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八年级数学下册 18.1.2 平行四边形的判定 导学案
一、判定方法
1.从边看：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义)。
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
2.从角看：④两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
3.从对角线看：⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形。
二、中位线
1.三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
中位线与中线的区别：中位线是中点与中点的连线，中线是顶点与对边中点的连线。
2.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。
3.三角形中位线定理的作用：在已知两边中点的条件下，证明线段的平行关系及线段的倍分关系。
选择题
1.如图，分别是的边上的中点，如果的周长是，则的周长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．根据线段中点的定义、三角形中位线定理得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】解：分别是的边上的中点
是的中位线，，
的周长，
，
的周长
故选∶D．
2.如图，在四边形中，，若添加一个条件，能判断四边形为平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，根据平行四边形的判定定理逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A．根据，，不能判断四边形为平形四边形，故该选项不正确，不符合题意；
B．由，，根据一组对边平行且相等的四边形为平形四边形，故该选项正确，符合题意；
C．根据，，不能判断四边形为平形四边形，故该选项不正确，不符合题意；
D．根据，，不能判断四边形为平形四边形，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
3．不能判定一个四边形是平行四边形的条件是（ ）
A．一组对边相等，另一组对边平行 B．一组对边平行且相等
C．两条对角线互相平分 D．两组对边分别相等
【答案】A
【分析】本题考查平行四边形的判定，根据平行四边形的判定方法逐项判断即可．
【详解】解：一组对边相等，另一组对边平行，不能判定一个四边形是平行四边形，故A选项正确；
一组对边平行且相等，能判定一个四边形是平行四边形，故B选项错误；
两条对角线互相平分，能判定一个四边形是平行四边形，故C选项错误；
两组对边分别相等，能判定一个四边形是平行四边形，故D选项错误；
故选A．
4.如图，、分别是的中线和角平分线，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了三角形中位线定理，三线合一性质，勾股定理，取的中点F，连结，计算即可．
【详解】解：如图，取的中点F，连结，
∵是的中线，
∴，
∴是的中位线，
∴，
∵，，
∴，．
由勾股定理，得．
∵BE平分，，
∴，
∴，
∴．根据等腰三角形“三线合一”，得．
∵，
∴
∴E是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵的中点F，
∴，
∴．
故选D．
5．下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．对角线互相垂直且相等
【答案】A
【分析】本题考查平行四边形的判定，根据平行四边形的判定方法一一判断即可．
【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形．正确．
B、对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形．错误．
C、对角线相等的四边形不一定是平行四边形．错误．
D、对角线互相垂直且相等的四边形不一定是平行四边形．错误．
故选：A．
6．如图，在中，分别平分和，过点A作于点D，作于点G，若，，，则的长为（）
A． B．5 C．6 D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了三角形中位线定理以及等腰三角形的判定与性质，关键是掌握三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．问题的难点在于过关键点作辅助线构造．
延长，交的延长线于点，延长，交的延长线于点，依据等腰三角形的判定与性质，即可得到的长；再根据三角形中位线定理，即可得到的长等于的长的一半．
【详解】如图所示，延长，交的延长线于点，延长，交的延长线于点，
∵、分别平分和，
∴，，
又∵，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵平分，
∴点是的中点，
同理可得，点是的中点，
∴是的中位线，
∴，
故选：B．
7．若三角形一边中垂线过另一边中点，则该三角形必为（ ）
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形
【答案】C
【分析】本题考查中垂线的定义和三角形的中位线定理．如图，垂直平分，则，为的中点，再根据为的中点，得到为的中位线，得到，进而得到，即可得出结论．
【详解】解：如图，垂直平分，交于，交于点，
则：，为的中点，
由题意，得：为的中点，
∴为的中位线，
∴，
∴，
∴为直角三角形；
故选C．
8.如图，四边形中，对角线与相交于点O，不能判断四边形是平行四边形的是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，熟知平行四边形的判定条件是解题的关键．
【详解】解：A、，一边平行，另一边相等的四边形不一定是平行四边形，也有可能是等腰梯形，故此条件不能判断四边形是平行四边形，符合题意；
B、，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故此条件能判断四边形是平行四边形，不符合题意；
C、，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故此条件能判断四边形是平行四边形，不符合题意；
D、，对角线互相平分的四边形是平行四边形，故此条件能判断四边形是平行四边形，不符合题意；
故选：A．
填空题
1.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C在网格中的位置如图所示，建立适当的平面直角坐标系，使点A、B、C的坐标分别为、、，在平面直角坐标系中找一点D，使以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形，请写出所有符合条件的点D的坐标： ．
【答案】或或
【分析】此题主要考查平行四边形的判定，分三种情形，可以以、或为一条对角线，画出平行四边形即可.
【详解】解：根据题意得，建立如图直角坐标系．
当，时，；
当，时，；
当，时，．
故答案为：或或．
2.如图，四边形的对角线相交于点，．请添加一个条件： ，使四边形是平行四边形（写出一种情况即可）．
【答案】（答案不唯一）
【解析】略
3.如图，D是直线l外一点，在l上取两点A，B，连接AD，分别以点B，D为圆心，AD，AB的长为半径画弧，两弧交于点C，连接CD，BC，则四边形ABCD是平行四边形，理由是 ．
【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形
【解析】略
4.如图，在中，，，点D，E分别是，边上的动点，连结，F，M分别是，的中点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，三线合一定理，勾股定理，过点B作于G，连接，由三线合一定理和勾股定理求出，进而求出，证明是的中位线，得到，则当时，最小，即此时最小，利用面积法求出，则．
【详解】解：如图所示，过点B作于G，连接，
∵在中，，，
∴，
∴，
∴，
∵F，M分别是，的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴当时，最小，即此时最小，
∵当时，，
∴，
∴，
∴最小值为，
故答案为：．
5.如图，在中，点D，E分别是，的中点，以点A为圆心，为半径作圆弧交于点F．若，，则的长为 ．
【答案】3
【分析】本题考查三角形的中位线性质，熟练掌握三角形的中位线性质是解答的关键．利用三角形的中位线得到，进而求得即可求解．
【详解】解：∵在中，点D、E分别是、的中点，，
∴，即，
∵以A为圆心，为半径作圆弧交于点F，，
∴，
∴，
故答案为：3．
解答题
1.如图，在四边形中，与相交于点O，，E、F分别是、的中点，连接，分别交、于点M、N，判断的形状．
【答案】是等腰三角形，理由见解析
【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，等腰三角形的性质与判定，平行线的性质，如图所示，取中点H，连接，则分别是的中位线，据此得到，，再由得到，进而推出，得到，由此即可得到结论．
【详解】解：是等腰三角形，理由如下：
如图所示，取中点H，连接，
∵E、F分别是、的中点，H是的中点，
∴分别是的中位线，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
2．如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，四边形为平行四边形，点、均为格点.只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图：
(1)在图①中，点、、为格点，在边上找一点，连结，使得．
(2)在图②中，点、为格点，点为边上任意一点，连结，在上找一点，使得.（保留作图痕迹）
(3)在图③中，点、为为网格线上的点，点为边上任意一点连结，在边上找一点，连结，使得．（保留作图痕迹）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了无刻度直尺作图，平行四边形的性质与判定，三角形中位线的性质；
（1）取的中点，连接即可；
（2）取BC的中点，的中点，连接交一点，点即为所求；
（3）取BC的中点，的中点，连接交一点，连接交于点，连接即可．
【详解】（1）如图①中，线段即为所求；
（2）如图②中，点即为所求；
（3）如图③中，线段即为所求．
3.如图，直角中，，，点D是边的中点，点E是边上的一个动点（不与A，B重合），交于点F，设，．
(1)求证：；
(2)写出y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；
(3)写出x为何值时，？
【答案】(1)见详解
(2)，
(3)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，正确证明是关键．
（1）取的中点记为，取的中点记为．根据三角形中位线的性质可得，根据余角的性质可得，根据可证，根据全等三角形的性质即可证明；
（2）根据全等三角形的性质可得，从而得到y关于x的函数关系式，以及x的定义域；
（3）连接，根据三角形中位线的性质可得x为1时，．
【详解】（1）解：取的中点记为H，取的中点记为N．连接
∵，点D是边的中点，
∴都是三角形中位线
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
在与中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴
即
∵E是边上的一个动点（不与A、B重合），
∴；
（3）解：连接，当E与H重合时，，
∵此时，
∴当时，．
4．如图，在平行四边形 中，分别平分和，交于点E，交于点F．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，连接分别交于点G、H，连接与交于点M，与交于点N，请直接写出图中所有的平行四边形（平行四边形除外）．
【答案】(1)见解析
(2)平行四边形、平行四边形、平行四边形、平行四边形．
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，角平分线的定义等等，熟知平行四边形的性质与判定定理是解题的关键．
（1）由平行四边形的性质得到，再由角平分线的定义证明，进而证明，即可证明；
（2）先找出平行四边形，①平行四边形，②平行四边形 ，③平行四边形，④平行四边形，再分别证明即可；
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵分别平分和，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
由（1）得：，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
即，
∴四边形是平行四边形，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴图中所有的平行四边形（平行四边形除外）为平行四边形、平行四边形、平行四边形、平行四边形．
5.如图，直角中，，，点D是边的中点，点E是边上的一个动点（不与A，B重合），交于点F，设，．
(1)求证：；
(2)写出y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；
(3)写出x为何值时，？
【答案】(1)见详解
(2)，
(3)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，正确证明是关键．
（1）取的中点记为，取的中点记为．根据三角形中位线的性质可得，根据余角的性质可得，根据可证，根据全等三角形的性质即可证明；
（2）根据全等三角形的性质可得，从而得到y关于x的函数关系式，以及x的定义域；
（3）连接，根据三角形中位线的性质可得x为1时，．
【详解】（1）解：取的中点记为H，取的中点记为N．连接
∵，点D是边的中点，
∴都是三角形中位线
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
在与中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴
即
∵E是边上的一个动点（不与A、B重合），
∴；
（3）解：连接，当E与H重合时，，
∵此时，
∴当时，．
6.如图所示，在中，分别是上的点，，
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若分别是的中点，连接，与分别交于点，请写出图中除和以外的平行四边形；
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查平行四边形的判定与性质；
（1）根据平行四边形的判定与性质即可证得结论；
（2）根据平行四边形的性质得出，根据中点的性质可得，即可得出，根据可得四边形是平行四边形，根据可得即可得出．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，．
又∵，
∴，即，
∴四边形是平行四边形；
（2）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，．
∴，
∵分别是的中点，
∴，
∴，
∵
∴四边形是平行四边形；
∵
∴
∴四边形是平行四边形；
综上所述，图中还有．
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八年级数学下册 18.1.2 平行四边形的判定 导学案
一、判定方法
1.从边看：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义)。
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
2.从角看：④两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
3.从对角线看：⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形。
二、中位线
1.三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
中位线与中线的区别：中位线是中点与中点的连线，中线是顶点与对边中点的连线。
2.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。
3.三角形中位线定理的作用：在已知两边中点的条件下，证明线段的平行关系及线段的倍分关系。
选择题
1.如图，分别是的边上的中点，如果的周长是，则的周长是（ ）
A． B． C． D．
2.如图，在四边形中，，若添加一个条件，能判断四边形为平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
3．不能判定一个四边形是平行四边形的条件是（ ）
A．一组对边相等，另一组对边平行 B．一组对边平行且相等
C．两条对角线互相平分 D．两组对边分别相等
4.如图，、分别是的中线和角平分线，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．对角线互相垂直且相等
6．如图，在中，分别平分和，过点A作于点D，作于点G，若，，，则的长为（）
A． B．5 C．6 D．
7．若三角形一边中垂线过另一边中点，则该三角形必为（ ）
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形
8.如图，四边形中，对角线与相交于点O，不能判断四边形是平行四边形的是( )
A． B．
C． D．
填空题
1.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C在网格中的位置如图所示，建立适当的平面直角坐标系，使点A、B、C的坐标分别为、、，在平面直角坐标系中找一点D，使以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形，请写出所有符合条件的点D的坐标： ．
2.如图，四边形的对角线相交于点，．请添加一个条件： ，使四边形是平行四边形（写出一种情况即可）．
3.如图，D是直线l外一点，在l上取两点A，B，连接AD，分别以点B，D为圆心，AD，AB的长为半径画弧，两弧交于点C，连接CD，BC，则四边形ABCD是平行四边形，理由是 ．
4.如图，在中，，，点D，E分别是，边上的动点，连结，F，M分别是，的中点，则的最小值为 ．
5.如图，在中，点D，E分别是，的中点，以点A为圆心，为半径作圆弧交于点F．若，，则的长为 ．
解答题
1.如图，在四边形中，与相交于点O，，E、F分别是、的中点，连接，分别交、于点M、N，判断的形状．
2．如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，四边形为平行四边形，点、均为格点.只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图：
(1)在图①中，点、、为格点，在边上找一点，连结，使得．
(2)在图②中，点、为格点，点为边上任意一点，连结，在上找一点，使得.（保留作图痕迹）
(3)在图③中，点、为为网格线上的点，点为边上任意一点连结，在边上找一点，连结，使得．（保留作图痕迹）
3.如图，直角中，，，点D是边的中点，点E是边上的一个动点（不与A，B重合），交于点F，设，．
(1)求证：；
(2)写出y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；
(3)写出x为何值时，？
4．如图，在平行四边形 中，分别平分和，交于点E，交于点F．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，连接分别交于点G、H，连接与交于点M，与交于点N，请直接写出图中所有的平行四边形（平行四边形除外）．
5.如图，直角中，，，点D是边的中点，点E是边上的一个动点（不与A，B重合），交于点F，设，．
(1)求证：；
(2)写出y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；
(3)写出x为何值时，？
6.如图所示，在中，分别是上的点，，
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若分别是的中点，连接，与分别交于点，请写出图中除和以外的平行四边形；
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