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思维拓展训练：长方体和正方体-数学五年级下册人教版
1．求下图中大圆球的体积。
2．一个长方体，如果高增加4厘米，那么就变成一个正方体，这时表面积比原来增加128平方厘米，原来长方体的表面积是多少平方厘米？
3．小强要用家里的一块长方形纸板做一个物品收纳盒。这块纸板长20厘米，宽16厘米，四个角减去相同的小正方形（如图所示），就能围成无盖的长方体收纳盒。
（1）如果减去的小正方形的边长是5厘米，围成的长方体收纳盒的容积是多少？
（2）减去的小正方形的边长还可以是多少厘米（长度取整厘米数）？这时围成的长方体收纳盒的表面积是多少？
（3）如果用a厘米表示要减去的小正方形的边长，请你用字母公式表示出这个无盖长方体收纳盒的容积或表面积。
4．下图是李师傅为小明做的一个底面为正方形，内高是20厘米的无盖玻璃容器。

（1）把1升水倒入玻璃容器，水深10厘米，再把一个苹果沉入容器（苹果被水全部淹没），结果水面上升了3厘米，这个苹果的体积是多少立方厘米？
（2）制作这个玻璃容器至少需要玻璃多少平方厘米？
5．如下图，一个长、宽、高分别为30厘米、16厘米、21厘米的长方体容器中水位高度是10厘米，如果将另一个长方体（长、宽、高分别为16厘米、10厘米、36厘米的铁块竖直）放入左边的容器中（贴底面齐平），那么这个容器中的水会溢出吗？如果不溢出，那么容器中水位将上升至多少高度？如果溢出，那会溢出多少立方厘米的水量？
6．笑笑家有甲、乙两个不同规格的带盖收纳盒，她想把家里散落的小包纸巾分别放入这两个收纳盒中（纸巾不能超过收纳盒的上沿且不能挤压）。一小包纸巾的长、宽、高和收纳盒内部的长、宽、高如下图所示。（单位：厘米）
（1）甲收纳盒中最多可以放置多少包纸巾？
（2）尽可能多地往乙收纳盒中放纸巾，你可以放置多少包？
结合生活实际想一想，我（ ）笑笑的想法。（填“同意”或“不同意”）如果同意，请你写出理由；如果不同意，尽可能多地往乙收纳盒中放纸巾，你可以放置多少包？写出你的思考过程，可以写一写，画一画。
7．如图，一个棱长为25厘米的正方体密闭容器内装有一些水，在容器的底部粘着一个底面积为125平方厘米的长方体实心铁块，容器内水面高度恰好与铁块的上表面持平。把容器倒置过来后，仍有一部分铁块在水面以下，此时水面的高度为15厘米。这个长方体实心铁块的高度是多少厘米？
8．下图是由棱长1分米的正方体拼摆而成的，这个拼摆而成的几何体的表面积是多少平方分米？体积是多少立方分米？至少要再摆上多少个这样的正方体就可以拼摆成一个棱长为4分米的大正方体？
9．光明小区内有一个游泳池，游泳池长50米，宽是25米，池内注满水后水的体积是2500立方米。
（1）这个游泳池深多少米？
（2）如果在游泳池的四周和底面贴上瓷砖，那么需要边长为5分米的正方形瓷砖多少块？
（3）在泳池1.6米高的位置，画一圈水位线，这圈水位线有多长？
10．一个无盖的长方体玻璃水箱，长是12cm，宽是8cm，高是30cm，它的里面盛有一些红色溶液。小明将一根长方体木条垂直插入到容器底部。已知该木条高50cm，底面是边长为6cm的正方形，量得木条被染红的部分高16cm，原来水箱内红色溶液的深度是多少？
11．一个长方体水槽，长10厘米，宽8厘米，现有水的深度是2.675厘米，另有一个棱长为3厘米的正方体铁块，在它的一个角上挖去了一个小正方体。现将挖去角的正方体铁块浸入水中，此时水面刚好和铁块的上底面持平，求挖去的小正方体的体积？
12．用棱长分别是12厘米和8厘米的小正方体各搭一个大正方体，如果搭出的两个正方体的棱长相同，那么它们的棱长最小是多少？各要用几个小正方体？
13．用3个完全一样的正方体拼成一个长方体，这个长方体的棱长总和是160厘米，这个长方体的表面积是多少平方厘米？
14．把一个大正方体切成三个完全相同的小长方体后，小长方体的表面积之和比原大正方体的表面积增加了144cm2。
（1）画出示意图并标注条件中的数据。
（2）小长方体的长、宽、高分别是多少cm？
（3）原大正方体的体积是多少cm3？
15．如下图，有一个长方体容器，其中一个侧面有一个边长3cm的正方形开口，往容器里放了一些水，然后将容器倒过来摆放，水会减少704cm3。这个容器最初放了多少立方厘米的水？（容器厚度不计）
16．小明学习了体积这个单元，他想做这样一个实验一个长方体的玻璃缸，长5分米，宽3分米，高3分米，水深2分米，如果投入一块棱长为3分米的正方体铁块（如下图）他在想：缸里的水会溢出来吗？请你帮他找到答案。
（1）铁块的体积是多少？
（2）缸里的水会溢出来吗？请你说明理由（可列式说明）。
17．如图所示，一个透明的密封长方体容器，从里面量，长12cm，宽10cm，高15cm，容器中水深6cm。如果长方体容器向右侧倒（右侧面为底面）置桌子平面上，水的高度会是多少厘米？
18．下图是用24个棱长2cm的小正方体粘合而成的几何体。
（1）在A、B、C三个缺口中选一处补入一个小正方体，补在（ ） 处，能使这个几何体的表面积保持不变。
（2）在这三个缺口处都补入一个小正方体，这个几何体的表面积会增加还是会减少？增加（或减少）多少cm2？
19．把一个长、宽、高分别是5厘米、4厘米、2厘米的长方体截成两个长方体，使这两个长方体的表面积之和最大，这时表面积之和是多少？
20．一根底面是正方形的长方体木料，表面积为114平方厘米，锯去一个最大的正方体之后，余下的长方体的表面积为54平方厘米，那么，锯下的正方体的表面积为多少平方厘米？
21．棱长分别为、、的三个正方体按照从大到小的顺序依次向上叠放起来，整个几何体的表面积是多少？体积是多少？
参考答案：
1．8立方厘米
【分析】由图可知，1个大球和1个小球等于12毫升水的体积，1个大球和4个小球等于24毫升水的体积。对比可知多了4－1＝3（个）小球，多了24－12＝12（毫升）。根据1毫升＝1立方厘米进行单位转化，然后用除法即可求出1个小球的体积，再进一步求得1个大球的体积。
【详解】12毫升＝12立方厘米
24毫升＝24立方厘米
（24－12）÷（4－1）
＝12÷3
＝4（立方厘米）
12－4＝8（立方厘米）
答：大圆球的体积是8立方厘米。
2．256平方厘米
【分析】由长方体的高增加4厘米后变成了正方体可知，原长方体的长和宽相等。（如下图）表面积比原来增加128平方厘米，增加部分的面积实际上就是4个面积相等的长方形的面积和。用128÷4先求出增加的1个面的面积；再用增加的1个面的面积÷4求出长方体的长（或宽）；再用长方体的长（或宽）减去4厘米求出原来长方体的高；最后根据长方体的表面积求出原长方体的表面积。
【详解】长（或宽）：128÷4÷4
＝32÷4
＝8（厘米）
高：8－4＝4（厘米）
表面积：（8×8＋8×4＋8×4）×2
＝（64＋32＋32）×2
＝128×2
＝256（平方厘米）
答：原来长方体的表面积是256平方厘米。
【点睛】一个长方体高增加一段，增加的表面积是增加的那部分前、后、左、右4个侧面的面积和。
3．（1）300立方厘米
（2）2厘米；304平方厘米
（3）长方体收纳盒表面积：20×16－4a2，或长方体收纳盒容积：（20－2a）×（16－2a）×a
【分析】（1）如果减去的小正方形的边长是5厘米，那么这个收纳盒的长为（20－2×5）厘米，宽为（16－2×5）厘米，高为5厘米；再根据收纳盒的容积＝长×宽×高，计算出结果即可；
（2）根据题意，减去的小正方形的边长必须要小于16厘米的一半，并且长度取整厘米，答案不唯一，取值符合实际；收纳盒的表面积＝长方形的面积－4个小正方形的面积，代入数据正确计算即可；
（3）如果用a厘米表示要减去的小正方形的边长，那么这个收纳盒的长为（20－2a）厘米，宽为（16－2a）厘米，高为a厘米；再根据收纳盒的容积＝长×宽×高，收纳盒的表面积＝长方形的面积－4个小正方形的面积，列出算式化简即可。
【详解】（1）20－5×2
＝20－10
＝10（厘米）
16－5×2
＝16－10
＝6（厘米）
10×6×5
＝60×5
＝300（立方厘米）
答：围成的长方体收纳盒的容积是300立方厘米。
（2）16÷2＝8（厘米）
减去的小正方形的边长还可以是1cm、2cm、3cm、4cm、6cm或7cm。
例如，减去的小正方形的边长是2厘米。
20－2×2
＝20－4
＝16（厘米）
16－2×2
＝16－4
＝12（厘米）
20×16－2×2×4
＝320－16
＝304（平方厘米）
答：减去的小正方形的边长还可以是2厘米（长度取整厘米数），这时围成的长方体收纳盒的表面积是304平方厘米。
（3）长方体收纳盒容积：（20－2a）×（16－2a）×a
或长方体收纳盒表面积：20×16－4a2（写出一个即可）
【点睛】此题考查了长方体的体积、表面积以及展开图的知识，关键能够正确找出长、宽、高再解答。（写出一个即可）
4．（1）300立方厘米
（2）900平方厘米
【分析】（1）已知把1升水倒入玻璃容器，水深10厘米，先根据进率“1升＝1000立方厘米”换算单位，然后根据长方体的底面积S＝V÷h，求出这个容器的底面积；
再把一个苹果完全沉入容器，水面上升了3厘米，则水上升部分的体积等于这个苹果的体积；根据长方体的体积公式V＝Sh，代入数据计算，即可求出这个苹果的体积。
（2）已知这个容器的底面为正方形，由上一题可知容积的底面积为100平方厘米，根据正方形的面积＝边长×边长，确定容器的底面边长为10厘米；
因为这个容器是一个无盖的长方体，求制作这个玻璃容器至少需要玻璃的面积，就是求长方体的底面和4个侧面的面积之和，4个侧面都是长为20厘米、宽为10厘米的长方形，求出一个面的面积，再乘4即是4个侧面的面积之和，最后加上底面积即可。
【详解】（1）1升＝1000立方厘米
1000÷10＝100（平方厘米）
100×3＝300（立方厘米）
答：这个苹果的体积是300立方厘米。
（2）100＝10×10
所以，这个长方体容器的底面是边长为10厘米的正方形。
100＋10×20×4
＝100＋800
＝900（平方厘米）
答：制作这个玻璃容器至少需要玻璃900平方厘米。
【点睛】（1）本题考查长方体体积公式的灵活运用以及体积、容积单位的换算，把求苹果的体积转移到求水上升部分的体积是解题的关键。
（2）弄清无盖长方体容器缺少哪个面，需要求哪几个面的面积，然后灵活运用长方体的表面积公式解答。
5．不会溢出；15厘米
【分析】根据题意可知，长方体容器中水是一个长30厘米、宽16厘米、高10厘米的长方体，根据长方体的体积＝长×宽×高，求出水的体积；
放入铁块后，水面会上升，底面积由（30×16）平方厘米变成了（30×16－16×10）平方厘米，水的体积不变，根据长方体的高＝体积÷底面积，求出此时容器内水的高度；
用此时容器内水的高度与长方体容器的高度进行比较，如果小于或等于容器的高度，则水不会溢出；反之，水的高度大于容器的高度，水会溢出，进而求出溢出水的体积。
【详解】容器内水的体积：
30×16×10
＝480×10
＝4800（立方厘米）
放入铁块后水深：
4800÷（30×16－16×10）
＝4800÷（480－160）
＝4800÷320
＝15（厘米）
15＜21
答：这个容器中的水不会溢出，容器中水位将上升至15厘米。
【点睛】本题考查长方体体积公式的灵活运用，抓住水的体积不变是解题的关键，掌握放入的物体没有完全浸没时，水上升高度的求法。
6．（1）12包；
（2）不同意；6包；过程见详解
【分析】（1）甲收纳盒的长为15厘米，宽为14厘米，高为6厘米，收纳盒的长和纸巾的宽重合可以放（15÷5）包纸巾，收纳盒的宽和纸巾的长重合可以放（14÷7）包纸巾，收纳盒的高和纸巾的高重合可以放（6÷3）包纸巾，最后相乘求出甲收纳盒放置纸巾的总数量；
（2）联系生活实际可知，纸巾的形状是固定的，有可能收纳盒的容积够，但是纸巾装不下，所以不能直接用收纳盒的容积除以每包纸巾的体积，应该计算收纳盒的长能放几包，宽能放几包，最多能放几层，再用乘法计算乙收纳盒可以装纸巾的总数量，据此解答。
【详解】（1）（15÷5）×（14÷7）×（6÷3）
＝3×2×2
＝6×2
＝12（包）
答：甲收纳盒中最多可以放置12包纸巾。
（2）分析可知，我不同意笑笑的想法。
15÷5＝3（包）
17÷7＝2（包）……3（厘米）
4÷3＝1（层）……1（厘米）
3×2×1
＝6×1
＝6（包）
答：最多可以放置6包。
【点睛】计算容器里面最多可以装多少物体时，如果所装物体的形状固定，那么需要考虑实际情况，不能简单地用除法解决问题。
7．17厘米
【分析】由题意可知，水的体积不变，设这个长方体实心铁块的高度是厘米。左图中水面高度恰好与铁块的上表面持平，则水面高度是厘米，水的体积为（25×25×－125）立方厘米；右图中铁块在水下的高度为[－（25－15）]厘米，水的体积为25×25×15立方厘米减去125×[－（25－15）]立方厘米，据此列方程解答。
【详解】解：设这个长方体实心铁块的高度是厘米。
25×25×－125＝25×25×15－125×[－（25－15）]
625－125＝9375－125×[－10]
500＝9375－125＋1250
500＝10625－125
500＋125＝10625－125＋125
625＝10625
625÷625＝10625÷625
＝17
答：这个长方体实心铁块的高度是17厘米。
【点睛】本题考查列方程解决问题，抓住水的体积不变得出等量关系，按等量关系列出方程。
8．54平方分米；18立方分米；46个
【分析】（1）边长1分米的正方形面积是1平方分米，相对的面小正方形的个数相等，观察正面、上面和右面小正方形的个数，将正面、上面和右面小正方形的个数相加并乘2，是这个几何体表面小正方形总个数，即表面积；
（2）棱长1分米的正方体体积是1立方分米，共有4层，确定每层小正方体个数并相加，是小正方体总个数，即体积；
（3）根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，求出棱长4分米大正方体中小正方体的个数，减去现有小正方体的个数即可。
【详解】（10＋7＋10）×2×（1×1）
＝27×2×1
＝54（平方分米）
（1＋2＋5＋10）×（1×1×1）
＝18×1
＝18（立方分米）
4×4×4－18
＝64－18
＝46（个）
答：这个拼摆而成的几何体的表而积是54平方分米，体积是18立方分米，至少要再摆上46个这样的正方体就可以拼摆成一个棱长为4分米的大正方体。
【点睛】关键是掌握并灵活运用正方体体积公式，具有一定的空间想象能力。
9．（1）2米
（2）6200块
（3）150米
【分析】（1）根据长方体的体积＝长×宽×高可知，长方体的高＝体积÷（长×宽），代入数据计算即可；
（2）根据题意，在游泳池的四周和底面贴上瓷砖，那么贴瓷砖的面是长方体的下面、前后面、左右面共5个面；根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”求出这5个面的面积之和；再根据进率“1平方米＝100平方分米”换算单位；
因为瓷砖是边长5分米的正方形，根据正方形的面积＝边长×边长，求出一块瓷砖的面积，再用贴瓷砖的总面积除以一块瓷砖的面积，即可求出需要这种瓷砖的块数；
（3）在泳池1.6米高的位置，画一圈水位线，这圈水位线的长度相当于2条长、2条宽的和，据此解答。
【详解】（1）2500÷（50×25）
＝2500÷1250
＝2（米）
答：这个游泳池深2米。
（2）50×25＋50×2×2＋25×2×2
＝1250＋200＋100
＝1550（平方米）
1550平方米＝155000平方分米
5×5＝25（平方分米）
155000÷25＝6200（块）
答：需要边长为5分米的正方形瓷砖6200块。
（3）50×2＋25×2
＝100＋50
＝150（米）
答：这圈水位线长150米。
【点睛】灵活运用长方体的体积、表面积计算公式是解题的关键。
10．10cm
【分析】先求出插入木条后，红色溶液与溶液中木条的总体积是12×8×16，溶液中木条的体积是6×6×16，相减就得到了溶液的体积，再除以容器的底面积，得到原来容器内红色溶液的深度。
【详解】12×8×16－6×6×16
＝1536－576
＝960（cm3）
960÷（12×8）
＝960÷96
＝10（cm）
答：原来水箱内红色溶液的深度是10cm。
【点睛】此题的解题关键是灵活运用长方体的体积公式，通过转化的数学思想，解决实际的问题。
11．1立方厘米
【分析】大正方体的棱长为3厘米，则放入铁块后水面高度为3厘米，铁块对应的水面高度＝放入铁块后水面的高度－原来水的高度，再根据“长方体的体积＝长×宽×高”求出放入铁块对应水的体积，挖去小正方体的体积＝大正方体的体积－放入铁块对应水的体积，据此解答。
【详解】10×8×（3－2.675）
＝10×8×0.325
＝80×0.325
＝26（立方厘米）
3×3×3－26
＝27－26
＝1（立方厘米）
答：挖去的小正方体的体积是1立方厘米。
【点睛】把挖去小正方体后铁块的体积转化为上升部分水的体积是解答题目的关键。
12．24厘米；8个；27个。
【分析】求它们的棱长最小是多少，只需要找出12和8的最小公倍数就可以，通过计算求出大正方体的棱长；用大正方体的棱长除以小正方体的棱长，得到每条棱上有几个小正方体，再利用体积公式即可求出这个大正方体里有几个小正方体。
【详解】12＝2×2×3；
8＝2×2×2；
12和8的最小公倍数是：2×2×2×3＝24；
大正方体的棱长最小是24厘米；
（个）
（个）
（个）
（个）
答：他们的棱长最小是24厘米，分别需要8个和27个。
【点睛】此题的解题关键是根据求最小公倍数的方法，灵活运用正方体的体积公式求解。
13．896平方厘米
【分析】通过观察图形可知，拼成的长方体的棱长总和比原来3个正方体的棱长总和减少了正方体的16条棱的长度，据此可以求出正方体的棱长；这个长方体的表面积比3个正方体的表面积之和减少了正方体的4个面的面积，根据正方体的表面积公式：S＝6a2，把数据代入公式解答。
【详解】160÷（12×3－16）
＝160÷（36－16）
＝160÷20
＝8（厘米）
8×8×6×3－8×8×4
＝64×6×3－64×4
＝384×3－256
＝1152－256
＝896（平方厘米）
答：这个长方体的表面积是896平方厘米。
【点睛】此题主要考查长方体、正方体的棱长总和公式、表面积公式的灵活运用，求出正方体的棱长是解题的关键。
14．（1）见详解
（2）长2cm，宽6cm，高6cm
（3）216cm3
【分析】（1）画出把一个大正方体切成三个完全相同的小长方体的示意图，并标注数据；（答案不唯一）
（2）根据题意，把一个大正方体切成三个小长方体，要切2次；切一次增加2个截面；切2次增加4个截面，表面积增加4个截面的面积；先用增加的表面积除以4，求出一个截面的面积；这个截面是正方形，根据正方形的面积＝边长×边长，求出正方体的棱长；用正方体的棱长除以3，就是小长方体的长；小长方体的宽和高都等于正方体的棱长；
（3）根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据计算即可。
【详解】（1）如图：
（答案不唯一）
（2）144÷4＝36（cm2）
36＝6×6
所以大正方体的棱长是6cm。
小长方体的长是：6÷3＝2（cm）
小长方体的宽和高都是6cm。
答：小长方体的长是2cm、宽是6cm、高是6cm。
（3）6×6×6
＝36×6
＝216（cm3）
答：原大正方体的体积是216cm3。
【点睛】掌握正方体切割的特点，明确增加的表面积是哪些面的面积，熟记正方体的体积公式是解题的关键。
15．960立方厘米
【分析】正着放和倒着放，底面积相同，高减少了15－4厘米，用减少的体积÷减少的高＝长方体底面积，长方体底面积×原来的高＝最初水的体积。
【详解】704÷（15－4）
＝704÷11
＝64（平方厘米）
64×15＝960（立方厘米）
答：这个容器最初放了960立方厘米的水
【点睛】关键是掌握长方体体积公式，长方体体积＝底面积×高。
16．（1）27立方分米
（2）会；理由见详解
【分析】（1）正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，据此求出铁块的体积即可；
（2）根据题意，要想知道把正方体铁块放入玻璃缸中，水会不会溢出， 也就是把玻璃缸无水部分的体积与正方体铁块的体积进行比较，如果铁块的体积小于或等于玻璃缸无水部分的体积，说明水不会溢出，如果铁块的体积大于玻璃缸无水部分的体积，说明水会溢出，据此解答即可。
【详解】（1）3×3×3＝27（立方分米）；
答：铁块的体积是27立方分米；
（2）5×3×（3－2）
＝15×1
＝15（立方分米）；
15＜27；
玻璃缸无水部分的体积小于正方体铁块的体积，所以缸里的水会溢出来。
【点睛】明确“水会不会溢出，就是比较玻璃缸无水部分的体积与正方体铁块的体积”是解答本题的关键。
17．4.8厘米
【分析】先根据长方体的体积公式V＝abh，求出长方体内水的体积，由于水的体积不变，把长方体的右面作为底面，所以用水的体积除以右面那个面的底面积就是水面的高度，据此解答。
【详解】12×10×6÷（10×15）
＝720÷150
＝4.8（厘米）
答：水的高度会是4.8厘米。
【点睛】解答此题应抓住水的体积不变，用水的体积除以长方体容器的底面积（右面的面积），就是水面的高度。
18．（1）B
（2）减少；减少24cm2
【分析】（1）在A、B、C三个缺口中分别补入一个小正方体，对比补入前后表面积是否有改变，选出表面积保持不变的一处即可；
（2）在这三个缺口处都补入一个小正方体，对比补入前后表面积的变化情况，数出相差的面，计算出相差面的面积即可。
【详解】据分析知：（1）补在B处，能使这个几何体的表面积保持不变；
（2）在这三个缺口处都补入一个小正方体后，少了6个正方形的面，即表面积减少了；减少的面积：2×2＝4（平方厘米），6×4＝24（平方厘米）。
答：这个几何体的表面积会减少，减少24cm2。
【点睛】具有一定的空间想象能力，并能理解好正方体的表面积，这是解决此题的关键。
19．116平方厘米
【分析】不论是水平切，还是竖直切，都会增加两个面，要使得这两个长方体的表面积之和最大，就要求增加的两个面面积最大。
【详解】
（平方厘米）
答：这时表面积之和是116平方厘米。
【点睛】立体几何中，每切一次，都会增加两个面，对于长方形的切割问题，需要按照方向不同进行分析讨论。
20．90平方厘米
【分析】表面积从114平方厘米减少到54平方厘米，减少了60平方厘米，而锯去一个最大的正方体，表面积减少的只是4个侧面的面积，那么一个侧面是15平方厘米，正方体的表面积是90平方厘米。
【详解】（平方厘米）
（平方厘米）
（平方厘米）
答：锯下的正方体的表面积为90平方厘米。
【点睛】从长方体上面截去一个小的长方体，表面积减少的仅仅是4个侧面的大小。
21．表面积是；体积是
【分析】从上面看，可以看到一个边长为的正方形；从前面看，可以看到三个边长分别为、和的正方形，且从左面、右面和后面看到的图形都和从前面看到的一样，所以整个几何体的表面积是。
计算体积时，只要把三个正方体的体积相加即可。
【详解】
＝32＋84
＝116（cm3）
＝64＋8＋1
＝73（cm3）
答：整个几何体的表面积是，体积是。
【点睛】此题中计算表面积时，有些面是重合在一起的，所以表面积是大正方体6个面的面积加两个小正方体4个面的面积。
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