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思维拓展训练：追及问题-数学五年级下册人教版
一、填空题
1．甲、乙两车同时从A城开往B城。3小时后，乙车超过甲车22.5千米，甲车平均每小时行75千米，乙车平均每小时行( )千米。
2．甲、乙两地是电车发车站，每隔一定时间两地同时发出一辆电车。小王骑自行车每隔12分钟就被一辆后面开来的电车追上；每隔8分钟就与一辆迎面开来的电车相遇。那么相邻两辆电车的发车时间相差( )分钟。
3．狗跑5步的时间，马能跑6步；马跑4步的距离，狗要跑7步。现在狗已跑出了550米，马才开始追它，则马跑( )米可以追上狗。
4．小汽车每小时行a千米，大客车每小时比小汽车少行15千米。大客车4小时行( )千米，两车同向而行，5小时两车相差( )千米。
5．甲、乙、丙三人都要从A地到B地去，甲有一辆摩托车每次只能带一人，甲每小时可以行48千米，乙、丙步行的速度为每小时6千米，已知A、B两地相距48千米。则三人同时到达的最短时间为( )小时。
6．学生甲在一列队伍的排尾以每小时6千米的速度赶到队伍排头后，又以同样的速度返回队尾，一共用了3小时，若队伍进行的速度为每小时4千米，则队伍长为( )千米。
7．王伟从甲地走向乙地，同时张明骑自行车由乙地到甲地，半小时后两人在途中相遇，张明到达甲地后，马上返回乙地，在第一次相遇后20分钟又追上王伟。张明到乙地后又折回，两人在第二次相遇后的( )分钟第三次相遇。
8．—列队伍长600米，以每秒钟2米的速度 行进。一战士因事要从排尾赶到排头，并立即返回排尾。若他每秒钟走3米，那么往返共行( )米。
9．从A到B，甲需40分钟走完，乙需30分钟走完，如果俩人都从A地出发，甲先出发5分钟后，乙去追赶甲，( )分钟乙追上甲。
10．乌龟和兔子进行赛跑。乌龟平均每分钟能跑6米。兔子让乌龟先出发50分钟，结果兔子两分钟就追上了乌龟。兔子每分钟至少跑( )米。
二、解答题
11．星期天，乐乐和爸爸沿着学校300米的环形跑道进行晨跑。爸爸每分钟跑240米，乐乐每分钟跑180米。如图，他们同时同方向从起点出发，几分钟后爸爸从背后追上乐乐？
12．明明和童童在400米的跑道上同起点同向而行，明明20分钟后追上童童，已知明明的速度是每分钟100米，问童童速度每分钟多少米？
13．小明要在早上7：50之前到达距家1000米的学校上学。一天，小明以80米/分的速度从家出发，5分钟后，爸爸发现小明忘了带数学书，于是爸爸立即以180米/分的速度去追小明，并在中途追上了他。爸爸追上小明用了多少分钟？（列方程计算）
14．客、货两车从甲城去乙城，客车每小时行85千米，货车每小时行68千米，货车先行半小时，客车出发多少小时后可追上货车？
15．小明和爷爷一起去操场散步，小明走一圈需要6分钟，爷爷走一圈需要8分钟。
（1）如果两人同时同地出发，相背而行，多少分钟后相遇？
（2）如果两人同时同地出发，同方向而行，多少分钟后，小明超出爷爷一圈？
16．甲、乙两艘轮船同时从上海出发开往青岛。经过8小时后，乙船落后甲船24千米。乙船每小时行32.5千米，甲船每小时行多少千米？（用方程法解）
17．小红和小丽在800米的环形跑道上跑步。小红跑一圈要4分钟，小丽跑一圈要5分钟，如果两人同时同地出发，同方向而行，多少分钟后小红超出小丽一整圈？
18．
（1）羚羊40秒能跑多远？
（2）一只豹子正在快速追赶奔跑中的羚羊，当距离羚羊150米时，再过20秒能追上吗？
19．一辆客车和一辆轿车先后从南阳出发去郑州，客车先行50千米后轿车出发，客车平均每小时行80千米，轿车平均每小时行100千米。轿车几小时后追上客车？
20．洪泽距离淮安主城区50千米，距离北京大约1080千米，有两辆卡车都要向北京送货，甲卡车从淮安出发，每小时行70千米，乙卡车从洪泽出发，每小时行75千米。两辆卡车都是早上7：00出发，8小时后乙车追上甲车了吗？
21．棕马和白马在相距50米的地方同时出发，同向而行，出发时棕马在前，白马在后，如果棕马每秒跑10米，白马每秒跑12米，经过多少秒两马相距70米？
参考答案：
1．82.5
【分析】速度×时间＝路程，设乙车平均每小时行x千米，根据乙车速度×时间－甲车速度×时间＝22.5千米，列出方程求出x的值即可。
【详解】解：设乙车平均每小时行x千米。
3x－75×3＝22.5
3x－225＝22.5
3x－225＋225＝22.5＋225
3x＝247.5
3x÷3＝247.5÷3
x＝82.5
乙车平均每小时行82.5千米。
2．9.6
【分析】设电车的速度为x米/分，小王骑自行车的速度为y米/分，两辆车之间的距离是相等的。小王骑自行车每隔12分钟就被一辆后面开来的电车追上是一个追及问题，则（电车的速度－小王的速度）×12＝两车之间的距离。每隔8分钟就与一辆迎面开来的电车相遇则（电车的速度＋小王的速度）×8＝两车之间的距离。则12（x－y）＝8（x＋y），化简得x＝5y。则两辆车之间的距离是得出48y。相邻两辆电车的发时间＝两车路程÷电车车速。
【详解】设电车的速度为x米/分，小王骑自行车的速度为y米/分。
12（x－y）＝8（x＋y）
12x－12y＝8x＋8y
12x－8x＝12y＋8y
4x＝20y
x＝5y
两辆车之间距离：12（x－y）
＝12（5y－y）
＝12×4y
＝48y（米）
则相邻两辆电车的发时间：48y÷x＝48y÷5y＝48÷5＝9.6（分钟）
则相邻两辆电车的发车时间相差9.6分钟。
3．1050
【分析】狗已跑出了550米，马才开始追它，这是一个追及的问题，即狗跑的路程－马跑的路程＝狗先跑出的550米。马的速度×时间－狗的速度×时间＝550米，再追的过程中时间是相等的，根据乘法分配律，（马的速度－狗的速度）×时间＝550，则马和狗的速度差×时间＝550。设狗跑的一步为1米，一步用的时间为1秒，则狗的速度是1米/秒。狗跑5步的时间是5秒，那么马能跑6步的时间也是5秒，每步的时间是秒。狗要跑7步的距离是7米，那么马跑4步也是7米，马每一步是米。则马秒跑了米，则马的速度是米/秒。马追上狗的时间＝550÷速度差。马的路程＝速度×时间。
【详解】设狗跑1步用1秒，1步跑1米，则狗的速度是1米/秒。
马1步的时间：5÷1÷6＝（秒）
马一步的距离：7×1÷4＝（米）
马的速度：÷＝×＝（米/秒）
550÷（）
＝550÷
＝550×
＝500（秒）
马的路程：500×＝1050（米）
则马跑1050米可以追上狗。
4． 4a＋60 75
【分析】用小汽车行驶的速度减去15千米，求出大客车行驶的速度，再乘4，即可求出大客车4小时行驶多少千米；根据“大客车每小时比小汽车少行15千米”可知，两车同向而行，5小时两车相差（15×5）千米。
【详解】（a＋15）×4＝（4a＋60）千米
15×5＝75（千米）
所以，小汽车每小时行a千米，大客车每小时比小汽车少行15千米。大客车4小时行（4a＋60）千米，两车同向而行，5小时两车相差75千米。
【点睛】注意两车的速度差是15千米，是解答此题的关键。
5．
【分析】若甲先骑摩托车带乙前行，到达某处后，放下乙，返回接丙，然后带丙前行，与乙同时到达B地：设甲乙先行了x小时，则甲乙行程为48x千米，丙行程为6x千米，甲、乙和丙相距：48x－6x＝42x千米，甲丙相遇，需要：42x÷（48＋6）＝x小时，此时，乙和丙各自步行了：6×x＝x千米；甲、丙与乙的距离还是42x千米，三人同时到达，即甲丙正好追上乙，据此即可解答问题。
【详解】设甲乙先行了x小时，则甲乙行程为48x千米，丙行程为6x千米，
甲、乙和丙相距：48x－6x＝42x千米，
那么甲丙相遇，需要：42x÷（48＋6）
＝42x÷54
＝x（小时）
此时，乙和丙各自步行了：6×x＝x（千米）
甲、丙与乙的距离还是42x千米
三人同时到达，即甲丙正好追上乙，需要：
42x÷（48－6）
＝42x÷42
＝x（小时）
乙或丙的行程，就等于全程，以乙为例，列方程如下：
48x＋x＋6x＝48
解：x＋x＋x＝48
x＝48
x＝48÷
x＝
所以最短用时：
x＋x＋x
＝x＋x＋x
＝x
＝×
＝（小时）
所以三人同时到达的最短时间为小时。
【点睛】此题整体偏难，关键是弄清题意，把甲乙先行的时间设为未知数x，找出题中数量间的相等关系，列出包含x的等式，解方程得到最终的结果。
6．5
【分析】设这列队伍的长为x千米，此过程分两段，第一段是从队尾到排头的追及问题，此段所用的时间是小时，第二段是从排头到队尾的相遇问题，此段所用的时间是小时，一共用了3小时。根据等量关系：从队尾到排头的时间＋从排头到队尾的时间＝行走的时间，再列方程解答。
【详解】解：设这列队伍的长为x千米。
＋＝3
＋＝3
＋＝3
＝3
x＝3÷
x＝5
即队伍长5千米。
【点睛】本题解题关键是理解“从队尾到排头的追及问题，从排头到队尾的相遇问题”，根据题目中的等量关系，再列方程解答。
7．40
【分析】设甲、乙两地举例为S，第一次相遇时两人和走的路程是S，第二次相遇时，张明比王伟多走一个S，第三次相遇时，两人走过的路程之和为3S，求出第三次相遇的时间，减去第二次相遇的时间，得到从第二次相遇到第三次相遇的时间。
【详解】解：设甲、乙两地举例为S，第一次相遇，和走S，第三次相遇，和走3S；
和走S，需要30分钟，和走3S，需要（分钟）；
（分钟）
【点睛】从两地出发的多次相遇问题中，相遇次数为n，和走的全程个数是。
8．2160
【分析】第一个过程，从排尾赶到排头，相当于是追及过程，路程差是600米；第二个过程，从排头赶到排尾，相当于是相遇过程，路程和是600米。
【详解】
（秒）
（米）
【点睛】本题是将相遇问题与追及问题相结合，比较特殊的是路程和与路程差都是队伍的长度。
9．15
【分析】把A到B地的路程看作“1”，则甲的速度是1÷40＝，乙的速度是1÷30＝，根据追及时间＝追及路程÷甲乙速度差，求出追及速度即可。
【详解】1÷40＝
1÷30＝
5×÷（－）
＝÷
＝15（分钟）
【点睛】本题考查追及问题，解答本题的关键是掌握追及问题的数量关系：追及时间＝追及路程÷速度差。
10．156
【分析】先用6乘上50＋2，计算出当兔子追上乌龟时，乌龟跑的路程，再用2除乌龟跑的路程就是兔子每分钟跑的路程。
【详解】6×（50＋2）
＝6×52
＝312
312÷2＝156
所以兔子每分钟至少跑156米。
【点睛】本题考查的是追及问题，要注意兔子两分钟追上乌龟，所以兔子跑的路程和乌龟跑的路程是一样，但用时是2分钟，根据速度＝路程÷时间进行计算。
11．5分钟
【分析】爸爸从背后追上乐乐时爸爸比乐乐多跑了一圈，用跑道长度除以爸爸和乐乐跑步的速度差可以算出几分钟后爸爸从背后追上乐乐。
【详解】240－180＝60（米）
300÷60＝5（分钟）
答：5分钟后爸爸从背后追上乐乐。
【点睛】理解路程除以速度差等于追及时间是解题关键。
12．80米
【分析】明明20分钟后追上童童，此时明明比童童走一圈（400米）；根据速度×时间＝路程，代入数据求出明明20分钟所走的路程，明明的路程减去400米求出童童20分钟所走的路程，再根据速度＝路程÷时间，代入数据求出童童的速度即可。
【详解】（100×20－400）÷20
＝（2000－400）÷20
＝1600÷20
＝80（米）
答：童童速度每分钟80米。
【点睛】本题主要考查追及问题，理解“明明20分钟后追上童童”是解题的关键。
13．4分钟
【分析】设小明爸爸追上小明用了x分钟，由题意知小明比爸爸多走5分钟且找出等量关系，小明和他爸爸走的路程一样，由此等量关系列出方程求解。
【详解】解：设爸爸追上小明用了x分钟。
180x－80x＝80×5
100x＝400
x＝4
答：爸爸追上小明用了4分钟。
【点睛】关键在于弄清题意，找出等量关系即：小明爸爸和小明所行路程相等，列出方程求解。
14．2小时
【分析】设客车出发x小时后可追上货车；客车每小时行85千米，x小时行85x千米；货车每小时行68千米；货车先行半小时，用货车行驶的速度×0.5小时，求出货车半小时行驶的路程，再求出x小时行驶的路程，即68x千米，先行半小时的路程＋货车x小时行驶的路程＝客车x小时行驶的路程，列方程：68×0.5＋68x＝85x，解方程，即可解答。
【详解】解：设客车出发x小时后可追上货车。
68×0.5＋68x＝85x
34＋68x＝85x
85x－68x＝34
17x＝34
x＝34÷17
x＝2
答：客车出发2小时后可追上货车。
【点睛】本题考察方程的实际应用，根据路程、速度、时间三者的关系，设出未知数，找出相关的量，列方程，解方程。
15．（1）分钟
（2）24分钟
【分析】把操场一圈的路程看作单位“1”，根据“速度＝路程÷时间”，分别求出小明的速度和爷爷的速度。
（1）两人同时同地出发，相背而行，根据“相遇时间＝路程÷速度和”，求出两人的相遇时间。
（2）两人同时同地出发，同方向而行，根据“追及时间＝路程差÷速度差”，求出小明超出爷爷一圈时所用的时间。
【详解】小明的速度：1÷6＝
爷爷的速度：1÷8＝
（1）1÷（＋）
＝1÷（＋）
＝1÷
＝1×
＝（分钟）
答：分钟后相遇。
（2）1÷（－）
＝1÷（－）
＝1÷
＝1×24
＝24（分钟）
答：24分钟后，小明超出爷爷一圈。
【点睛】本题考查行程问题，掌握速度、时间、路程之间的关系是解题的关键。
16．35.5千米
【分析】设甲船每小时行x千米，根据“速度差×时间＝路程差”列出方程求解即可。
【详解】解：设甲船每小时行x千米
（x－32.5）×8＝24
（x－32.5）×8÷8＝24÷8
x－32.5＝3
x－32.5＋32.5＝3＋32.5
x＝35.5
答：甲船每小时行35.5千米。
【点睛】本题主要考查应用方程解简单的行程问题，明确“速度差×时间＝路程差”是解题的关键。
17．20分钟
【分析】路程÷时间＝速度，据此求出小红和小丽的速度，一整圈的路程相当于路程差，根据路程差÷速度差＝小红超出小丽一整圈的时间，列式解答即可。
【详解】800÷4＝200（米/分钟）
800÷5＝160（米/分钟）
800÷（200－160）
＝800÷40
＝20（分钟）
答：20分钟后小红超出小丽一整圈。
【点睛】关键是理解速度、时间、路程之间的关系。
18．（1）880米
（2）能
【分析】（1）根据速度×时间＝路程，即可算出羚羊40秒能跑多远。
（2）根据速度差×追及时间＝追及路程，求出20秒豹子追及的路程，再与150米比较大小即可。
【详解】（1）22×40＝880（米）
答：羚羊40秒能跑880米。
（2）（31－22）×20
＝9×20
＝180（米）
180＞150
答：当距离羚羊150米时，再过20秒能追上。
【点睛】本题考查学生对行程问题的掌握。解决此题的关键是牢记速度×时间＝路程，速度差×追及时间＝追及路程。
19．2.5小时
【分析】利用“追及时间＝路程差÷速度差”，把题中数据代入公式计算即可。
【详解】50÷（100－80）
＝50÷20
＝2.5（小时）
答：轿车2.5小时后追上客车。
【点睛】本题主要考查行程问题中的追及问题，熟记公式是解答题目的关键。
20．追不上
【分析】当乙车追上甲车时，乙车比甲车多行了50千米，而甲车每小时行70千米，乙车每小时行75千米，可知乙车比甲车每小时多行5千米，那么几小时才能多行50千米，用50除以5即可解答。
【详解】50÷（75－70）
＝50÷5
＝10（小时）
10＞8
答：8小时后乙车追不上甲车。
【点睛】追及问题中的追及时间＝追及路程÷速度差。
21．60秒
【分析】据题意，两匹马在相距50米的地方同时出发，并且同向而行，说明从出发一开始，两匹马之间的距离就是50米，棕马在前，白马在后，经过一段追及，最终白马到了前面，棕马在后面，此时两匹马要求相距70米，由此可以得出整个追及距离是（50＋70）米。此时用两匹马的速度差乘追及时间，就可以等于追及距离。利用此关系式，可以解出追及时间。
【详解】解：设经过x秒两马相距70米。
（12－10）x＝50＋70
2x＝120
x＝60
答：经过60秒两马相距70米。
【点睛】本题考查了学生对行程问题的掌握，题中关键量要能明确，二者是同向而行，属于追及问题，熟记追及问题的关系式：追及时间×速度差＝追及距离。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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