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8.1~8.3 幂的运算
【课程导航】
1.幂的运算是初中数学的基本内容，其主要性质有：
⑴同底数幂相乘：底数不变，指数相加，即am·an＝am＋n
⑵幂的乘方：底数不变，指数相乘，即(am)n＝amn
⑶积的乘方：等于乘方的积，即(ab)n＝anbn
法则的推广：当n是正整数时，(abc)n＝a nbncn
［注意］
①幂的底数和指数不仅仅是单独字母或数字，也可以是某个单项式和多项式.
②幂的乘方法则与同底数幂的乘法法则的异同
③多重乘方可以重复运用上述幂的乘方法则：[(am)n]p＝(amn)p＝amnp
④幂的乘方公式可逆用：amn＝(am)n＝(an)m
⑷同底数幂相除：底数不变，指数相减，即am÷an＝am－n (a≠0)
［注意］
幂运算最后结果中幂的形式应是最简的：
①幂的指数、底数都应是最简的；
②底数中系数不能为负；
③幂的底数是积的形式时，要再用一次(ab)n＝anbn
⑸零指数和负指数：规定a0＝1，a－p＝(其中a≠0，p为正整数)
法则的推广：()－p＝ (其中，m、n均为整数)
⑹科学计数法：a×10n的形式(其中1≤a＜10,n取小数点移动位数，向右移动取负，向左移动取正)
【锦囊妙计】
幂的运算在竞赛和考试中多以比较大小以及计算形式出现，而解决这些类型的题目的关键就是熟悉上述性质，并灵活运用.
【典型例题】
计算：
⑴(－)－2＋()0＋(－5)3÷(－5)2
⑵xm·(xn)3÷(xm－1·2x n－1)
思路点拨：运用幂的运算的基本公式进行计算.
解答：解：⑴原式＝(－3)2＋1＋(－5)3－2＝9＋1＋(－5)＝5
⑵原式＝xm·x3n÷2xm＋n－2＝xm＋3n÷2x m＋n－2＝x2n＋2
点评：此题主要考查学生的幂的运算的基本公式的记忆及运用.
计算：2－22－23－24－25－26－27－28－29＋210
思路点拨：本题特殊在利用合并同类项法则可以从后面向前计算.
解答：解：原式＝2－22－23－24－25－26－27－28＋29 (2－1)
＝2－22－23－24－25－26－27－28＋29
…
＝2＋22
＝6
点评：此题主要考查学生对于同底数幂的乘法的逆运用.
例3.⑴已知3×9m×27m＝316，求m的值.
思路点拨：式子左边的底数有3、9、27，右边只有3，我们可以把两边的底数变为一样再进一步寻找关系解决问题.
解答：解：3×32m×33m＝316
31＋2m＋3m＝316
即5m＋1＝16，解得：m＝3.
⑵(b＋3)b＋2＝1，求整数b.
思路点拨：由幂的运算可知an＝1时，a，n大致满足下面几种情况：
①当a＝1时，n取任意整数，可知b＋3＝1，解得b＝－2；
②当a＝－1，n取偶数，可知，解得b＝－4；
③当a≠0，n＝0，可知，解得b＝－2.
点评：⑴题主要考查同底数幂相等，必须指数也要相等.
⑵题主要考查an＝1时，a，n满足的情况.
例4.已知P＝,Q＝,求P、Q的大小关系.
思路点拨：初中阶段比较大小通常有两个方法：作差法和作商法.
解答：解：作差法：P－Q＝－＝－＝0，所以P＝Q.
作商法：＝×＝1,所以P＝Q.
点评：作差法和作商法是比较大小最常用的两种方法，不仅可以比较数字，也可以比较代数式的大小.
【一显身手】
计算：
⑴10m＋1·102m－1·102－m ⑵(x－2y)2·(x－2y)m－1·(x－2y)m＋2
⑶(b－a)(a－b)3(b－a)5 ⑷x3·x4＋x·x3·x3＋(－x) (－x)3·x3
⑸23·24·25－2·22·28 ⑹0.1252006×(22006)3
二、填空题
1．()－1＝ ，(－3)－3＝ ，
(π－3)0＝ ，(－)100×2101＝ .
2．0.0001＝10( )，3.01×10－5＝ (写成小数).
3．x2·( )＝x6, x2·x3－x6÷x＝ ．
(m2)3÷(m3)2＝ ．
4．比较大小：233 322(填＞、＝、＜)．
5．32÷8n－1＝2n，则n＝ ．
6．如果x＋4y－3＝0，那么2x·16y＝ ．
7．一个长方体的长、宽、高分别为a2，a，a3，则这个长方体的体积是 ．
8．一种花粉的直径约为35微米，这种花粉的直径约为 米．
9．(－)－2＝ ，＝( )－3．
10．[(a4)3]2＝ a6＝( )3,－(2ab2)3＝ ．
【中考看点】
1.(乌鲁木齐中考)若a＞0，ax＝2，ay＝3，求ax＋y的值为( )
A．－6 B.6 C. 5 D.－5
2. (锦州中考)下列运算正确的是( )
A．(a＋b)2＝a2＋b2 B．x3＋x3＝x6
C．(a3)2＝a5 D．(2x2)(－3x3)＝－6x5
3.(泰州中考)下列运算正确的是( )
A．a3·a2＝a6 B．(－a2)3＝－a6 C．(ab)3＝ab3 D．a8÷a2＝a4
【自我检测】
一、计算题：
⑴a6·a2 ⑵(－x3)2·(－x2)3
⑶(－a2)3·[－(a3)2] ⑷(a2)6－(a3)4
⑸3t·3·3t－1 ⑹(－0.125)12×813
填空题
1．(－y)5×(－y)4×(－y)3＝ ,x10÷(x4÷x2)＝ ．
2．已知4x＝2x＋3，则x＝ ．
3．已知am＝2,an＝3,则am＋n＝ ，am－n＝ ．
4．三个数(－)－2，(－)－3，(－1)0中最大的是 ，最小的是 ．
5．一列数按以下规律排列1，2，4，8，16，……，则第2004个数是 ．
6．计算机在1秒时间内可完成200万次存储，则计算机完成一次存储的时间为 ．
三、综合题
1.已知10m＝4，10n＝11，求10m＋n的值.
2.已知A＝255，B＝344，C＝433，你有办法比较这三个数的大小吗？
3.已知(x－1)x＋2＝1，求整数x的值.
4.若9×3m×32m＝317，试求m－5的值.
5.已知2a＝3,2b＝6,2c＝12，求a＋c与2b的关系.
6.如果a2＋a＝0(a≠0)，求a2005＋a2004＋12的值.
7．若2x＋5y－3＝0，求4x·32y的值.
8.已知(a2－3)a＋3＝1，求整数2a2＋3a－1的值.
8.1~8.3 幂的运算及拓展
【课程导航】
1.整数幂的个位数
任何一个整数都是由数码组成的，一个整数的个位数只可能是0～9这十个数码中的一个.因为一个数码又是一个整数，所以整数幂的个位数是由这个整数(也就是幂的底数)的个位相乘的次数所决定的.整数幂的个位数性质如下：
⑴个位为0、1、5、6的整数幂的个位数仍是0、1、5、6.
⑵个位数为4的整数幂的个位数，当指数是2k＋1及2k(k为正整数)时，分别为4或6，类似有个位数为9的整数幂的个位数，分别为9和1.
⑶个位数为2的整数幂的个位数，当指数为4k＋1、4k＋2、4k＋3、4k时依次为2、4、6、8，类似有个位数为3的整数幂的个位数分别为3、9、7、1，个位为7的整数幂的个位数分别为7、9、3、1，个位数为8的整数幂的个位数分别为8、4、2、6.
⑷个位数为1、3、7、9的整数，四次幂后的个位数都是1；
⑸任一整数与它的五次幂总是以同一个数码为末位数.
2.若an中，a为正整数，n＝2，则称a2为完全平方数，在整数理论的研究中它有一席之地.
【锦囊妙计】
1.利用幂的运算及整数理论，讨论an的末位数或末两位数.
2.作为幂的运算的一个内容：讨论完全平方数的性质.
【典型例题】
例题1. 已知83＝a9＝2b，求(a－b)2＋(a＋b)2－2b(a2＋b)的值．
思路点拨：求代数式的值，需要知道a、b的值，而条件中是幂等式，因此保证底数和指数相等即可．
解答：解：由83＝a9＝2b可知29＝a9＝2b，即a＝2，b＝9．
(a－b)2＋(a＋b)2－2b(a2＋b)＝ (2－)2＋ (2＋)2－2×9×(22＋)＝－64
例题2. 求满足()a·()b·()c＝2的一切正整数a、b、c的值．
思路点拨：式子左边的底数不是整数，右边只有2，我们先将左边用幂的运算公式化成底数为整数的形式，再比较即可．
解答：解：()a·()b·()c＝··＝2b＋4c－3a·32a－2b－c·5b－c＝2
可得，解得
例题3.若21986是位整数，51986是位整数，求的值．
思路点拨： 通常解决数位的问题，可以利用科学计数法进行转换，变成指数问题.
解答：解：设21986 ＝a×10 m－1,51986 ＝b×10n－1(1＜a、b＜10).
则两式相乘：101986 ＝ab×10m＋n－2，即10×101985＝ab×10m＋n－2．
故m＋n－2＝1985,于是m＋n＝1987.
【一显身手】
1.计算：
⑴x3·x4＋x9÷x2 ⑵(－ab)m÷(－ab)m－2 (m为大于2的整数)
⑶(m5)2·m3 ⑷x6·x·x7
⑸(－xy)9÷(－xy)6 ⑹(a3)5·(a2)4÷(a2)5÷a
⑺[(x－2y)3]3÷[(2y－x)2]4 ⑻(－2×)200·(0.5×3)199
二、综合题
1.已知xm＝3，xn＝5，求xm＋n的值.
2.已知4m＋3·8m＋1÷24m＋7＝16，求m的值.
3.若10a＝20，10b＝5－1，求9a÷32b的值.
4.⑴已知am＝2，求a3m.
⑵已知am＝3，an＝2，求a2m＋3n.
⑶已知2m·4m·8m＝218，求m的值.
5.若()n÷()n＝3，求n的值.
【中考看点】
1.(南京中考)PM2.5是指大气中直径小于或等于0.0000025m的颗粒物，将0.0000025用科学计数法表示为( )
A．0.25×10－5 B.0.25×10－6 C.2.5×10－5 D.2.5×10－6
2.(台湾中考)已知456456＝23×a×7×11×13×b，其中a、b均为质数.若b＞a，则b－a之值为( )
A．12 B.14 C. 16 D.18
【自我检测】
1.计算：
⑴a3·a4·a＋(a2)4＋(－2a4)2 ⑵2(x3)2·x3－(3x3)3＋(5x)2·x2
⑶(3x3)2·(－2y2)5÷(－6xy4) ⑷(a－b)2·(a－b)4＋(b－a)3·(a－b)3
⑸(5×105)3÷(2.5×103)×(－4×10－7)2 ⑹(－3)0＋23×(－2)2＋(－5)4÷()－2
⑺2－5×0.5－4＋3－2×()－3 ⑻[－24×(4－2×20)÷(－2)－4÷26]×4÷102
二、综合题
1.若(x2)3·x÷－(π－3.14)0＝0，试求x－1999＋x－2000＋1的值.
2.若＝＝，且xy＋yz＋zx＝76，试求2x2＋12y2＋9z2的值.
3.若，则＝ ．
4.已知代数式y＝ax5＋bx3＋cx＋d，当x＝0时，y＝－5.当x＝－3，y＝9，求：当x＝3时y的值.
5.试确定32004×72005所得积的末位数字.
6.求14＋24＋34＋…＋20044＋20054的个位数字.
7.解关于x的方程：(x－2)x－1＝1.
8.已知x3＝m，x5＝n用含有m、n的代数式表示x14.
9.求使得＝1成立的所有x的值.

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