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第07讲 构造法求数列通项的六种方法
考法一：an＋1＝pan＋q(p≠0，1，q≠0）
【例1】
已知各项均为正数的数列{}满足（正整数
(1)求证：数列是等比数列；
(2)求数列{}的前n项和.
【详解】（1）证明：
设
则
因为
所以t=3
即
所以=2（正整数）
又，
所以数列是以为首项、以2为公比的等比数列.
（2）由（1），则，
所以
.
遇到an＋1＝pan＋q(p≠0，1，q≠0）的形式
第一步构造出：an＋1＋t＝p（an＋t）的形式；
第二步利用待定系数求出t的值。
则数列{an＋t}为公比为p的等比数列。
【变式1-1】已知数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)若，数列满足，求的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据递推关系解方程得，进而证明数列是等比数列，公比为，首项为，再根据等比数列通项公式求解即可；
（2）由题知，进而令，记数列的前项和为，则为与的和，再根据等差数列与等比数列求和公式求解即可.
【详解】（1）解：数列满足
所以，，解得，
由得，即，
所以，数列是等比数列，公比为，首项为，
所以，即
所以，的通项公式为
（2）解：因为，，
所以，，，，
所以，，
令，
设数列的前项和为，
因为数列为等差数列，为等比数列，
所以，
因为数列的前项和为与的和，，
所以，.
【变式1-2】已知数列满足，．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)若，为数列的前n项和，求．
【答案】(1)证明见解析
(2)，
【分析】（1）根据递推公式证明为定值即可；
（2）先由（1）求得数列的通项，从而可得数列的的通项，再利用错位相减法求解即可.
【详解】（1）因为，
所以，
又，
所以是以为首项，以3为公比的等比数列；
（2）由（1）知，故，
所以，
故，
则，
两式相减得
，
所以.
【变式1-3】在数列中，，．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题知数列是首项为，公比为的等比数列，进而得；
（2）由题知为单调递减数列，再根据，，分和两种情况讨论求解即可；
【详解】（1）解：因为在数列中，，，
所以，，
所以，等式两边同加上得，
因为，
所以，数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，．
（2）解：因为 ，即
所以，为单调递减数列，
因为，，
所以，时，，时，，
记的前项和为，则，
所以，当时，，；
当时，，，①
，②
所以，①②得：，即，
综上，
考法二：an＋1＝pan＋qn＋c(p≠0,1，q≠0)
【例2】已知：，时，，求的通项公式．
【答案】
【分析】构造等比数列，即可由等比数列的性质求解.
【详解】设，所以，
∴ ，解得：，
又 ，∴ 是以3为首项， 为公比的等比数列，
∴ ，∴ ．
先构造出，然后利用待定系数法求出A和B的值，即可判断出数列{}为公比为p的等比数列。
【变式2-1】已知数列满足：，．
（1）证明：数列是等比数列并求数列的前项和为．
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1）证明见解析，；（2）.
【分析】（1）要证数列是等比数列，只需证明等于同一个常数即可，根据构造即可得证；求出数列的通项公式，利用分组求和法即可求出数列的前项和；
（2）求出数列得通项公式，利用错位相减法即可求得数列的前项和．
【详解】（1）证明：因为，
所以，即，
，
所以数列是以2为首项2为公比的等比数列，
则 ，故，
所以
；
（2）解：，
则①
②
①②得：
所以.
【变式2-2】设数列满足，．
(1)求证：为等比数列，并求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）由递推公式可得，即可得到是以为首项，为公比的等比数列，再根据等比数列的通项公式求出的通项公式；
（2）由（1）可得，再利用错位相减法求和即可；
【详解】（1）解：因为，，
所以，即
又，所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以
（2）解：由（1）可得，
所以①，
所以②，
①②得
即，所以；
【变式2-3】已知数列中，，满足，设为数列的前项和．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)若不等式对任意正整数恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）依题意可得，即可得到是以为首项，公比为的等比数列，即可求出其通项公式；
（2）利用分组求和法求出，依题意可得对于任意正整数恒成立，参变分离可得，令，求出，即可得解.
【详解】（1）因为，
所以，
所以是以为首项，公比为的等比数列，
所以，所以．
（2）因为，
所以
，
若对于恒成立，即，
可得即对于任意正整数恒成立，
所以，令，则，
所以，可得，所以，
所以的取值范围为．
考法三：an＋1＝pan＋rqn
【例3-1】p=q
已知数列的首项，满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，将数列分组：，，，，，记第组的和为.
（i）求数列的通项公式；
（ii）证明.
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）证明见解析
【分析】（1）把已知的式子变形，从而构造出一个等差数列，然后根据等差数列的通项公式求出数列的通项公式，从而得出数列的通项公式.
（2）（i）先由（1）得出的通项公式，然后根据分组找出分组规律，进而求出数列的通项公式.
（ii）由（i）得出的通项公式，然后根据该通项公式的特点进行放缩，从而求出数列放缩后的前项和，从而证出结论.
【详解】（1）依题意，又，
数列是以1为首项，2为公差的等差数列，
，
.
（2）（i）由（1）知.设的前项和为，则.
显然数列分组后第组有项，前面组共有项，
当时，，
当时，，满足上式，
数列的通项公式为.
（ii），
当时，.
当时，.
当时，
，
故.
【例3-2】p≠q
已知数列满足，，求数列的通项公式．
【答案】
【分析】解法一：利用待定系数法可得，即可得到是首项为，公比为的等比数列，从而求出其通项公式；
解法二：两边同时除以得，再利用构造法计算可得；
【详解】解法一：因为，
设，
所以，
则，解得，
即，
则数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，即；
解法二：因为，两边同时除以得，
所以，，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，则，所以.
当p=q时，等式两边同时除以p，即可构造出一个等差数列。
当p≠q时，可设，利用待定系数求出参数的值，即可构造出等比数列。
【变式3-1】已知数列中,,．
(1)求证:是等比数列,并求的通项公式;
(2)设 求数列的前项的和．
【答案】(1)证明见解析,
(2)
【分析】(1)计算得出,结合等比数列的定义可证得数列为等比数列,确定该数列的首项和公比,即可求得数列的通项公式;
(2)化简数列的通项公式,利用裂项相消即可求得
【详解】（1）证明:
,
,
故数列是以为首项,4为公比的等比数列,
,
即．
（2）由题知
,
,
故.
【变式3-2】若数列满足,．
(1)证明:是等比数列；
(2)设的前n项和为,求满足的n的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)7
【分析】(1)根据题意构造数列证明等比,求出首项及公比即可,
(2)由(1)求出的通项公式,与题中等式联立,求出通项公式,进而求出前n项和为,代数使得即可求出n的最大值.
【详解】（1）证明：因为,
所以,,
故
,
又,则,,
故是以－1为首项,2为公比的等比数列．
（2）由(1)得①,
又②,
②－①得,,
故
,
易得为递增数列,
又,,
,故n的最大值为7.
考法四：an＋2＝pan+1＋qan
【例4】已知数列中，，求的通项公式．
【答案】
【分析】构造法求证为等比数列并写出通项公式，再应用累加法求数列通项公式.
【详解】化为，即，
，可得或，（所得两组数值代入上式等价），
不妨令，，
所以是以1为首项，为公比的等比数列，则，
累加法可得：，
又符合上式，故.
设出，利用待定系数求出s和t的值，则可等到数列为公比为t的一个等比数列。
【变式4-1】已知数列满足，，，求
【答案】=．+ ．
【分析】法1：构造为等比数列，求出其通项，再分奇偶讨论，利用累加法求解即可；法2：利用二阶特征根方程求解得到，根据，列方程组求出和即可.
【详解】法1：已知，所以，
则是首项为，公比为3的等比数列，
故，则，
得，
当n为奇数时，，，，，，
累加可得，，
所以，
当n为偶数时，，
综上，；
法2：由特征根方程得，，，
所以，其中，解得，，
.
【变式4-2】已知数列满足，，．
(1)证明：是等比数列；
(2)证明：存在两个等比数列，，使得成立．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由构造出，用等比数列定义证明即可；
（2）通过两次构造等比数列，求出的通项公式，根据通项公式得出结论即可.
【详解】（1）由已知，，∴，
∴，
显然与，矛盾，∴，
∴，
∴数列是首项为，公比为的等比数列.
（2）∵，∴，
∴，
显然与，矛盾，∴，
∴∴，
∴数列是首项为，公比为的等比数列，
∴，①，
又∵由第（1）问，，②，
∴②①得，，
∴存在，，两个等比数列，， 使得成立．
【变式4-3】已知数列满足，，且.
(1)求证：数列是等比数列，并求的通项公式；
(2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)证明过程见解析，
(2)
【分析】（1）根据题意结合等比数列定义证明为等比数列，得到，再证明为等比数列，进而可求得；
（2）在第一问的基础上，分为奇数和为偶数两种情况，利用作差法得到的单调性，进而列出不等式，求出实数的取值范围.
【详解】（1）∵，则，且，
故数列是首项为，公比为3为等比数列，
∴，则，
可得，且，
故数列首项为，公比为的等比数列，
∴，故.
（2）由（1）可得：，即，
故对任意的恒成立，等价于对任意的恒成立，
设，则当时恒成立，
故数列是递增数列，
当为奇数时，则对任意的恒成立，，可得，解得；
当为偶数时，则对任意的恒成立，，可得，解得；
综上所述：实数的取值范围.
考法五：an＋1＝
【例5】已知数列满足：求通项.
【答案】
【分析】取倒数后得到是等差数列，求出，得到通项公式.
【详解】取倒数： ，故是等差数列，首项为，公差为2，
，
∴.
等式两边同时取倒数，即可得到一个新的等比数列。
【变式5-1】在数列中，求．
【答案】
【分析】将已知关系式变形为，两边同除以可得，记，则，再构造等比数列可求解.
【详解】由已知关系式得,
所以数列是以为首项，公比为3得等比数列，故，
所以
【变式5-2】已知数列中，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）两边同时取到数，构造等比数列求解即可；
（2）放缩法证明不等式即可.
【详解】（1）因为，，故，
所以，整理得．
又，，，
所以为定值，
故数列是首项为2，公比为2的等比数列，
所以，得.
（2）因为，
所以．
【变式5-3】已知数列的首项，且满足.
(1)求证：数列为等比数列：
(2)若，求满足条件的最大整数.
【答案】(1)证明见解析
(2)50
【分析】（1）两边取倒数，再同时减2，根据等比数列的定义，即可证明.
(2)利用等比数列求和公式求和，再根据函数单调性，即可求解.
【详解】（1）证明：由，可得，
又
故数列为等比数列.
（2）由（1）可知，故.
令，易知随的增大而增大，，故满足的最大整数为50.
考法六：an＋1＝pan2
【例6】设正项数列满足，，求数列的通项公式．
【答案】
【分析】在等式两边取对数可得，可得出，可知数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列的通项，即可得出数列的通项公式.
【详解】对任意的，，
因为，则，
所以，，且，
所以，数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，，解得.
两边同时取对数，可以构造出一个等比数列。
【变式6-1】数列中， ，，求数列的通项公式.
【答案】
【分析】对两边同时取以2为底的对数，构造，求出，进而得到的通项公式.
【详解】取以为底的对数，得到，，设，则有，所以是以为首项，2为公比的等比数列，所以，所以，.
23．已知数列，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）在等式两边取常用对数，得出，可得出数列是等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列的通项公式，进而可求得数列的通项公式；
（2）求得，然后利用错位相减法可求得.
【详解】（1）在数列中，，，则，，，，
对任意的，.
在等式两边取常用对数，可得，且，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，，
因此，；
（2）由（1）可得，
，
，
上式下式得 ，
因此，.
【点睛】本题考查利用构造法求数列通项，同时也考查了错位相减法，考查计算能力，属于中等题.
24．已知数列满足，.
(1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)若，数列的前项和，求证：.
【答案】(1)证明见解析，
(2)证明见解析
【分析】（1）根据递推公式证明为定制，即可证明数列为等比数列，再根据等比数列得通项即可得解；
（2）由，得，则，则，再利用裂项相消法求出数列的前项和，即可得证.
【详解】（1）因为，所以，
则，
又，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
则，
所以；
（2）由，得，
则，
所以，
所以，
所以
，
因为，所以，
所以.
真题专练
1．已知数列，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用构造等比数列的方法求出通项公式作答.
（2）由（1）及已知，利用错位相减法求和作答.
【详解】（1）因为数列满足，则，
因此数列是以为首项，2为公比的等比数列，即，则，
所以数列的通项公式是.
（2）由（1）知，，
则，
于是有，
两式相减得 ，
所以.
2．已知数列满足，．
（1）证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）设，数列的前n项和为，求使不等式＜对一切恒成立的实数的范围．
【答案】（1）见解析，；（2）
【分析】（1）对递推式两边取倒数化简,即可得出，利用等差数列的通项公式得出，再得出；
（2）由（1）得，再使用裂项相消法求出，使用不等式得出的范围，从而得出的范围．
【详解】（1）∵，两边取倒数,∴，即，又，
∴数列是以1为首项，2为公差的等差数列，
∴，∴．
（2）由（1）得，
∴＝，
要使不等式Sn＜对一切恒成立，则 ．
∴的范围为:．
【点睛】本题考查了构造法求等差数列的通项公式，裂项相消法求数列的和，属于中档题．
3．已知正项数列满足且.
（1）求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式；
（2）证明：数列的前项和.
【答案】（1）证明见解析，；（2）见解析.
【分析】（1）由条件易得 =，根据等比数列的定义，即可得证，化简可得数列的通项公式；
（2）由（1）可得，放缩后利用等比数列求和公式即可证明结果.
【详解】证明：（1）由，知，
所以，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
故而，所以．
（2）由（1）可得，
所以
．
4．已知数列是首项为1的等差数列，数列满足，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
【答案】(1) ;(2) .
【详解】试题分析: （1）根据数列的递推关系式以及等比数列的定义,得出是一个等比数列,根据基本量运算求解即可;(2)先求出等差数列的通项公式,代入,根据错位相减法求出数列的前n项和.
试题解析:
（1）∵，∴，∴，
∴是首项为，公比为3的等比数列，
∴，即.
（2）由（1）知，，∴，则，
∴，
令，①
，②
①②得
∴.∴.
点睛: 用错位相减法求和应注意的问题 :(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形； (2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式； (3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
5．已知数列满足，且．
（1）设，求证是等比数列；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）由已知，可得，又，由等比数列的定义即可得证；
（2）由（1）可得到的通项公式，进而得到的通项公式，由分组求和法可得到；
【详解】解：（1）数列满足，且
所以，
即（常数），
又，
所以，又，所以，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列；
（2）由（1）可得，，
所以，
所以
6．设数列满足
(1)求的通项公式；
(2)设，记，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由已知写出的通项公式，进而求的通项公式；
（2）应用裂项相消法求，即可证结论.
【详解】（1）由得：数列是等差数列，首项为，
故，从而.
（2），
所以.
7．已知数列，满足，，．证明为等比数列，并求的通项公式；
【答案】证明见解析，．
【分析】由可得，然后得到，再根据等比数列通项公式求解即可得答案.；
【详解】证明：因为，，
所以，
所以，即，
又因为，
所以是首项为2，公比为2的等比数列．
所以．
8．在数列中，，.
(1)设，证明：数列是等差数列；
(2)求数列的通项公式.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由已知得，由，利用等差数列的定义可得答案；
（2）由（1）可得.
【详解】（1）由得，∵，∴，
又，∴是首项为1公差为1的等差数列.
（2）由（1）为等差数列，，∴，，
所以.
9．已知数列和满足：，，数列的前项和为.
(1)求数列和的通项公式：
(2)设数列，求数列的前项和.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）构造等比数列，求解的通项公式；利用 求解的通项公式；（2）根据第一问的求解，得到，其中利用错位相减法求和，进而求出数列的前项和
【详解】（1）∵
∴设，整理：
∴
∴
∴公比是2的等比数列
∴
∴
当时
当时，，符合
故的通项公式为：
（2）
∴设的前n项和为
则①
②
①-②得：
∴
∴
10．已知数列满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意得数列为常数列，可数列的通项公式；
（2）利用错位相减法求数列前n项和.
【详解】（1）由，得，所以数列为常数列，有，∴
（2），
，
，
两式相减，，
所以
11．已知数列中，.
（1）求证：数列是常数数列；
（2）令为数列的前项和，求使得的的最小值.
【答案】（1）证明见解析；（2）最小值为.
【分析】（1）将递推关系式变形为即可证明；
（2）先求出数列的通项公式，再分奇偶讨论求，然后解不等式即可.
【详解】（1）由得：，即
，即有数列是常数数列；
（2）由（1）知：
即，
当为偶数时，，显然无解；
当为奇数时，，令，解得：，
结合为奇数得：的最小值为
所以的最小值为
【点睛】方法点睛：一般根据递推关系式要证明数列为什么数列，就根据递推关系式同构成要证明的数列的结构即可.对于含有调节数列的结构在求和时一般要分奇偶讨论.
12．已知数列满足，且.
(1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)证明见详解，
(2)
【分析】（1）根据递推公式构造可证，然后借助为等比数列可得通项，再构造数列可证为等差数列，根据等差数列通项公式可解；
（2）由错位相减法可得.
【详解】（1）因为
所以
又因为
所以是以4为首项，2为公比的等比数列.
所以
变形得
所以是以为首项，1为公差的等差数列
所以，所以
（2）因为…①
所以…②
①-②得：
所以
13．已知数列中，且，
(1)求证：数列是等比数列；
(2)从条件①，②中任选一个，补充到下面的问题中并给出解答．
求数列______的前项和．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)证明见解析
(2)选①：；选②：
【分析】（1）根据递推公式使用构造法可得的通项公式，然后可得通项，再由等比数列定义可证；
（2）选①：由分组求和法可得；选②：使用错位相减法可得.
【详解】（1）因为且，
所以当时，，
所以，即
所以是以为首项，1为公差的等差数列，
所以，
所以，
因为，时，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列．
（2）选①：因为，所以，
则
选②：因为，所以，则（i）
（ii）
（i）（ii）得
14．已知数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)当时，求数列的前n项和为．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）当时可得，令，则，即可得到数列是首项为，公比为的等比数列，从而求出，即可求出数列的通项公式；
（2）利用分组求和法及等差数列前项和公式求和即可；
【详解】（1）解：当时，，则，令，则，
又因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，即，从而；
（2）解：因为，
所以
．
15．在数列中，，且.
(1)证明：为等比数列，并求的通项公式；
(2)令，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）依题意可得，即可得到是以4为首项，2为公比的等比数列，从而求出的通项公式；
（2）由（1）可得，对分奇偶，利用等比数列求和公式计算可得；
【详解】（1）解：因为，所以，又，所以，
所以是以4为首项，2为公比的等比数列.
故，即.
（2）解：由（1）得，
则，
①当时，
②当时，
，
综上所述，
16．已知数列，，．
(1)求证：数列是等差数列．
(2)设，求证：数列的前n项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据，证明等于定值即可；
（2）利用裂项相消法求出数列的前n项和，即可得证.
【详解】（1）∵，∴，
∵，∴，∴，
∴
，
∴是首项为，公差为的等差数列；
（2）由（1）知，∴，
∴，
∴
，
∵，∴，
∴．
17．已知各项都为正数的数列{an}满足an＋2＝2an＋1＋3an.
(1)证明：数列{an＋an＋1}为等比数列；
(2)若a1＝，a2＝，求{an}的通项公式.
【答案】(1)证明见解析
(2)an＝×3n－1
【分析】（1）将an＋2＝2an＋1＋3an，变形为an＋2＋an＋1＝3(an＋1＋an)，利用等比数列的定义证明；
（2）由（1）得到an＋an＋1＝2×3n－1，再由an＋2＝2an＋1＋3an，得到an＋2－3an＋1＝－(an＋1－3an)，结合求解.
【详解】（1）证明：因为an＋2＝2an＋1＋3an，
所以an＋2＋an＋1＝3(an＋1＋an)，
因为{an}中各项均为正数，
所以an＋1＋an＞0，
所以＝3，
所以数列{an＋an＋1}是公比为3的等比数列.
（2）由题意及（1）知，an＋an＋1＝(a1＋a2)3n－1＝2×3n－1，
因为an＋2＝2an＋1＋3an，
所以an＋2－3an＋1＝－(an＋1－3an)，a2＝3a1，
所以a2－3a1＝0，
所以an＋1－3an＝0，
故an＋1＝3an，
所以4an＝2×3n－1，即an＝×3n－1.
18．已知数列{an}中，a1=3，，n∈N*.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{an}的前n项和Sn.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由递推关系可得，再根据等差数列的定义得，即可知{an}的通项公式；
（2）由（1）得，应用错位相减法求{an}的前n项和Sn.
【详解】（1）由得：，
∴，即数列是首项为，公差为的等差数列，
∴，故.
（2）由（1）得：，
∴①，②，
①②得：
∴ .
19．已知数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，若存在，使，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依题意可得，再结合等比数列的定义即可证明；
（2）由（1）可得，再分为偶数和奇数两类情况并结合裂项求和法讨论即可.
【详解】（1）证明：因为，
所以，即，
因为，所以，
故数列是以12为首项，3为公比的等比数列，
所以，则.
（2）解：由（1）知，
所以.
当为偶数时，
，
因为是单调递减的，所以.
当为奇数时，
，
又是单调递增的，
因为，所以.
要使存在，使，只需，即，
故的取值范围是.
20．在数列中，，且对任意的，都有.
(1)证明：是等比数列，并求出的通项公式；
(2)若，且数列的前项积为，求和.
【答案】(1)证明见解析，
(2)，
【分析】（1）由条件变形化简，利用等比数列的定义证明即可；
（2）结合（1）得，计算乘积即可.
【详解】（1）由题意可得：，
是以4为首项，2为公比的等比数列，
所以
是以1为首项，1为公差的等差数列；
（2）由上可得：，
同理.第07讲 构造法求数列通项的六种方法
考法一：an＋1＝pan＋q(p≠0，1，q≠0）
例题分析
【例1】
已知各项均为正数的数列{}满足（正整数
(1)求证：数列是等比数列；
(2)求数列{}的前n项和.
满分秘籍
遇到an＋1＝pan＋q(p≠0，1，q≠0）的形式
第一步构造出：an＋1＋t＝p（an＋t）的形式；
第二步利用待定系数求出t的值。
则数列{an＋t}为公比为p的等比数列。
变式训练
【变式1-1】已知数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)若，数列满足，求的前项和．
【变式1-2】已知数列满足，．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)若，为数列的前n项和，求．
【变式1-3】在数列中，，．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
考法二：an＋1＝pan＋qn＋c(p≠0,1，q≠0)
例题分析
【例2】已知：，时，，求的通项公式．
满分秘籍
先构造出，然后利用待定系数法求出A和B的值，即可判断出数列{}为公比为p的等比数列。
变式训练
【变式2-1】已知数列满足：，．
（1）证明：数列是等比数列并求数列的前项和为．
（2）设，求数列的前项和．
①②得：
所以.
【变式2-2】设数列满足，．
(1)求证：为等比数列，并求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【变式2-3】已知数列中，，满足，设为数列的前项和．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)若不等式对任意正整数恒成立，求实数的取值范围．
考法三：an＋1＝pan＋rqn
例题分析
【例3-1】p=q
已知数列的首项，满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，将数列分组：，，，，，记第组的和为.
（i）求数列的通项公式；
（ii）证明.
【例3-2】p≠q
已知数列满足，，求数列的通项公式．
满分秘籍
当p=q时，等式两边同时除以p，即可构造出一个等差数列。
当p≠q时，可设，利用待定系数求出参数的值，即可构造出等比数列。
变式训练
【变式3-1】已知数列中,,．
(1)求证:是等比数列,并求的通项公式;
(2)设 求数列的前项的和．
【变式3-2】若数列满足,．
(1)证明:是等比数列；
(2)设的前n项和为,求满足的n的最大值．
考法四：an＋2＝pan+1＋qan
例题分析
【例4】已知数列中，，求的通项公式．
满分秘籍
设出，利用待定系数求出s和t的值，则可等到数列为公比为t的一个等比数列。
变式训练
【变式4-1】已知数列满足，，，求
【变式4-2】已知数列满足，，．
(1)证明：是等比数列；
(2)证明：存在两个等比数列，，使得成立．
【变式4-3】已知数列满足，，且.
(1)求证：数列是等比数列，并求的通项公式；
(2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围.
考法五：an＋1＝
例题分析
【例5】已知数列满足：求通项.
满分秘籍
等式两边同时取倒数，即可得到一个新的等比数列。
变式训练
【变式5-1】在数列中，求．
【变式5-2】已知数列中，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：数列的前n项和.
【变式5-3】已知数列的首项，且满足.
(1)求证：数列为等比数列：
(2)若，求满足条件的最大整数.
考法六：an＋1＝pan2
例题分析
【例6】设正项数列满足，，求数列的通项公式．
满分秘籍
两边同时取对数，可以构造出一个等比数列。
变式训练
【变式6-1】数列中， ，，求数列的通项公式.
23．已知数列，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
24．已知数列满足，.
(1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)若，数列的前项和，求证：.
真题专练
1．已知数列，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
2．已知数列满足，．
（1）证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）设，数列的前n项和为，求使不等式＜对一切恒成立的实数的范围．
3．已知正项数列满足且.
（1）求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式；
（2）证明：数列的前项和.
4．已知数列是首项为1的等差数列，数列满足，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
5．已知数列满足，且．
（1）设，求证是等比数列；
（2）求数列的前项和．
6．设数列满足
(1)求的通项公式；
(2)设，记，证明：．
7．已知数列，满足，，．证明为等比数列，并求的通项公式；
8．在数列中，，.
(1)设，证明：数列是等差数列；
(2)求数列的通项公式.
9．已知数列和满足：，，数列的前项和为.
(1)求数列和的通项公式：
(2)设数列，求数列的前项和.
10．已知数列满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
11．已知数列中，.
（1）求证：数列是常数数列；
（2）令为数列的前项和，求使得的的最小值.
12．已知数列满足，且.
(1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
13．已知数列中，且，
(1)求证：数列是等比数列；
(2)从条件①，②中任选一个，补充到下面的问题中并给出解答．
求数列______的前项和．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
14．已知数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)当时，求数列的前n项和为．
15．在数列中，，且.
(1)证明：为等比数列，并求的通项公式；
(2)令，求数列的前项和.
16．已知数列，，．
(1)求证：数列是等差数列．
(2)设，求证：数列的前n项和．
17．已知各项都为正数的数列{an}满足an＋2＝2an＋1＋3an.
(1)证明：数列{an＋an＋1}为等比数列；
(2)若a1＝，a2＝，求{an}的通项公式.
18．已知数列{an}中，a1=3，，n∈N*.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{an}的前n项和Sn.
19．已知数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，若存在，使，求的取值范围.
20．在数列中，，且对任意的，都有.
(1)证明：是等比数列，并求出的通项公式；
(2)若，且数列的前项积为，求和.

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