰三角形的最小边是底边；④等边三角形的高、中线、角平分线都相等；
⑤等腰三角形都是锐角三角形．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】命题与定理；等腰三角形的性质；等边三角形的性质．
【答案】B
【点拨】根据等腰三角形的判定与性质、等边三角形的性质分别对每一项进行分析即可．
【解析】解：①等腰三角形的顶角的角平分线、底边上的中线和高重合，故本选项错误，
②等腰三角形两腰上的高相等，正确；
③等腰三角形的最小边不一定是底边，故本选项错误；
④等边三角形的高、中线、角平分线都相等，正确；
⑤等腰三角形不一定是锐角三角形，故本选项错误；
其中正确的有2个，
故选：B．
【点睛】此题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
2．（2023 江北区一模）能说明命题“对于任意实数x，x2＞0”是假命题的一个反例可以是（　　）
A． B．x＝1 C．x＝0 D．x＝﹣1
【考点】命题与定理；非负数的性质：偶次方；算术平方根．
【答案】C
【点拨】根据题意，只要举例说明0的平方等于0即可．
【解析】解：∵02＝0，
∴当x＝0时，该命题是假命题，
故选：C．
【点睛】本题考查了举反例说明命题是假命题，掌握以上知识是解题的关键．
1．（2022 丽水二模）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形．其作法错误的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】作图—尺规作图的定义．
【答案】B
【点拨】A．由作法知AD＝AC，可判断A；B．由作法知所作图形是线段BC的垂直平分线，可判断B；C由作法知，所作图形是线段AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，可判断C；D．由作法知AD是∠BAC的平分线，根据角平分线的定义和等腰三角形的判定得到DB＝DA，可判断D．
【解析】解：A．由作法知AD＝AC，
∴△ACD是等腰三角形，故选项A不符合题意；
B．由作法知所作图形是线段BC的垂直平分线，
∴不能推出△ACD和△ABD是等腰三角形，故选项B符合题意；
C由作法知，所作图形是线段AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∴△ABD是等腰三角形，故选项C不符合题意；
D．∠C＝90°，∠B＝30°，
∠BAC＝60°，
由作法知AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝30°＝∠B，
∴DB＝DA，
∴△ABD是等腰三角形，故选项D不符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查了尺规作图，熟练掌握尺规作图的五个基本图形是解决问题的关键．
2．（2021 杭州）已知线段AB，按如下步骤作图：①作射线AC，使AC⊥AB；②作∠BAC的平分线AD；③以点A为圆心，AB长为半径作弧，交AD于点E；④过点E作EP⊥AB于点P，则AP：AB＝（　　）
A．1： B．1：2 C．1： D．1：
【考点】作图—基本作图；角平分线的性质；勾股定理．
【答案】D
【点拨】直接利用基本作图方法得出AP＝PE，再结合等腰直角三角形的性质表示出AE，AP的长，即可得出答案．
【解析】解：∵AC⊥AB，
∴∠CAB＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAB＝×90°＝45°，
∵EP⊥AB，
∴∠APE＝90°，
∴∠EAP＝∠AEP＝45°，
∴AP＝PE，
∴设AP＝PE＝x，
故AE＝AB＝x，
∴AP：AB＝x：x＝1：．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了基本作图以及等腰直角三角形的性质，正确掌握基本作图方法得出线段之间关系是解题关键．
3．（2022 金华模拟）下列选项中，可以用来证明命题“若a2＞b2，则a＞b“是假命题的反例是（　　）
A．a＝﹣2，b＝1 B．a＝3，b＝﹣2 C．a＝0，b＝1 D．a＝2，b＝1
【考点】命题与定理．
【答案】A
【点拨】据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题．
【解析】解：∵当a＝﹣2，b＝1时，（﹣2）2＞12，但是﹣2＜1，
∴a＝﹣2，b＝1是假命题的反例．
故选：A．
【点睛】此题考查的是命题与定理，要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可这是数学中常用的一种方法．
4．（2022 定海区校级模拟）对于以下四个命题：①若直角三角形的两条边长为3与4，则第三边的长是5；②；③若点P（a，b）在第三象限，则点Q（﹣a，﹣b）在第一象限；④两边及其第三边上的中线对应相等的两个三角形全等，正确的说法是（　　）
A．只有①错误，其他正确 B．①②错误，③④正确
C．①④错误，②③正确 D．只有④错误，其他正确
【考点】命题与定理．
【答案】A
【点拨】根据勾股定理，平方根的运算，平面直角坐标系上点的特征，三角形全等的判定等知识逐项判定即可．
【解析】解：①错误，应该说明两直角边的长为3和4，则第三边的长是5；
②正确，根据平方根的定义，；
③正确，若点P（a，b）在第三象限，则点Q（﹣a，﹣b）在第一象限；
④正确，作辅助线，倍长中线，可证明两个三角形全等；
故选：A．
【点睛】本题主要考查命题与定理知识，熟练掌握勾股定理，平方根的运算，平面直角坐标系上点的特征，三角形全等的判定等知识是解答此题的关键．
5．（2023 义乌市模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，现以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点M，N．再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点D，射线AD交BC于点E，点F为AC的中点，连结EF．若AC＝4，BC＝6，则△CEF的面积为（　　）
A． B． C．7.5 D．7
【考点】作图—基本作图；角平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理．
【答案】B
【点拨】利用等腰三角形的性质，求出AE，△CEF的面积，可得结论．
【解析】解：∵AB＝AC，AE平分∠BAC，
∴AE⊥BC，BE＝EC＝3，
∴AE＝＝＝，
∴S△AEC＝×EC×AE＝×3×＝，
∵AF＝FC，
∴S△CEF＝S△CEF＝×＝．
故选：B．
【点睛】本题考查作图﹣基本作图，解直角三角形等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
6．（2023 台州）如图，锐角三角形ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，连接BE，CD．下列命题中，假命题是（　　）
A．若CD＝BE，则∠DCB＝∠EBC B．若∠DCB＝∠EBC，则CD＝BE
C．若BD＝CE，则∠DCB＝∠EBC D．若∠DCB＝∠EBC，则BD＝CE
【考点】命题与定理；等腰三角形的性质．
【答案】A
【点拨】由AB＝AC，得∠ABC＝∠ACB，而BC＝BC，∠DCB＝∠EBC，可得△DCB≌△EBC（ASA），故CD＝BE，判断选项B是真命题；BD＝CE，判断选项D是真命题；根据BC＝BC，∠ABC＝∠ACB，BD＝CE，得△DCB≌△EBC（SAS），有∠DCB＝∠EBC，判断选项C是真命题；不能证明CD＝BE时，∠DCB＝∠EBC，可判断选项A是假命题．
【解析】解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵BC＝BC，∠DCB＝∠EBC，
∴△DCB≌△EBC（ASA），
∴CD＝BE，故选项B是真命题，不符合题意；
BD＝CE，故选项D是真命题，不符合题意；
∵BC＝BC，∠ABC＝∠ACB，BD＝CE，
∴△DCB≌△EBC（SAS），
∴∠DCB＝∠EBC，故选项C是真命题，不符合题意；
不能证明CD＝BE时，∠DCB＝∠EBC，故选项A是假命题，符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查命题与定理，涉及全等三角形的判定与性质，等腰三角形性质及应用，解题的关键是掌握全等三角形判定定理．
7．（2021 滨江区一模）下列命题中（　　）
①底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等；
②对角线相等的四边形是矩形．
A．①正确②正确 B．①正确②错误 C．①错误②正确 D．①错误②错误
【考点】命题与定理．
【答案】B
【点拨】根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形全等的判定定理判断①；
根据矩形的判定定理判断②．
【解析】解：①当两个等腰三角形的顶角对应相等时，它们的底角也对应相等，
∴这两个等腰三角形全等，
∴底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等，说法正确；
②对角线相等的平行四边形是矩形，故本小题说法错误；
故选：B．
【点睛】本题考查的是命题的真假判断，掌握全等三角形的判定定理、三角形内角和定理、等腰三角形的性质、矩形的判定定理是解题的关键．
8．（2021 宁波模拟）在下列命题中：①有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③有一边上的高也是这边上的中线的三角形是等边三角形；④三个外角都相等的三角形是等边三角形．正确的命题有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【考点】命题与定理．
【答案】C
【点拨】根据有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形，三个角相等的三角形是等边三角形进行分析即可．
【解析】解：①有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形，命题正确；
②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形，命题错误；
③有一边上的高也是这边上的中线的三角形是等边三角形，命题错误；
④三个外角都相等的三角形是等边三角形，命题正确，
正确的命题有2个，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了命题与定理，关键是掌握等边三角形的判定方法．
9．（2023 钱塘区三模）在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，AC＝10．以A为圆心，AM的长为半径作弧，分别交AC，AB于点M、N．再分别以M、N为圆心，适当长度为半径画弧，两弧交于点P．连接AP，并延长AP交BC于D．过D作DE⊥AC于点E，垂足为E，则DE的长度为（　　）
A． B． C．2 D．1
【考点】作图—基本作图；角平分线的性质；勾股定理．
【答案】A
【点拨】直接利用基本作图方法得出：∠CAD＝∠BAD，再利用全等三角形的判定与性质得出AE＝AB，BD＝DE，结合勾股定理得出答案．
【解析】解：如图所示：由题意可得：∠CAD＝∠BAD，
在△AED和△ABD中，
，
∴△AED≌△ABD（AAS），
∴AE＝AB，BD＝DE，
∵∠B＝90°，AB＝8，AC＝10，
∴BC＝＝6，
设DE＝BD＝x，
则DC＝6﹣x，EC＝AC﹣AE＝10﹣8＝2，
故（6﹣x）2＝x2+22，
解得：x＝．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了基本作图以及全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确应用勾股定理是解题关键．
10．（2021 湖州）如图，已知在△ABC中，∠ABC＜90°，AB≠BC，BE是AC边上的中线．按下列步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于线段BC长度一半的长为半径作弧，相交于点M，N；②过点M，N作直线MN，分别交BC，BE于点D，O；③连接CO，DE．则下列结论错误的是（　　）
A．OB＝OC B．∠BOD＝∠COD C．DE∥AB D．DB＝DE
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；三角形中位线定理．
【答案】D
【点拨】利用基本作图得到MN垂直平分BC，根据线段垂直平分线的性质得到OB＝OC，BD＝CD，OD⊥BC，则可对A选项进行判断，根据等腰三角形的“三线合一”可对B选项进行判断；根据三角形中位线的性质对C选项进行判断；由于DE＝AB，BD＝BC，AB≠BC，则可对D选项进行判断．
【解析】解：由作法得MN垂直平分BC，
∴OB＝OC，BD＝CD，OD⊥BC，所以A选项不符合题意；
∴OD平分∠BOC，
∴∠BOD＝∠COD，所以B选项不符合题意；
∵AE＝CE，DB＝DC，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥AB，所以C选项不符合题意；
DE＝AB，
而BD＝BC，
∵AB≠BC，
∴BD≠DE，所以D选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了三角形中位线性质．
11．（2022 湖州）命题“如果|a|＝|b|，那么a＝b．”的逆命题是 　如果a＝b，那么|a|＝|b|　．
【考点】命题与定理．
【答案】如果a＝b，那么|a|＝|b|．
【点拨】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．
【解析】解：命题“如果|a|＝|b|，那么a＝b．”的逆命题是如果a＝b，那么|a|＝|b|，
故答案为：如果a＝b，那么|a|＝|b|．
【点睛】本题考查的是逆命题的概念，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
12．（2023 仙居县一模）关于某个四边形的三个特征描述：①对角线互相垂直；②对角线互相平分；③一组邻边相等．选择其中两个作为条件，另一个作为结论．若该命题是假命题，则选择的条件是 　①③　．（填序号）
【考点】命题与定理；多边形．
【答案】①③．
【点拨】根据平行四边形的判定及性质、菱形的判定及性质逐一判定即可．
【解析】解：①②为条件，③为结论时为真命题：
对角线互相垂直且对角线互相平分的四边形是菱形，菱形的邻边相等；
②③为条件，①为结论时为真命题：
对角线互相平分的四边形为平行四边形，一组邻边相等的平行四边形为菱形，菱形的对角线互相垂直；
①③为条件，②为结论时为假命题：
由对角线互相垂直及一组邻边相等不能推出对角线互相平分；
故答案为：①③．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质、菱形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
13．（2022 绍兴）如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠BAC＝80°，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交射线BA于点D，连结CD，则∠BCD的度数是 　10°或100°　．
【考点】作图—基本作图；三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质．
【答案】10°或100°．
【点拨】分两种情况画图，由作图可知得AC＝AD，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理解答即可．
【解析】解：如图，点D即为所求；
在△ABC中，∠ABC＝40°，∠BAC＝80°，
∴∠ACB＝180°﹣40°﹣80°＝60°，
由作图可知：AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC＝×（180°﹣80°）＝50°，
∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝60°﹣50°＝10°；
由作图可知：AC＝AD′，
∴∠ACD′＝∠AD′C，
∵∠ACD′+∠AD′C＝∠BAC＝80°，
∴∠AD′C＝40°，
∴∠BCD′＝180°﹣∠ABC﹣∠AD′C＝180°﹣40°﹣40°＝100°．
综上所述：∠BCD的度数是10°或100°．
故答案为：10°或100°．
【点睛】本题考查了作图﹣基本作图，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
14．（2023 诸暨市模拟）已知半径为5的圆O中有一条长度为8的弦AB，分别以A，B为圆心，长度大于4为半径作圆弧交于点M，N，连接MN，点C为直线MN与圆O的交点，点D为直线MN与弦AB的交点，则CD的长度为 　8或2　．
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．
【答案】8或2．
【点拨】如图，连接OA，由作图知，直线MN垂直平分AB，求得∠ADO＝90°，AD＝AB＝，根据勾股定理即可得到结论．
【解析】解：如图，连接OA，
由作图知，直线MN垂直平分AB，
∴∠ADO＝90°，AD＝AB＝，
∴OD＝＝＝3，
∴CD＝OC+OD＝5+3＝8，C′D＝OC′﹣OD＝5﹣3＝2，
∴CD的长度为8或2，
故答案为：8或2．
【点睛】本题考查了作图﹣基本作图，垂径定理，勾股定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
15．（2021 台州）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＜BC．分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于D，E两点，直线DE交BC于点F，连接AF．以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于点H，连接AH．若BC＝3，则△AFH的周长为 　6　．
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．
【答案】见解析
【点拨】直接利用基本作图方法得出DE垂直平分AB，AF＝AH，再利用等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质得出AF+FC＝BF+FC＝AH+CH＝BC，即可得出答案．
【解析】解：由基本作图方法得出：DE垂直平分AB，
则AF＝BF，
可得AF＝AH，AC⊥FH，
∴FC＝CH，
∴AF+FC＝BF+FC＝AH+CH＝BC＝3，
∴△AFH的周长为：AF+FC+CH+AH＝2BC＝6．
故答案为：6．
【点睛】此题主要考查了基本作图以及等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质等知识，正确得出AF+FC＝BF+FC＝AH+CH＝BC是解题关键．
16．（2023 婺城区模拟）如图，点A、B、C在⊙O上且AB＝AC，AB⊥AC，请你利用直尺和圆规，用三种不同的方法，找到圆心O．（保留作图痕迹）
【考点】作图—复杂作图；等腰直角三角形；圆周角定理．
【答案】解析
【点拨】根据三角形外心的定义画出图形即可．
【解析】解：如图，点O即为所求．
【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，等腰直角三角形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
17．（2022 宁波）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，分别按要求画出图形．
（1）在图1中画出等腰三角形ABC，且点C在格点上．（画出一个即可）
（2）在图2中画出以AB为边的菱形ABDE，且点D，E均在格点上．
【考点】作图—复杂作图．
【答案】（1）见解析．
（2）见解答．
【点拨】（1）结合等腰三角形的性质，找出点C的位置，再连线即可．
（2）结合菱形的性质，找出点D，E的位置，再连线即可．
【解析】解：（1）如图所示：（答案不唯一）．
（2）如图所示：
【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，熟练掌握等腰三角形和菱形的性质是解题的关键．
18．（2023 台州）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠C，BD为对角线．
（1）证明：四边形ABCD是平行四边形；
（2）已知AD＞AB，请用无刻度的直尺和圆规作菱形BEDF，顶点E，F分别在边BC，AD上（保留作图痕迹，不要求写作法）．
【考点】作图—复杂作图；平行四边形的判定与性质；菱形的判定．
【答案】（1）证明见解析部分；
（2）作图见解析部分．
【点拨】（1）证明AB∥CD，可得结论；
（2）作线段BD的垂直平分线交AD与点F交BC与点E即可．
【解析】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，∠A＝∠C，
∴180°﹣（∠ADB+∠A）＝180°﹣（∠CBD+∠C），
即∠ABD＝∠CDB，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：如图，四边形BEDF就是所求作的菱形．
【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，平行四边形的判定和性质，菱形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
1．（2021 温州模拟）下列命题是真命题的是（　　）
A．两个锐角的和是锐角 B．对顶角相等 C．＝a D．若x2﹣x＝0，则x＝0
【考点】命题与定理．
【答案】B
【点拨】对各个命题逐一判断后找到正确的即可确定真命题．
【解析】解：A、两个锐角的和不一定是锐角，原命题是假命题；
B、对顶角相等，是真命题；
C、，原命题是假命题；
D、若x2﹣x＝0，则x＝0或1，原命题是假命题；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了命题与定理，熟练利用相关定理以及性质进而判定举出反例即可判定出命题正确性．
2．（2023 鄞州区校级一模）下列选项中，可以用来说明命题“两个锐角的和是钝角”是假命题的例子是（　　）
A．∠A＝40°，∠B＝20° B．∠A＝40°，∠B＝60°
C．∠A＝40°，∠B＝90° D．∠A＝40°，∠B＝120°
【考点】命题与定理．
【答案】A
【点拨】说明命题“两个锐角的和是钝角”是假命题的反例为两个锐角的和小于90°即可．
【解析】解：利用∠A＝40°，∠B＝20°可判断“两个锐角的和是钝角”是假命题．
故选：A．
【点睛】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
3．（2023 上城区二模）如图，分别以A、B为圆心，大于的长度为半径作弧，交点分别为M、N，连接MN交AC于点D，下列说法一定正确的是（　　）
A．△ABD是直角三角形 B．△BCD是等腰三角形
C．△ABD是等腰三角形 D．△ABC是等腰三角形
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定．
【答案】C
【点拨】由作图得：MN垂直平分AB，根据垂直平分线的性质判断求解．
【解析】解：由作图得：MN垂直平分AB，
∴AD＝BD，
∴△ABD是等腰三角形，
故选：C．
【点睛】本题考查了基本作图，掌握线段的垂直平分线的新知识解题的关键．
4．（2023 舟山三模）如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA＝OB；分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC．若AB＝2cm，四边形AOBC的面积为8cm2．则OC的长为（　　）
A．5cm B．8cm C．10cm D．4cm
【考点】作图—基本作图；角平分线的性质．
【答案】B
【点拨】根据作图得，四边形AOBC是菱形，再根据菱形的面积公式求解．
【解析】解：由作图得：OA＝OB＝AC＝BC，
∴四边形AOBC是菱形，
∴×AB×OC＝8，
解得：OC＝8，
故选：B．
【点睛】本题考查了基本作图，掌握信息的判断和性质是解题的关键．
5．（2022 江北区模拟）下列命题为真命题的是（　　）
A．若|x|＝|y|，则x＝y B．若a＞b，则ac＞bc
C．任何一个角都比它的补角小 D．三角形的三条中线相交于一点
【考点】命题与定理．
【答案】D
【点拨】利用绝对值的性质，不等式的性质，三角形的中线的性质、补角等知识分别判断后即可确定正确的选项．
【解析】解：A、若|x|＝|y|，则x＝y或x＝﹣y，是假命题，不符合题意；
B、若a＞b，当c＝0时，ac＝bc，所以则ac＞bc，是假命题，不符合题意；
C、任何一个锐角都比它的补角小，是假命题，不符合题意；
D、三角形的三条中线相交于一点，是真命题，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解绝对值的性质，不等式的性质，三角形的中线的性质、补角等知识，难度不大．
6．（2023 拱墅区三模）从下列四个命题中任选一个，是真命题的概率是（　　）
①同角的补角相等：
②一条直线截另外两条直线所得到的同位角相等：
③有公共顶点且相等的两个角是对顶角；
④两个无理数之和仍为无理数
A．0 B． C． D．1
【考点】命题与定理；概率公式；列表法与树状图法；实数的运算；余角和补角；对顶角、邻补角．
【答案】C
【点拨】直接利用实数的运算法则、对顶角的定义、补角的定义、平行线的性质分别判断，进而得出答案．
【解析】解：①同角的补角相等，是真命题：
②一条直线截另外两条直线所得到的同位角相等，是假命题：
③有公共顶点且相等的两个角是对顶角，是假命题；
④两个无理数之和仍为无理数，是假命题，
故是真命题的概率是．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了命题与定理，正确掌握相关定义是解题关键．
7．（2022 台州）如图，点D在△ABC的边BC上，点P在射线AD上（不与点A，D重合），连接PB，PC．下列命题中，假命题是（　　）
A．若AB＝AC，AD⊥BC，则PB＝PC B．若PB＝PC，AD⊥BC，则AB＝AC
C．若AB＝AC，∠1＝∠2，则PB＝PC D．若PB＝PC，∠1＝∠2，则AB＝AC
【考点】命题与定理．
【答案】D
【点拨】根据等腰三角形性质逐项判断即可．
【解析】解：若AB＝AC，AD⊥BC，则D是BC中点，
∴AP是BC的垂直平分线，
∴BP＝PC，
∴故选项A是真命题，不符合题意；
AD⊥BC，即PD⊥BC，
又PB＝PC，
∴AP是BC的垂直平分线，
∴AB＝AC，
∴故选项B是真命题，不符合题意；
若AB＝AC，∠1＝∠2，则AD⊥BC，D是BC中点，
∴AP是BC的垂直平分线，
∴BP＝PC，
∴故选项C是真命题，不符合题意；
若PB＝PC，∠1＝∠2，不能得到AB＝AC，故选项D是假命题，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握等腰三角形的“三线合一”定理．
8．（2022 衢州）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝36°．分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点D，E，作直线DE分别交AC，BC于点F，G．以G为圆心，GC长为半径画弧，交BC于点H，连结AG，AH．则下列说法错误的是（　　）
A．AG＝CG B．∠B＝2∠HAB C．△CAH≌△BAG D．BG2＝CG CB
【考点】作图—基本作图；全等三角形的判定；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．
【答案】C
【点拨】根据基本作图得到DE垂直平分AC，GH＝GC，再根据线段垂直平分线的性质得到AF＝CF，GF⊥AC，GC＝GA，于是可对A选项进行判断；通过证明FG为△ACH的中位线得到FG∥AH，所以AH⊥AC，则可计算出∠HAB＝18°，则∠B＝2∠HAB，于是可对B选项进行判断；计算出∠BAG＝72°，∠AGB＝72°，而△ACH为直角三角形，则根据全等三角形的判定方法可对C选项进行判断；通过证明△CAG∽△CBA，利用相似比得到CA2＝CG CB，然后利用AB＝GB＝AC可对D选项进行判断．
【解析】解：由作法得DE垂直平分AC，GH＝GC，
∴AF＝CF，GF⊥AC，GC＝GA，所以A选项不符合题意；
∵CG＝GH，CF＝AF，
∴FG为△ACH的中位线，
∴FG∥AH，
∴AH⊥AC，
∴∠CAH＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B＝36°，
∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝108°，
∴∠HAB＝108°﹣∠CAH＝18°，
∴∠B＝2∠HAB，所以B选项不符合题意；
∵GC＝GA，
∴∠GAC＝∠C＝36°，
∴∠BAG＝108°﹣∠GAC＝72°，∠AGB＝∠C+∠GAC＝72°，
∵△ACH为直角三角形，
∴△CAH与△BAG不全等，所以C选项符合题意；
∵∠GCA＝∠ACB，∠CAG＝∠B，
∴△CAG∽△CBA，
∴CG：CA＝CA：CB，
∴CA2＝CG CB，
∵∠BAG＝∠AGB＝72°，
∴AB＝GB，
而AB＝AC，
∴AC＝GB，
∴BG2＝CG CB，所以D选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了全等三角形的判定、线段垂直平分线的性质和相似三角形的判定与性质．
9．（2023 浙江模拟）如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α＝（　　）
A．56° B．68° C．28° D．34°
【考点】作图—基本作图．
【答案】A
【点拨】先根据矩形的性质得出AD∥BC，故可得出∠DAC的度数，由角平分线的定义求出∠EAF的度数，再由EF是线段AC的垂直平分线得出∠AEF的度数，根据三角形内角和定理得出∠AFE的度数，进而可得出结论．
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB＝68°．
∵由作法可知，AF是∠DAC的平分线，
∴∠EAF＝∠DAC＝34°．
∵由作法可知，EF是线段AC的垂直平分线，
∴∠AEF＝90°，
∴∠AFE＝90°﹣34°＝56°，
∴∠α＝56°．
故选：A．
【点睛】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知角平分线及线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．
10．（2023 南浔区二模）如图，在△ABC中，BA＝BC，∠B＝80°，按下列步骤作图：
①以点C为圆心，适当长度为半径作圆弧，与CA，BC延长线分别交于M，N两点；
②分别以M，N为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点D；
③过点C，D作射线CD．则∠DCN的度数为（　　）
A．60° B．65° C．70° D．75°
【考点】作图—基本作图；等腰三角形的性质．
【答案】B
【点拨】根据等腰三角形的性质可得∠ACB的度数，观察作图过程可得，进而可得∠DCN的度数．
【解析】解：∵BA＝BC，∠B＝80°，
∴∠A＝∠ACB＝（180°﹣80°）＝50°，
∴∠ACN＝180°﹣∠ACB＝130°，
观察作图过程可知：
CD平分∠ACN，
∴∠DCN＝ACD＝65°，
∴∠DCN的度数为65°，
故选：B．
【点睛】本题考查了作图﹣基本作图、等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握等腰三角形的性质．
11．（2023 平湖市一模）尺规作图：过直线AB外一点P作直线AB的平行线．下列作法错误的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】作图—复杂作图；平行线的判定．
【答案】D
【点拨】利用根据作图痕迹，作同位角相等，则根据平行线的判定方法可对A选项进行判断；利用作图痕迹，作了平行四边形，则根据平行四边形的性质可对B选项进行判断；利用作图痕迹，作等腰三角形和等腰三角形的外角平分线，则可证明同位角相等，于是根据平行线的判定方法可对C选项进行判断；利用根据作图痕迹，作线段的垂直平分线，由于不能确定内错角相等，从而可对D选项进行判断．
【解析】解：A．根据作图痕迹，作同位角相等，则过P点的直线与AB平行，所以A选项不符合题意；
B．根据作图痕迹，作平行四边形，则过P点的直线与AB平行，所以B选项不符合题意；
C．根据作图痕迹，作等腰三角形和等腰三角形的外角平分线，则同位角相等，所以过P点的直线与AB平行，所以C选项不符合题意；
D．根据作图痕迹，作线段的垂直平分线，不能确定内错角相等，则不能判断过P点的直线与AB平行，所以D选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行的判定．
12．（2023 嘉善县一模）如图，已知平行四边形ABCD，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC＝BC，则下列做法正确的是（　　）
A．B．C．D．
【考点】作图—复杂作图；平行四边形的性质．
【答案】D
【点拨】证明PA＝PB，则可知点P在线段AB的垂直平分线上，由此求解即可．
【解析】解：∵PA+PC＝BC，PB+PC＝BC，
∴PA＝PB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，
∴只有选项D中的作图方法符合题意，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和线段垂直平分线的尺规作图，推出PA＝PB是解题的关键．
13．（2023 萧山区二模）能说明命题“若X2＞16，则X＞4是假命题的一个反例可以是 　X＝﹣5　．
【考点】命题与定理．
【答案】X＝﹣5．
【点拨】当X＝﹣5时，满足X2＞16，但不能得到X＞4，于是X＝﹣5可作为说明命题“若X2＞16，则X＞4”是假命题的一个反例．
【解析】解：说明命题“若X2＞16，则X＞4”是假命题的一个反例可以是X＝﹣5．
故答案为：X＝﹣5．
【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
14.（2022 长春模拟）用反证方法证明“在△ABC中，AB＝AC，则∠B必为锐角”的第一步是假设　　．
【考点】反证法．
【答案】见试题解答内容
【点拨】熟记反证法的步骤，直接填空即可．
【解析】解：∠B与90°的大小关系有∠B＞90°，∠B＝90°，∠B＜90°三种情况，
因而∠B＜90°的反面是∠B＞90°或∠B＝90°．
因此用反证法证明“∠B＜90°”时，应先假设∠B＞90°或∠B＝90°．
即∠B一定不是锐角（是直角或钝角）．
【点睛】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．
反证法的步骤是：
（1）假设结论不成立；
（2）从假设出发推出矛盾；
（3）假设不成立，则结论成立．
在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
15．（2023 越城区模拟）如图，Rt△ABC中∠ACB＝90°，线段CO为斜边AB的中线．分别以点A和点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于P，Q两点，作过P、Q两点的直线恰过点C，交AB于点D，若AD＝1，则BC的长是 　2　．
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；直角三角形斜边上的中线．
【答案】2．
【点拨】先利用基本作图得到CD垂直平分AO，则根据线段垂直平分线的性质得到AD＝OD＝1，CA＝CO，再根据斜边上的中线性质得到OA＝OB＝OC＝2，所以AC＝2，然后利用勾股定理计算BC的长．
【解析】解：由作法得CD垂直平分AO，
∴AD＝OD＝1，CA＝CO，
∵线段CO为斜边AB的中线，
∴OA＝OB＝OC＝2，
∴AC＝CO＝2，
在Rt△ABC中，BC＝＝＝2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质和直角三角形斜边上的中线性质．
16．（2023 绍兴模拟）已知 Rt△ABC，其中∠ACB＝90°，分别以点A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点D，E，以C为圆心，AC长为半径作弧，与直线DE交于点F，则∠FCB为 　150或30　°．
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．
【答案】150或30．
【点拨】先根据题意画出图形，再根据线段的垂直平分线及垂径定理求解．
【解析】解：由作图得：DE垂直平分AC，
∴AC垂直平分FF′，
∴四边形AFCF′是菱形，
∴AF＝CF＝AC＝CF′＝AF′，
∴∠ACF＝∠ACF′＝60°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCF＝150°，∠BCF′＝∠30°，
故答案为：150或30．
【点睛】本题考查了基本作图，掌握据线段的垂直平分线及垂径定理是解题的关键．
17．（2023 桐乡市一模）如图，已知△ABC的面积为12，结合尺规作图痕迹所提供的条件可知，△APC的面积为 　4　．
【考点】作图—复杂作图；三角形的面积．
【答案】4．
【点拨】由作图知M，N分别为AB，BC的中点，利用中位线定理得出，再利用等底同高三角形面积相等得S△ACM＝12，最后利用相似比得出面积比，即可得解；
【解析】解：连MN，由作图知M，N分别为AB，BC的中点，
∴，
由等底同高三角形面积相等得，
∵MN∥AC，
∴∠PAC＝∠PNM，∠PCA＝∠PMN，
∴△ACP∽△NMP，
∴，
∴，
∴，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了尺规作图，三角形的中位线，相似三角形的判定和性质，三角形中线的性质等知识点，熟练掌握其性质是解决此题的关键．
18．（2022 丽水）如图，在6×6的方格纸中，点A，B，C均在格点上，试按要求画出相应格点图形．
（1）如图1，作一条线段，使它是AB向右平移一格后的图形；
（2）如图2，作一个轴对称图形，使AB和AC是它的两条边；
（3）如图3，作一个与△ABC相似的三角形，相似比不等于1．
【考点】作图—复杂作图；轴对称图形；作图﹣平移变换；相似三角形的判定．
【答案】见解答．
【点拨】（1）把点B、A向右作平移1个单位得到CD；
（2）作A点关于BC的对称点D即可；
（3）延长CB到D使CD＝2CB，延长CA到E点使CE＝2CA，则△EDC满足条件．
【解析】解：（1）如图1，CD为所作；
（2）如图2，
（3）如图3，△EDC为所作．
【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了相似三角形的判定与平移变换．
19．（2022 衢州）如图，在4×4的方格纸中，点A，B在格点上．请按要求画出格点线段（线段的端点在格点上），并写出结论．
（1）在图1中画一条线段垂直AB．
（2）在图2中画一条线段平分AB．
【考点】作图—应用与设计作图；矩形的性质．
【答案】（1）（2）作图见解析部分．
【点拨】（1）利用数形结合的思想作出图形即可；
（2）利用矩形的对角线互相平分解决问题即可．
【解析】解：（1）如图1中，线段EF即为所求（答案不唯一）；
（2）如图2中，线段EF即为所求（答案不唯一）．
【点睛】本题考查作图﹣应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型．
20．（2022 上城区一模）如图，将Rt△ABC的直角边AC沿过点A的直线折叠，使点C恰好落在斜边AB上．
（1）请用直尺和圆规作出折痕（只要求作出图形，并保留作图痕迹）．
（2）若∠B＝50°，求折痕与直角边BC所形成的锐角度数．
【考点】作图—复杂作图；三角形内角和定理．
【答案】（1）见解答；
（2）70°．
【点拨】（1）作∠BAC的平分线即可；
（2）先求出∠BAC的度数，再由角平分线得出∠BAC度数，继而根据三角形外角性质可得答案．
【解析】解：（1）如图所示，AD即为所求；
（2）∵∠C＝90°，∠B＝50°，
∴∠BAC＝40°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠BAC＝20°，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝70°．
答：折痕与直角边BC所形成的锐角度数为70°．
【点睛】本题主要考查作图—复杂作图，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图、三角形的内角和定理、三角形外角性质．
21．（2023 杭州一模）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2．
（1）求AB的长；
（2）用尺规作三角形ABC的外接圆（不写作法，保留作图痕迹），并求此外接圆的半径．
【考点】作图—复杂作图；解直角三角形；圆周角定理；三角形的外接圆与外心．
【答案】（1）．
（2）画图见解答；2．
【点拨】（1）过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△ACD中，可得CD＝，AD＝，在Rt△BCD中，可得CD＝BD＝，则根据AB＝AD+BD可得答案．
（2）分别作线段AC，BC的垂直平分线，交于点O，再以点O为圆心，OC的长为半径画圆即可；连接OC，OB，过点C作CD⊥AB于点D，由圆周角定理可得∠COB＝2∠A＝60°，则△BOC为等边三角形，可得OC＝BC，在Rt△BCD中，可得BC＝＝2，进而可得答案．
【解析】解：（1）过点C作CD⊥AB于点D，
在Rt△ACD中，∠A＝30°，AC＝2，
∴CD＝＝，AD＝AC cos30°＝＝，
在Rt△BCD中，∠B＝45°，
∴CD＝BD＝，
∴AB＝AD+BD＝．
（2）如图，⊙O即为所求．
连接OC，OB，过点C作CD⊥AB于点D，
∵∠A＝30°，
∴∠COB＝2∠A＝60°，
∵OB＝OC，
∴△BOC为等边三角形，
∴OC＝BC，
在Rt△BCD中，∠B＝45°，
∴BC＝＝2，
∴OC＝2，
即此外接圆的半径为2．
【点睛】本题考查作图﹣复杂作图、圆周角定理、解直角三角形、三角形的外接圆与外心，熟练掌握圆周角定理、解直角三角形、三角形的外接圆与外心是解答本题的关键．
22．（2023 东阳市三模）已知点M，N在矩形的边上，利用直尺和圆规，按要求作图，保留作图痕迹．
（1）如图1，在矩形边上找点E，F，使得MNEF为平行四边形；
（2）如图2，在矩形边上找P，G，H三点，使得四边形MPGH为菱形．
【考点】作图—复杂作图；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的性质．
【答案】（1）（2）作图见解析部分．
【点拨】（1）作出矩形的对角线的交点O，连接MO，延长MO交矩形的边于点E，连接NO，延长NO交矩形的边于F，连接MN，NE，EF，FM即可；
（2）作出矩形的对角线的交点O，连接MO，延长MO交矩形的边于点G，作线段MG的垂直平分线交矩形的边于点P，H，连接MP，PG，GH，HM即可．
【解析】解：（1）如图1中，四边形MNEF即为所求；
（2）如图2中，四边形MPGH即为所求．
【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
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