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串讲 圆锥曲线
知识网络
二、常考题型
三、知识梳理
1.椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
注：（1）若，M的轨迹为椭圆；
（2）若，M的轨迹为线段；
（3）若，M的轨迹无图形
2.椭圆的方程及简单几何性质
（1）焦点在x轴：
①标准方程：＋＝1(a＞b＞0)
②范围：－a≤x≤a且－b≤y≤b
③顶点：A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b)
④轴长：长轴长＝，短轴长＝
⑤焦点：F1(－c,0)，F2(c,0)
⑥焦距：|F1F2|＝
⑦对称性：对称轴x轴和y轴，对称中心(0,0)
⑧离心率：e＝(0（2）焦点在y轴：
①标准方程：＋＝1(a＞b＞0)
②范围：－b≤x≤b且－a≤y≤a
③顶点：A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)
④轴长：长轴长＝，短轴长＝
⑤焦点：F1(0，－c)，F2(0，c)
⑥焦距：|F1F2|＝
⑦对称性：对称轴x轴和y轴，对称中心(0,0)
⑧离心率：e＝(03.点与椭圆的位置关系
点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a＞b＞0)的位置关系：
点P在椭圆上 ＋＝1(a＞b＞0)；点P在椭圆内部 ＋<1；点P在椭圆外部 ＋>1.
4.直线与椭圆相交的弦长公式
如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则弦长公式为：
|AB|＝·＝ ·.
5.双曲线的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
注：（1）当时，M的轨迹不存在；
（2）当时，M的轨迹是分别以F1，F2为端点的两条射线．
（3）当时，M的轨迹是线段F1F2的垂直平分线．
6.双曲线的方程及简单几何性质
（1）焦点在x轴：
①标准方程：－＝1(a>0，b>0)
②范围：x≤－a或 x≥a，y∈
③顶点：A1(－a,0)，A2(a,0)
④轴长：实轴长2a；虚轴长2b
⑤焦点：F1(－c,0)，F2(c,0)
⑥焦距：|F1F2|＝2c
⑦对称性：对称轴：坐标轴；对称中心：原点
⑧离心率：e＝(1⑨渐近线：y＝±x
（2）焦点在y轴：
①标准方程：－＝1(a>0，b>0)
②范围：y≤－a或 y≥a，x∈
③顶点：A1(0，－a)，A2(0，a)
④轴长：实轴长2a；虚轴长2b
⑤焦点：F1(0，－c)，F2(0，c)
⑥焦距：|F1F2|＝2c
⑦对称性：对称轴：坐标轴；对称中心：原点
⑧离心率：e＝(1⑨渐近线：y＝±x
7.抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
8.抛物线的方程及简单几何性质
（1）y2＝2px(p>0)
①准线：
②范围：x≥0，y∈R
③顶点：O(0,0)
④开口方向：向右
⑤焦点：
⑥对称性：x轴
⑦离心率：e＝1
（2）y2＝－2px(p>0)
①准线：
②范围：x≤0，y∈R
③顶点：O(0,0)
④开口方向：向左
⑤焦点：
⑥对称性：x轴
⑦离心率：e＝1
（3）x2＝2py(p>0)
①准线：y＝－
②范围：x∈R，y≥0
③顶点：O(0,0)
④开口方向：向上
⑤焦点：
⑥对称性：y轴
⑦离心率：e＝1
（4）x2＝－2py(p>0)
①准线：y＝
②范围：x∈R，y≤0
③顶点：O(0,0)
④开口方向：向下
⑤焦点：
⑥对称性：y轴
⑦离心率：e＝1
9.直线与圆锥曲线相交，弦长、中点弦问题．
（1）处理弦长问题，一般将直线方程与圆锥曲线方程联立得方程组，化为一元二次方程后，利用根与系数的关系，代入弦长公式或，其中k为直线AB的斜率，．
（2）处理中点弦问题，一般有两种思路。思路一：联立方程组，消元，利用根与系数的关系进行设而不求；思路二：利用“点差法”．
四、常考题型探究
考点一 椭圆的定义
例1. 已知为两定点，，动点满足，则动点的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段
【答案】D
【分析】利用椭圆轨迹的相关定义即可得解.
【详解】因为
所以为线段上的点.
故选：D.
例2. 已知平面内一动点P到两定点，的距离之和为8，则动点P的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据椭圆的定义直接求解即可.
【详解】因为平面内一动点P到两定点，的距离之和为8，且，
所以动点P的轨迹方程为焦点位于轴的椭圆，
设椭圆方程为，焦距为，
则，解得，故动点P的轨迹方程为.
故选：B
【变式探究】已知是椭圆上一点，分别为的左、右焦点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据椭圆的定义从而可求解.
【详解】由题意知点在椭圆上，所以由椭圆的定义可得．故D正确.
故选：D.
考点二 椭圆的标准方程
例3. 椭圆的离心率为，则（ ）
A．2 B．1 C． D．2或
【答案】D
【分析】对 的值分类讨论，进而求得，由椭圆的离心率建立等式，进而求出的值.
【详解】由于椭圆方程为，
当时，
则，
其离心率为：，解得，
当时，
则，
其离心率为：，解得，
综上，的值为2或.
故选：D.
例4. 已知椭圆的焦距等于2，则实数的值为 ．
【答案】3或5
【分析】讨论焦点在轴和焦点在轴上两种情况计算可得.
【详解】若椭圆的焦点在轴上，则由已知得，得；
若椭圆的焦点在轴上，则由已知得，得．
综上，知所求实数的值为3或5.
故答案为：3或5.
【变式探究】已知中心为坐标原点，焦点在坐标轴上的椭圆经过点，，求的方程．
【答案】
【分析】设椭圆方程，将点坐标代入求参数，即可得方程.
【详解】依题意，设的方程为，且，
因为经过点，，
所以，解得，
故的方程为．
考点三 椭圆的几何性质
例5. 已知、是椭圆的两个焦点，过的直线与椭圆交于、两点，则的周长为（ ）
A．16 B．8 C．25 D．32
【答案】A
【分析】利用椭圆的定义计算可得；
【详解】解：由椭圆的定义可知，，，
故选：A．
例6. 设是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点距离之和为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】D
【分析】首先求出，再根据椭圆的定义得解.
【详解】椭圆，则，所以，
因为是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点距离之和为.
故选：D
【变式探究】已知椭圆的两个焦点是、，点是椭圆上一点，且，则的面积是 .
【答案】4
【分析】根据椭圆的定义和已知条件，可求出的值，再根据勾股定理，可证明是以为直角边的直角三角形，由此即可求出结果.
【详解】由椭圆的定义可知，，
又，
联立两式 ，可得
又，
所以，
所以是以为直角边的直角三角形，
所以的面积为.
故答案为：.
考点四 直线与椭圆的关系
例7. 直线与椭圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
【答案】C
【分析】代数法联立直线与椭圆，转化为二次方程根的问题来判断即可.
【详解】联立，
则
所以方程有两个不相等的实数根，
所以直线与椭圆相交
故选：C.
例8. 过点A(0,1)的直线一定与椭圆相交 .（正确或错误）
【答案】正确
【分析】将代入椭圆方程左面直接判断即可.
【详解】因为，所以A(0,1)在椭圆内，故过点A(0,1)的直线一定与椭圆相交.
故答案为：正确
【变式探究】已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，且过点，，
(1)求的标准方程；
(2)写出的焦点和顶点坐标.
【答案】(1)
(2)焦点坐标为，顶点坐标为，
【分析】（1）设椭圆的方程为（，，），代入求解即可；
（2）由（1）的结论即可得出答案.
【详解】（1）设椭圆的方程为（，，），
则，解得，，
椭圆的标准方程为.
（2）椭圆的焦点在轴上，
焦点坐标为，顶点坐标为，.
考点五 双曲线的定义
例9. 已知双曲线的左、右焦点为，，若双曲线上存在点满足，则双曲线的一条渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用双曲线定义得a值，进而求得渐近线方程
【详解】由题意，则，故渐近线方程为
故选：D
例10. 双曲线的左右焦点分别是与是双曲线左支上的一点，且，则（ ）
A．1 B．13 C．1或13 D．3
【答案】B
【分析】根据双曲线的定义即可求解.
【详解】是双曲线左支上的一点，
所以，解得：，
由双曲线定义可知，，所以13.
故选：B.
【变式探究】若双曲线上一点到其右焦点的距离是8,则点到其左焦点的距离是（ ）
A．4 B．10 C．2或10 D．4或12
【答案】D
【分析】通过对点的位置进行分类讨论,再结合双曲线的定义进行运算即可.
【详解】由双曲线的方程可得,所以,可得.
设右焦点为,左焦点为,
当点在左支上时,则,所以；
当点在右支上时,．
故选:D.
考点六 双曲线的标准方程
例11. 焦距为26，且经过点的双曲线的标准方程是 .
【答案】
【分析】由题意得到，，得到双曲线方程.
【详解】∵双曲线经过点，
∴为双曲线的一个顶点，
故焦点在y轴上，且.
又，∴，
∴.
∴双曲线的标准方程为.
故答案为：
例12. 已知双曲线的焦距为6，它的离心率为3，则该双曲线的标准方程为 .
【答案】或
【分析】根据双曲线的焦距和离心率求出，再分两种情况写出标准方程.
【详解】依题意，，
由，得，所以，
当双曲线的焦点在轴上时，双曲线的标准方程为；
当双曲线的焦点在轴上时，双曲线的标准方程为.
故答案为：或.
【变式探究】已知双曲线的中心为坐标原点，对称轴为轴，轴，且过，两点，求双曲线的方程.
【答案】
【分析】由双曲线所过的点，利用待定系数法即可求得双曲线方程.
【详解】设曲线的方程为，
由曲线过，两点，得，解得，
所以曲线的方程为.
考点七 双曲线的几何性质
例13. 如果曲线经过平移坐标轴后的新方程为，那么新坐标系的原点在原坐标系中的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先将曲线方程化简，在观察此方程由什么样的平移方式得到新方程为，从而就得到答案.
【详解】由曲线方程，得，
可知该双曲线的中心为，
它经过平移坐标轴后的新方程为，在新坐标系下，双曲线的中心变为，
因此新坐标系的原点在原坐标系中的坐标为
故选：D.
例14. 双曲线的实轴长比虚轴长短（ ）
A．4 B．2 C．10 D．20
【答案】A
【分析】根据双曲线方程求出实轴长和虚轴长，进而求解即可.
【详解】由双曲线，则，，
即，
所以实轴长为，虚轴长为，
所以实轴长比虚轴长短4.
故选：A.
【变式探究】已知双曲线的左焦点与抛物线的焦点重合，则双曲线的实轴长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由抛物线方程求得其焦点坐标，进而求得c的值，再由双曲线中a、b、c的关系求得a的值，进而求得实轴长.
【详解】抛物线的焦点为，所以，
由得，
所以，所以实轴长为.
故选：D.
考点八 直线与双曲线的关系
例15. 双曲线：的渐近线恰好与曲线相切，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设渐近线方程联立，利用判别式求得斜率，然后根据公式可得.
【详解】设双曲线的渐近线为，代入联立可得，
由条件可知，故，故，
则的离心率为.
故选：C
例16. 若双曲线的一条渐近线方程为，则 ．
【答案】
【分析】由题意得，从而可求出的值
【详解】根据题意得，解得.
故答案为：81
【变式探究】已知点在双曲线上，且双曲线的一条渐近线的方程是．
(1)求双曲线的方程；
(2)若过点且斜率为的直线与双曲线仅有一个交点，求实数的值．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）由渐近线公式，以及代入点的坐标，即可求解双曲线方程；
（2）直线方程与双曲线方程联立，根据交点个数，求实数的取值范围.
【详解】（1）由条件可知，，且，解得：，，
所以双曲线方程为；
（2）设直线的方程为，
联立，，
时，，得；
当时，时，，得，满足条件，
综上可知，或.
考点九 抛物线的定义
例17. 已知抛物线上点的纵坐标为1，则到的焦点的距离为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【分析】首先求出抛物线的准线方程，再根据抛物线的定义计算可得.
【详解】抛物线的准线方程为，
又点在抛物线上且纵坐标为，所以点到的焦点的距离为.
故选：B
例18. 已知为抛物线：（）上一点，点到的焦点的距离为，则（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
【答案】C
【分析】根据抛物线的定义列方程来求得的值.
【详解】根据抛物线的定义可知，.
故选：C
【变式探究】若抛物线（）上一点到其焦点的距离为3，则该抛物线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】将抛物线上点到焦点的距离转化为到准线的距离求解.
【详解】抛物线的准线方程为，所以点P到焦点的距离为，
所以，抛物线的方程为.
故选：A.
考点十 抛物线的标准方程
例19. 已知抛物线C关于x轴对称，且焦点在直线上，则抛物线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出直线与轴的交点坐标，从而得到抛物线的焦点坐标，得到答案.
【详解】直线与轴的交点为，所以抛物线的焦点为，
故，解得，抛物线的标准方程为．
故选：D．
例20. 抛物线的准线方程是，则其标准方程是 .
【答案】
【分析】根据准线方程可求抛物线的标准方程.
【详解】由抛物线的准线方程是可知，抛物线开口向上，焦点为坐标，
则抛物线的标准方程为.
故答案为：.
【变式探究】已知抛物线的对称轴为x轴，顶点是坐标原点且开口向左，又抛物线经过点，求这个抛物线的标准方程．
【答案】
【分析】根据抛物线的性质，利用待定系数法即可求解.
【详解】根据已知条件可设抛物线的标准方程为，
因为点在抛物线上，所以，因此．
从而可知所求方程为．
考点十一 抛物线的几何性质
例21. 若抛物线上一点到准线的距离等于它到顶点的距离，则点的坐标可以为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】先求得焦点坐标，然后根据抛物线的定义求得点的坐标.
【详解】设抛物线的焦点为，则，
依题意可知，所以，
则.
所以点坐标为：、.
故选：BD
例22. 若点为抛物线上的动点，为该抛物线的焦点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由抛物线的性质：焦半径最小时，抛物线上的点必为顶点；结合抛物线方程，即可知的最小值.
【详解】由抛物线的性质知：焦点到抛物线上点，距离最小的点为抛物线顶点，而，有，
∴的最小值为，
故选：D
【变式探究】过拋物线的焦点F作斜率为1的直线l，交抛物线C于A，B两点，则弦长=（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】写出直线方程，联立抛物线求得，，再应用相交弦的弦长公式求即可.
【详解】由题设，，则直线l为，联立抛物线得，
∴，，则，
∴.
故选：B
考点十二 直线与抛物线的关系
例23. 过点(2，4)的直线与抛物线y2＝8x只有一个公共点，这样的直线有（ ）
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
【答案】B
【分析】根据题意，判断点(2，4)是否在抛物线上，即可求解.
【详解】因点(2，4)在抛物线y2＝8x上，所以过该点与抛物线相切的直线和过该点与x轴平行的直线都与抛物线只有一个公共点.
故选B.
例24. 直线与抛物线交于A，B两点，则= ．
【答案】16
【分析】联立直线与抛物线方程，利用两点距离公式计算即可.
【详解】联立方程解得或，不妨令，则，即．
故答案为：16
【变式探究】已知圆的圆心是抛物线的焦点．
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线交抛物线于两点，且点是弦的中点，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由圆心是抛物线的焦点，找到抛物线的焦点，从而得到抛物线的方程；
（2）利用点差法，找到直线的斜率，进而求得直线的方程.
【详解】（1）圆的方程可化为，
故圆心的坐标为．
设抛物线的方程为()，所以，所以，
所以抛物线的方程为．
（2）设，，则两式相减，
得，即，
所以直线的斜率．
因为点是的中点，所以，所以．
所以直线的方程为，即．串讲 圆锥曲线
知识网络
二、常考题型
三、知识梳理
1.椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
注：（1）若，M的轨迹为椭圆；
（2）若，M的轨迹为线段；
（3）若，M的轨迹无图形
2.椭圆的方程及简单几何性质
（1）焦点在x轴：
①标准方程：＋＝1(a＞b＞0)
②范围：－a≤x≤a且－b≤y≤b
③顶点：A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b)
④轴长：长轴长＝，短轴长＝
⑤焦点：F1(－c,0)，F2(c,0)
⑥焦距：|F1F2|＝
⑦对称性：对称轴x轴和y轴，对称中心(0,0)
⑧离心率：e＝(0（2）焦点在y轴：
①标准方程：＋＝1(a＞b＞0)
②范围：－b≤x≤b且－a≤y≤a
③顶点：A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)
④轴长：长轴长＝，短轴长＝
⑤焦点：F1(0，－c)，F2(0，c)
⑥焦距：|F1F2|＝
⑦对称性：对称轴x轴和y轴，对称中心(0,0)
⑧离心率：e＝(03.点与椭圆的位置关系
点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a＞b＞0)的位置关系：
点P在椭圆上 ＋＝1(a＞b＞0)；点P在椭圆内部 ＋<1；点P在椭圆外部 ＋>1.
4.直线与椭圆相交的弦长公式
如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则弦长公式为：
|AB|＝·＝ ·.
5.双曲线的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
注：（1）当时，M的轨迹不存在；
（2）当时，M的轨迹是分别以F1，F2为端点的两条射线．
（3）当时，M的轨迹是线段F1F2的垂直平分线．
6.双曲线的方程及简单几何性质
（1）焦点在x轴：
①标准方程：－＝1(a>0，b>0)
②范围：x≤－a或 x≥a，y∈
③顶点：A1(－a,0)，A2(a,0)
④轴长：实轴长2a；虚轴长2b
⑤焦点：F1(－c,0)，F2(c,0)
⑥焦距：|F1F2|＝2c
⑦对称性：对称轴：坐标轴；对称中心：原点
⑧离心率：e＝(1⑨渐近线：y＝±x
（2）焦点在y轴：
①标准方程：－＝1(a>0，b>0)
②范围：y≤－a或 y≥a，x∈
③顶点：A1(0，－a)，A2(0，a)
④轴长：实轴长2a；虚轴长2b
⑤焦点：F1(0，－c)，F2(0，c)
⑥焦距：|F1F2|＝2c
⑦对称性：对称轴：坐标轴；对称中心：原点
⑧离心率：e＝(1⑨渐近线：y＝±x
7.抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
8.抛物线的方程及简单几何性质
（1）y2＝2px(p>0)
①准线：
②范围：x≥0，y∈R
③顶点：O(0,0)
④开口方向：向右
⑤焦点：
⑥对称性：x轴
⑦离心率：e＝1
（2）y2＝－2px(p>0)
①准线：
②范围：x≤0，y∈R
③顶点：O(0,0)
④开口方向：向左
⑤焦点：
⑥对称性：x轴
⑦离心率：e＝1
（3）x2＝2py(p>0)
①准线：y＝－
②范围：x∈R，y≥0
③顶点：O(0,0)
④开口方向：向上
⑤焦点：
⑥对称性：y轴
⑦离心率：e＝1
（4）x2＝－2py(p>0)
①准线：y＝
②范围：x∈R，y≤0
③顶点：O(0,0)
④开口方向：向下
⑤焦点：
⑥对称性：y轴
⑦离心率：e＝1
9.直线与圆锥曲线相交，弦长、中点弦问题．
（1）处理弦长问题，一般将直线方程与圆锥曲线方程联立得方程组，化为一元二次方程后，利用根与系数的关系，代入弦长公式或，其中k为直线AB的斜率，．
（2）处理中点弦问题，一般有两种思路。思路一：联立方程组，消元，利用根与系数的关系进行设而不求；思路二：利用“点差法”．
四、常考题型探究
考点一 椭圆的定义
例1. 已知为两定点，，动点满足，则动点的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段
例2. 已知平面内一动点P到两定点，的距离之和为8，则动点P的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式探究】已知是椭圆上一点，分别为的左、右焦点，则（ ）
A． B． C． D．
考点二 椭圆的标准方程
例3. 椭圆的离心率为，则（ ）
A．2 B．1 C． D．2或
例4. 已知椭圆的焦距等于2，则实数的值为 ．
【变式探究】已知中心为坐标原点，焦点在坐标轴上的椭圆经过点，，求的方程．
考点三 椭圆的几何性质
例5. 已知、是椭圆的两个焦点，过的直线与椭圆交于、两点，则的周长为（ ）
A．16 B．8 C．25 D．32
例6. 设是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点距离之和为（ ）
A． B． C．4 D．
【变式探究】已知椭圆的两个焦点是、，点是椭圆上一点，且，则的面积是 .
考点四 直线与椭圆的关系
例7. 直线与椭圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
例8. 过点A(0,1)的直线一定与椭圆相交 .（正确或错误）
【变式探究】已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，且过点，，
(1)求的标准方程；
(2)写出的焦点和顶点坐标.
考点五 双曲线的定义
例9. 已知双曲线的左、右焦点为，，若双曲线上存在点满足，则双曲线的一条渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
例10. 双曲线的左右焦点分别是与是双曲线左支上的一点，且，则（ ）
A．1 B．13 C．1或13 D．3
【变式探究】若双曲线上一点到其右焦点的距离是8,则点到其左焦点的距离是（ ）
A．4 B．10 C．2或10 D．4或12
考点六 双曲线的标准方程
例11. 焦距为26，且经过点的双曲线的标准方程是 .
例12. 已知双曲线的焦距为6，它的离心率为3，则该双曲线的标准方程为 .
【变式探究】已知双曲线的中心为坐标原点，对称轴为轴，轴，且过，两点，求双曲线的方程.
考点七 双曲线的几何性质
例13. 如果曲线经过平移坐标轴后的新方程为，那么新坐标系的原点在原坐标系中的坐标为（ ）
A． B． C． D．
例14. 双曲线的实轴长比虚轴长短（ ）
A．4 B．2 C．10 D．20
【变式探究】已知双曲线的左焦点与抛物线的焦点重合，则双曲线的实轴长为（ ）
A． B． C． D．
考点八 直线与双曲线的关系
例15. 双曲线：的渐近线恰好与曲线相切，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
例16. 若双曲线的一条渐近线方程为，则 ．
【变式探究】已知点在双曲线上，且双曲线的一条渐近线的方程是．
(1)求双曲线的方程；
(2)若过点且斜率为的直线与双曲线仅有一个交点，求实数的值．
考点九 抛物线的定义
例17. 已知抛物线上点的纵坐标为1，则到的焦点的距离为（ ）
A．1 B． C． D．2
例18. 已知为抛物线：（）上一点，点到的焦点的距离为，则（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
【变式探究】若抛物线（）上一点到其焦点的距离为3，则该抛物线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
考点十 抛物线的标准方程
例19. 已知抛物线C关于x轴对称，且焦点在直线上，则抛物线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
例20. 抛物线的准线方程是，则其标准方程是 .
【变式探究】已知抛物线的对称轴为x轴，顶点是坐标原点且开口向左，又抛物线经过点，求这个抛物线的标准方程．
考点十一 抛物线的几何性质
例21. 若抛物线上一点到准线的距离等于它到顶点的距离，则点的坐标可以为（ ）
A． B．
C． D．
例22. 若点为抛物线上的动点，为该抛物线的焦点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式探究】过拋物线的焦点F作斜率为1的直线l，交抛物线C于A，B两点，则弦长=（ ）
A． B． C． D．
考点十二 直线与抛物线的关系
例23. 过点(2，4)的直线与抛物线y2＝8x只有一个公共点，这样的直线有（ ）
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
例24. 直线与抛物线交于A，B两点，则= ．
【变式探究】已知圆的圆心是抛物线的焦点．
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线交抛物线于两点，且点是弦的中点，求直线的方程．

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