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第05讲 错位相减法求数列前n项和
例题分析
【例 1】1．设为数列的前n项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
满分秘籍
(1)如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，常采用错位相减法．
(2)错位相减法求和时，应注意：
①在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“Sn－qSn”的表达式．
②应用等比数列求和公式必须注意公比q是否等于1，如果q＝1，应用公式Sn＝na1.
变式训练
【变式1-1】已知数列的前项和为，且.
(1)求，并求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【变式1-2】已知数列和，，，.
(1)求证数列是等比数列；
(2)求数列的前项和.
【变式1-3】在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．已知数列的前项和为，，且满足________．
(1)求；
(2)若，求数列的前项和．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【变式1-4】记正项数列的前项和为，已知点在函数的图象上，且，数列满足，．
(1)求数列，的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【变式1-5】设是公比不为的等比数列，，为，的等差中项.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和.
真题专练
1．已知是单调递增的等差数列，其前项和为.是公比为的等比数列..
(1)求和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
2．已知数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足，求数列的前项和.
3．已知数列的首项为1，前项和；
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
4．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
已知公差不为0的等差数列的前项和为是与的等比中项，___________.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
5．已知数列的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，且公差和公比都是，若对满足的任意正整数，，均有成立．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和．
6．已知数列的前项的和为，，数列为单调递增的等比数列，且有，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足，设的前项的和为，求的值.
7．已知数列的前项和为,且满足,数列的前项积.
(1)求数列和的通项公式;
(2)求数列的前n项和.
8．已知是公差不为0的等差数列的前n项和，是，的等比中项，.
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，求数列的前n项和.
9．在①；②，与都是等比数列；③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．
已知数列的前n项和为，且______．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
注：如果选择多个条件分别作答，则按所作第一个解答计分．
10．已知数列是公差为3的等差数列，数列是公比为2的等比数列，且满足． 将数列与的公共项按照由小到大的顺序排列，构成新数列．
(1)证明：
(2)求数列的前n项和．
11．设正项数列的前n项和为，且，当时，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足，且，求数列的通项公式．
12．已知等比数列的前项和为，且
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和．
13．已知数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
14．在数列中，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
15．已知数列和等差数列满足，且当时，.
(1)求数列的通项；
(2)求数列的前项和.
16．已知等比数列的公比，若，且，，分别是等差数列第1，3，5项．
(1)求数列和的通项公式；
(2)若求数列{}的前n项和．
17．已知数列的前项和为，请从以下三个条件中选择一个完成解答.
①数列是首项为2的单调递减的等比数列，且成等差数列；
②；
③.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
18．已知数列满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
19．设各项都为正数的数列的前n项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设函数，且，求数列的前n项和．
20．已知数列的前项和满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和.第05讲 错位相减法求数列前n项和
例题分析
【例 1】1．设为数列的前n项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【分析】（1）根据即可求出；
（2）根据错位相减法即可解出．
【详解】（1）因为，
当时，，即；
当时，，即，
当时，，所以，
化简得：，当时，，即，
当时都满足上式，所以．
因为， …………确定通项为“等差×等比”的形式，采用错位相减
所以，
，
…………乘以“等比”的q，写的时候，最好将两式错位对其，次数相同的项对齐，以便准确的相减
两式相减得，
，
， …………相减并化简之后并没有结束，注意前面的系数
即，．
满分秘籍
(1)如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，常采用错位相减法．
(2)错位相减法求和时，应注意：
①在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“Sn－qSn”的表达式．
②应用等比数列求和公式必须注意公比q是否等于1，如果q＝1，应用公式Sn＝na1.
变式训练
【变式1-1】已知数列的前项和为，且.
(1)求，并求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)；；
(2)
【分析】（1）将、代入求，根据关系及递推式可得，再次由关系及等比数列定义写出通项公式；
（2）应用错位相减及等比数列前n项和公式求结果.
【详解】（1）由题意①，
当时；当时；
当时，②，
①－②得，
当时，也适合上式，所以，所以时，
两式相减得，故数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以.
（2）由（1）得，
③，
④，
③－④得：，
所以 .
【变式1-2】已知数列和，，，.
(1)求证数列是等比数列；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）通过题中关系，可得，进而可得数列是以为首项，公比为的等比数列.
（2）由（1）可得，，则，可利用分组求和与错位相减求和解题.
【详解】（1）由，，得，
整理得，而，
所以数列是以为首项，公比为的等比数列
（2）由（1）知，∴，
∴，
设，则，
两式相减得，
从而
∴.
【变式1-3】在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．已知数列的前项和为，，且满足________．
(1)求；
(2)若，求数列的前项和．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）若选①，利用与的关系即可求解；若选②，利用累加法结合等比数列前项和公式即可求解.
（2）利用错位相减法求解即可.
【详解】（1）若选①，因为，
当时，，两式相减得，
当时，，即，
又，所以，
故也满足，
所以是首项为，公比为的等比数列，故；
若选②，因为，
所以
，故.
（2）由（1）知，
则，①
，②
两式相减得
，
故.
【变式1-4】记正项数列的前项和为，已知点在函数的图象上，且，数列满足，．
(1)求数列，的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）由递推关系可得数列是首项为，公差为的等差数列，则可求得通项公式，由知，是以为公比的等比数列，即可求出的通项公式；
（2）可得，利用错位相减法可求得.
【详解】（1）因为点在函数的图象上，
所以，
当时，，所以，解得或，
因为，所以，
当时，，，
两式相减得：，即，
因为，所以，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
所以；
由知，是以为公比的等比数列，又，
所以.①
（2）因为，
，
，
两式相减可得
所以.
【变式1-5】设是公比不为的等比数列，，为，的等差中项.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出公比，再根据等比数列的通项即可得解；
（2）设，其前n项和为，利用错位相减法求出，再分和两种情况讨论即可得解.
【详解】（1）设公比为，为，的等差中项，
即，
即为，解得或(舍去)，
所以；
（2），
设，其前n项和为，
所以，①
， ②
①②得
，
所以，
所以当时，，
当时，
，
所以.
真题专练
1．已知是单调递增的等差数列，其前项和为.是公比为的等比数列..
(1)求和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意结合等差、等边数列的通项公式列式求解即可；
（2）利用分组求和，结合裂项相消法和错位相减法运算求解.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由题意可得：，解得或（舍去），
所以.
（2）由（1）可得，
当为奇数时，则，
设，
则，
两式相减得
，
所以；
当为偶数时，则，
设 ，
所以；
综上所述：，
当为奇数时，则
；
当为偶数时，则
；
综上所述：.
2．已知数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由条件结合的关系可得，，由此可求的通项公式；
（2）利用错位相减法求和即可.
【详解】（1）因为，
所以当时，，
，
，
时，，
所以，
；
（2）由（1）知.
令，则
，
，
所以，
.
3．已知数列的首项为1，前项和；
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用与之间的关系可得，注意要验证首项是否符合通项公式；
（2）一个等差数列乘以一个等比数列构成一个新数列，利用错位相减法求这个新数列的前项和.
【详解】（1）因为①，所以有②，
②①得，即，
经验证符合，
所以数列的通项公式为.
（2），
所以①，
②，
①②可得，
即，化简得，
所以数列的前项和.
4．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
已知公差不为0的等差数列的前项和为是与的等比中项，___________.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据所选条件，等差数列通项公式，求和公式及等比中项的性质得到方程组，解得、，即可求出通项公式；
（2）利用错位相减法计算可得.
【详解】（1）选条件①：设等差数列的公差为，
则，所以，得，
所以数列的通项公式为.
选条件②：设等差数列的公差为，
则，所以，得，
所以数列的通项公式为.
选条件③：因为是与的等比中项，所以，由，可得，
设等差数列的公差为，
则，所以，得，
所以数列的通项公式为.
（2）令，
则①，
②，
①②得，
所以.
5．已知数列的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，且公差和公比都是，若对满足的任意正整数，，均有成立．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意分别令，或，，根据数列的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，且公差和公比都是即可求出首项，写出通项公式即可
（2）利用错位相减法即可求出数列的前项和．
【详解】（1）对满足的任意正整数，，
均有成立，
令，则即，
令，，得，
，
，
解得，，
由题意数列的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，且公差和公比都是，
，即，
（2）由1知，
则，
，
，
．
6．已知数列的前项的和为，，数列为单调递增的等比数列，且有，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足，设的前项的和为，求的值.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）根据作差求出的通项公式，根据下标和性质得到，即可求出、，从而求出公比，即可求出的通项公式；
（2）由（1）可得，则，利用错位相减法求和即可.
【详解】（1）因为，
当时，，
当时，，所以，
经检验时也成立，所以；
因为为等比数列，所以，结合，可得或，
因为数列单调递增，所以，所以，则；
即数列为首项的等比数列，即可得.
（2）因为数列满足，可得，
所以，
数列的前项的和为，
，
将上面两式相减可得
，
化简可得，
所以.
7．已知数列的前项和为,且满足,数列的前项积.
(1)求数列和的通项公式;
(2)求数列的前n项和.
【答案】(1),
(2)
【分析】（1）对于数列,根据,利用和的关系求解;对于数列,因为其前项积,根据即可求解;
（2）由（1）知,利用错位相减法求解即可.
【详解】（1）当时,,
∴,
当时,,
化简得,
∵,∴,
∴数列是首项为,公差为的等差数列,
∴.
当时,,
当时,，当时也满足，
所以.
（2）,
设 ①,
则②,
①-②得 ,
∴.
8．已知是公差不为0的等差数列的前n项和，是，的等比中项，.
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意列式求解，即可得结果；
（2）由（1）可得：，利用错位相减法求和.
【详解】（1）设数列的公差为d，
因为是，的等比中项，则，
即，且，
整理得①，
又因为，整理得②
由①②解得，，，
所以.
（2）由（1）知，，
则，
可得，
两式相减得
，
所以.
9．在①；②，与都是等比数列；③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．
已知数列的前n项和为，且______．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
注：如果选择多个条件分别作答，则按所作第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）若选①或③，已知和的关系，求解即可；若选②设出公比求解即可；
（2）用错位相减法求数列的和即可.
【详解】（1）若选①：当时，，解得；
当时，，，
两式相减得：，
即，所以，
所以数列是以为首项，4为公比的等比数列.
所以.
若选②：都是等比数列，设的公比为：，
因为是等比数列，，
即，解得（舍去）或，
因为，所以.
若选③：当时，，解得；
当时，，，
两式相减得：，所以
所以，当时，符合，
故.
（2）由（1）可知：，
所以，
所以数列的前n项和为：
，
，
两式相减得：，
所以，
所以，
所以.
10．已知数列是公差为3的等差数列，数列是公比为2的等比数列，且满足． 将数列与的公共项按照由小到大的顺序排列，构成新数列．
(1)证明：
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用基本量代换列方程组求出，得到，的通项公式，进而判断出是数列{}的项，即可证明；（2）利用错位相减法求和.
【详解】（1）由，得，
由，得，
解得，
因为数列{}的公差为3，数列{}的公比为2，
所以
不是数列{}的项，是数列{}的第1项．
设，则
所以不是数列{}的项．
因为，
所以是数列{}的项．
所以
（2）由（1）可知，．
=
所以
所以．
11．设正项数列的前n项和为，且，当时，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足，且，求数列的通项公式．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据结合题意可得是以为首项，1为公差的等差数列，进而可得的通项公式；
（2）根据累加法与错位相减法求解即可.
【详解】（1）由，得，
因为，所以，
所以是以为首项，1为公差的等差数列，所以，
所以，当时，，
当时，也满足上式，
所以数列的通项公式为．
（2）由知：
当时，，
①，
则②，
由得：，
化简得：，
当时，也满足上式，
所以数列的通项公式为．
12．已知等比数列的前项和为，且
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）根据递推关系求出等比数列的公比，由等比数列的通项公式求解；
（2）利用错位相减法求和即可.
【详解】（1），
当时，，
两式相减可得，，
故等比数列的公比为，
，
，
故数列的通项公式为．
（2）由得：，，
故，即，
，
，
得：，
故．
13．已知数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由与的关系即可求解；
（2）求出数列的通项公式后用错位相减法求解.
【详解】（1）因为，
所以当时，，所以，
又当时，，解得，
所以，所以，
所以是首项为 公比为的等比数列，
所以的通项公式为.
（2）由（1）知，
所以，
所以，
两式相减，得
，
所以.
14．在数列中，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由，结合，利用等比数列的求和公式，即可求解；
（2）由（1）得到，结合等差、等比数的求和公式，以及乘公比错位相减法求和，即可求解.
【详解】（1）解：因为数列满足且，
当时，可得
，
当时，适合上式，所以数列的通项公式为.
（2）解：由（1）知，可得，
所以
，
设，
则，
两式相减得，
所以，
又由，
所以
15．已知数列和等差数列满足，且当时，.
(1)求数列的通项；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列的定义和通项公式以及对数函数的性质即可求解；（2）根据乘公比错位相减法即可求解.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由得：，
由得：
由得：
所以：，
所以：
所以：当时，，
又因为不满足，
所以：.
（2），
当时，；
当时，，①
，②
①②得：
，
所以：，
又也满足，
综上：.
16．已知等比数列的公比，若，且，，分别是等差数列第1，3，5项．
(1)求数列和的通项公式；
(2)若求数列{}的前n项和．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）先列方程组求出数列的首项和公比，从而得到数列的通项公式，再求出的首项和公差，从而求出的通项公式.
（2）分别用裂项相消法和错位相减法求解.
【详解】（1）因为，，分别是等差数列的第1，3，5项，所以，
又，所以得，所以且，
由可解得，，所以；
又，，故等差数列的公差，
所以.
（2）由（1）知
令设数列{}的前n项和为，数列{}的前n项和为，则
因为
所以 ，
因为
所以
两式相减，得
所以
所以
17．已知数列的前项和为，请从以下三个条件中选择一个完成解答.
①数列是首项为2的单调递减的等比数列，且成等差数列；
②；
③.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）若选择①，利用等差中项和等比数列的通项公式列式求出公比，即可得；若选择②，根据，即可求出；若选择③，利用两式相减可求出；
（2）根据错位相减法可求出结果.
【详解】（1）若选择①，设公比为，则，即，解得或，
又数列单调递减，故，此时；
若选择②，则当时，，即，
当时，，即，
故；
若选择③，时，则；
当时，符合上式，即.
（2），则，
则，
两式相减得 ，
从而有.
18．已知数列满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用递推式得出是以1为首项，3为公比的等比数列，求出，进而求解即可.
（2）利用错位相减法求解数列前项和即可.
【详解】（1）由，得，
又， 是以1为首项，3为公比的等比数列，
，，
即数列的通项公式为.
（2）由（1）知，，
则，①
得，②
①－②得
，
故．
19．设各项都为正数的数列的前n项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设函数，且，求数列的前n项和．
【答案】(1)，；
(2).
【分析】（1）由递推关系，根据累加法求数列的通项公式；
（2）由条件可得，利用错位相减法求数列的前n项和.
【详解】（1）由，可得，
当时，，
以上各式分别相加得，又，
所以当时，，
经检验符合，
所以，；
（2），
，
，
两式相减得：
，
所以，
故，
所以.
20．已知数列的前项和满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据，利用数列通项和前n项和的关系求解；
（2）由（1）得到，再利用错位相减法求解.
【详解】（1）解：当时，，
当时，由 ，
得，
两式相减得，
又适合上式，
所以；
（2）由（1）知：，
所以，
，
则，
两式相减得，
，
，
所以.

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