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【全国通用】2024中考数学二轮复习（重难点题型突破）
专题01 规律探索问题
规律探究问题是中考数学中的常考问题，往往以选择题或者填空题中的压轴题形式出现，主要命题方式有数式规律、图形变化规律、点的坐标规律等。规律探索问题指的是给出一组具有某种特定关系的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作、变化过程，要求通过观察、思路点拨、推理，探究其中所蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论。这类问题，因其独特的规律性和探究性，对分析问题、解决问题的能力具有很高的要求，在近几年全国各地的中考试题中，不仅频频出现规律探究题，而且“花样百出”。
1）从简单的情况入手﹕求出前三到四个结果，探究其规律，通过归纳猜想总结正确答案；新定义型问题一般与代数、坐标、函数知识结合较多，常见的命题背景有：杨辉三角、等差数列、连续n个数的立方和、连续n个数的平方和、阶乘等。
2）关注问题中的不变量和变量﹕在探究规律的问题中，一般都会存在变量和不变量（也就是常量），我们要多关注变量，看看这些变量是如何变化的，仔细观察变量的变化与序号（一般为n）之间的关系，我们找到这个关系就找到了规律所在。
3）掌握一些数学思想方法：规探索律型问题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题，它往往给出了一组变化了的数、式子、图形或条件，要求学生通过阅读、观察、分析、猜想来探索规律。它体现了“特殊到一般”的数学思想方法，考察了学生的分析、解决问题能力，观察、联想、归纳能力，以及探究能力和创新能力.题型可涉及填空、选择或解答。
4）常见规律探究类型：
（1）数字的规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号之间的关系。
（2）数式的规律：用含有字母的代数式总结规律，注意此代数式与序号之间的关系。
（3）图形（图表）规律：观察前几个图形，确定每个图形中图形的个数与序号之间的关系。
（4）图形变换的规律：找准循环周期内图形变换的特点，然后用图形变换总次数除以一个循环变换周期，进而观察商和余数。
（5）数形结合的规律：观察前项（一般前3项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论。
（6）坐标变化规律问题：坐标变化规律问题主要考查了点的坐标规律，培养学生观察和归纳能力，从所给的数据和图形中寻求规律进行解题时解题过程问题的关键。
考向一　数与式规律问题
例1．（2023年云南省中考数学真题）按一定规律排列的单项式：，第个单项式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据单项式的规律可得，系数为，字母为，指数为1开始的自然数，据此即可求解．
【详解】按一定规律排列的单项式：，第个单项式是，故选：C．
【点睛】本题考查了单项式规律题，找到单项式的变化规律是解题的关键．
例2．（2023·山西大同·模拟预测）有一组数列：……则第10个是 .
【答案】
【分析】通过观察可得“分数的分子是从1开始的连续自然数，分母是比分子的平方数大1的数，并且第奇数个数是负数，偶数个数是正数”据此分析即可解答．
【详解】解：∵，，，，，，…，且第奇数个数是负数，偶数个数是正数．∴第10个数是．故答案为：．
【点睛】本题考查了数字变化规律，从“从分子、分母和正负情况”三个方面考虑求解是解题的关键．
例3．（2023年山东省济宁市中考数学真题）已知一列均不为1的数满足如下关系：，，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】根据题意可把代入求解，则可得，，……；由此可得规律求解．
【详解】解：∵，∴，，，，…….；
由此可得规律为按2、、、四个数字一循环，
∵，∴；故选A．
【点睛】本题主要考查数字规律，解题的关键是得到数字的一般规律．
例4．（2023年湖南省常德市中考数学真题）观察下边的数表（横排为行，竖排为列），按数表中的规律，分数若排在第a行b列，则的值为( )



……
A．2003 B．2004 C．2022 D．2023
【答案】C
【分析】观察表中的规律发现，分数的分子是几，则必在第几列；只有第一列的分数，分母与其所在行数一致．
【详解】观察表中的规律发现，分数的分子是几，则必在第几列；只有第一列的分数，分母与其所在行数一致，故在第20列，即；向前递推到第1列时，分数为，故分数与分数在同一行．即在第2042行，则．∴故选：C．
【点睛】本题考查了数字类规律探索的知识点，解题的关键在于发现数字递变的周期性和趋向性．
例5．（2023年四川省巴中市中考数学真题）我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律．
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
当代数式的值为1时，则x的值为（ ）
A．2 B． C．2或4 D．2或
【答案】C
【分析】由规律可得：，令，，可得，再解方程即可．
【详解】解：由规律可得：，
令，，∴，
∵，
∴，∴，∴或，故选：C．
【点睛】本题考查的是从题干信息中总结规律，一元二次方程的解法，灵活的应用规律解题是关键．
例6．（2023年湖南省岳阳市中考数学真题）观察下列式子：
；；；；；…
依此规律，则第（为正整数）个等式是 ．
【答案】
【分析】据等式的左边为正整数的平方减去这个数，等式的右边为这个数乘以这个数减1，即可求解．
【详解】解：∵；；；；；…
∴第（为正整数）个等式是，故答案为：．
【点睛】本题考查了数字类规律，找到规律是解题的关键．
考向二　图形变化规律问题
例1．（2023·湖南·二模）观察下列的“蜂窝图”按照它呈现的规律第n个图案中的“ ”的个数是 （用含n的代数式表示）

【答案】
【分析】根据题意可知：第1个图有4个“六边形”，第2个共有7个“六边形”，第3个共有10个“六边形”，第4个共有13个“六边形”，由此可得出规律，从而可求解．
【详解】解：∵第1个图有“六边形”的个数为：4，
第2个图有“六边形”的个数为：，
第3个图有“六边形”的个数为：，
第4个图有“六边形”的个数为：，..，
∴第n个图有“六边形”的个数为：．故答案为：．
【点睛】本题考查规律型：图形的变化类，解题的关键是熟练正确找出图中的规律．
例2．（2023年重庆市中考数学真题（B卷））用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第②个图案中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中圆圈的个数为（ ）

A．14 B．20 C．23 D．26
【答案】B
【分析】根据前四个图案圆圈的个数找到规律，即可求解.
【详解】解：因为第①个图案中有2个圆圈，；
第②个图案中有5个圆圈，；
第③个图案中有8个圆圈，；
第④个图案中有11个圆圈，；…，
所以第⑦个图案中圆圈的个数为；故选：B.
【点睛】本题考查了图形类规律探究，根据前四个图案圆圈的个数找到第n个图案的规律为是解题的关键.
例3．（2023年黑龙江省绥化市中考数学真题）在求的值时，发现：，，从而得到．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形，记作；分别连接这个三角形三边中点得到图（2），有5个三角形，记作；再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），有9个三角形，记作；按此方法继续下去，则 ．（结果用含n的代数式表示）

【答案】/
【分析】根据题意得出，进而即可求解．
【详解】解：依题意，，
∴，故答案为：．
【点睛】本题考查了图形类规律，找到规律是解题的关键．
例4．（2023年四川省绵阳市中考数学真题）如下图，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成以下图形，第1幅图形中“●”的个数为，第2幅图形中“●”的个数为，第3幅图形中“●”的个数为，…，以此类推，那么的值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先根据图形中“●”的个数得出数字变化规律，进而求解即可．
【详解】解：，，，，…，；
∴
，故选∶C．
【点睛】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，找出规律是解题的关键．
例5．（2023年四川省遂宁市中考数学真题）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、……、癸烷（当碳原子数目超过个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷……）等，甲烷的化学式为，乙烷的化学式为，丙烷的化学式为……，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为 ．

【答案】
【分析】根据碳原子的个数，氢原子的个数，找到规律，即可求解．
【详解】解：甲烷的化学式为，乙烷的化学式为，丙烷的化学式为……，
碳原子的个数为序数，氢原子的个数为碳原子个数的2倍多2个，
十二烷的化学式为，故答案为：．
【点睛】本题考查了规律题，找到规律是解题的关键．
考向三　坐标变化规律问题
例1．（2023·安徽·模拟预测）如图所示，在台球桌面ABCD上建立平面直角坐标系，点P从出发沿图中箭头方向运动，碰到边界（粗线）会发生反弹（反射角等于入射角）．若点P的运动速度为每秒个单位长度，则第2022秒时点P的坐标为（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据小球的运动方向可得出小球运动一周所走的路程，再由运动速度得出运动一周所用的时间，从而得出第2022秒的小球所在位置．
【详解】解：根据题意画出图形得：

小球运动一周所走的路程，
∵小球以每秒个单位长度的速度运动，
∴小球运动一周所用的时间为：（秒），∴，
∴第2022秒的小球所在位置为点E，∴点E的坐标为．故选：C．
【点睛】本题考查了坐标确定位置，掌握勾股定理以及坐标的表示方法是解题的关键．
例2．（2023·河南漯河·二模）图，在平面直角坐标系中，，，，…都是等边三角形，其边长依次为2，4，6．…，其中点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为…，按此规律排下去，则点的坐标为（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】观察所给图形，发现x轴上方的点是4的倍数，确定点在x轴上方，分别求出点的坐标为，点的坐标为，……，点的坐标为，即可求解．
【详解】解：观察所给图形，发现x轴上方的点是4的倍数，
∵，∴点在x轴上方，∵，∴，
∵，∴，∵，∴点的坐标为，
同理可知，点的坐标为，∴点的坐标为，故选：C．
【点睛】本题考查点的坐标的变化规律；能够通过所给图形，找到点的坐标规律是解题的关键．
例3．（2023·山东烟台·二模）自然界中存在许多斐波那契螺旋线图案．斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数1，1，2，3，5，8，13，……画出米的螺旋曲线．在平面直角坐标系中，依次以这组数为半径作的圆弧，得到一组螺旋线，连接，得到一组螺旋折线，如图所示．已知点的坐标分别为，则点的坐标为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据图中点的位置，找出规律，利用平移的特点，依次求出各个点的坐标，即可得出答案．
【详解】解：观察发现：先向右平移1个单位，再向上平移1单位得到；
先向右平移1个单位，再向下平移1单位得到；
先向左平移2个单位，再向下平移2单位得到；
先向左平移3个单位，再向上平移3单位得到；
先向右平移5个单位，再向上平移5单位得到；
先向右平移8个单位，再向下平移8单位得到，故D正确．故选：D．
【点睛】本题主要考查了点的规律探索，解题的关键是根据图中给出的已知点的位置，找出平移规律．
例4．（22-23九年级下·四川泸州·期中）在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫做点P的伴随点，已知的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，这样依次得到，若点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据“伴随点”的定义依次求出各点，不难发现，每4个点为一个循环组依次循环，用2023除以4，根据商和余数的情况确定点的坐标即可．
【详解】解：的坐标为，，，，，，
依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，
，点的坐标与的坐标相同，为．故选：C．
【点睛】本题考查点的坐标规律，读懂题目信息，理解“伴随点”的定义，解题的关键是求出每4个点为一个循环组依次循环．
例5．（22-23九年级·湖北十堰·期末）如图，在直角坐标平面内，动点按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，…按这样的运动规律，动点第2023次运动到点 ．（写出点的坐标）

【答案】
【分析】据图可以得出动点的纵坐标按照，每四个一循环，横坐标为运动次数减1，进行求解即可．
【详解】解：由图可知：动点的纵坐标按照，每四个一循环，横坐标为运动次数减1，
∵，
∴动点第2023次运动后的纵坐标为，横坐标为，
∴动点第2023次运动到点；故答案为：．
【点睛】本题考查点的坐标规律探究．根据已知点的坐标，抽象概括出相应的数字规律，是解题关键．
一、选择题
1．（2023·黑龙江牡丹江·中考真题）观察下面两行数：
取每行数的第7个数，计算这两个数的和是（ ）
A．92 B．87 C．83 D．78
【答案】C
【分析】先分别找出每行数字的规律，求出每行第7个数，将这两个数相加即可．
【详解】解：第一行的数字规律为：，第二行的数字规律为：，
第一行的第7个数字为：，第二行的第7个数字为：，
，故选：C．
【点睛】本题考查规律探究，发现每行数字的排布规律是解题的关键．
2．（2023年重庆市中考数学真题（A卷））用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，……，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是（ ）

A．39 B．44 C．49 D．54
【答案】B
【分析】根据各图形中木棍的根数发现计算的规律，由此即可得到答案．
【详解】解：第①个图案用了根木棍，第②个图案用了根木棍，
第③个图案用了根木棍，第④个图案用了根木棍，……，
第⑧个图案用的木棍根数是根，故选：B．
【点睛】此题考查了图形类规律的探究，正确理解图形中木棍根数的变化规律由此得到计算的规律是解题的关键．
3．（2022·湖南长沙·模拟预测）我国宋朝时期的数学家杨辉，曾将大小完全相同的圆弹珠逐层堆积，形成“三角垛”，顶层记为第1层，有1颗弹珠；第2层有3颗弹珠；第3层有6颗弹珠，往下依次是第4层，第5层，…；如图中画出了最上面的四层．若用表示第n层的弹珠数，其中n＝1，2，3，…，则＋…＋＝（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】确定每层弹珠数和层数的关系，即可求解．
【详解】解：观察图形的变化可知：第1层有1颗弹珠，即；
第2层有3颗弹珠，即；第3层有6颗弹珠，即；
第4层有10颗弹珠，即；…
∴第层的弹珠数为：
∴，
∴＋…＋＝
故选：B
【点睛】本题以规律探索为背景，考查了分式的计算．根据图形变化确定规律是解题关键．
4．（2023·山东济南·三模）用棋子摆成图案，摆第个图案需要颗棋子( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了图形的变化，找出图形变化的规律是解决问题的关键．
本题可依次解，图案需要的棋子枚数，再根据规律以此类推，可得出第n个图案需要的棋子枚数即可求解．
【详解】解：第个图形中的棋子的个数为：，
第个图形中的棋子的个数为：，
第个图形中的棋子的个数为：，，
第个图形中的棋子的个数为：，
第个图形中的棋子的个数为：．故选：C．
5．（2023·湖南常德·模拟预测）若是不为的有理数，则我们把称为的差倒数，如的差倒数为，的差倒数为，已知：，是差倒数，是的差倒数，是的差倒数，，依次类推，的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据差倒数定义计算得出，，，，依次推导个数据为一组，，．
【详解】解：根据差倒数的定义知，，，，以、、这个数为一组，
∵，∴第个数为第组数的第个数据，
则，那么．故选：A．
【点睛】本题考查了有理数运算，解决本题的关键是得出数据的规律．
6．（2023·河南郑州·三模）规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换表示将它向右平移一个单位，一个点作“1”变换表示将它绕原点顺时针旋转，由数字0和1组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换．例如：如图，点按序列“”作变换．表示点先向右平移一个单位得到，再将绕原点顺时针旋转得到，再将绕原点顺时针旋转得到依次类推．点经过“”变换后得到点的坐标为( )

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意得出点坐标变化规律，进而得出变换后的坐标位置，进而得出答案．
【详解】解：点按序列“011011011”作变换，表示点先向右平移一个单位得到，再将绕原点顺时针旋转90°得到，再将绕原点顺时针旋转90°得到，然后右平移一个单位得到，再将绕原点顺时针旋转90°得到，再将绕原点顺时针旋转90°得到，然后右平移一个单位得到，再将绕原点顺时针旋转90°得到，再将绕原点顺时针旋转90°得到．故选：A．
【点睛】本题主要考查了点的坐标变化规律，坐标平移与旋转，得出点坐标变化规律是解题关键．
7．（2023·湖北随州·模拟预测）在同一平面内，我们把两条直线相交将平面分得的区域数记为，三条直线两两相交最多将平面分得的区域数记为，四条直线两两相交最多将平面分得的区域数记为，...条直线两两相交最多将平面分得的区域数记为，若，则（　　）
A．30 B．31 C．20 D．21
【答案】A
【分析】根据直线相交得到交点个数的规律，再利用裂项法进行有理数的运算即可解题．
【详解】解：根据题意，得，
两条直线最多将平面分成4个区域，即，
三条直线最多将平面分成7个区域，即，
四条直线最多将平面分成11个区域，即，..．
则，，..．∴，
∴
＝
，
∵，∴，
解得：，经检验，是原方程的解．故选：A．
【点睛】此题考查的是相交线，摸清数字的变化规律是解决此题的关键．
8．（23-24九年级上·浙江·期末）如图所示，动点从第一个数的位置出发，每次跳动一个单位长度，第一次跳动一个单位长度到达数的位置，第二次跳动一个单位长度到达数的位置，第三次跳动一个单位长度到达数的位置，第四次跳动一个单位长度到达数的位置，，依此规律跳动下去，点从跳动次到达的位置，点从跳动次到达的位置，，点、、在一条直线上，则点从跳动次可到达的位置．（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】找到规律：跳动次数为从1开始连续正整数的和，且最后一个加数为，进而得答案即可．
【详解】由题意知，跳动个单位长度到，从到再跳动个单位长度，
归纳可得：从上一个点跳到下一个点跳动的单位长度是三个连续的正整数的和，，
点从跳到跳动了：，故选：B．
【点睛】本题考查图形中的规律探究．根据图形，抽象概括出相应的数字规律，是解题的关键．
9．（2023·重庆·三模）如图是由大小相同的爱心按照一定规律排列组成的图形，依此规律，图⑨中共有爱心的个数为（ ）

A．15 B．17 C．19 D．21
【答案】D
【分析】根据题目中的图形可以发现爱心个数的变化规律，从而可以得到第⑨中共有爱心的个数．
【详解】解：①爱心个数为5；②爱心个数为；③爱心个数为；……
⑨爱心个数为．故选D．
【点睛】本题主要考查了图形的变化类规律，明确题意，发现题目中白色正方形个数的变化规律是解答本题的关键．
10．（2023·河南周口·二模）如图，在四边形中，顶点，分别在轴，轴上，，，，，轴，交轴于点将四边形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先求得的长度，即可求出点的坐标，再探究规律，利用规律解决问题即可．
【详解】解：，，，， 轴，
，，，
将四边形绕点顺时针旋转，每次旋转，
则第次旋转结束时，点的坐标为，则第次旋转结束时，点的坐标为，
则第次旋转结束时，点的坐标为，则第次旋转结束时，点的坐标为，
发现规律：旋转次一个循环，，
则第次旋转结束时，点的坐标为．故选：D．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化旋转、规律型，点的坐标，勾股定理，根据旋转的性质找出规律是解题的关键．
二、填空题
11．（2023年四川省甘孜藏族自治州中考数学真题）有一列数，记第个数为，已知，当时，则的值为 ．
【答案】
【分析】分别计算出，找到规律即可求解．
【详解】解：依题意，，，，……，
∴∴的值为，故答案为：．
【点睛】本题考查数字类规律，找到规律是解题的关键．
12．（2023年内蒙古自治区呼伦贝尔市、兴安盟中考数学真题）观察下列各式：
，，，…
请利用你所发现的规律，计算： ．
【答案】/
【分析】直接根据已知数据变化规律进而将原式变形求出答案．
【详解】
，故答案为：．
【点睛】本题考查数字变化规律，正确将原式变形是解题的关键．
13．（2023年湖北省恩施州中考数学真题）观察下列两行数，探究第②行数与第①行数的关系：
，4，，16，，64，……①
0，7，，21，，71，……②
根据你的发现，完成填空：第①行数的第10个数为 ；取每行数的第2023个数，则这两个数的和为 ．
【答案】 1024
【分析】通过观察第一行数的规律为，第二行数的规律为，代入数据即可.
【详解】第一行数的规律为，∴第①行数的第10个数为；
第二行数的规律为，
∴第①行数的第2023个数为，第②行数的第2023个数为，
∴，故答案为：1024；．
【点睛】本题主要考查数字的变化，找其中的规律，是今年考试中常见的题型.
14．（2023·四川广安·一模）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点A的坐标为，是以点B为圆心，为半径的圆弧；是以点O为圆心，为半径的圆弧，是以点C为圆心，为半径的圆弧，是以点A为圆心，为半径的圆弧，继续以点B，O，C，A为圆心按上述作法得到的曲线称为正方形的“渐开线”，则点的坐标是 ．

【答案】
【分析】将四分之一圆弧对应的A点坐标看作顺时针旋转，再根据A、、、、的坐标找到规律即可．
【详解】解：∵，且为A点绕B点顺时针旋转所得，∴，
又∵为点绕O点顺时针旋转所得，∴，
又∵为点绕C点顺时针旋转所得，∴，
由此可得出规律：为绕B、O、C、A四点作为圆心依次循环顺时针旋转，且半径为1、2、3、、n，每次增加1，
又∵，故为以点C为圆心，半径为2022的 顺时针旋转所得，
∴， 故答案为：．
【点睛】本题考查了点坐标规律探索问题，通过点的变化，结合画弧的方法以及部分点的坐标探索出坐标变化的规律是解题的关键．
15．（2023·北京海淀·三模）在表中，我们把第行第列的数记为（其中，都是不大于5的正整数），对于表中的每个数，规定如下：当时，；当时，．例如：当，时，．按此规定， ；表中的25个数中，共有 个1；计算的值为 ．
【答案】 0 15 1
【分析】根据当时，．当时，进行解答即可；由图表中可以很容易知道等于1的数有15个．
【详解】解：由题意，很容易发现，从i与j之间大小分析：
当时，，∴；当时，，由图表可知共有15个1；
，
∵是不大于5的正整数，∴，∴．故答案为：0；15；1．
【点睛】本题考查数字的变化，理解当时，．当时，，是解题的关键．
16．（2023·黑龙江绥化·模拟预测）如图，图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第1个形中一共有4个小圆圈，第2个图形中一共有10个小圆圈，第3个图形中一有19个小圆圈，…，按此规律排列，则第n个图形中小圆圈的个数 ．

【答案】
【分析】第1个形中小圆圈的个数为：，第2个图形中10个小圆圈的个数为：，第3个图形中小圆圈的个数为：，…，据此可求得第n个图形中小圆圈的个数．
【详解】解：∵第1个形中小圆圈的个数为：，
第2个图形中10个小圆圈的个数为：，
第3个图形中小圆圈的个数为：，…，
∴第n个图形中小圆圈的个数为：．故答案为：．
【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是由所给的图形总结出存在的规律．
三、解答题
17．（2023年浙江省嘉兴市中考数学真题）观察下面的等式：，，，，…．(1)尝试：___________．
(2)归纳：___________（用含n的代数式表示，n为正整数）．
(3)推理：运用所学知识，推理说明你归纳的结论是正确的．
【答案】(1)6(2)n(3)见解析
【分析】（1）根据题目中的例子，可以直接得到结果；（2）根据题目中给出的式子,可以直接得到答案；（3）将（2）中等号左边用平方差公式计算即可．
【详解】（1）解：∵，，，，
∴，，故答案为：6；
（2）由题意得：，故答案为：n；
（3）．
【点睛】此题考查了数字类的变化规律，有理数的混合运算，列代数式，平方差公式，正确理解题意，发现式子的变化特点是解题的关键．
18．（2023年浙江省嘉兴（舟山）市中考数学真题）观察下面的等式：
(1)写出的结果．(2)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）
(3)请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的．
【答案】(1)(2)(3)见解析
【分析】（1）根据题干的规律求解即可；（2）根据题干的规律求解即可；
（3）将因式分解，展开化简求解即可．
【详解】（1）；
（2）；
（3）．
【点睛】此题考查数字的变化规律，因式分解，整式乘法的混合运算，解题关键是通过观察，分析、归纳发现其中的变化规律．
19．（2023年安徽中考数学真题）【观察思考】
【规律发现】
请用含的式子填空：(1)第个图案中“”的个数为 ；
(2)第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，……，第个图案中“★”的个数可表示为______________．
【规律应用】(3)结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数，使得连续的正整数之和等于第个图案中“”的个数的倍．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）根据前几个图案的规律，即可求解；（2）根据题意，结合图形规律，即可求解．
（3）根据题意，列出一元二次方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：第1个图案中有个，第2个图案中有个，
第3个图案中有个，第4个图案中有个，……
∴第个图案中有个，故答案为：．
（2）第1个图案中“★”的个数可表示为，第2个图案中“★”的个数可表示为，
第3个图案中“★”的个数可表示为，第4个图案中“★”的个数可表示为，……，
第n个图案中“★”的个数可表示为，
（3）解：依题意，，第个图案中有个，
∴，解得：（舍去）或．
【点睛】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律是解题的关键．
20．（2023·安徽淮北·三模）阅读理解：我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中，任意两点、的对称中心的坐标为．

观察应用：(1)如图，若点、的对称中心是点A，则点A的坐标为：______．
(2)在（1）的基础上另取两点、．有一电子青蛙从点处开始依次关于点A、B、C作循环对称跳动，即第一次跳到点关于点A的对称点处，接着跳到点关于点B的对称点处，第三次再跳到点关于点C的对称点处，第四次再跳到点关于点A的对称点处，…，则、的坐标为：______、______．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据对称中心的坐标公式代入计算即可
（2）利用中心对称的性质依次计算出，然后找到规律，利用规律即可解题．
【详解】（1）、，∴，，∴
（2）由题意可知
∵点P2 ， P3关于点B对称
∵点P3，P4关于点C对称 同理可求所以六次一个循环
【点睛】本题主要考查点的坐标规律的探索，找到规律是解题的关键．
21．（2023·山西太原·三模）请阅读下列材料，并完成相应的任务．有趣的“形数”，形数，亦称拟形数、垛积数，是一种与图形有关的数．可能有同学感到奇怪，数怎么会有形状呢？这要从其发明者——古希腊著名数学家毕达哥拉斯说起．毕达哥拉斯常在沙滩上摆小石子表示数，小石子能够摆成不同的几何图形，于是产生了一系列的形数．比如，当小石子的数目是1，3，6，10等数时，小石子都能（摆成正三角形，这些数叫做三角形数，如图1．当小石子的数目是1，4，9，16等数时，小石子都能摆成正方形，这些数叫做正方形数，如图2，除此之外，毕达哥拉斯还摆出了其他多边形数：五边形数、六边形数，如图3，并进一步发现了各种“形数”之间的内在联系．“形数”充分反映出数学内在的奥秘和魅力．值得说明的是在公元前6世纪纸张还没有出现，所以这种用小石子来研究数的性质的方法，不仅是认识数的一种简洁直观方法，更是古希腊人的一种伟大创造！

任务：
(1)根据材料图1、图2中的图形及规律填写表格：
序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥
三角形数 1 3 6 10 ___________ 21
正方形数 1 4 9 16 25 ___________
(2)如图4，毕达哥拉斯发现：两个三角形数刚好可以组成一个长方形数，由此易得，即．推而广之，如果三角形数有n层，长方形数就有n层，每层有个点，于是归纳得到，即第n个三角形数是．
①类比归纳：第n个正方形数是 ___________（用含n的式子表示）；
②下列自然数中，既是三角形数又是正方形数的是 ___________（填选项）．
A．36 B．49 C．100 D．1225
(3)毕达哥拉斯进一步发现了三角形数和正方形数之间的内在联系：，请证明：任意两个相邻三角形数之和是正方形数．
【答案】(1)15，16(2)①；②(3)见解析
【分析】（1）根据图形计算求解；（2）①根据图形计算求解；②根据三角形数和正方形数判断；
（3）根据三角形数和正方形数进行列式并证明．
【详解】（1）解：第5个三角形数为：15，第6个正方形数为36，故答案为：15，16；
（2）解：①第n个正方形数是，故答案为：；
②∵；
∴36，1225既是三角形数又是正方形数，故答案为：；
（3）证明：，
即：任意两个相邻三角形数之和是正方形数．
【点睛】本题考查了图形的变化类，找到图形的变化规律是解题的关键．
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【全国通用】2024中考数学二轮复习（重难点题型突破）
专题01 规律探索问题
规律探究问题是中考数学中的常考问题，往往以选择题或者填空题中的压轴题形式出现，主要命题方式有数式规律、图形变化规律、点的坐标规律等。规律探索问题指的是给出一组具有某种特定关系的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作、变化过程，要求通过观察、思路点拨、推理，探究其中所蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论。这类问题，因其独特的规律性和探究性，对分析问题、解决问题的能力具有很高的要求，在近几年全国各地的中考试题中，不仅频频出现规律探究题，而且“花样百出”。
1）从简单的情况入手﹕求出前三到四个结果，探究其规律，通过归纳猜想总结正确答案；新定义型问题一般与代数、坐标、函数知识结合较多，常见的命题背景有：杨辉三角、等差数列、连续n个数的立方和、连续n个数的平方和、阶乘等。
2）关注问题中的不变量和变量﹕在探究规律的问题中，一般都会存在变量和不变量（也就是常量），我们要多关注变量，看看这些变量是如何变化的，仔细观察变量的变化与序号（一般为n）之间的关系，我们找到这个关系就找到了规律所在。
3）掌握一些数学思想方法：规探索律型问题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题，它往往给出了一组变化了的数、式子、图形或条件，要求学生通过阅读、观察、分析、猜想来探索规律。它体现了“特殊到一般”的数学思想方法，考察了学生的分析、解决问题能力，观察、联想、归纳能力，以及探究能力和创新能力.题型可涉及填空、选择或解答。
4）常见规律探究类型：
（1）数字的规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号之间的关系。
（2）数式的规律：用含有字母的代数式总结规律，注意此代数式与序号之间的关系。
（3）图形（图表）规律：观察前几个图形，确定每个图形中图形的个数与序号之间的关系。
（4）图形变换的规律：找准循环周期内图形变换的特点，然后用图形变换总次数除以一个循环变换周期，进而观察商和余数。
（5）数形结合的规律：观察前项（一般前3项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论。
（6）坐标变化规律问题：坐标变化规律问题主要考查了点的坐标规律，培养学生观察和归纳能力，从所给的数据和图形中寻求规律进行解题时解题过程问题的关键。
考向一　数与式规律问题
例1．（2023年云南省中考数学真题）按一定规律排列的单项式：，第个单项式是（ ）
A． B． C． D．
例2．（2023·山西大同·模拟预测）有一组数列：……则第10个是 .
例3．（2023年山东省济宁市中考数学真题）已知一列均不为1的数满足如下关系：，，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．2
例4．（2023年湖南省常德市中考数学真题）观察下边的数表（横排为行，竖排为列），按数表中的规律，分数若排在第a行b列，则的值为( )



……
A．2003 B．2004 C．2022 D．2023
例5．（2023年四川省巴中市中考数学真题）我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律．
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
当代数式的值为1时，则x的值为（ ）
A．2 B． C．2或4 D．2或
例6．（2023年湖南省岳阳市中考数学真题）观察下列式子：
；；；；；…
依此规律，则第（为正整数）个等式是 ．
考向二　图形变化规律问题
例1．（2023·湖南·二模）观察下列的“蜂窝图”按照它呈现的规律第n个图案中的“ ”的个数是 （用含n的代数式表示）

例2．（2023年重庆市中考数学真题（B卷））用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第②个图案中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中圆圈的个数为（ ）

A．14 B．20 C．23 D．26
例3．（2023年黑龙江省绥化市中考数学真题）在求的值时，发现：，，从而得到．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形，记作；分别连接这个三角形三边中点得到图（2），有5个三角形，记作；再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），有9个三角形，记作；按此方法继续下去，则 ．（结果用含n的代数式表示）

例4．（2023年四川省绵阳市中考数学真题）如下图，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成以下图形，第1幅图形中“●”的个数为，第2幅图形中“●”的个数为，第3幅图形中“●”的个数为，…，以此类推，那么的值为（ ）

A． B． C． D．
例5．（2023年四川省遂宁市中考数学真题）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、……、癸烷（当碳原子数目超过个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷……）等，甲烷的化学式为，乙烷的化学式为，丙烷的化学式为……，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为 ．
考向三　坐标变化规律问题
例1．（2023·安徽·模拟预测）如图所示，在台球桌面ABCD上建立平面直角坐标系，点P从出发沿图中箭头方向运动，碰到边界（粗线）会发生反弹（反射角等于入射角）．若点P的运动速度为每秒个单位长度，则第2022秒时点P的坐标为（　　）

A． B． C． D．
例2．（2023·河南漯河·二模）图，在平面直角坐标系中，，，，…都是等边三角形，其边长依次为2，4，6．…，其中点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为…，按此规律排下去，则点的坐标为（　　）

A． B． C． D．
例3．（2023·山东烟台·二模）自然界中存在许多斐波那契螺旋线图案．斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数1，1，2，3，5，8，13，……画出米的螺旋曲线．在平面直角坐标系中，依次以这组数为半径作的圆弧，得到一组螺旋线，连接，得到一组螺旋折线，如图所示．已知点的坐标分别为，则点的坐标为（ ）

A． B． C． D．
例4．（22-23九年级下·四川泸州·期中）在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫做点P的伴随点，已知的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，这样依次得到，若点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
例5．（22-23九年级·湖北十堰·期末）如图，在直角坐标平面内，动点按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，…按这样的运动规律，动点第2023次运动到点 ．（写出点的坐标）

一、选择题
1．（2023·黑龙江牡丹江·中考真题）观察下面两行数：
取每行数的第7个数，计算这两个数的和是（ ）
A．92 B．87 C．83 D．78
2．（2023年重庆市中考数学真题（A卷））用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，……，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是（ ）

A．39 B．44 C．49 D．54
3．（2022·湖南长沙·模拟预测）我国宋朝时期的数学家杨辉，曾将大小完全相同的圆弹珠逐层堆积，形成“三角垛”，顶层记为第1层，有1颗弹珠；第2层有3颗弹珠；第3层有6颗弹珠，往下依次是第4层，第5层，…；如图中画出了最上面的四层．若用表示第n层的弹珠数，其中n＝1，2，3，…，则＋…＋＝（ ）

A． B． C． D．
4．（2023·山东济南·三模）用棋子摆成图案，摆第个图案需要颗棋子( )
A． B． C． D．
5．（2023·湖南常德·模拟预测）若是不为的有理数，则我们把称为的差倒数，如的差倒数为，的差倒数为，已知：，是差倒数，是的差倒数，是的差倒数，，依次类推，的值是（　　）
A． B． C． D．
6．（2023·河南郑州·三模）规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换表示将它向右平移一个单位，一个点作“1”变换表示将它绕原点顺时针旋转，由数字0和1组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换．例如：如图，点按序列“”作变换．表示点先向右平移一个单位得到，再将绕原点顺时针旋转得到，再将绕原点顺时针旋转得到依次类推．点经过“”变换后得到点的坐标为( )

A． B． C． D．
7．（2023·湖北随州·模拟预测）在同一平面内，我们把两条直线相交将平面分得的区域数记为，三条直线两两相交最多将平面分得的区域数记为，四条直线两两相交最多将平面分得的区域数记为，...条直线两两相交最多将平面分得的区域数记为，若，则（　）
A．30 B．31 C．20 D．21
8．（23-24九年级上·浙江·期末）如图所示，动点从第一个数的位置出发，每次跳动一个单位长度，第一次跳动一个单位长度到达数的位置，第二次跳动一个单位长度到达数的位置，第三次跳动一个单位长度到达数的位置，第四次跳动一个单位长度到达数的位置，，依此规律跳动下去，点从跳动次到达的位置，点从跳动次到达的位置，，点、、在一条直线上，则点从跳动次可到达的位置．（ ）

A． B． C． D．
9．（2023·重庆·三模）如图是由大小相同的爱心按照一定规律排列组成的图形，依此规律，图⑨中共有爱心的个数为（ ）

A．15 B．17 C．19 D．21
10．（2023·河南周口·二模）如图，在四边形中，顶点，分别在轴，轴上，，，，，轴，交轴于点将四边形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（ ）

A． B． C． D．
二、填空题
11．（2023年四川省甘孜藏族自治州中考数学真题）有一列数，记第个数为，已知，当时，则的值为 ．
12．（2023年内蒙古自治区呼伦贝尔市、兴安盟中考数学真题）观察下列各式：
，，，…
请利用你所发现的规律，计算： ．
13．（2023年湖北省恩施州中考数学真题）观察下列两行数，探究第②行数与第①行数的关系：
，4，，16，，64，……①
0，7，，21，，71，……②
根据你的发现，完成填空：第①行数的第10个数为 ；取每行数的第2023个数，则这两个数的和为 ．
14．（2023·四川广安·一模）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点A的坐标为，是以点B为圆心，为半径的圆弧；是以点O为圆心，为半径的圆弧，是以点C为圆心，为半径的圆弧，是以点A为圆心，为半径的圆弧，继续以点B，O，C，A为圆心按上述作法得到的曲线称为正方形的“渐开线”，则点的坐标是 ．

15．（2023·北京海淀·三模）在表中，我们把第行第列的数记为（其中，都是不大于5的正整数），对于表中的每个数，规定如下：当时，；当时，．例如：当，时，．按此规定， ；表中的25个数中，共有 个1；计算的值为 ．
16．（2023·黑龙江绥化·模拟预测）如图，图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第1个形中一共有4个小圆圈，第2个图形中一共有10个小圆圈，第3个图形中一有19个小圆圈，…，按此规律排列，则第n个图形中小圆圈的个数 ．

三、解答题
17．（2023年浙江省嘉兴市中考数学真题）观察下面的等式：，，，，…．(1)尝试：___________．
(2)归纳：___________（用含n的代数式表示，n为正整数）．
(3)推理：运用所学知识，推理说明你归纳的结论是正确的．
18．（2023年浙江省嘉兴（舟山）市中考数学真题）观察下面的等式：
(1)写出的结果．(2)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）
(3)请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的．
19．（2023年安徽中考数学真题）【观察思考】
【规律发现】
请用含的式子填空：(1)第个图案中“”的个数为 ；
(2)第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，……，第个图案中“★”的个数可表示为______________．
【规律应用】(3)结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数，使得连续的正整数之和等于第个图案中“”的个数的倍．
20．（2023·安徽淮北·三模）阅读理解：我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中，任意两点、的对称中心的坐标为．

观察应用：(1)如图，若点、的对称中心是点A，则点A的坐标为：______．
(2)在（1）的基础上另取两点、．有一电子青蛙从点处开始依次关于点A、B、C作循环对称跳动，即第一次跳到点关于点A的对称点处，接着跳到点关于点B的对称点处，第三次再跳到点关于点C的对称点处，第四次再跳到点关于点A的对称点处，…，则、的坐标为：______、______．
21．（2023·山西太原·三模）请阅读下列材料，并完成相应的任务．有趣的“形数”，形数，亦称拟形数、垛积数，是一种与图形有关的数．可能有同学感到奇怪，数怎么会有形状呢？这要从其发明者——古希腊著名数学家毕达哥拉斯说起．毕达哥拉斯常在沙滩上摆小石子表示数，小石子能够摆成不同的几何图形，于是产生了一系列的形数．比如，当小石子的数目是1，3，6，10等数时，小石子都能（摆成正三角形，这些数叫做三角形数，如图1．当小石子的数目是1，4，9，16等数时，小石子都能摆成正方形，这些数叫做正方形数，如图2，除此之外，毕达哥拉斯还摆出了其他多边形数：五边形数、六边形数，如图3，并进一步发现了各种“形数”之间的内在联系．“形数”充分反映出数学内在的奥秘和魅力．值得说明的是在公元前6世纪纸张还没有出现，所以这种用小石子来研究数的性质的方法，不仅是认识数的一种简洁直观方法，更是古希腊人的一种伟大创造！

任务：
(1)根据材料图1、图2中的图形及规律填写表格：
序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥
三角形数 1 3 6 10 ___________ 21
正方形数 1 4 9 16 25 ___________
(2)如图4，毕达哥拉斯发现：两个三角形数刚好可以组成一个长方形数，由此易得，即．推而广之，如果三角形数有n层，长方形数就有n层，每层有个点，于是归纳得到，即第n个三角形数是．
①类比归纳：第n个正方形数是 ___________（用含n的式子表示）；
②下列自然数中，既是三角形数又是正方形数的是 ___________（填选项）．
A．36 B．49 C．100 D．1225
(3)毕达哥拉斯进一步发现了三角形数和正方形数之间的内在联系：，请证明：任意两个相邻三角形数之和是正方形数．
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