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2023-2024学年人教版七年级数学下册《8.3实际问题与二元一次方程组—古代算术问题》专题提升训练（附答案）
一、单选题
1．明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题，只闻隔壁人分银，不知多少银和人．每人9两少9两，每人半斤多半斤（古代1斤=16两）．试问各位善算者，多少人分多少银．设有人，分两银，根据题意列二元一次方程组正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．《九章算术》中记载“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？若设人数为人，羊价钱，则下面所列方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．我国清代算书《御制数理精蕴》（卷九）中有这样一题：“设如有甲、乙二人人山采果共得三百枚，但云甲数加六百枚，乙数加二百枚，则甲数比乙数多二倍．问甲、乙各得几何．”设甲数为枚，乙数为枚，根据题意可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
4．《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余l尺，问木长多少尺？若设木长尺，绳子长尺，则可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
5．我国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的．如图1，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数，的系数与相应的常数项，把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组的形式表述出来，就是类似地，表述图2所示的算筹图的方程组是（ ）
A． B． C． D．
6．《九章算术》中有这样一个题：今有二马、一牛价过-一万、如半马之价．一马、二牛价不满一万、如半牛之价．问牛、马价各几何？其意思是：今有2匹马、1头牛的总价超过1万钱，其超出的钱数相当于匹马的价格，1匹马、2头牛的总价不足1万钱，所差的钱数相当于头牛的价格．问每头牛、每匹马的价格各是多少？设每匹马的价格为x万钱，每头牛的价格为y万钱，则可建立方程组为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
7．我国古代数学名著《张丘建算经》中有这样一题：一只公鸡值5钱，一只母鸡值3钱，3只小鸡值1钱，现花钱买了只鸡．若公鸡有8只，设母鸡有只，小鸡有只，可列方程组为 ．
8．“两果问价”问题出自我国古代算书《四元玉鉴》，原题如下：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱．试问甜苦果几个？又问各该几个钱？将题目译成白话文，内容如下：九百九十九钱买了甜果和苦果共一千个，已知十一文钱可买九个甜果，四文钱可买七个苦果，那么甜果、苦果各买了多少个？设甜果买了x个，苦果买了y个，根据题意，可列方程组为 ．
9．“今有六十鹿进舍，小舍容四鹿，大舍容五鹿，需舍几何？（改编自《缉古算经》）”大意为：今有60只鹿进圈舍，小圈舍可以容纳4头鹿，大圈舍可以容纳5头鹿，求所需圈舍的间数．设小圈舍的间数是x间，大圈舍的间数是y间，则可列方程为 ．
10．《孙子算经》是我国古代一部较为普及的算书，许多问题浅显有趣，其中下卷第31题“雉兔同笼”流传尤为广泛，漂洋过海流传到了日本等国．“雉兔同笼”题为：“今有雉（鸡）兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”设雉（鸡）有x只，兔有y只，则可列方程组为 ．
11．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中一道题的原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有人，辆车，可列方程组为 ．
12．我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有大器五小器一容九斛，大器一小器五容三斛．问大小器各容几何．”其大意为：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒9斛（斛，音hu，是古代的一种容量单位）．1个大桶加上5个小桶可以盛酒3斛，问1个大桶和1个小桶分别可以盛 斛酒．
三、解答题
13．古代有一个官兵分布的问题：“一千官兵一千布，一官四尺无零数，四兵才得布一尺，请问官兵多少数？”大意如下：一千名军官和士兵分一千尺布，一名军官分四尺，四名士兵分一尺，正好分完．问军官和士兵各有多少名？
14．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”这首诗的意思是说：如果一间客房住个人，那么就剩个人安排不下；如果一间客房住个人，那么就空出一间客房．问现有客房多少间？房客多少人？（请列方程组解答)
15．《九章算术》记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？”大意是：甲、乙二人带着钱，不知多少，若甲得到乙的钱数的，则甲的钱数为50；若乙得到甲的钱数的，则乙的钱数也能为50，问甲、乙各有多少钱？
16．《九章算术》中有这样一道题，原文如下：今有上禾六秉，损实一斗八升，当下禾一十秉．下禾十五秉，损实五升，当上禾五秉．问：上、下禾实一秉各几何？大意为：今有上禾6束，减损其中之“实”1斗8升，与下禾10束之“实”相当；下禾15束，减损其中之“实”5升，与上禾5束之“实”相当．问上、下禾每1束之实各为多少 （10升为1斗）
17．列方程组解应用题：
我国南宋数学家杨辉在《续古摘奇算法》中的攒九图中提出“幻圆”的概念．如图是一个最简的二阶幻圆的模型，将一些数字分别填入图中的圆圈内，要求：①外、内两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等，请你求出图中外，内两个圆周上两空白圆圈内应填写的数字是多少
18．《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，在中国古代数学史上有着重要地位．其中有这样一个问题：
酒分醇醨
务中听得语吟吟，亩道醇醨酒二盆．
醇酒一升醉三客，醨酒三升醉一人．
共通饮了一斗九，三十三客醉醺醺．
欲问高明能算士，几何醨酒几多醇？
其大意为：有好酒和薄酒分别装在瓶中，好酒1升醉了3位客人，薄酒3升醉了1位客人，现在好酒和薄酒一共饮了19升，醉了33位客人，试问好酒、薄酒各有多少升？
19．清朝数学家梅文鼎的著作《方程论》中有这样一道题：山田三亩，场地六亩共折实田四亩七分；又山田五亩，场地三亩，共折实田五亩五分，问每亩山田折实田多少，每亩场地折实田多少？
译文为：假如有山田3亩，场地6亩，其产粮相当于实田4.7亩；有山田5亩，场地3亩，其产粮相当于实田5.5亩，问每亩山田和每亩场地产粮各相当于实田多少亩？请用方程组的知识解答．
20．我国古代数学著作《九章算术》中记载有这样一个问题：“今有甲、乙二人，持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲大半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”题目大意是：今有甲、乙二人，各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50，问甲、乙二人各带了多少钱？
(1)求甲、乙两人各带的钱数；
(2)若小明、小颖去文具店购买作业本，两人带的钱数（单位：元）恰好等于甲、乙两人各带的钱数，已知作业本的单价为2.5元/本．由于开学之际，文具店搞促销活动，凡消费50元可以打八折，那么他们合起来购买可以比单独购买多多少本作业本？
参考答案
1．解：设有人，分两银，则，
故选：D．
2．解：设合伙人人数为人，羊价钱，根据题意，可列方程组为：，即．
故选：B
3．解：设甲数为枚，乙数为枚，
根据题意，得：，
故选：A．
4．解：设木长尺，绳子长尺，
∵用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，
∴．
∵将绳子对折再量长木，长木还剩余l尺，
∴，
∴可列方程组为．
故选C．
5．解：根据图1所示的算筹的表示方法，
可推出图2所示的算筹表示的方程组：
故选：A．
6．解：根据题意，得：，
故选：D．
7．解：依题意得：，
故答案为：．
8．解：由题意可得，
，
故答案为：．
9．解：依题意得：．
故答案是：．
10．解：根据题意，得，
故答案为：．
11．解：设有人，辆车．
每辆车乘坐3人，则空余两辆车，坐满人的车数为（y-2），总人数3（y-2）人，可得x=3(y-2)，
若每辆车乘坐2人，则有9人步行，车上人数为2y人，总人数为（2y+9）人，可得x=2y+9，
列方程组得．
故答案为．
12．解：设1个大桶可盛x斛酒，1个小桶可盛y斛酒;
则;
解得;
所以设1个大桶可盛斛酒，1个小桶可盛斛酒;
13．解：设军官有名，士兵名，根据题意，得：
解得：
答：军官有名，士兵有名．
14．解：设客房间，房客人，
由题意得，
解得．
答：客房间，房客人．
15．解：设甲有x钱，乙有y钱，
依题意得：，解得：
答：甲有37.5钱，乙有25钱．
16．解：设上、下禾每1束之实各为x，y升，
根据题意可列方程组：
，解得：
答：上、下禾每1束之实分别为8升和3升．
17．解：设图中外圆周上空白圆圈内填写的数字是x，
图中内圆周上空白圆圈内填写的数字是y，
根据题意得，
解得：，
答：图中外圆周上空白圆圈内填写的数字是4图中内圆周上空白圆圈内填写的数字是7．
18．解：设好酒x升，薄酒y升，由题意得：
，解得：，
答：好酒10升，薄酒9升．
19．解：设每亩山田产粮相当于实田亩，每亩场地产粮相当于实田亩，
根据题意，得 ，
解得 ．
答：每亩山田产粮相当于实田0.9亩，每亩场地产粮相当于实田亩．
20．（1）解：设甲带钱x，乙持钱y，
根据题意得：
，
解得：，
答：甲带钱，乙持钱；
（2）分开买：（本）；
合起来买：（本），
即：（本），
即：他们合起来购买可以比单独购买多6本作业本．

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