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考点01 方程与不等式的解法
一、不等式的基本性质
1、不等式的基本性质
（1）不等式的基本性质1
如果，那么，此性质称为不等式的传递性；
（2）不等式的基本性质2
如果，那么，此性质称为不等式的加法性质；
（3）不等式的基本性质3
如果，那么，如果，那么.此性质称为不等式的乘法性质．
2、其他性质
（4）（同向相加性）；
（5）（同向相乘性，特别注意符号限制，需满足正号）；
（6）（可乘方性，特别注意符号限制，需满足正号）；
（7）（可开方性，特别注意符号限制，需满足正号）；
（8） （可倒性，特别注意符号性质，需满足正号）．
3、不等式的证明方法：
（1）比较法
①求差比较法 要证，只需证；要证，只需证．
其步骤是：作差变形判断（与零比较）．
②求商比较法 要证，而，只需证；要证，而，只需证．
其步骤是：作商（除式分母大于零）变形判断（与1比较）
（2）综合法
利用某些已经证明过的不等式作为基础，再运用不等式的性质推导出所要求证的不等式，这种由因导果的证明方法叫做综合法．
（3）分析法
肯定待证的不等式成立，逆推到与已知条件或基本不等式相符合，这一系列的不等式中后者总是前者的充分条件．这种由果索因的证明方法叫做分析法，又称逆证法．
二．一元二次方程
1.概念：只含有一个未知数且未知数项的最高次数为2的整式方程 ( https: / / baike. / doc / 6829851-7047048.html" \t "https: / / baike. / doc / _blank )
其中ax 是二次项，a是二次项系数；bx是一次项；b是一次项系数 ( https: / / baike. / doc / 2880879-3040202.html" \t "https: / / baike. / doc / _blank )；c是常数项 ( https: / / baike. / doc / 6731475-6945776.html" \t "https: / / baike. / doc / _blank )
2.解一元二次方程的方法
（1）直接开方：
（2）提公因式：
（3）求根公式：
（4）十字相乘：
二、一元二次不等式的解集
1.一元二次不等式的解法
（1）根据解一元二次方程方法选择方法求根
（2）看二次项系数大于0或小于0，选择图像
（3）根据图像选择取中间还是取两边
2.一元二次不等式（a>0）的图像
判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
方程ax2＋bx＋c=0(a>0)的根 有两相异实根x1，x2(x1ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|xx2} {x|x∈R}
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1绝对值不等式
分式不等式
考向分析
考向一 一元二次不等式
【例1】1．不等式2x(x－7)>3(x－7)的解集为________．
【解析】2x(x－7)>3(x－7) 2x(x－7)－3(x－7)>0 (x－7)(2x－3)>0，解得x<或x>7，所以，原不等式的解集为.
答案：
2．不等式－x2－3x＋4>0的解集为________．(用区间表示)
【解析】由－x2－3x＋4>0可知，(x＋4)(x－1)<0.
得－4答案：(－4，1)
【举一反三】
解下列不等式：
（1）； （2）； （3）．
（4）； （5）； （6）.
【答案】（1）；（2）；（3）或.
（4）或；（5）；（6）或.
（7）或；（8）；（9）或；（10）；
【解析】（1）由题意，不等式，可化为，
所以不不等式的解集为；
（2）由题意，可得，所以不等式的解集为；
（3）由不等式，可化为，即，
所以不等式的解集为或.
（4）不等式即为，解得或，
因此，不等式的解集为或；
（5）不等式即为，解得，
因此，不等式的解集为；
不等式即为，即，解得或.因此，不等式的解集为或.
考向二 绝对值不等式
【例2】（1）（2）；（3）；
【答案】（1）(2)（3）
【解析】（1）因为所以或，或，所以不等式的解集为
（2）或，解得或，所以不等式的解集为；
（3），解得，所以不等式的解集为；
【举一反三】解下列不等式
解下列不等式（组）：
（1） （2） （3）
（4）
【难度】★★
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
考向三 分式不等式
【例3】不等式的解集为________.
【答案】
【详解】原不等式可化为，
即，
即，即，
解得，
∴原不等式的解集为，
故答案为：
【典例2】已知全集，集合，，则______，______.
【答案】 或 或
【详解】由 得 ,
整理得 ,
解得 或 , 即 或
因为或 或
所以或;
或.
故答案为：或;或.
【变式1】设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】由，得，
解得；
由，得，得
因为当时，一定可以推出，
而当时，不能推出。
所以“”是“”的充分不必要条件，
故选：A．
【举一反三】解下列不等式
（1） （2） （3） （4）
【答案】（1） （2）{x|x≤－1或x>3} （3）（4）
(5) 或； (6) 或.
【解析】（1）由题意，原不等式可化为，解得，
所以不等式的解集为.
（2）不等式可转化成不等式组，解得x≤－1或x>3，原不等式的解集为{x|x≤－1或x>3}．
（3）解得或
故不等式的解集为
（4） ，即 ，
解得： ，不等式的解集是.
考向四 含参不等式
【例4】 解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0.
【解】　若a＝0，原不等式等价于－x＋1<0，解得x>1.
若a<0，原不等式等价于(x－1)>0，
解得x<或x>1.
若a>0，原不等式等价于(x－1)<0.
①当a＝1时，＝1，(x－1)<0无解；
②当a>1时，<1，解(x－1)<0，
得③当01，解(x－1)<0，
得1综上所述，当a<0时，解集为；
当a＝0时，解集为{x|x>1}；
当0当a＝1时，解集为 ；
当a>1时，解集为.
【变式1】 已知不等式ax2－bx－1>0的解集是，则不等式x2－bx－a≥0的解集是________．
【解析】　由题意，知－，－是方程ax2－bx－1＝0的两个根，且a<0，所以解得
即不等式x2－bx－a≥0为x2－5x＋6≥0，
解得x≥3或x≤2.
【答案】　{x|x≥3或x≤2}
一、单选题
1．的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】C
【详解】解不等式可得或，
因为 或，
故只有C选项中的条件才是“”的充分不必要条件.
故选：C.
2．不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．或，
【答案】C
【详解】不等式等价于，等价于，解集为．
故选：C
3．若不等式的解集为或，则（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【详解】因为不等式的解集为或，
所以和时，，
即，，
解得,,
故选：D．
4．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】由，得或，解得.
由，解得，
当时，一定成立，反之，不一定成立，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
5．命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，为真命题，则或，解得，
对于A， ，是命题“，”为真命题的充分不必要条件，A错误；
对于B，是命题“，”为真命题的充要条件，B错误；
对于C， ，是命题“，”为真命题的必要不充分条件，C正确；
对于D， ，是命题“，”为真命题的充分不必要条件，D错误；
故选：C
二、填空题
6．若不等式的解集是，则的值等于_______．
【答案】
【详解】因为不等式的解集是，
所以和时，，
即，，
解得，，
所以，
故答案为：．
7．关于的不等式恒成立，则的取值范围为__________.
【答案】
【详解】不等式恒成立,所以，解得，
故答案为：
三、解答题
8．解不等式(1) (2)
【答案】(1)
(2)或
【详解】（1）由，得，
即，解得，
所以不等式的解集为；
（2）由，得，
即，解得或，
所以不等式得解集为或.
9．已知的解集为．
(1)求实数的值；
(2)若恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为的解集为，
所以而且的两根为和1，
所以，所以．
（2）因为恒成立，即恒成立，
所以，解得，
所以实数b的取值范围为．即.
强化练习
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