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南通市2024年初中数学
毕业、升学考试模拟试卷（一）
○满分：150分 ○时间：120分钟
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填写在相应位置上）
1. 下列各选项中，结果是负数的为（ ）
A. B. C. D.
2. 风能是一种清洁能源，我国风能储量很大，仅陆地上风能储量就有兆瓦，将数据用科学记数法表示为（　　）
A. B.
C. D.
3. 如图是由四个小正方体叠成的一个立体图形，那么它的主视图是（ ）.
A. B. C. D.
4. 下列各图中，可看作轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
5 如图，四边形的对角线，相交于点O，，且，则添加下列一个条件能判定四边形是菱形的是（　　）
A B. C. D.
6. 如图，直线，含有的直角三角板的一个顶点落在上，直角边交于点，连接，使得，若，则的度数是( )
A. B. C. D.
7. 我国古代数学名著《九章算术》中记载：“粟米之法：粟率五十；粝米三十．今有米在十斗桶中，不知其数．满中添粟而舂之，得米七斗．问故米几何？”意思为：50斗谷子能出30斗米，即出米率为．今有米在容量为10斗的桶中，但不知道数量是多少．再向桶中加满谷子，再舂成米，共得米7斗．问原来有米多少斗？如果设原来有米x斗，向桶中加谷子y斗，那么可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
8. 若关于x的不等式组有且只有3个整数解，则a的取值范围是（　　）
A. B. C. D.
9. 如图，四边形是边长为的正方形，点E，点F分别为边，中点，点O为正方形的中心，连接，点P从点E出发沿运动，同时点Q从点B出发沿运动，两点运动速度均为，当点P运动到点F时，两点同时停止运动，设运动时间为，连接，的面积为，下列图像能正确反映出S与t的函数关系的是（ ）
A. B. C. D.
10. 已知实数a，b满足，其中n为自然数，则n的最小值是（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
二、填空题（本大题共8小题，第11~12题每小题3分，第13~18题每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在相应位置上）
11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_________．
12 分解因式______．
13. 底面圆半径为、高为的圆锥的侧面展开图的面积为________．
14. 某种型号小型无人机着陆后滑行的距离S（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数解析式是S＝10t﹣0.25t2，无人机着陆后滑行___秒才能停下来．
15. 如图，在小山的东侧点A处有一个热气球，由于受西风的影响，以的速度沿与地面成角的方向飞行，后到达点C处，此时热气球上的人测得小山西侧点B处的俯角为，则小山东西两侧A，B两点间的距离为_________
16. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝10，点E在边BC上，DF⊥AE，垂足为F，若DF＝6，则线段EF的长为_____．
17. 若是一元二次方程的两个实数根，则的值为____________．
18. 如图，点A，B在反比例函数（k＞0）的图象上，AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足C，D分别在x轴的正、负半轴上，CD=k，已知AB=2AC，E是AB的中点，且△BCE的面积是△ADE的面积的2倍，则k的值是______．
三、解答题（本大题共8小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. （1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
20. 如图，已知A，D，C，E在同一直线上，BC和DF相交于点O，，，．
（1）求证：；
（2）连接，若，，求的度数．
21. 某市今年初中物理、化学实验技能学业水平考查，采用学生抽签方式决定各自的考查内容．规定：每位考生必须在4个物理实验考查内容（用表示）和4个化学实验考查内容（用表示）中各抽取一个进行实验技能考查．小刚在看不到签的情况下，从中各随机抽取一个．
（1）小刚抽到物理实验A的概率是 ．
（2）求小刚抽到物理实验B和化学实验F概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
22. 某楼举办了青年大学习知识竞赛（百分制），并分别在七、八年级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计、整理与分析，绘制成如图所示的两幅统计图．成绩用x分表示，并且分为A，B，C，D，E五个等级（A：；B：；C：；D：；E：）
七年级竞赛成绩频数分布直方图 七年级竞赛成绩扇形统计图
七、八年级竞赛成绩数据的平均数、中位数、众数如下表：
平均数 中位数 众数
七年级 76 m 75
八年级 77 76 78
其中，七年级成绩在C等级的数据为77，75，75，78，79，75，73，75；八年级成绩在E等级的有3名学生．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）扇形统计图中B等级所在扇形对应的圆心角的度数是__________，表中m的值为__________．
（2）通过以上数据分析，你认为哪个年级对青年大学习知识掌握得更好？请说明理由．
（3）请对该校学生对青年大学习知识的掌握情况作出合理的评价．
23. 如图，是的直径，点C在上，，的切线与的延长线相交于点D．
（1）求证：；
（2）若的半径为6，求图中阴影部分的面积．
24. 随着“双减”政策的逐步落实，其中增加中学生体育锻炼时间的政策引发社会的广泛关注，体育用品需求增加，某商店决定购进A、B两种羽毛球拍进行销售，已知每副A种球拍的进价比每副B种球拍贵20元，用2800元购进A种球拍的数量与用2000元购进B种球拍的数量相同．
（1）求A、B两种羽毛球拍每副的进价；
（2）若该商店决定购进这两种羽毛球拍共100副，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100副羽毛球拍的资金不超过5900元，那么该商店最多可购进A种羽毛球拍多少副？
（3）若销售A种羽毛球拍每副可获利润25元，B种羽毛球拍每副可获利润20元，在第（2）问条件下，如何进货获利最大？最大利润是多少元？
25. 如图1，P是正方形边上一点，线段与关于直线对称，连接并延长交直线于点F，连接．
（1）补全图形，求的大小；
（2）用等式表示线段之间的数量关系，并证明；
（3）连接，G是的中点，，若点P从点B运动到点C，直接写出的最大值．
26. 定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图像的“平衡点”．例如，点是函数的图像的“平衡点”．
（1）在函数①，②，③，④的图象上，存在“平衡点”的函数是________；（填序号）
（2）设函数与的图象的“平衡点”分别为点A、B，过点A作轴，垂足为C．当为等腰三角形时，求b的值；
（3）若将函数的图像绕y轴上一点M旋转，M在下方，旋转后的图象上恰有1个“平衡点”时，求的坐标．南通市2024年初中数学
毕业、升学考试模拟试卷（一）
○满分：150分 ○时间：120分钟
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填写在相应位置上）
1. 下列各选项中，结果是负数的为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了有理数乘法运算，化简绝对值，化简多重符号，根据有理数乘法运算，化简绝对值，化简多重符号，逐项进行计算判断即可
【详解】解：A、，结果为正数，不符合题意；
B、，结果负数，符合题意；
C、，结果为正数，不符合题意；
D、，结果为0，不符合题意，
故选：B．
2. 风能是一种清洁能源，我国风能储量很大，仅陆地上风能储量就有兆瓦，将数据用科学记数法表示为（　　）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：，
故选C．
【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
3. 如图是由四个小正方体叠成的一个立体图形，那么它的主视图是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【详解】解：从正面看易得第一层有3个正方形，第二层中间有1个正方形．
故选C．
【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
4. 下列各图中，可看作轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查轴对称图形，根据轴对称图形的定义，一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够相互重合，那么这个图形叫做轴对称图形，逐项进行分析判断即可．
【详解】解：A、该图形没有一条直线可以折叠，使直线两旁的部分能够相互重合，故不是轴对称图形，不符合题意；
B、该图形有一条直线可以折叠，使直线两旁的部分能够相互重合，故是轴对称图形，符合题意；
C、该图形没有一条直线可以折叠，使直线两旁的部分能够相互重合，故不是轴对称图形，不符合题意；
D、该图形没有一条直线可以折叠，使直线两旁的部分能够相互重合，故不是轴对称图形，不符合题意，
故选：B．
5. 如图，四边形的对角线，相交于点O，，且，则添加下列一个条件能判定四边形是菱形的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据菱形的判定方法分别对各个选项进行判定，即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
当时，四边形是矩形；故选项A不符合题意；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为菱形，故选项B符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形；故选项C不符合题意；
当时，不能判定四边形为菱形；故选项D不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形判定，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．
6. 如图，直线，含有的直角三角板的一个顶点落在上，直角边交于点，连接，使得，若，则的度数是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行的性质可得，根据三角形的外角的定义可得，再根据平角进行计算即可得到答案．
【详解】解：如图，令与相交于点，
，，
，
，，
，
，，
，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质、三角形外角的定义，平角的定义，熟练掌握平行线的性质、三角形外角的定义，平角的定义，是解题的关键．
7. 我国古代数学名著《九章算术》中记载：“粟米之法：粟率五十；粝米三十．今有米在十斗桶中，不知其数．满中添粟而舂之，得米七斗．问故米几何？”意思为：50斗谷子能出30斗米，即出米率为．今有米在容量为10斗的桶中，但不知道数量是多少．再向桶中加满谷子，再舂成米，共得米7斗．问原来有米多少斗？如果设原来有米x斗，向桶中加谷子y斗，那么可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意列出方程组即可；
【详解】原来有米x斗，向桶中加谷子y斗，容量为10斗，则；
已知谷子出米率为，则来年共得米；
则可列方程组为，
故选A．
【点睛】本题考查了根据实际问题列出二元一次方程组，题目较简单，根据题意正确列出方程即可．
8. 若关于x的不等式组有且只有3个整数解，则a的取值范围是（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先解不等式组可得解集为，再根据不等式组有且只有3个整数解，即可求解．
【详解】解：，
由①得，，
由②得，，
∴不等式组的解集为，
∵不等式组有且只有3个整数解，
∴这三个整数是0、1、2，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查解不等式组和不等式组的整数解，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
9. 如图，四边形是边长为正方形，点E，点F分别为边，中点，点O为正方形的中心，连接，点P从点E出发沿运动，同时点Q从点B出发沿运动，两点运动速度均为，当点P运动到点F时，两点同时停止运动，设运动时间为，连接，的面积为，下列图像能正确反映出S与t的函数关系的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分0≤t≤1和1＜t≤2两种情形，确定解析式，判断即可．
【详解】当0≤t≤1时，∵正方形ABCD 的边长为2，点O为正方形的中心，
∴直线EO垂直BC，
∴点P到直线BC的距离为2-t，BQ=t，
∴S=；
当1＜t≤2时，∵正方形ABCD 的边长为2，点F分别为边，中点，点O为正方形的中心，
∴直线OF∥BC，
∴点P到直线BC的距离为1，BQ=t，
∴S=；
故选D．
【点睛】本题考查了正方形的性质，二次函数的解析式，一次函数解析式，正确确定面积，从而确定解析式是解题的关键．
10. 已知实数a，b满足，其中n为自然数，则n的最小值是（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】由原式知，，进一步变形得，因为，所以，得;代入得，，配方法求极值.
【详解】由原式知，
∴
∴
∵
∴
∴
代入得，，整理，得
∴自然数n的最小值为6
故选C．
【点睛】本题考查等式的基本性质，平方差公式、完全平方公式、配方法求极值；根据式子的具体特征，结合乘法公式对代数式作恒等变形是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，第11~12题每小题3分，第13~18题每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在相应位置上）
11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_________．
【答案】x≥5
【解析】
【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【详解】∵在实数范围内有意义，
∴x 5 0，解得x 5．
故答案为：x≥5
【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数a 0，同时也考查了解一元一次不等式．
12. 分解因式______．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式，再按公式法进行因式分解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是提公因式，公式法分解因式，掌握以上两种方法分解因式是解题的关键．
13. 底面圆半径为、高为的圆锥的侧面展开图的面积为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查圆锥的计算，先利用勾股定理求出圆锥的母线，再根据圆锥的侧面展开图的面积列式计算即可．
【详解】解：根据题意可知，圆锥的母线长为，
圆锥的侧面展开图的面积为，
故答案为：．
14. 某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离S（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数解析式是S＝10t﹣0.25t2，无人机着陆后滑行___秒才能停下来．
【答案】20
【解析】
【分析】将函数解析式配方成顶点式求出s取得最大值时的t的值即可得．
【详解】解：∵，，
∴当t＝20时，s取得最大值100，
即飞机着陆后滑行20秒才能停下来，
故答案为：20．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，理解题意得出飞机滑行的距离即为s的最大值是解题的关键．
15. 如图，在小山的东侧点A处有一个热气球，由于受西风的影响，以的速度沿与地面成角的方向飞行，后到达点C处，此时热气球上的人测得小山西侧点B处的俯角为，则小山东西两侧A，B两点间的距离为_________
【答案】
【解析】
【分析】过点A作于点H，则，证明是等腰直角三角形，则，在中，，即可得到答案．
【详解】解：过点A作于点H，则，
由题意可得，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
在中，，
∴，
即A，B两点间的距离为．
故答案为：
【点睛】此题考查了解直角三角形、含的直角三角形的性质等知识，添加辅助线是解题的关键．
16. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝10，点E在边BC上，DF⊥AE，垂足为F，若DF＝6，则线段EF的长为_____．
【答案】3
【解析】
【分析】证明△AFD∽△EBA，得到，求出AF，即可求出AE，从而可得EF．
【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD＝3，BC＝AD＝10，，
∴∠AEB＝∠DAF，
∴△AFD∽△EBA，
∴，
∵DF＝6，
∴，
∴，
∴AE＝5，
∴EF＝AF－AE＝8－5＝3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．
17. 若是一元二次方程的两个实数根，则的值为____________．
【答案】5
【解析】
【分析】先根据一元二次方程的解的定义及根与系数的关系得出，，再将其代入整理后的代数式计算即可．
【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根，
∴，，即：，
∴，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了一元二次方程的解．
18. 如图，点A，B在反比例函数（k＞0）的图象上，AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足C，D分别在x轴的正、负半轴上，CD=k，已知AB=2AC，E是AB的中点，且△BCE的面积是△ADE的面积的2倍，则k的值是______．
【答案】
【解析】
【详解】试题解析：过点B作直线AC的垂线交直线AC于点F，如图所示．
∵△BCE的面积是△ADE的面积的2倍，E是AB的中点，
∴S△ABC=2S△BCE，S△ABD=2S△ADE，
∴S△ABC=2S△ABD，且△ABC和△ABD的高均为BF，
∴AC=2BD，
∴OD=2OC．
∵CD=k，
∴点A的坐标为（，3），点B的坐标为（-，-），
∴AC=3，BD=，
∴AB=2AC=6，AF=AC+BD=，
∴CD=k=．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的面积公式以及勾股定理．构造直角三角形利用勾股定理巧妙得出k值是解题的关键.
三、解答题（本大题共8小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. （1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）；（2），
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，分式的化简求值，涉及立方根的求解，化简绝对值，乘方的求解，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键．
（1）根据立方根定义，绝对值意义，乘法的运算法则分别计算各项，再加减即可；
（2）先将括号里的式子通分，利用平方差公式化简，再将除号后面的式子运用完全平方公式化简，除法变乘法，约分化简，最后将代入求解即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
，
当时，原式．
20. 如图，已知A，D，C，E在同一直线上，BC和DF相交于点O，，，．
（1）求证：；
（2）连接，若，，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）本题考查的是平行线的性质，全等三角形的判定；先证明，，再利用证明即可；
（2）本题考查的是平行线的性质，全等三角形的性质，三角形的外角的性质，先求解，证明，再利用全等三角形的性质可得答案．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴；
小问2详解】
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
21. 某市今年初中物理、化学实验技能学业水平考查，采用学生抽签方式决定各自的考查内容．规定：每位考生必须在4个物理实验考查内容（用表示）和4个化学实验考查内容（用表示）中各抽取一个进行实验技能考查．小刚在看不到签的情况下，从中各随机抽取一个．
（1）小刚抽到物理实验A的概率是 ．
（2）求小刚抽到物理实验B和化学实验F的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率；
（1）直接利用概率公式计算；
（2）画树状图展示所有16种等可能的结果，再找出抽到B和F的结果数，然后根据概率公式计算；
【小问1详解】
小刚抽到物理实验A的概率是，
故答案为：；
【小问2详解】
画树状图为：
共有16种等可能的结果，其中抽到B和F的结果数为1，
所以小刚抽到物理实验B和化学实验F的概率．
22. 某楼举办了青年大学习知识竞赛（百分制），并分别在七、八年级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计、整理与分析，绘制成如图所示的两幅统计图．成绩用x分表示，并且分为A，B，C，D，E五个等级（A：；B：；C：；D：；E：）
七年级竞赛成绩频数分布直方图 七年级竞赛成绩扇形统计图
七、八年级竞赛成绩数据的平均数、中位数、众数如下表：
平均数 中位数 众数
七年级 76 m 75
八年级 77 76 78
其中，七年级成绩在C等级的数据为77，75，75，78，79，75，73，75；八年级成绩在E等级的有3名学生．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）扇形统计图中B等级所在扇形对应的圆心角的度数是__________，表中m的值为__________．
（2）通过以上数据分析，你认为哪个年级对青年大学习知识掌握得更好？请说明理由．
（3）请对该校学生对青年大学习知识的掌握情况作出合理的评价．
【答案】（1），
（2）八年级学生的成绩较好，理由见解析
（3）青年学生对深入学习青年大学习知识掌握情况一般，还需要进一步加强学习和宣传（答案不唯一，合理即可）
【解析】
【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图，平均数、中位数、众数，理解两个统计图中数量之间的关系以及中位数、众数、平均数的意义是正确解答的前提．
（1）求出调查人数以及B等级的学生人数所占的百分比即可求出相应的圆心角度数，根据中位数的定义求出中位数即可得出m的值；
（2）通过平均数、中位数、众数的大小比较得出答案；
（3）根据平均数、中位数、众数综合进行判断即可．
【小问1详解】
解：由条形统计图可得，调查人数为 (人)，
扇形统计图中B等级所占圆心角的度数是：，
将七年级这20名学生的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为，因此中位数是75分，即，
故答案为：，；
【小问2详解】
八年级学生的成绩较好，
理由：由表可知八年级学生成绩的平均数、中位数、众数均比七年级学生的平均数、中位数、众数大，所以八年级学生成绩较好；
【小问3详解】
青年学生对深入学习青年大学习知识掌握情况一般，还需要进一步加强学习和宣传．
23. 如图，是的直径，点C在上，，的切线与的延长线相交于点D．
（1）求证：；
（2）若的半径为6，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）详见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）首先证明是等边三角形，然后利用切线的性质求解即可；
（2）作于点E，利用角的三角函数求出，然后利用代入求解即可．
【小问1详解】
证明：连接．
，，
是等边三角形．
．
是的切线，
．
．
又，
．
．
．
【小问2详解】
作于点E．
，，
．
．
，，
．
图中阴影部分的面积为．
【点睛】此题考查了切线的性质定理，等边三角形的性质，求扇形面积等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
24. 随着“双减”政策的逐步落实，其中增加中学生体育锻炼时间的政策引发社会的广泛关注，体育用品需求增加，某商店决定购进A、B两种羽毛球拍进行销售，已知每副A种球拍的进价比每副B种球拍贵20元，用2800元购进A种球拍的数量与用2000元购进B种球拍的数量相同．
（1）求A、B两种羽毛球拍每副的进价；
（2）若该商店决定购进这两种羽毛球拍共100副，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100副羽毛球拍资金不超过5900元，那么该商店最多可购进A种羽毛球拍多少副？
（3）若销售A种羽毛球拍每副可获利润25元，B种羽毛球拍每副可获利润20元，在第（2）问条件下，如何进货获利最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）A种羽毛球拍每副的进价为70元，B种羽毛球拍每副的进价为50元
（2）45副 （3）购进A种羽毛球拍45副，B种羽毛球拍55副时，总获利最大，最大利润为2225元
【解析】
【分析】（1）设A种羽毛球拍每副的进价为x元，根据用2800元购进A种球拍的数量与用2000元购进B种球拍的数量相同，列分式方程，求解即可；
（2）设该商店购进A种羽毛球拍m副，根据购买这100副羽毛球拍的资金不超过5900元，列一元一次不等式，求解即可；
（3）设总利润为w元，表示出w与m的函数关系式，根据一次函数的性质即可确定如何进货总利润最大，并进一步求出最大利润即可．
【小问1详解】
解：设A种羽毛球拍每副的进价为x元，
根据题意，得，
解得，经检验是原方程的解，
（元），
答：A种羽毛球拍每副的进价为70元，B种羽毛球拍每副的进价为50元；
【小问2详解】
设该商店购进A种羽毛球拍m副，
根据题意，得，
解得，m为正整数，
答：该商店最多购进A种羽毛球拍45副；
【小问3详解】
设总利润为w元，
，
∵，
∴w随着m的增大而增大，
当时，w取得最大值，最大利润为（元），
此时购进A种羽毛球拍45副，B种羽毛球拍（副），
答：购进A种羽毛球拍45副，B种羽毛球拍55副时，总获利最大，最大利润为2225元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意并根据题意建立相应的关系式是解题的关键．
25. 如图1，P是正方形边上一点，线段与关于直线对称，连接并延长交直线于点F，连接．
（1）补全图形，求的大小；
（2）用等式表示线段之间的数量关系，并证明；
（3）连接，G是的中点，，若点P从点B运动到点C，直接写出的最大值．
【答案】（1）
（2），证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）补全图形如图1，由线段与关于直线对称，可知，，则，，根据，计算求解即可；
（2）如图2，连接，，连接交于，由对称的性质可得，，，，则 ，，是等腰直角三角形，，，，由，证明，则，计算求解即可；
（3）如图3，连接，，交点为，则，，是的中位线，，由题意知，在以为圆心，以2为半径的的圆上运动，则在以为圆心，以1为半径的的圆上运动，如图3，当三点共线时，最大， 根据，计算求解即可．
【小问1详解】
解：补全图形如图1，
∵线段与关于直线对称，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴为；
【小问2详解】
解：，证明如下：
如图2，连接，，连接交于，
由对称的性质可得，，，，
∴ ，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，解得，
∴；
【小问3详解】
解：如图3，连接，，交点为，
由正方形的性质可得，，为的中点，
∴，，
又∵是的中点，
∴是的中位线，
∴，
由题意知，在以为圆心，以2为半径的的圆上运动，
∴在以为圆心，以1为半径的的圆上运动，如图3，
∴当三点共线时，最大，
∴，
∴最大值为．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定与性质，中位线，圆，余弦等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
26. 定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图像的“平衡点”．例如，点是函数的图像的“平衡点”．
（1）在函数①，②，③，④的图象上，存在“平衡点”的函数是________；（填序号）
（2）设函数与的图象的“平衡点”分别为点A、B，过点A作轴，垂足为C．当为等腰三角形时，求b的值；
（3）若将函数的图像绕y轴上一点M旋转，M在下方，旋转后的图象上恰有1个“平衡点”时，求的坐标．
【答案】（1）③ （2）或或或
（3）
【解析】
【分析】（1）根据“平衡点”的定义进行逐一计算判断即可；
（2）可求，，①当为等腰三角形的顶点时，，此时在以圆心，长为半径的圆周上，由进行求解即可；②当为等腰三角形的顶点时，，此时在以圆心，长为半径的圆周上，由进行求解即可；③当为等腰三角形的顶点时，，此时在的垂直平分线上，由进行求解即可．
（3）设（），先将抛物线向上平移个单位得，再将绕原点旋转得：，即：，
然后将向下平移个单位得为绕旋转后函数解析式；由，进行求解即可．
【小问1详解】
解：①，
，
故此函数不存在“平衡点”；
②当时，，
，
，
，
故此函数不存在“平衡点”；
③当时，，
，
，
整理得：，
，
此方程有两个不相等的实数根，
此函数存在“平衡点”；
④当时，，
，
，
整理得：，
此方程无实数根，
此函数不存在“平衡点”；
故答案：③．
【小问2详解】
解：当时，，
，
，
解得：，（舍去） ，
，
，
同理可求：，
①如图，当为等腰三角形的顶点时，，
此时在以圆心，长为半径的圆周上，
，
解得：，，
当时，，
与重合，舍去
；
②如图，当为等腰三角形的顶点时，，
此时在以圆心，长为半径的圆周上，
，
解得：，；
③如图，当为等腰三角形的顶点时，，
此时在的垂直平分线上，
，
解得：；
综上所述：的值为、、、．
【小问3详解】
解：设（），先将抛物线向上平移个单位得，再将绕原点旋转得：，即：，
然后将向下平移个单位得为绕旋转后函数解析式；
，
整理得：，
旋转后的图象上恰有1个“平衡点”，
，
解得：，
．
【点睛】本题考查了新定义“平衡点”，等腰三角形的判定，函数图象的旋转，理解定义，掌握等腰三角形的判定方法和函数图象旋转中解析式的变化规律是解题的关键．

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