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【全国通用】2024中考数学二轮复习（重难点题型突破）
专题02 函数实际综合应用问题-利润最值问题
中考数学中，函数最值利润问题，一直备受出题人的青睐，是考试的热点。函数最值利润问题是指在一个经济模型中，根据题意确定函数关系，结合自变量的范围来最大化利润或最小化成本的问题。本专题将通过介绍函数利润问题的基本概念、解决方法和实际应用，深入探讨这一问题。希望同学们认真理解掌握，关于利润（费用）最值问题，同学们一定要多下功夫研究学习，总结出解决这类问题的思路方法，考试中得心应手。
对于这类问题，要审清题意，记住利润问题中的几个公式，便可解决此类问题。常用公式有：利润=售价-成本价，总利润=单个商品的利润×销售量，利润率=利润/进价×100%，通过公式建立函数模型，把利润问题转化为函数的最值问题，从而使问题得到解决。
特别需要注意，解答此类型题要抓住关键的词和字，将实际问题转化为求函数最值问题。既要看到销售价格对销售量的影响，也要看到销售价格对单件商品利润产生的影响，两者结合起来，销售价格就会对销售总利润产生影响。在求二次函数最值时，要注意实际问题中自变量的取值的限制对最值的影响。
求解最大利润问题的一般步骤
（1）建立利润（费用）与价格之间的函数关系式：运用“总利润=单件利润×总销量”或“总利润=总售价-总成本”，再化简求得相应的函数关系；
（2）结合实际意义或题设条件，确定自变量的取值范围；
（3）在自变量的取值范围内确定求出最大利润：若函数为一次函数，则利用一次函数的增减性求出最大利润；若函数为二次函数可以利用配方法或公式求出最大利润；当然也可以画出相应函数的简图，利用简图和性质求出最大利润。
考向一　利润最值问题（一次函数型）
例1．（2023年山东青岛中考数学真题）某服装店经销A，B两种T恤衫，进价和售价如下表所示：
品名 A B
进价（元/件） 45 60
售价（元/件） 66 90
(1)第一次进货时，服装店用6000元购进A，B两种T恤衫共120件，全部售完获利多少元？
(2)受市场因素影响，第二次进货时，A种T恤衫进价每件上涨了5元，B种T恤衫进价每件上涨了10元，但两种T恤衫的售价不变．服装店计划购进A，B两种T恤衫共150件，且B种T恤衫的购进量不超过A种T恤衫购进量的2倍．设此次购进A种T恤衫m件，两种T恤衫全部售完可获利W元．①请求出W与m的函数关系式；②服装店第二次获利能否超过第一次获利？请说明理由．
【答案】(1)2880元
(2)①；②服装店第二次获利不能超过第一次获利，理由见解析
【分析】（1）根据条件，购进恤衫件，购进恤衫件，列出方程组解出、值，最后求出获利数；（2）①根据条件，可列，整理即可；
②由①可知，，一次函数随的增大而减小，当时，取最大值计算出来和第一次获利比较即可．
【详解】（1）解：设购进A种T恤衫件，购进B种T恤衫件，根据题意列出方程组为：
，解得，全部售完获利（元）．
（2）①设第二次购进种恤衫件，则购进种恤衫件，
根据题意，即，
，
②服装店第二次获利不能超过第一次获利，理由如下：由①可知，，
，一次函数随的增大而减小，当时，取最大值，（元），
，服装店第二次获利不能超过第一次获利．
【点睛】本题考查了一元二次方程组的应用，读懂题意列出函数解析式是解本题的关键．
例2．（2023年内蒙古呼和浩特市中考数学真题）学校通过劳动教育促进学生树德、增智、强体、育美全面发展，计划组织八年级学生到“开心”农场开展劳动实践活动．到达农场后分组进行劳动，若每位老师带38名学生，则还剩6名学生没老师带；若每位老师带40名学生，则有一位老师少带6名学生．劳动实践结束后，学校在租车总费用2300元的限额内，租用汽车送师生返校，每辆车上至少要有1名老师．现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如下表所示
甲型客车 乙型客车
载客量/（人/辆） 45 30
租金/（元/辆） 400 280
(1)参加本次实践活动的老师和学生各有多少名？(2)租车返校时，既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少有1名老师，则共需租车________辆；(3)学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？
【答案】(1)参加本次实践活动的老师有6名，学生有234名 (2)6
(3)学校共有两套租车方案，最少租车费用是2160元
【分析】（1）设参加本次实践活动的老师有x名，根据“若每位老师带38名学生，则还剩6名学生没老师带；若每位老师带40名学生，则有一位老师少带6名学生”列出方程求解即可；
（2）根据每辆车上至少有1名老师，参加本次实践活动的老师有6名，得出汽车总数不超过6辆，根据要保证所有师生都有车坐，得出汽车总数不少于辆，即可解答；
（3）设租用甲客车a辆，则租用乙客车辆，列出不等式组，解得，设租车费用为y元，得出，根据一次函数增减性得出y随a的增大而增大，即可解答．
【详解】（1）解：设参加本次实践活动的老师有x名，
，解得：，∴，
答：参加本次实践活动的老师有6名，学生有234名；
（2）解：∵每辆车上至少有1名老师，参加本次实践活动的老师有6名，∴汽车总数不超过6辆，
∵要保证所有师生都有车坐，∴汽车总数不少于（辆），则汽车总数最少为6辆，
∴共需租车6辆，故答案为：6．
（3）解：设租用甲客车a辆，则租用乙客车辆，
，解得：，∵a为整数，∴或，
方案一：租用甲客车4辆，则租用乙客车2辆；方案二：租用甲客车5辆，则租用乙客车1辆；
设租车费用为y元，，
∵，∴y随a的增大而增大，∴当时，y最小，，
综上：学校共有两套租车方案，最少租车费用是2160元．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，一次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出数量关系，列出方程、不等式组、一次函数表达式．
例3．（2023年江苏省南通市中考数学真题）为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下：
信息—
工程队 每天施工面积（单位：） 每天施工费用（单位：元）
甲 3600
乙 x 2200
信息二：甲工程队施工所需天数与乙工程队施工所需天数相等．
(1)求x的值；(2)该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工22天，且完成的施工面积不少于．该段时间内体育中心至少需要支付多少施工费用
【答案】(1)x的值为600(2)该段时间内体育中心至少需要支付施工费用56800元
【分析】（1）根据题意甲工程队施工所需天数与乙工程队施工所需天数相等列出分式方程解方程即可；（2）设甲工程队先单独施工天，体育中心共支付施工费用元，根据先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工22天，且完成的施工面积不少于列出不等式即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意列方程，得．
方程两边乘，得．解得．
检验：当时，．所以，原分式方程的解为．答：x的值为600．
（2）解：设甲工程队先单独施工天，体育中心共支付施工费用元．
则．，．
1400>0，随的增大而增大．当时，取得最小值，最小值为56800．
答：该段时间内体育中心至少需要支付施工费用56800元．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，熟练掌握知识点是解题的关键．
例4．（2023年山东省济南市中考数学真题）某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同．(1)求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元 (2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少 最少花费是多少元
【答案】(1)A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元
(2)购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元
【分析】（1）设A型编程机器人模型单价是元，B型编程机器人模型单价是元，根据：用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同即可列出关于x的分式方程，解方程并检验后即可求解；
（2）设购买A型编程机器人模型台，购买A型和B型编程机器人模型共花费元，根据题意可求出m的范围和W关于m的函数关系式，再结合一次函数的性质即可求出最小值
【详解】（1）解：设A型编程机器人模型单价是元，B型编程机器人模型单价是元．
根据题意，得解这个方程，得
经检验，是原方程的根．
答：A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元．
（2）设购买A型编程机器人模型台，购买B型编程机器人模型台，购买A型和B型编程机器人模型共花费元，由题意得：，解得．
∴即，
∵，∴随的增大而增大．∴当时，取得最小值11200，此时；
答：购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用和一次函数的性质，正确理解题意、找准相等与不等关系、得出分式方程与不等式是解题的关键．
考向二　最大利润问题（二次函数型）
例1．（2023年辽宁省鞍山市中考数学真题）网络销售已经成为一种热门的销售方式，某果园在网络平台上直播销售荔枝．已知该荔枝的成本为6元/kg，销售价格不高于18元/kg，且每售卖1kg需向网络平台支付2元的相关费用，经过一段时间的直播销售发现，每日销售量y（kg）与销售价格x（元/kg）之间满足如图所示的一次函数关系．

(1)求与的函数解析式．(2)当每千克荔枝的销售价格定为多少元时，销售这种荔枝日获利最大，最大利润为多少元？
【答案】(1)
(2)当销售单价定为元时，销售这种荔枝日获利最大，最大利润为元
【分析】（1）根据函数图象，待定系数法求解析式即可求解；
（2）设销售这种荔枝日获利元，由二次函数的性质求出的最大利润，即可求解．
【详解】（1）解：设与的函数解析式为，
∵该函数图象经过点和点
∴解得：∴与的函数解析式为；
（2）解：设销售这种荔枝日获利元，
根据题意，得，
，对称轴为直线，∴在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，
∵销售价格不高于18元/kg，当时，有最大值为元，
当销售单价定为时，销售这种荔枝日获利最大，最大利润为元．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数的性质，求出函数关系式是本题的关键．
例2．（2023年浙江省湖州市中考数学真题）某水产经销商以每千克30元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）存在一次函数关系，部分数据如下表所示：
销售价格x（元/千克） 50 40
日销售量y（千克） 100 200
(1)试求出y关于x的函数表达式．(2)设该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润为W元，如果不考虑其他因素，求当销售价格x为多少时，日销售利润W最大？最大的日销售利润是多少元？
【答案】(1)
(2)销售价格为每千克45元时，日销售利润最大，最大日销售利润是2250元
【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为，由表中数据即可得出结论；
（2）根据每日总利润=每千克利润×销售量列出函数解析式，根据函数的性质求最值即可．
【详解】（1）解：设y关于x的函数表达式为．
将和分别代入，得：
，解得：，∴y关于x的函数表达式是：；
（2）解：，
∵，∴当时，在的范围内，W取到最大值，最大值是2250．
答：销售价格为每千克45元时，日销售利润最大，最大日销售利润是2250元．
【点睛】本题考查一次函数、二次函数的应用，关键是根据等量关系写出函数解析式．
例3．（2023年辽宁省盘锦市中考数学真题）某工厂生产一种产品，经市场调查发现，该产品每月的销售量y（件）与售价x（万元/件）之间满足一次函数关系．部分数据如下表：
每件售价x/万元 … 24 26 28 30 32 …
月销售量y/件 … 52 48 44 40 36 …
(1)求y与x的函数关系式（不写自变量的取值范围）．
(2)该产品今年三月份的售价为35万元/件，利润为450万元．①求：三月份每件产品的成本是多少万元？②四月份工厂为了降低成本，提高产品质量，投资了450万元改进设备和革新技术，使每件产品的成本比三月份下降了14万元．若四月份每件产品的售价至少为25万元，且不高于30万元，求这个月获得的利润（万元）关于售价x（万元/件）的函数关系式，并求最少利润是多少万元？
【答案】(1)(2)①20万元；②，950万元
【分析】（1）从表格中任选两组数据，利用待定系数法求解；
（2）利用（1）中结论求出3月份销量，根据利润、销量、成本、售价之间的关系列方程即可；②列关于x的二次函数关系式，结合自变量的取值范围求出函数的最值即可．
【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为，将，代入，得：
，解得， y与x的函数关系式为；
（2）解：①将代入，得（件），
设三月份每件产品的成本是a万元，
由题意得，解得，即三月份每件产品的成本是20万元；
②四月份每件产品的成本比三月份下降了14万元，四月份每件产品的成本为万元，
由题意得：，
，抛物线的图象开口向下，抛物线的对称轴为，，
时，取最小值，此时，
综上可知，关于售价x的函数关系式是，最少利润是950万元．
【点睛】本题考查一次函数、二次函数的实际应用，解题的关键是根据利润、销量、成本、售价之间的关系正确列出函数关系式．
例4．（2023年湖北省黄石市中考数学真题）某工厂计划从现在开始，在每个生产周期内生产并销售完某型号设备，该设备的生产成本为万元/件．设第个生产周期设备的售价为万元/件，售价与之间的函数解析式是，其中是正整数．当时，；当时，．(1)求，的值；(2)设第个生产周期生产并销售完设备的数量为件，且y与x满足关系式．当时，工厂第几个生产周期获得的利润最大 最大的利润是多少万元
当时，若有且只有个生产周期的利润不小于万元，求实数的取值范围．
【答案】(1)，；(2)，；．
【分析】（）用待定系数法求出，的值即可；（）当，根据利润(售价成本)设备的数量，可得出关于的二次函数，由函数的性质求出最值；
当时，关于的函数解析式，再画出关于的函数图象的简图，由题意可得结论．
【详解】（1）把时，；时，代入得：
，解得：，；
（2）设第个生产周期创造的利润为万元，由（）知，当时，，
∴，，，
∵，，∴当时，取得最大值，最大值为，
∴工厂第个生产周期获得的利润最大，最大的利润是万元；
当时，，∴，
∴，则与的函数图象如图所示：

由图象可知，若有且只有个生产周期的利润不小于万元，
∴当，时，，当，时，，∴的取值范围．
【点睛】此题考查了一次函数与二次函数在销售问题中的应用，明确一次函数与二次函数的性质并分类讨论是解题的关键．
考向三　最低成本问题（二次函数型）
例1．（2023·辽宁·一模）国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，某环保节能设备生产企业的产品供不应求．若该企业的某种环保设备每月的产量保持在一定的范围，每套产品的生产成本不高于50万元，每套产品的售价不低于90万元．已知这种设备的月产量x（套）与每套的售价（万元）之间满足关系式，月产量x（套）与生产总成本（万元）存在如图所示的函数关系．（1）求月产量x的范围；（2）如果想要每月利润为1750万元，那么当月产量应为多少套？（3）如果每月获利润不低于1900万元，当月产量x（套）为多少时，生产总成本最低？并求出此时的最低成本．
【答案】（1）25≤x≤40；（2）x=25；(3)当x=30时，成本最低，最低成本为1400万元.
【详解】解：（1）设函数关系式为y2=kx+b，把坐标（30，1400）（40，1700）代入，
得 ，解得： ，∴函数关系式y2=30x+500，
由 ，解得：25≤x≤40；
（2）1750=y1-y2 ， (170-2x)x-(30x+500)=1750， ∴x1=45 ，x2=25 ，
∵25≤x≤40 ，∴x=25．答：想要每月利润为1750万元，那么当月产量应为25套；
（3）设利润为w万元，由题意得=-2x2+40x-500=-2（x-35）2+1950
当时，即-2（x-35）2+1950，解得30x40，
∵y2=30x+500，k=20>0，∴当x=30时，y2最小，最小值为
答：如果每月获利润不低于1900万元，当x=30时，成本最低，最低成本为1400万元．
例2．（2023·江苏扬州·二模）我市某企业安排20名工人生产甲、乙两种产品，根据生产经验，每人每天生产2件甲产品或1件乙产品（每人每天只能生产一种产品）．甲产品生产成本为每件10元；若安排1人生产一件乙产品，则成本为38元，以后每增加1人，平均每件乙产品成本降低2元．规定甲产品每天至少生产20件．设每天安排人生产乙产品．
(1)根据信息填表：
产品种类 每天工作人数（人） 每天产量（件） 每件产品生产成本（元）
甲 10
乙 x
(2)为了增加利润，企业须降低成本，该企业如何安排工人生产才能使得每天的生产总成本最低？最低成本是多少？(3)该企业准备通过对外招工，增加工人数量的方式降低每天的生产总成本，那么至少招多少名工人才能实现每天的生产总成本不高于350元？
【答案】(1)见解析(2)当安排10名工人生产甲产品，10名工人生产乙产品时才能使得每天的生产总成本最低，最低成本是400元(3)至少招5名工人才能实现每天的生产总成本不高于350元
【分析】（1）先求出每天安排人生产甲产品，再根据每人每天生产2件甲产品求出每天生产甲产品的数量，据此填表即可；（2）设每天的生产总成本为W元，根据成本生产数量每件的生产成本列出W关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可；（3）设对外招工a人，列出W关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求出W的最小值，再根据每天的生产总成本不高于350元列出不等式组求解即可．
【详解】（1）解；设每天安排人生产乙产品，∴每天安排人生产甲产品，
∵每人每天生产2件甲产品，∴每天生产甲产品件，
填表如下：
产品种类 每天工作人数（人） 每天产量（件） 每件产品生产成本（元）
甲 10
乙 x
（2）解：设每天的生产总成本为W元，
由题意得
∵，∴当时，W随x增大而增大，当时，W随x增大而减小，
∵甲产品每天至少生产20件，∴，∴，
当时，，当时，，
∵，∴当时，W最小，最小为400，∴，∴当安排10名工人生产甲产品，10名工人生产乙产品时才能使得每天的生产总成本最低，最低成本是400元；
（3）解：设对外招工a人，由题意得，
，∵，∵甲产品每天至少生产20件，
∴，∴，同理可得当时，W最小，
，
∵每天的生产总成本不高于350元，∴，∴，∴或（舍去），
∴至少招5名工人才能实现每天的生产总成本不高于350元．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，列代数式，正确理解题意列出W关于x的二次函数关系式是解题的关键．
例3．（2023年湖北省黄冈市中考数学真题）加强劳动教育，落实五育并举．孝礼中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地．2023年计划将其中的土地全部种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y（单位；元/）与其种植面积x（单位：）的函数关系如图所示，其中；乙种蔬菜的种植成本为50元/．

(1)当___________时，元/；
(2)设2023年甲乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？
(3)学校计划今后每年在这土地上，均按（2）中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降，若甲种蔬菜种植成本平均每年下降，乙种蔬菜种植成本平均每年下降，当a为何值时，2025年的总种植成本为元？
【答案】(1)
(2)当甲种蔬菜的种植面积为，乙种蔬菜的种植面积为时，W最小；
(3)当a为时，2025年的总种植成本为元．
【分析】（1）求出当时，设甲种蔬菜种植成本y（单位；元/）与其种植面积x（单位：）的函数关系式为，当时，，求出当时的x的值即可；
（2）当时，，由二次函数性质得到当时，有最小值，最小值为，当时，由一次函数性质得到当时，有最小值，最小值为，比较后即可得到方案；
（3）根据2025年的总种植成本为元列出一元二次方程，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：当时，设甲种蔬菜种植成本y（单位；元/）与其种植面积x（单位：）的函数关系式为，把点代入得，
，解得，∴当时，，
当时，，∴当时，，解得，
即当时，元/；故答案为：；
（2）当时，
∵，∴抛物线开口向上，∴当时，有最小值，最小值为，
当时，，
∵，∴随着x的增大而减小，
∴当时，有最小值，最小值为，
综上可知，当甲种蔬菜的种植面积为，乙种蔬菜的种植面积为时，W最小；
（3）由题意可得，
解得（不合题意，舍去），∴当a为时，2025年的总种植成本为元．
【点睛】此题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用、一次函数的应用等知识，读懂题意，正确列出函数解析式和方程是解题的关键．
一、选择题
1．（2023·广东佛山·一模）某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆，每个纪念品进价元，销售期间发现，当销售单价定为元时，每天可售出个；销售单价每上涨1元，每天销量减少个．现商家决定提价销售，设每天销售量为个，销售单价为元，商家每天销售纪念品获得的利润元，则下列等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据“销售单价每上涨1元，每天销量减少个”结合“当销售单价定为元时，每天可售出个”；即可表示出与之间的函数关系式，再表示出每天销售纪念品获得的利润等于单件利润乘以销量即可求解．
【详解】解：由题可得：，
．故选：D．
【点睛】此题考查了一次函数与二次函数的实际应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系并表示出来．
2．（2023·四川绵阳·三模）2020年6月中旬以来，北京市新冠肺炎疫情出现反弹，北京市民对防疫物资需求量激增．某厂商计划投资产销一种消毒液，设每天产销量为x瓶，每日产销这种消毒液的有关信息如下表：（产销量指生产并销售的数量，生产多少就销售多少，不考虑滞销和脱销）若该消毒液的单日产销利润y元，当销量x为多少时，该消毒液的单日产销利润最大．（ ）
消毒液 每瓶售价（元） 每瓶成本（元） 每日其他费用（元） 每日最大产销量（瓶）
30 18 1200＋0.02x2 250
A．250 B．300 C．200 D．550
【答案】D
【分析】根据单日利润=单日的销售量×每瓶的利润－每日其他费用即可列出函数关系式，然后利用函数的最值问题即可求解 ．
【详解】解：根据题意，得
∴，∴，
∵，∴抛物线的开口向下，有最大值，
又∵，∴当时，，故选：D
【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意正确列出函数关系式是解题的关键．
3．（2023·湖北武汉·模拟预测）某超市对进货价为10元/千克的某种苹果的销售情况进行统计，发现每天销售量y（千克）与销售价x（元/千克）存在一次函数关系，如图所示．则最大利润是（　　）

A．180 B．220 C．190 D．200
【答案】D
【分析】由图象过点（20，20）和（30，0），利用待定系数法求直线解析式，然后根据每天利润=每千克的利润×销售量．据此列出表达式，运用函数性质解答．
【详解】设y=kx+b，由图象可知，，解得：，∴y=﹣2x+60；
设销售利润为p，根据题意得，p=（x﹣10）y=（x﹣10）（﹣2x+60）=﹣2x2+80x﹣600，
∵a=﹣2＜0，∴p有最大值，当x=﹣=20时，p最大值=200．
即当销售单价为20元/千克时，每天可获得最大利润200元，故选：D．
【点睛】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式以及求二次函数最值等知识，解题的关键是理解题意，根据题意求得函数解析式，注意待定系数法的应用，注意数形结合思想的应用．
4．（2023·山东临沂·二模）为了环保，某工厂在一段时间内限产并投入资金进行治污改造，如图描述的是月利润（万元）关于月份之间的变化关系，治污改造完成前是反比例函数图象的一部分，治污改造完成后是一次函数图象的一部分，则下列说法：①5月份该厂的月利润最低；②治污改造完成后，每月利润比前一个月增加30万元；③该厂8月份的月利润与2月份相同；④治污改造前后，共有6个月的月利润不超过120万元．其中正确的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】直接利用已知点求出一次函数与反比例函数的解析式，进而分别分析得出答案．
【详解】解：由函数图象可得，5月份该厂的月利润最低为60万，故①正确，符合题意；
治污改造完成后，从5月到7月，利润从60万到120万，故每月利润比前一个月增加30万元，故②正确，符合题意；
设反比例函数解析式为：，代入得，故，当，解得： ，
则只有3月，4月，5月，6月，7月共5个月的利润不超过120万元，故此④错误，不符合题意．
设一次函数解析式为：，则，解得，
故一次函数解析式为：，把代入，解得，
则治污改造完成后的第8个月，该厂月利润达到150万，把代入，得，
故该厂8月份的月利润与2月份相同，此选项③正确，符合题意．故选：C．
【点睛】此题主要考查了一次函数与反比函数的应用，正确得出函数解析是解题关键．
5．（2023·北京·二模）某公司新产品上市30天全部售完．图1表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图2表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，下列四个结论中错误的是（　　）
A．第30天该产品的市场日销售量最大 B．第20天至30天该产品的单件产品的销售利润最大
C．第20天该产品的日销售总利润最大 D．第20天至30天该产品的日销售总利润逐日增多
【答案】C
【分析】从图1和图2中可知，当时，日销售量达到最大，所以根据日销售利润=日销售量每件产品的销售利润即可求解．
【详解】由图1知，当天数时，市场日销售量达到60件：从图2知，当天数时，每件产品销售利润达到最大30元．销售总利润为：（元）．
A：从图1，可以看出当时，市场日销售量最大，选项正确，不符合题意；
B：从图2，可以看出第20天至30天该产品单件销售利润相同，都达到最大值30元，选项正确，不符合题意；C：当时，日销售量低于时的日销售量，但单件销售利润相同，所以当天数为30时，销售利润最大，选项错误，符合题意；
D：从图2中可以看出，第20天至30天该产品单件销售利润相同，从图一看出，日销售量逐日增加，成正比例函数关系，所以日销售利润逐日增加，选项正确，不符合题意；故答案为：C
【点睛】本题考查的一次函数变量之间的实际应用，通过观察图形，结合相关数据处理实际问题，利用数形结合是解决问题的关键．
二、填空题
6．（2023·四川宜宾·二模）在“抗疫”期间，某药店计划一次购进两种型号的口罩共200盒，每盒A型口罩的销售利润为7.5元，每盒B型口罩的销售利润为10元，若要求B型口罩的进货量不超过A型口罩的3倍，且完全售出后利润不少于1870元，则该药店在此次进货中获得的最大利润是 元．
【答案】1875
【分析】设A型口罩购买m盒，则B型口罩购买（200-m）盒，根据“B型口罩的进货量不超过A型口罩的3倍，且完全售出后利润不少于1870元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，设销售总利润为w元，根据总利润=每盒利润×销售数量（购买数量），即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【详解】解：A型口罩购买m盒，则B型口罩购买（200-m）盒，
依题意，得：，解得：50≤m≤52．
设销售总利润为w元，则w=7.5m+10(200-m)=-2.5m+2000，
∵k=-2.5＜0，∴w随m的增大而减小，∴当m=50时，w取得最大值，
∴购买A型口罩50盒，B型口罩150盒时，完全售出后获得的利润最大，最大值为w=-2.5+2000=1875(元)．故答案为：1875．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用以及一次函数的性质，解题的关键是根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组和一次函数关系式．
7．（2023·山东聊城·二模）某超市购进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系，则该超市每天销售这款拼装玩具的最大利润为 元（利润＝总销售额－总成本）．

【答案】800
【分析】根据函数图象中的数据，可以求得日销售量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式，设每天的销售利润为w（元），利用利润＝总销售额－总成本求出w关于x的函数关系式，最后利用二次函数的性质求解即可．
【详解】解：设日销售量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式为，
∵点，在该函数图象上，∴，解得，
即日销售量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式为，
设每天的销售利润为w（元），
则，
∵，开口向下，∴当时，有最大值为800，
即该超市每天销售这款拼装玩具的最大利润为800元，故答案为：800．
【点睛】本题考查一次函数、二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式．
8．（2023·河北石家庄·模拟预测）某市政府加大各部门和单位对口扶贫力度．某单位的帮扶对象种植的农产品在某月，（按天计）的第天（为正整数）的销售价格（元千克）关于的函数关系式为销售量y（千克）与之间的关系如图所示．
（1）求与之间的函数关系式为 ；（2）若该农产品当月的销售额最大，最大销售额是 .（销售额=销售量×销售价格）。
【答案】
【分析】根据函数图象中的数据，可以得到与之间的函数关系式，并写出的取值范围；
根据题意和中的结果，可以得到销售额与之间的函数关系，然后根据二次函数的性质，即可得到当月第几天，该农产品的销售额最大，最大销售额是多少．
【详解】（1）解：当时，设与的函数关系式为，
则，解得，即当时，与的函数关系式为；
当时，设与的函数关系式为，
则，解得，即当时，与的函数关系式为，
由上可得，与的函数关系式为，故答案为：；
（2）设当月第天的销售额为元，
当时，，
当时，取得最大值，此时，
当时，，
当时，取得最大值，此时，
由上可得，当时，取得最大值，此时，故答案为：
【点睛】本题考查一次函数的应用，二次函数的应用，解题关键是明确题意，正确列出函数关系式．
9．（2022·山东聊城·中考真题）某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为 元（利润=总销售额-总成本）．

【答案】121
【分析】利用待定系数法求一次函数解析式，然后根据“利润=单价商品利润×销售量”列出二次函数关系式，从而根据二次函数的性质分析其最值．
【详解】解：当时，设，把（10，20），（20，10）代入可得：
，解得，∴每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的函数解析式为，
设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为w元，
，
∵1<0，∴当时，w有最大值为121，故答案为：121．
【点睛】本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握“利润=单价商品利润×销售量”的等量关系及二次函数的性质是解题关键．
10．（2022·四川达州·一模）某企业研发出了一种新产品准备销售，已知研发、生产这种产品的成本为30元/件，据调查年销售量y（万件）关于售价x（元/件）的函数解析式为： ，则当该产品的售价x为 ．（元/件）时，企业销售该产品获得的年利润最大．
【答案】50
【分析】设企业销售该产品获得的年利润为w元，根据题意分别列出当时和当时的函数关系式，再根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】解：设企业销售该产品获得的年利润为w元，根据题意得：
当时，，
∵-2<0，∴当x=50时，w有最大值，最大值为800；
当时，，
∵-1<0，∴当x>55时，w随x的增大而减小，∴当x=60时，w有最大值，最大值为600；
∵800>600，∴当x=50时，w有最大值，
即当该产品的售价x为50（元/件）时，企业销售该产品获得的年利润最大．故答案为：50
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确得到函数关系式是解题的关键．
三、解答题
11．（2023年内蒙古包头市中考数学真题）随着科技的发展，扫地机器人已广泛应用于生活中，某公司推出一款新型扫地机器人，经统计该产品2022年每个月的销售情况发现，每台的销售价格随销售月份的变化而变化、设该产品2022年第（为整数）个月每台的销售价格为（单位：元），与的函数关系如图所示（图中为一折线）．

(1)当时，求每台的销售价格与之间的函数关系式；
(2)设该产品2022年第个月的销售数量为（单位：万台），m与的关系可以用来描述，求哪个月的销售收入最多，最多为多少万元？（销售收入每台的销售价格销售数量）
【答案】(1)(2)第5个月的销售收入最多，最多为3375万元
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）根据销售收入每台的销售价格销售数量求得销售收入为万元与销售月份之间的函数关系，再利用函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：当时，设每台的销售价格与之间的函数关系式为．
∵图象过两点，，解得
∴当时，每台的销售价格与之间的函数关系式为．
（2）设销售收入为万元，①当时，，
，当时，（万元）．
②当时，，
，∴随的增大而增大，∴当时，（万元）．
，∴第5个月的销售收入最多，最多为3375万元．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
12．（2023年山东省烟台市中考数学真题）中华优秀传统文化源远流长、是中华文明的智慧结晶．《孙子算经》、《周髀算经》是我国古代较为普及的算书、许多问题浅显有趣．某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的，用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本．
(1)求两种图书的单价分别为多少元？
(2)为筹备“3．14数学节”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共80本，且购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半．由于购买量大，书店打折优惠，两种图书均按八折出售．求两种图书分别购买多少本时费用最少？
【答案】(1)《周髀算经》单价为40元，则《孙子算经》单价是30元；(2)当购买《周髀算经》27本，《孙子算经》53本时，购买两类图书总费用最少，最少总费用为2316元．
【分析】（1）设《周髀算经》单价为x元，则《孙子算经》单价是元，根据“用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本”列分式方程，解之即可求解；
（2）根据购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半列出不等式求出m的取值范围，根据m的取值范围结合函数解析式解答即可．
【详解】（1）解：设《周髀算经》单价为x元，则《孙子算经》单价是元，
依题意得，，解得，经检验，是原方程的解，且符合题意，，
答：《周髀算经》单价为40元，则《孙子算经》单价是30元；
（2）解：设购买的《周髀算经》数量m本，则购买的《孙子算经》数量为本，
依题意得，，解得，
设购买《周髀算经》和《孙子算经》的总费用为y（元），
依题意得，，∵，∴y随m的增大而增大，
∴当时，有最小值，此时（元），（本）
答：当购买《周髀算经》27本，《孙子算经》53本时，购买两类图书总费用最少，最少总费用为2136元．
【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用，一次函数的实际应用以及一元一次不等式的实际应用，根据题意表示出y与x之间的函数关系式以及列出不等式是解题的关键．
13．（2023年江苏省扬州市中考数学真题）近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大．某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2920元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元．(1)甲、乙两种头盔的单价各是多少元？(2)商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每只降价6元出售．如果此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半，那么应购买多少只甲种头盔，使此次购买头盔的总费用最小？最小费用是多少元？
【答案】(1)甲、乙两种头盔的单价各是65元， 54元．
(2)购14只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,最小费用为1976元．
【分析】（1）设购买乙种头盔的单价为x元，则甲种头盔的单价为元，根据题意，得，求解；（2）设购m只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,设总费用为w,则，解得，故最小整数解为，，根据一次函数增减性，求得最小值=．
【详解】（1）解:设购买乙种头盔的单价为x元，则甲种头盔的单价为元，根据题意，得解得，，，
答：甲、乙两种头盔的单价各是65元， 54元．
（2）解：设购m只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,设总费用为w,
则，解得，故最小整数解为，，
∵，则w随m的增大而增大，∴时，w取最小值，最小值．
答：购买14只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,最小费用为1976元．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，一次函数的性质，一次函数的应用、一元一次不等式的应用；根据题意列出函数解析式，确定自变量取值范围是解题的关键．
14．（2023年四川省遂宁市中考数学真题）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售，经了解．每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多2元，用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同．(1)甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？
(2)该超市计划购进这两种粽子共200个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为12元/个、15元/个，设购进甲种粽子m个，两种粽子全部售完时获得的利润为w元．①求w与m的函数关系式，并求出m的取值范围；
②超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？
【答案】(1)甲粽子每个的进价为10元，则乙粽子每个的进价为12元；(2)①w与m的函数关系式为；②购进甲粽子134个，乙粽子66个才能获得最大利润，最大利润466元．
【分析】（1）设甲粽子每个的进价为x元，则乙粽子每个的进价为元，根据“用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同”列出分式方程，解方程即可；
（2）①设购进甲粽子m个，则乙粽子个，，由题意得，再由甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，得；②由一次函数的性质即可得出结论．
【详解】（1）解：设甲粽子每个的进价为x元，则乙粽子每个的进价为元，
由题意得：，解得：，经检验：是原方程的解，且符合题意，则，
答：甲粽子每个的进价为10元，则乙粽子每个的进价为12元；
（2）解：①设购进甲粽子m个，则乙粽子个，利润为w元，
由题意得：，
∵甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，∴，解得：，
∴w与m的函数关系式为；
②∵，则w随m的增大而减小，，即m的最小整数为134，
∴当时，w最大，最大值，则，
答：购进甲粽子134个，乙粽子66个才能获得最大利润，最大利润为466元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
15．（2023年四川成都数学中考真题）年月日至月日，第届世界大学生运动会将在成都举行．“当好东道主，热情迎嘉宾”，成都某知名小吃店计划购买，两种食材制作小吃．已知购买千克种食材和千克种食材共需元，购买千克种食材和千克种食材共需元．
(1)求，两种食材的单价；(2)该小吃店计划购买两种食材共千克，其中购买种食材千克数不少于种食材千克数的倍，当，两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用．
【答案】(1)种食材单价是每千克元，种食材单价是每千克元
(2)种食材购买千克，种食材购买千克时，总费用最少，为元
【分析】（1）设种食材的单价为元，种食材的单价为元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解；（2）设种食材购买千克，则种食材购买千克，根据题意列出不等式，得出，进而设总费用为元，根据题意，，根据一次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：设种食材的单价为元，种食材的单价为元，根据题意得，
，解得：，答：种食材的单价为元，种食材的单价为元；
（2）解：设种食材购买千克，则种食材购买千克，根据题意，
解得：，设总费用为元，根据题意，
∵，随的增大而增大，∴当时，最小，∴最少总费用为（元）
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意列出方程组，不等式以及一次函数关系式是解题的关键．
16．（2023年湖南省益阳市中考数学真题）某企业准备对A，B两个生产性项目进行投资，根据其生产成本、销售情况等因素进行分析得知：投资A项目一年后的收益（万元）与投入资金x（万元）的函数表达式为：，投资B项目一年后的收益（万元）与投入资金x（万元）的函数表达式为：．(1)若将10万元资金投入A项目，一年后获得的收益是多少？
(2)若对A，B两个项目投入相同的资金m（）万元，一年后两者获得的收益相等，则m的值是多少？(3)2023年，我国对小微企业施行所得税优惠政策．该企业将根据此政策获得的减免税款及其他结余资金共计32万元，全部投入到A，B两个项目中，当A，B两个项目分别投入多少万元时，一年后获得的收益之和最大？最大值是多少万元？
【答案】(1)4万元(2)
(3)当A，B两个项目分别投入28万，4万元时，一年后获得的收益之和最大，最大值是16万元．
【分析】（1）把代入可得答案；（2）当时，可得，再解方程可得答案；（3）设投入到B项目的资金为万元，则投入到A项目的资金为万元，设总收益为y万元，，而，再利用二次函数的性质可得答案．
【详解】（1）解：∵投资A项目一年后的收益（万元）与投入资金x（万元）的函数表达式为：，
当时，（万元）；
（2）∵对A，B两个项目投入相同的资金m（）万元，一年后两者获得的收益相等，
∴，整理得：，解得：，（不符合题意），∴m的值为8．
（3）
设投入到B项目的资金为万元，则投入到A项目的资金为万元，设总收益为y万元，
∴，而，
∴当时，（万元）；
∴当A，B两个项目分别投入28万，4万元时，一年后获得的收益之和最大，最大值是16万元．
【点睛】本题考查的是正比例函数的性质，一元二次方程的解法，列二次函数的解析式，二次函数的性质，理解题意，选择合适的方法解题是关键．
17．（2023·浙江温州·中考模拟）瑞安市曹村镇“八百年灯会”成为温州“申遗”的宝贵项目．某公司生产了一种纪念花灯，每件纪念花灯制造成本为18元．设销售单价x（元），每日销售量y（件）每日的利润w（元）．在试销过程中，每日销售量y（件）、每日的利润w（元）与销售单价x（元）之间存在一定的关系，其几组对应量如下表所示：
（元） 19 20 21 30
（件） 62 60 58 40
（1）根据表中数据的规律，分别写出每日销售量y（件），每日的利润w（元）关于销售单价x（元）之间的函数表达式．（利润＝（销售单价﹣成本单价）×销售件数）．
（2）当销售单价为多少元时，公司每日能够获得最大利润？最大利润是多少？
（3）根据物价局规定，这种纪念品的销售单价不得高于32元，如果公司要获得每日不低于350元的利润，那么制造这种纪念花灯每日的最低制造成本需要多少元？
【答案】（1）y＝﹣2x+100，w＝﹣2x2+136x﹣1800；（2）当销售单价为34元时，每日能获得最大利润，最大利润是512元；（3）制造这种纪念花灯每日的最低制造成本需要648元．
【分析】（1）观察表中数据，发现y与x之间存在一次函数关系，设y＝kx+b．列方程组得到y关于x的函数表达式y＝﹣2x+100，根据题意得到w＝﹣2x2+136x﹣1800；
（2）把w＝﹣2x2+136x﹣1800配方得到w＝﹣2（x﹣34）2+512．根据二次函数的性质即可得到结论；
（3）根据题意列方程即可得到即可．
【详解】解：（1）观察表中数据，发现y与x之间存在一次函数关系，设y＝kx+b．
则，解得，∴y＝﹣2x+100，∴y关于x的函数表达式y＝﹣2x+100，
∴w＝（x﹣18） y＝（x﹣18）（﹣2x+100）∴w＝﹣2x2+136x﹣1800；
（2）∵w＝﹣2x2+136x﹣1800＝﹣2（x﹣34）2+512．
∴当销售单价为34元时，∴每日能获得最大利润512元；
（3）当w＝350时，350＝﹣2x2+136x﹣1800，解得x＝25或43，
由题意可得25≤x≤32，则当x＝32时，18（﹣2x+100）＝648，
∴制造这种纪念花灯每日的最低制造成本需要648元．
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知得出函数关系式．
18．（2022·湖北武汉·模拟预测）自从今年3月以来，受俄乌冲突影响，国际油价上涨，电动自行车的市场需求量日渐增多、某销售公司计划投入不多于8万元购进A，B两种品牌的电动自行车共30辆，A品牌电动自行车的进货单价为2500元，B品牌电动自行车的进货单价为3000元．
(1)若A品牌电动自行车每辆售价为2900元，B品牌电动自行车每辆售价为3500元，设该公司计划购进A品牌电动自行车x辆，两种品牌的电动自行车全部销售后可获利润w元．写出w与x之间的函数关系式为______，自变量x的取值范围为______；该公司销售完毕所获最大利润为______元；
(2)经过市场调查发现：A品牌电动自行车备受消费者关注，其市场销售量受销售单价牵制，销售量m（辆）与销售单价n（元）之间满足函数关系式，B品牌电动自行车不受影响，每辆售价仍为3500元．①用只含n的代数式表示：A品牌电动自行车的销售利润为______；B品牌电动自行车的销售利润为______；②求该销售公司如何进货才能获得最大利润？
【答案】(1)，且x为整数，13000 (2)①元，元；②进A品牌车辆20辆，B品牌车辆10辆，才能获得最大利润．
【分析】（1）购进A品牌电动自行车x辆，则购进B品牌电动自行车辆，由总利润=单件的利润×数量可得w与x之间的函数关系式，再由“计划投入不多于8万元购进A，B两种品牌的电动自行车共30辆”可得不等式，求解得到x的取值范围，根据一次函数的性质可得最大利润；
（2）①根据利润总利润=单件的利润×数量可得A、B品牌电动自行车的销售利润；②找到利润y与销售单价n之间的函数关系时，根据函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：购进A品牌电动自行车x辆，则购进B品牌电动自行车辆，
，
由题意可得，解得，
∴自变量x的取值范围为且x为整数，且，
∴当时，w有最大值（元）
故答案为：，且x为整数，13000
（2）①A品牌电动自行车的销售利润为，
B品牌电动自行车的销售利润为，
元：元；
②设总利润为n元，则
，
∵，∴当时，y取最大值，此时（元），此时，
即进A品牌车辆20辆，B品牌车辆10辆，才能获得最大利润．
【点睛】本题考查一次函数与二次函数的实际应用，找到题中的等量关系，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解题的关键．
19．（2023·安徽宿州·模拟预测）甲、乙两汽车出租公司均有辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：
甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费元，那么辆汽车可以全部租出，如果每辆汽车的月租费每增加元，那么将少租出辆汽车，另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费元．乙公司经理：我公司每辆汽车月租费元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计元．
说明：①汽车数量为整数；②月利润月租车费月维护费；
在两公司租出的汽车数量相等且都为（单位：辆，）的条件下，甲的利润用表示（单位：元），乙的利润用（单位：元）表示，根据上述信息，解决下列问题：
(1)分别表示出甲、乙的利润，什么情况下甲、乙的利润相同？(2)甲公司最多比乙公司利润多多少元？(3)甲公司热心公益事业，每租出辆汽车捐出元（）给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且仅当两公司租出的汽车均为辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求的取值范围．
【答案】(1)；；当每个公司租出的汽车为辆时，两公司的月利润相等(2)甲公司最多比乙公司利润多18050元(3)
【分析】（1）设每个公司租出的汽车为辆，根据月利润相等得到方程，解之即可得到结果；
（2）设两公司的月利润分别为，，月利润差为，由（1）可得和的表达式，再列出关于的表达式，根据二次函数的性质，结合的范围求出最值即可；
（3）根据题意得到利润差为，得到对称轴，再根据两公司租出的汽车均为辆，结合为整数可得关于的不等式，即可求出的范围．
【详解】（1）解：设每个公司租出的汽车为辆，
由题意可得：，而，
两公司的月利润相等可得：，解得：或舍，
当每个公司租出的汽车为辆时，两公司的月利润相等；
（2）解：设两公司的月利润分别为，，月利润差为，
则，，
当甲公司的利润大于乙公司时，，
，
∴当时，函数有最大值18050，∴甲公司最多比乙公司利润多18050元；
（3）解：∵捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，
则利润差为，对称轴为直线，
只能取整数，且当两公司租出的汽车均为16辆时，月利润之差最大，
∴，解得：．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，二次函数的图象和性质，解题时要读懂题意，列出二次函数关系式，尤其（3）中要根据为整数得到的不等式．
20．（2023·湖北黄石·模拟预测）某水果超市经销一种进价为元的水果，根据以前的销售经验，该种水果的最佳销售期为20天，销售人员整理出这种水果的销售单价y（元） 与第x天（，x为整数）的函数图象如图所示，而第x天（）的销售量是x的一次函数，满足下表：（注：题中x均为整数）
第x天 1 2 3 …
m（kg） 20 24 28 …
(1)请分别求出销售单价y（元）与x（天）之间及销售量是x（天）之间的函数关系式：
(2)若规定每天的销售量不超过，求在销售的第几天时，当天的利润最大，最大利润是多少？
(3)在试销一周后，超市老板决定每销售1千克水果就捐赠a元给养老院，若每天扣除捐赠后的销售利润在第10天达到最大，求a的取值范围．
【答案】(1)y＝，(2)每天的销售量不超过kg时，在销售的第天时，当天的利润最大，最大利润是元(3)a的取值范围是
【分析】（1）分段，即可求出销售单价y（元/kg）与x（天）之间函数关系式；设，将代入即可求出销售量m（kg）是x（天）之间的函数关系式；
（2）当和时，分别求出利润关于天数之间的函数关系式即可求解；
（3）确定每天扣除捐赠后的销售利润与天数之间的函数关系式，根据“每天扣除捐赠后的销售利润在第10天达到最大”即可求解．
【详解】（1）解：①当时；
②当时，设，将代入得：
，解得，∴；综上，y＝；
设，将代入得：，解得，∴；
（2）解：设当天的总利润为元，
①当时，，
∵，∴此时取得最大值，最大值为（元）；
②当时，，
若，
∴当时，w取得最大值，最大利润为（元）；
综上所述，每天的销售量不超过80kg时，在销售的第16天时，当天的利润最大，最大利润是1920元；
（3）解：设每天扣除捐赠后的销售利润为元，根据题意得：，对称轴为直线
∵每天扣除捐赠后的销售利润在第10天达到最大，
∴直线到直线的水平距离比直线到直线的水平距离小，
∴，解得；∴a的取值范围是
【点睛】本题考查了一次函数和二次函数在实际问题中的应用．掌握“建模思想”是解决问题的关键．
21．（2023·浙江湖州·一模）某特产专卖店销售某种特产，其进价为每千克120元，按每千克200元出售．为了促销，营销部门建议：顾客一次购买这种特产不超过20千克时，每千克按200元销售；若一次购买该特产超过20千克时，每多购买1千克，销售单价降低2元，但销售单价均不低于m元．该专卖店某次销售该特产所获得的利润w（元）与购买数量x（千克）之间的函数关系如图所示．根据以上信息解决下列问题：（1）顾客购买该特产50千克时，该特产的销售单价m为每千克_____元，专卖店的销售利润为______元；（2）当一次购买该特产超过20千克时，求w与x之间的函数表达式；
（3）在试销期间销售人员发现：当顾客购买特产超过某一数量时，会出现随着数量的增加，专卖店所获利润反而减少这一情况．在这种情况下，为使销售量越多，专卖店所获利润越大，专卖店应将最低销售单价至少调整为每千克多少元？（其它销售条件不变）
【答案】（1）140；1000；（2）；（3）180元
【分析】（1）根据“销售单价=原销售单价-2（销售数量-20）；销售利润=每千克的利润数量”计算即可；（2）分两个不同的取值范围求解即可；（3）结合函数图象进行分析即可．
【详解】（1）销售单价：；销售利润：∴答案为140，1000．
（2）①当时，一件利润为：元，
∴
②当时，一件利润为：（元），∴；
∴w与x之间的函数表达式为：
（3）要使销售数量越多，专卖店所获利润越大，则w随x的增大而增大，
，y随x的增大而增大；
，其对称轴为，故当时，w随x的增大而增大；
∴若一次购买30千克，设置为最低售价，则可避免w随x的增大而减小情况发生，
∴当时，设置最低售价为（元）．∴专卖店应将最低销售单价调整为180．
【点睛】本题考查了函数的应用，根据等量关系，列出分段函数，利用数形结合是解题的关键．
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【全国通用】2024中考数学二轮复习（重难点题型突破）
专题02 函数实际综合应用问题-利润最值问题
中考数学中，函数最值利润问题，一直备受出题人的青睐，是考试的热点。函数最值利润问题是指在一个经济模型中，根据题意确定函数关系，结合自变量的范围来最大化利润或最小化成本的问题。本专题将通过介绍函数利润问题的基本概念、解决方法和实际应用，深入探讨这一问题。希望同学们认真理解掌握，关于利润（费用）最值问题，同学们一定要多下功夫研究学习，总结出解决这类问题的思路方法，考试中得心应手。
对于这类问题，要审清题意，记住利润问题中的几个公式，便可解决此类问题。常用公式有：利润=售价-成本价，总利润=单个商品的利润×销售量，利润率=利润/进价×100%，通过公式建立函数模型，把利润问题转化为函数的最值问题，从而使问题得到解决。
特别需要注意，解答此类型题要抓住关键的词和字，将实际问题转化为求函数最值问题。既要看到销售价格对销售量的影响，也要看到销售价格对单件商品利润产生的影响，两者结合起来，销售价格就会对销售总利润产生影响。在求二次函数最值时，要注意实际问题中自变量的取值的限制对最值的影响。
求解最大利润问题的一般步骤
（1）建立利润（费用）与价格之间的函数关系式：运用“总利润=单件利润×总销量”或“总利润=总售价-总成本”，再化简求得相应的函数关系；
（2）结合实际意义或题设条件，确定自变量的取值范围；
（3）在自变量的取值范围内确定求出最大利润：若函数为一次函数，则利用一次函数的增减性求出最大利润；若函数为二次函数可以利用配方法或公式求出最大利润；当然也可以画出相应函数的简图，利用简图和性质求出最大利润。
考向一　利润最值问题（一次函数型）
例1．（2023年山东青岛中考数学真题）某服装店经销A，B两种T恤衫，进价和售价如下表所示：
品名 A B
进价（元/件） 45 60
售价（元/件） 66 90
(1)第一次进货时，服装店用6000元购进A，B两种T恤衫共120件，全部售完获利多少元？
(2)受市场因素影响，第二次进货时，A种T恤衫进价每件上涨了5元，B种T恤衫进价每件上涨了10元，但两种T恤衫的售价不变．服装店计划购进A，B两种T恤衫共150件，且B种T恤衫的购进量不超过A种T恤衫购进量的2倍．设此次购进A种T恤衫m件，两种T恤衫全部售完可获利W元．①请求出W与m的函数关系式；②服装店第二次获利能否超过第一次获利？请说明理由．
例2．（2023年内蒙古呼和浩特市中考数学真题）学校通过劳动教育促进学生树德、增智、强体、育美全面发展，计划组织八年级学生到“开心”农场开展劳动实践活动．到达农场后分组进行劳动，若每位老师带38名学生，则还剩6名学生没老师带；若每位老师带40名学生，则有一位老师少带6名学生．劳动实践结束后，学校在租车总费用2300元的限额内，租用汽车送师生返校，每辆车上至少要有1名老师．现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如下表所示
甲型客车 乙型客车
载客量/（人/辆） 45 30
租金/（元/辆） 400 280
(1)参加本次实践活动的老师和学生各有多少名？(2)租车返校时，既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少有1名老师，则共需租车________辆；(3)学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？
例3．（2023年江苏省南通市中考数学真题）为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下：
信息—
工程队 每天施工面积（单位：） 每天施工费用（单位：元）
甲 3600
乙 x 2200
信息二：甲工程队施工所需天数与乙工程队施工所需天数相等．
(1)求x的值；(2)该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工22天，且完成的施工面积不少于．该段时间内体育中心至少需要支付多少施工费用
例4．（2023年山东省济南市中考数学真题）某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同．(1)求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元 (2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少 最少花费是多少元
考向二　最大利润问题（二次函数型）
例1．（2023年辽宁省鞍山市中考数学真题）网络销售已经成为一种热门的销售方式，某果园在网络平台上直播销售荔枝．已知该荔枝的成本为6元/kg，销售价格不高于18元/kg，且每售卖1kg需向网络平台支付2元的相关费用，经过一段时间的直播销售发现，每日销售量y（kg）与销售价格x（元/kg）之间满足如图所示的一次函数关系．(1)求与的函数解析式．(2)当每千克荔枝的销售价格定为多少元时，销售这种荔枝日获利最大，最大利润为多少元？

例2．（2023年浙江省湖州市中考数学真题）某水产经销商以每千克30元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）存在一次函数关系，部分数据如下表所示：
销售价格x（元/千克） 50 40
日销售量y（千克） 100 200
(1)试求出y关于x的函数表达式．(2)设该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润为W元，如果不考虑其他因素，求当销售价格x为多少时，日销售利润W最大？最大的日销售利润是多少元？
例3．（2023年辽宁省盘锦市中考数学真题）某工厂生产一种产品，经市场调查发现，该产品每月的销售量y（件）与售价x（万元/件）之间满足一次函数关系．部分数据如下表：
每件售价x/万元 … 24 26 28 30 32 …
月销售量y/件 … 52 48 44 40 36 …
(1)求y与x的函数关系式（不写自变量的取值范围）．
(2)该产品今年三月份的售价为35万元/件，利润为450万元．①求：三月份每件产品的成本是多少万元？②四月份工厂为了降低成本，提高产品质量，投资了450万元改进设备和革新技术，使每件产品的成本比三月份下降了14万元．若四月份每件产品的售价至少为25万元，且不高于30万元，求这个月获得的利润（万元）关于售价x（万元/件）的函数关系式，并求最少利润是多少万元？
例4．（2023年湖北省黄石市中考数学真题）某工厂计划从现在开始，在每个生产周期内生产并销售完某型号设备，该设备的生产成本为万元/件．设第个生产周期设备的售价为万元/件，售价与之间的函数解析式是，其中是正整数．当时，；当时，．(1)求，的值；(2)设第个生产周期生产并销售完设备的数量为件，且y与x满足关系式．当时，工厂第几个生产周期获得的利润最大 最大的利润是多少万元
当时，若有且只有个生产周期的利润不小于万元，求实数的取值范围．
考向三　最低成本问题（二次函数型）
例1．（2023·辽宁·一模）国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，某环保节能设备生产企业的产品供不应求．若该企业的某种环保设备每月的产量保持在一定的范围，每套产品的生产成本不高于50万元，每套产品的售价不低于90万元．已知这种设备的月产量x（套）与每套的售价（万元）之间满足关系式，月产量x（套）与生产总成本（万元）存在如图所示的函数关系．（1）求月产量x的范围；（2）如果想要每月利润为1750万元，那么当月产量应为多少套？（3）如果每月获利润不低于1900万元，当月产量x（套）为多少时，生产总成本最低？并求出此时的最低成本．
例2．（2023·江苏扬州·二模）我市某企业安排20名工人生产甲、乙两种产品，根据生产经验，每人每天生产2件甲产品或1件乙产品（每人每天只能生产一种产品）．甲产品生产成本为每件10元；若安排1人生产一件乙产品，则成本为38元，以后每增加1人，平均每件乙产品成本降低2元．规定甲产品每天至少生产20件．设每天安排人生产乙产品．
(1)根据信息填表：
产品种类 每天工作人数（人） 每天产量（件） 每件产品生产成本（元）
甲 10
乙 x
(2)为了增加利润，企业须降低成本，该企业如何安排工人生产才能使得每天的生产总成本最低？最低成本是多少？(3)该企业准备通过对外招工，增加工人数量的方式降低每天的生产总成本，那么至少招多少名工人才能实现每天的生产总成本不高于350元？
例3．（2023年湖北省黄冈市中考数学真题）加强劳动教育，落实五育并举．孝礼中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地．2023年计划将其中的土地全部种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y（单位；元/）与其种植面积x（单位：）的函数关系如图所示，其中；乙种蔬菜的种植成本为50元/．

(1)当___________时，元/；
(2)设2023年甲乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？
(3)学校计划今后每年在这土地上，均按（2）中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降，若甲种蔬菜种植成本平均每年下降，乙种蔬菜种植成本平均每年下降，当a为何值时，2025年的总种植成本为元？
一、选择题
1．（2023·广东佛山·一模）某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆，每个纪念品进价元，销售期间发现，当销售单价定为元时，每天可售出个；销售单价每上涨1元，每天销量减少个．现商家决定提价销售，设每天销售量为个，销售单价为元，商家每天销售纪念品获得的利润元，则下列等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·四川绵阳·三模）2020年6月中旬以来，北京市新冠肺炎疫情出现反弹，北京市民对防疫物资需求量激增．某厂商计划投资产销一种消毒液，设每天产销量为x瓶，每日产销这种消毒液的有关信息如下表：（产销量指生产并销售的数量，生产多少就销售多少，不考虑滞销和脱销）若该消毒液的单日产销利润y元，当销量x为多少时，该消毒液的单日产销利润最大．（ ）
消毒液 每瓶售价（元） 每瓶成本（元） 每日其他费用（元） 每日最大产销量（瓶）
30 18 1200＋0.02x2 250
A．250 B．300 C．200 D．550
3．（2023·湖北武汉·模拟预测）某超市对进货价为10元/千克的某种苹果的销售情况进行统计，发现每天销售量y（千克）与销售价x（元/千克）存在一次函数关系，如图所示．则最大利润是（　　）

A．180 B．220 C．190 D．200
4．（2023·山东临沂·二模）为了环保，某工厂在一段时间内限产并投入资金进行治污改造，如图描述的是月利润（万元）关于月份之间的变化关系，治污改造完成前是反比例函数图象的一部分，治污改造完成后是一次函数图象的一部分，则下列说法：①5月份该厂的月利润最低；②治污改造完成后，每月利润比前一个月增加30万元；③该厂8月份的月利润与2月份相同；④治污改造前后，共有6个月的月利润不超过120万元．其中正确的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2023·北京·二模）某公司新产品上市30天全部售完．图1表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图2表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，下列四个结论中错误的是（　　）
A．第30天该产品的市场日销售量最大 B．第20天至30天该产品的单件产品的销售利润最大
C．第20天该产品的日销售总利润最大 D．第20天至30天该产品的日销售总利润逐日增多
二、填空题
6．（2023·四川宜宾·二模）在“抗疫”期间，某药店计划一次购进两种型号的口罩共200盒，每盒A型口罩的销售利润为7.5元，每盒B型口罩的销售利润为10元，若要求B型口罩的进货量不超过A型口罩的3倍，且完全售出后利润不少于1870元，则该药店在此次进货中获得的最大利润是 元．
7．（2023·山东聊城·二模）某超市购进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系，则该超市每天销售这款拼装玩具的最大利润为 元（利润＝总销售额－总成本）．

8．（2023·河北石家庄·模拟预测）某市政府加大各部门和单位对口扶贫力度．某单位的帮扶对象种植的农产品在某月，（按天计）的第天（为正整数）的销售价格（元千克）关于的函数关系式为销售量y（千克）与之间的关系如图所示．
（1）求与之间的函数关系式为 ；（2）若该农产品当月的销售额最大，最大销售额是 .（销售额=销售量×销售价格）。
9．（2022·山东聊城·中考真题）某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为 元（利润=总销售额-总成本）．

10．（2022·四川达州·一模）某企业研发出了一种新产品准备销售，已知研发、生产这种产品的成本为30元/件，据调查年销售量y（万件）关于售价x（元/件）的函数解析式为： ，则当该产品的售价x为 ．（元/件）时，企业销售该产品获得的年利润最大．
三、解答题
11．（2023年内蒙古包头市中考数学真题）随着科技的发展，扫地机器人已广泛应用于生活中，某公司推出一款新型扫地机器人，经统计该产品2022年每个月的销售情况发现，每台的销售价格随销售月份的变化而变化、设该产品2022年第（为整数）个月每台的销售价格为（单位：元），与的函数关系如图所示（图中为一折线）．
(1)当时，求每台的销售价格与之间的函数关系式；
(2)设该产品2022年第个月的销售数量为（单位：万台），m与的关系可以用来描述，求哪个月的销售收入最多，最多为多少万元？（销售收入每台的销售价格销售数量）

12．（2023年山东省烟台市中考数学真题）中华优秀传统文化源远流长、是中华文明的智慧结晶．《孙子算经》、《周髀算经》是我国古代较为普及的算书、许多问题浅显有趣．某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的，用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本．
(1)求两种图书的单价分别为多少元？
(2)为筹备“3．14数学节”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共80本，且购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半．由于购买量大，书店打折优惠，两种图书均按八折出售．求两种图书分别购买多少本时费用最少？
13．（2023年江苏省扬州市中考数学真题）近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大．某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2920元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元．(1)甲、乙两种头盔的单价各是多少元？(2)商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每只降价6元出售．如果此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半，那么应购买多少只甲种头盔，使此次购买头盔的总费用最小？最小费用是多少元？
14．（2023年四川省遂宁市中考数学真题）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售，经了解．每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多2元，用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同．(1)甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？
(2)该超市计划购进这两种粽子共200个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为12元/个、15元/个，设购进甲种粽子m个，两种粽子全部售完时获得的利润为w元．①求w与m的函数关系式，并求出m的取值范围；
②超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？
15．（2023年四川成都数学中考真题）年月日至月日，第届世界大学生运动会将在成都举行．“当好东道主，热情迎嘉宾”，成都某知名小吃店计划购买，两种食材制作小吃．已知购买千克种食材和千克种食材共需元，购买千克种食材和千克种食材共需元．
(1)求，两种食材的单价；(2)该小吃店计划购买两种食材共千克，其中购买种食材千克数不少于种食材千克数的倍，当，两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用．
16．（2023年湖南省益阳市中考数学真题）某企业准备对A，B两个生产性项目进行投资，根据其生产成本、销售情况等因素进行分析得知：投资A项目一年后的收益（万元）与投入资金x（万元）的函数表达式为：，投资B项目一年后的收益（万元）与投入资金x（万元）的函数表达式为：．(1)若将10万元资金投入A项目，一年后获得的收益是多少？
(2)若对A，B两个项目投入相同的资金m（）万元，一年后两者获得的收益相等，则m的值是多少？(3)2023年，我国对小微企业施行所得税优惠政策．该企业将根据此政策获得的减免税款及其他结余资金共计32万元，全部投入到A，B两个项目中，当A，B两个项目分别投入多少万元时，一年后获得的收益之和最大？最大值是多少万元？
17．（2023·浙江温州·中考模拟）瑞安市曹村镇“八百年灯会”成为温州“申遗”的宝贵项目．某公司生产了一种纪念花灯，每件纪念花灯制造成本为18元．设销售单价x（元），每日销售量y（件）每日的利润w（元）．在试销过程中，每日销售量y（件）、每日的利润w（元）与销售单价x（元）之间存在一定的关系，其几组对应量如下表所示：
（元） 19 20 21 30
（件） 62 60 58 40
（1）根据表中数据的规律，分别写出每日销售量y（件），每日的利润w（元）关于销售单价x（元）之间的函数表达式．（利润＝（销售单价﹣成本单价）×销售件数）．
（2）当销售单价为多少元时，公司每日能够获得最大利润？最大利润是多少？
（3）根据物价局规定，这种纪念品的销售单价不得高于32元，如果公司要获得每日不低于350元的利润，那么制造这种纪念花灯每日的最低制造成本需要多少元？
18．（2022·湖北武汉·模拟预测）自从今年3月以来，受俄乌冲突影响，国际油价上涨，电动自行车的市场需求量日渐增多、某销售公司计划投入不多于8万元购进A，B两种品牌的电动自行车共30辆，A品牌电动自行车的进货单价为2500元，B品牌电动自行车的进货单价为3000元．
(1)若A品牌电动自行车每辆售价为2900元，B品牌电动自行车每辆售价为3500元，设该公司计划购进A品牌电动自行车x辆，两种品牌的电动自行车全部销售后可获利润w元．写出w与x之间的函数关系式为______，自变量x的取值范围为______；该公司销售完毕所获最大利润为______元；
(2)经过市场调查发现：A品牌电动自行车备受消费者关注，其市场销售量受销售单价牵制，销售量m（辆）与销售单价n（元）之间满足函数关系式，B品牌电动自行车不受影响，每辆售价仍为3500元．①用只含n的代数式表示：A品牌电动自行车的销售利润为______；B品牌电动自行车的销售利润为______；②求该销售公司如何进货才能获得最大利润？
19．（2023·安徽宿州·模拟预测）甲、乙两汽车出租公司均有辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：
甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费元，那么辆汽车可以全部租出，如果每辆汽车的月租费每增加元，那么将少租出辆汽车，另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费元．乙公司经理：我公司每辆汽车月租费元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计元．
说明：①汽车数量为整数；②月利润月租车费月维护费；
在两公司租出的汽车数量相等且都为（单位：辆，）的条件下，甲的利润用表示（单位：元），乙的利润用（单位：元）表示，根据上述信息，解决下列问题：
(1)分别表示出甲、乙的利润，什么情况下甲、乙的利润相同？(2)甲公司最多比乙公司利润多多少元？(3)甲公司热心公益事业，每租出辆汽车捐出元（）给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且仅当两公司租出的汽车均为辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求的取值范围．
20．（2023·湖北黄石·模拟预测）某水果超市经销一种进价为元的水果，根据以前的销售经验，该种水果的最佳销售期为20天，销售人员整理出这种水果的销售单价y（元） 与第x天（，x为整数）的函数图象如图所示，而第x天（）的销售量是x的一次函数，满足下表：（注：题中x均为整数）
第x天 1 2 3 …
m（kg） 20 24 28 …
(1)请分别求出销售单价y（元）与x（天）之间及销售量是x（天）之间的函数关系式：
(2)若规定每天的销售量不超过，求在销售的第几天时，当天的利润最大，最大利润是多少？
(3)在试销一周后，超市老板决定每销售1千克水果就捐赠a元给养老院，若每天扣除捐赠后的销售利润在第10天达到最大，求a的取值范围．
21．（2023·浙江湖州·一模）某特产专卖店销售某种特产，其进价为每千克120元，按每千克200元出售．为了促销，营销部门建议：顾客一次购买这种特产不超过20千克时，每千克按200元销售；若一次购买该特产超过20千克时，每多购买1千克，销售单价降低2元，但销售单价均不低于m元．该专卖店某次销售该特产所获得的利润w（元）与购买数量x（千克）之间的函数关系如图所示．根据以上信息解决下列问题：（1）顾客购买该特产50千克时，该特产的销售单价m为每千克_____元，专卖店的销售利润为______元；（2）当一次购买该特产超过20千克时，求w与x之间的函数表达式；
（3）在试销期间销售人员发现：当顾客购买特产超过某一数量时，会出现随着数量的增加，专卖店所获利润反而减少这一情况．在这种情况下，为使销售量越多，专卖店所获利润越大，专卖店应将最低销售单价至少调整为每千克多少元？（其它销售条件不变）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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