资源简介

第08讲 用空间向量解决立体几何问题的六种题型
考法呈现
考法一：用空间向量证明平行或垂直
例题分析
【例1-1】
如图所示，已知矩形和矩形所在的平面互相垂直，点，分别在对角线，上，且，．求证：.
【例1-2】
在三棱台中，平面 为的中点．证明：平面平面．
满分秘籍
用向量法证明异面直线垂直，可以用基向量法，也可以用空间直角坐标系。通过方向向量（或法向量）之间的关系证明垂直或平行。
变式训练
【变式1-1】如图，在直三棱柱中，点分别为线段的中点，．证明：平面．
【变式1-2】如图，已知六面体的面为梯形，，，，，棱平面，，，为的中点.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的大小.
【变式1-3】如图，在长方体中，，，点E在棱上移动．
(1)证明：；
(2)当时，求与平面所成角的正弦值．
【变式1-4】如图所示，在正方体中，为与的交点，为的中点，求证：平面．
考法二：用空间向量解决异面直线成角问题
例题分析
【例2】已知三棱台，面，，，D是线段中点，且.
(1)证明：；
(2)请选择合适的基底向量，求直线与所成角的余弦值.
满分秘籍
图示：
计算公式：
易错点：向量的夹角并不一定是异面直线的成角。
变式训练
【变式2-1】已知正方体，点为中点，直线交平面于点.
(1)证明：点为的中点；
(2)若点为棱上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值.
【变式2-2】如图，平行六面体的所有棱长都相等，平面平面ABCD，AD⊥DC，二面角的大小为120°，E为棱的中点．
(1)证明：CD⊥AE；
(2)点F在棱CC1上，平面BDF，求直线AE与DF所成角的余弦值．
【变式2-3】如图，在三棱台中，，平面平面，二面角的大小为45°，，.
(1)求证：平面ABC；
(2)求异面直线与所成角的余弦值.
【变式2-4】如图，在三棱锥中，底面，.点、、分别为棱、、的中点，是线段的中点，，.
(1)求证：平面；
(2)已知点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长．
【变式2-5】如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，，，E，F分别为AD，PC的中点.
(1)证明：；
(2)若BF与CD所成的角为，求平面BEF和平面ABE夹角的余弦值.
考法三：用空间向量解决线面夹角问题
例题分析
【例3】已知三棱柱中，是的中点，是线段上一点.
(1)求证：；
(2)设是棱上的动点（不包括边界），当的面积最小时，求直线与平面所成角的正弦值.
满分秘籍
图示：
2.计算公式：
3.易错点：线面夹角的正弦等于向量夹角余弦的绝对值。
变式训练
【变式3-1】如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，侧面SAD为等边三角形，，．
(1)证明：平面平面；
(2)侧棱SC上是否存在一点P（P不在端点处），使得直线BP与平面SAC所成角的正弦值等于？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由．
【变式3-2】如图，为圆锥的顶点，A，为底面圆上两点，，为中点，点在线段上，且.
(1)证明：平面平面；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.
【变式3-3】如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，且平面，，，分别是，的中点，是上一点，且.
(1)求证：平面；
(2)若，求直线与平面所成角的余弦值.
【变式3-4】在圆柱中，等腰梯形为底面圆的内接四边形，且，矩形是该圆柱的轴截面，为圆柱的一条母线，.
(1)求证：平面 平面；
(2)设，，试确定的值，使得直线与平面所成角的正弦值为.
【变式3-5】如图，在直角梯形ABCD中，，，四边形为平行四边形，对角线和相交于点H，平面⊥平面，，，G是线段上一动点（不含端点）．
(1)当点G为线段BE的中点时，证明：平面；
(2)若，且直线与平面成角，求二面角的正弦值．
考法四：用空间向量解决面面夹角问题
例题分析
【例4】如图，在三棱柱中，侧面为菱形，，，.
(1)证明：平面平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
满分秘籍
1 图示：
2 计算公式：
3 易错点：两个平面成角范围是[0,]，二面角的范围[0,π]。
变式训练
【变式4-1】如图，在四棱锥中，侧面底面，底面为菱形，．
(1)若四棱锥的体积为1，求的长；
(2)求平面与平面所成二面角的正弦值．
【变式4-2】如图所示，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，.
(1)求证：平面平面；
(2)求平面与平面所成二面角的余弦值.
【变式4-3】如图所示，在几何体中，平面，点在平面的投影在线段上，，，，平面.
(1)证明：平面平面.
(2)若二面角的余弦值为，求线段的长.
【变式4-4】在三棱台中，为中点，，，．
(1)求证：平面；
(2)若，，平面与平面所成二面角大小为，求三棱锥的体积．
【变式4-5】如图，在长方体中，，，点在线段上.
(1)求D到的距离；
(2)当是的中点时，求直线与平面所成角的大小；
(3)若平面与平面所成角的余弦值为，求线段的长.
考法五：用空间向量解决点到平面的距离问题
例题分析
【例5】如图，平面ABCD，，，，，点E，F，M分别为AP，CD，BQ的中点.
(1)求证：平面CPM；
(2)求平面QPM与平面CPM夹角的大小；
(3)若N为线段CQ上的点，且直线DN与平面QPM所成的角为，求N到平面CPM的距离.
满分秘籍
1 图示：
2 计算公式：
变式训练
【变式5-1】已知在四棱锥中，底面为正方形，侧棱平面，点为中点，.
(1)求证：直线平面；
(2)求点到平面的距离.
【变式5-2】如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=2，AA1=AB=4，E为棱AA1的中点．
(1)证明：BC⊥C1E．
(2)设=λ（0<λ<1），若C1到平面BB1M的距离为，求λ．
【变式5-3】如图，四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，面ABCD，，．
(1)求点A到平面PBC的距离；
(2)求二面角的正弦值．
【变式5-4】底面为菱形的直棱柱中，分别为棱的中点.
(1)在图中作一个平面，使得，且平面.（不必给出证明过程，只要求作出与直棱柱的截面）；
(2)若，求平面与平面的距离.
【变式5-5】如图，四棱锥的底面是矩形，底面ABCD，，M为BC的中点.
(1)求证：平面PBD；
(2)求平面ABCD与平面APM所成角的余弦值；
(3)求D到平面APM的距离.
考法六：用空间向量解决点到直线距离问题
例题分析
【例6】如图，该几何体是由等高的半个圆柱和个圆柱拼接而成，点为弧的中点，且，，，四点共面.
(1)证明：平面平面；
(2)若平面与平面所成二面角的余弦值为，且线段长度为2，求点到直线的距离.
满分秘籍
1 图示：
2 计算公式
变式训练
【变式6-1】如图1，在等腰梯形中，，沿将折成，如图2所示，连接，得到四棱锥.
(1)若平面平面，求证： ；
(2)若点是的中点，求点到直线的距离的取值范围.
【变式6-2】在梯形中，，，，，如图1．现将沿对角线折成直二面角，如图2，点在线段上．
(1)求证：；
(2)若点到直线的距离为，求的值．
【变式6-3】异面直线、上分别有两点A、B.则将线段AB的最小值称为直线与直线之间的距离.如图，已知三棱锥中，平面PBC，，点D为线段AC中点，.点E、F分别位于线段AB、PC上（不含端点），连接线段EF.
(1)设点M为线段EF中点，线段EF所在直线与线段AC所在直线之间距离为d，证明：.
(2)若 ，用含k的式子表示线段EF所在直线与线段BD所在直线之间的距离.
【变式6-4】如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，F为线段的中点．
(1)求直线\到直线的距离；
(2)求直线到平面的距离．
【变式6-5】如图，在三棱锥中，PA⊥平面ABC，，D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点，.
(1)求直线PA与平面DEF所成角的正弦值；
(2)求点P到平面DEF的距离；
(3)求点P到直线EF的距离．
真题专练
1．如图，平面，四边形为直角梯形，.
(1)求异面直线与所成角的大小；
(2)求二面角的余弦值.
2．如图，在多面体ABCDE中，平面平面ABC，平面ABC，和均为正三角形，，点M为线段CD上一点．
(1)求证：；
(2)若EM与平面ACD所成角为，求平面AMB与平面ACD所成锐二面角的余弦值．
3．如图，棱长为2的正方体中，P为线段上动点．
(1)证明： 平面；
(2)当直线BP与平面所成的角正弦值为时，求点D到平面的距离．
4．已知和所在的平面互相垂直，，，，，是线段的中点，.
(1)求证：；
(2)设，在线段上是否存在点（异于点），使得二面角的大小为.
5．如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，AB＝BC＝2，M，N分别为，AC的中点．
(1)求证：平面；
(2)从条件①：AB⊥MN，条件②：BM＝MN中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．
6．如图，在直三棱柱中，平面侧面，且.
(1)求证：；
(2)若直线与平面所成的角为，为线段的中点，求平面与平面所成锐二面角的大小.
7．如图，在中，，为边上一动点，交于点，现将沿翻折至.
(1)证明：平面平面；
(2)若，且，线段上是否存在一点（不包括端点），使得锐二面角的余弦值为，若存在求出的值，若不存在请说明理由.
8．如图，圆锥中，为底面圆的直径，，为底面圆的内接正三角形，圆锥的高，点为线段上一个动点.
(1)当时，证明：平面；
(2)当点在什么位置时，直线PE和平面所成角的正弦值最大.
9．已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为AC和的中点，D为棱上的动点..
(1)证明：；
(2)求平面与平面DEF所成的二面角正弦值的最小值及此时点D的位置.
10．四棱锥中，底面为矩形， ，，平面与平面的交线为.
(1)求证：直线平行于平面；
(2)求二面角的余弦值.
11．如图，在多面体中，平面平面，平面，和均为正三角形，，，点在上.
(1)若平面，求；
(2)若是的中点，求二面角的正弦值.
12．如图，在多面体中，上底面与下底面平行，且都是正方形，该多面体各条侧棱相等，且每条侧棱与底面所成角都相等．已知 ，垂足为点，三棱锥的体积为．
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
13．如图，平面ABCD是圆柱OO 的轴截面，EF是圆柱的母线，AF∩DE=G，BF∩CE=H，∠ABE=60°，AB=AD=2．
(1)求证：GH∥平面ABCD；
(2)求平面ABF与平面CDE夹角的正弦值．
14．在长方体中，，点P为棱上任意一点.
(1)求证：平面⊥平面；
(2)若点E为棱上靠近点C的三等分点，求点P在棱上什么位置时，平面与平面夹角的余弦值为.
15．已知直角梯形形状如下，其中，，，．
(1)在线段CD上找出点F，将四边形沿翻折，形成几何体．若无论二面角多大，都能够使得几何体为棱台，请指出点F的具体位置（无需给出证明过程）．
(2)在（1）的条件下，若二面角为直二面角，求棱台的体积，并求出此时二面角的余弦值．
16．如图，在中，为中点，过点作垂直于，将沿翻折，使得面面，点是棱上一点，且面．
(1)求的值；
(2)求二面角的余弦值．
17．如图，在三棱台ABC—中，，平面平面.
(1)证明：平面；
(2)若二面角的大小是，求侧面与底面所成二面角的正弦值.
18．三棱台中，平面，，且，，是的中点．
(1)求三角形重心到直线的距离；
(2)求二面角的余弦值．
19．如图，在四棱锥中，，，底面，为棱上的点，，.
(1)若 平面，求证：点为的中点；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求平面与平面夹角的余弦值.
条件①： 平面
条件②：直线与夹角的余弦值为
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
20．如图，正是圆柱底面圆的内接三角形，其边长为.是圆的直径，是圆柱的母线，是与的交点，圆柱的轴截面是正方形.
(1)记圆柱的体积为，三棱锥的体积为，求；
(2)设是线段上一点，且，求二面角的余弦值.第08讲 用空间向量解决立体几何问题的六种题型
考法呈现
考法一：用空间向量证明平行或垂直
例题分析
【例1-1】
如图所示，已知矩形和矩形所在的平面互相垂直，点，分别在对角线，上，且，．求证：.
【分析】根据面面垂直的性质定理推出平面，进一步推出，再根据空间向量可证.
【详解】在矩形中，，
因为平面平面，且平面平面，平面，
所以平面，又因平面，所以，
又 ，
所以，
所以.
【例1-2】
在三棱台中，平面 为的中点．证明：平面平面．
【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，由空间向量数量积坐标表示求出，即可证得，即平面，再由面面垂直的判定定理即可证明.
【详解】由题意可建立如图所示的空间直角坐标系，
则，所以．
因为，
所以，所以．
又平面，所以平面，又平面，
所以平面平面．
满分秘籍
用向量法证明异面直线垂直，可以用基向量法，也可以用空间直角坐标系。通过方向向量（或法向量）之间的关系证明垂直或平行。
变式训练
【变式1-1】如图，在直三棱柱中，点分别为线段的中点，．证明：平面．
【分析】根据已知条件建系，求平面的一个法向量和坐标进而证明线面垂直即可.
【详解】由直三棱柱可知平面，
因为平面，所以，又因为，
所以以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，
所以，，，
设平面的法向量为，则，
令，则，即，
所以，即，所以平面．
【变式1-2】如图，已知六面体的面为梯形，，，，，棱平面，，，为的中点.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的大小.
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法证明线面平行；
（2）求出平面的法向量后利用线面角的向量公式直接求解即可.
【详解】（1）因为平面ABCD，所以，，且，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则
所以
设平面的法向量为，
则，令，解得，故，
所以，故，
又平面，所以平面.
（2）由（1）得
设平面的法向量为则，令，解得，
故所以，
设直线与平面所成的角为，则又，所以.
【变式1-3】如图，在长方体中，，，点E在棱上移动．
(1)证明：；
(2)当时，求与平面所成角的正弦值．
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得.
（2）利用向量法求得与平面所成角的正弦值．
【详解】（1）以为原点建立如图所示空间直角坐标系，
，设，
所以，
所以.
（2）当时，，，
，，
设平面的法向量为，
则，故可设，
设与平面所成角为，
则.
【变式1-4】如图所示，在正方体中，为与的交点，为的中点，求证：平面．
【分析】要证明平面GBD，只需证明垂直于平面GBD中的两条相交直线．易知，而中的G，O连接后的线段GO与垂直的可能性最大，故不妨尝试证明，由向量的数量积可知只需证明即可·
【详解】如图所示，连接，
设，，，则，，，．
因为，
，
，
所以
，
，
所以，，即，．
又因为，平面，平面，
所以平面．
考法二：用空间向量解决异面直线成角问题
例题分析
【例2】已知三棱台，面，，，D是线段中点，且.
(1)证明：；
(2)请选择合适的基底向量，求直线与所成角的余弦值.
【分析】（1）根据条件结合余弦定理先求出的长度，然后再证明与相似，从而可证明.
（2）选取基底，分别表示出，求出模长和对应的数量积，由向量法可得出答案.
【详解】（1）证明：连接. 设，在中，由余弦定理得
，
又，因为，所以，解得，
由于，且，所以，
所以，所以，即，
又因为，所以面，又因为面，所以.
（2）选取基底，
，
，
，
，
所以直线与所成角的余弦值为.
满分秘籍
图示：
计算公式：
易错点：向量的夹角并不一定是异面直线的成角。
变式训练
【变式2-1】已知正方体，点为中点，直线交平面于点.
(1)证明：点为的中点；
(2)若点为棱上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值.
【详解】（1）在正方体中，，又平面，且平面，
则平面，而交平面于点，即平面，
又平面，有平面，因此平面平面，
于是，而为中点，
所以为的中点.
（2）以为坐标原点，方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，
不妨设正方体的棱长为3，设，
则,
从而，
设平面的一个法向量为，则
,即,不妨取,则,即，
设直线与平面所成角为，
又直线与平面所成角的正弦值为，
因此，解得，
所以.
【变式2-2】如图，平行六面体的所有棱长都相等，平面平面ABCD，AD⊥DC，二面角的大小为120°，E为棱的中点．
(1)证明：CD⊥AE；
(2)点F在棱CC1上，平面BDF，求直线AE与DF所成角的余弦值．
【分析】（1）根据面面垂直可得线面垂直进而得线线垂直，由二面角定义可得，进而根据中点得线线垂直即可求，
（2）由线面平行的性质可得线线平行，由线线角的几何法可利用三角形的边角关系求解，或者建立空间直角坐标系，利用向量的夹角即可求解.
【详解】（1）（1）因为平面平面，且两平面交线为,，平面
所以平面，所以，是二面角的平面角，故 ．
连接，E为棱的中点，则，从而．
又，，平面AED，所以平面，平面,因此．
（2）解法1：设，则，所以．
连交于点，连接交于点G，连．因为平面，平面AEC,平面AEC平面BDF=OG
所以，因为为中点，
所以G为中点，故．且直线与所成角等于直线与所成角．
在中，，因为，
所以．
因此直线AE与DF所成角的余弦值为．
解法2；设，则，所以．
取中点为，连接交于点，则．
连接交于点，连，因为平面，平面AGE，平面AGE平面BDF=IH，所以．
与所成角等于直线与所成角．
正方形中，，，所以，故．
在中，，，
由余弦定理．在中，．
因此直线与所成角的余弦值为．
解法3:由（1）知平面，以为坐标原点，为x轴正方向，为2个单位长，建立如图所示的空间直角坐标系．
由（1）知，得 ，．
则，，，．
由，得．
因为平面BDF，所以存在唯一的，，
使得，
故，解得，
从而．
所以直线与所成角的余弦值为．
【变式2-3】如图，在三棱台中，，平面平面，二面角的大小为45°，，.
(1)求证：平面ABC；
(2)求异面直线与所成角的余弦值.
【分析】（1）根据题意可得，取AB中点O，连结，利用梯形和平行四边形的相关性质得到，则，再利用线面垂直的判定即可得证；
（2）建立空间直角坐标系，求出相应点的坐标，分别求出两异面直线所在的方向向量，然后利用空间向量的夹角公式即可求解.
【详解】（1）因为，平面平面ABC，
平面平面，平面ABC，
所以平面，
又因为，平面.
所以，，所以是二面角的平面角，
因为二面角的大小为45°，
所以.
取AB中点O，连结，
在梯形中，，，
所以四边形是平行四边形，所以，，
从而在三角形中，，，
所以，所以，即，所以.
又因为，平面，，所以平面.
（2）以О为坐标原点，OB为x轴，平面ABC内过О平行于BC的直线为y轴，为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
【变式2-4】如图，在三棱锥中，底面，.点、、分别为棱、、的中点，是线段的中点，，.
(1)求证：平面；
(2)已知点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长．
【分析】（1）以点为原点，以、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得平面；
（2）设，则，利用空间向量法可得出关于的方程，解出的值，即可得出结论.
【详解】（1）证明：因为底面，，
如图，以点为原点，以、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、、、，
，，
设平面的法向量为，则，
取，可得，
又因为，则，所以，，
又因为平面，所以，平面.
（2）解：依题意，设，则，
所以，，，
由已知，得，
整理可得，解得或，
所以，线段的长为或.
【变式2-5】如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，，，E，F分别为AD，PC的中点.
(1)证明：；
(2)若BF与CD所成的角为，求平面BEF和平面ABE夹角的余弦值.
【分析】（1）由题可得，根据面面垂直的性质定理可得平面ABCD，进而即得；
（2）利用坐标法，根据面面角的向量求法即得.
【详解】（1）在中，，E为AD的中点，
，又平面平面ABCD，平面平面，平面，
平面ABCD，又平面ABCD，
.
（2）如图，连接EC，由条件知，，
所以四边形BCDE为矩形，又平面ABCD，平面ABCD，
所以 ，又平面，
所以平面，平面，
所以 ，又BF与CD所成的角为，，
从而，在中，，
同理在中，，
，
为等边三角形，即，
在中，，，得，
以E为原点，分别以EA，EB，EP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，
，.
设平面BEF的法向量为，
则，令，得，
易知平面ABE的一个法向量为，
则，
平面BEF和平面ABE夹角的余弦值为.
考法三：用空间向量解决线面夹角问题
例题分析
【例3】已知三棱柱中，是的中点，是线段上一点.
(1)求证：；
(2)设是棱上的动点（不包括边界），当的面积最小时，求直线与平面所成角的正弦值.
【分析】（1）根据等腰三角形的“三线合一”证明线线垂直，结合勾股定理证明直线垂直，从而由线面垂直判定定理得平面，利用线面垂直的性质进行证明即可；
（2）根据三角形的面积最小，得到是的中点，建立坐标系求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．
【详解】（1）证明：连接
，，是的中点
，是的中点
，
，
平面
平面，平面，，
在三棱柱中，，
，，
，
平面，
平面，．
（2）连接，由（1）可知，
平面，平面
平面，
，要使的面积最小，则最小，
又，△是等腰直角三角形
即时，最小，是的中点，
如图，建立以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴的空间直角坐标系：
则，，，,0,，
设,,，则，即，得，，，
即,,，
，则，
，,,，
设平面的法向量为,,，
由，得，即，令，则，，即，
设直线与平面所成角为，
则,，
即直线与平面所成角的正弦值为．
满分秘籍
图示：
2.计算公式：
3.易错点：线面夹角的正弦等于向量夹角余弦的绝对值。
变式训练
【变式3-1】如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，侧面SAD为等边三角形，，．
(1)证明：平面平面；
(2)侧棱SC上是否存在一点P（P不在端点处），使得直线BP与平面SAC所成角的正弦值等于？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见详解；
(2)存在，点P为SC的中点.
【分析】（1）利用面面垂直的判定定理证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，设，由直线BP与平面SAC所成角的正弦值等于，解得即可.
【详解】（1）证明：因为底面ABCD为正方形，，所以，
又因为侧面SAD为等边三角形，所以.
，所以，即，又,
所以平面，又因为平面，
所以平面平面.
（2）如图：
取的中点为，连接，因为侧面为等边三角形，
所以，
又由（1）可知平面平面，平面平面，
平面，所以平面，
以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴为正方向，建立空间直角坐标系.
，，，，，
所以，，，设.
，所以，所以.
设平面SAC的法向量为，由于，所以.
令，则，，所以，
所以.
因为直线BP与平面SAC所成角的正弦值等于.
所以，解得或（舍）
故存在，当点P为SC的中点时，使得直线BP与平面SAC所成角的正弦值等于.
【变式3-2】如图，为圆锥的顶点，A，为底面圆上两点，，为中点，点在线段上，且.
(1)证明：平面平面；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.
【分析】（1）先证线面垂直再得面面垂直即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量计算即可.
【详解】（1）设圆O的半径为r，
在中，，，，
故，又，故，
在中，由余弦定理得，
所以，即；
圆锥中，底面，底面，故，
又，所以平面，
又平面，所以平面平面.
（2）以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设，则，，
则，，，，，
，，，
设平面的一个法向量为，
有，即，解得，
设直线与平面所成角为，
则.
【变式3-3】如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，且平面，，，分别是，的中点，是上一点，且.
(1)求证：平面；
(2)若，求直线与平面所成角的余弦值.
【分析】（1）通过证明即可证明结论；
（2）以为原点建立空间直角坐标系，由选择条件可得相应点坐标，可得向量坐标与平面法向量坐标，即可得线面夹角正弦值，从而可得答案．
【详解】（1）证明：，分别为，中点，，
又平面，平面，
平面；
（2）底面是边长为2的菱形，所以，又平面，平面，
所以，
如图所示，以为原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
，底面是边长为2的菱形， ，
则，，．
，
又， ， ，
，，
设平面的一个法向量为，
则，令，所以，
设直线与平面所成角为．
则，故有，
所以直线与平面所成角的余弦值.
【变式3-4】在圆柱中，等腰梯形为底面圆的内接四边形，且，矩形是该圆柱的轴截面，为圆柱的一条母线，.
(1)求证：平面 平面；
(2)设，，试确定的值，使得直线与平面所成角的正弦值为.
【分析】（1）先证明平面以及平面，根据面面平行的判定定理即可证明结论；
（2）建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求得平面的一个法向量，根据空间角的向量求法，即可求得答案.
【详解】（1）在圆柱中，,平面,平面,
故平面；
连接，因为等腰梯形为底面圆的内接四边形，，
故，
则为正三角形，故，则，
平面,平面,
故平面；
又平面，
故平面 平面.
（2）如图，以为坐标原点，在底面圆过点垂直于平面作直线为x轴，
以为轴建立空间直角坐标系，
由于，由（1）可知,
故,
则，
设平面的一个法向量为，
则，即，
令，则，
由，，，
可得，
设直线与平面所成角为，
则，
即得，解得或，符合，
故或.
【变式3-5】如图，在直角梯形ABCD中，，，四边形为平行四边形，对角线和相交于点H，平面⊥平面，，，G是线段上一动点（不含端点）．
(1)当点G为线段BE的中点时，证明：平面；
(2)若，且直线与平面成角，求二面角的正弦值．
【分析】（1）连接，由三角形中位线和边长关系可知四边形是平行四边形，即可证明平面；
（2）根据题意可知，以为原点建立空间直角坐标系，可设利用空间向量即可表示出，进而确定点位置，再分别求得两平面的法向量即可得出二面角的正弦值为.
【详解】（1）证明：
连接，如下图（1）中所示：
因为四边形为平行四边形，所以是中点，
又点为线段的中点，则，且,
又且，所以，
所以四边形是平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面；
（2）以为原点，为轴，过且在平面内与垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图（2）所示：
由平面⊥平面，，可知，
均为边长为2的正三角形，
则有，
设，
则，
为平面的法向量，
所以，
解得（其中舍去）,所以，
设平面的法向量为，则有，
令，则，故可取．
设平面的法向量为，则有，
令，则，故可取
所以．
所以二面角的正弦值为．
即二面角的正弦值为.
考法四：用空间向量解决面面夹角问题
例题分析
【例4】如图，在三棱柱中，侧面为菱形，，，.
(1)证明：平面平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
【分析】（1）利用面面垂直的判定定理进行证明；
（2）利用垂直关系建立空间直角坐标系，用向量法进行求解.
【详解】（1）如图，连接，交于，连接.
因为侧面为菱形，所以 ，且为的中点.又，故.
又，且，所以，所以.又，所以，所以.
因为平面，，所以平面.
又平面，所以平面平面.
（2）由（1）知，两两互相垂直，因此以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，.
故，，.
设为平面的一个法向量，则有，即，令，则.
设为平面的一个法向量，则有，即，令，则.因为平面平面，所以也是平面的一个法向量.
所以.
所以平面与平面夹角的余弦值.
满分秘籍
1 图示：
2 计算公式：
3 易错点：两个平面成角范围是[0,]，二面角的范围[0,π]。
变式训练
【变式4-1】如图，在四棱锥中，侧面底面，底面为菱形，．
(1)若四棱锥的体积为1，求的长；
(2)求平面与平面所成二面角的正弦值．
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）过作于，连接，根据面面垂直得性质可得底面，设，求出，再根据锥体的体积公式即可得解；
（2）取的中点，连接，则，以的方向为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
【详解】（1）如图，过作于，连接，
因为侧面底面，且侧面底面面，
所以底面，
设，因为，
所以，
在菱形中，，则为等边三角形，
则，
所以四棱锥的体积，
解得；
（2）取的中点，连接，则，
以的方向为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，设，
则，
，
设平面的法向量为，
则，令，得，
设平面的法向量为，
，令，得，
则，
故平面与平面所成二面角的正弦值为.
【变式4-2】如图所示，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，.
(1)求证：平面平面；
(2)求平面与平面所成二面角的余弦值.
【分析】（1）根据线面垂直判定可得平面，得到；由勾股定理可证得；由线面垂直和面面垂直的判定可证得结论；
（2）作，垂足为，且，以为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果.
【详解】（1）四边形为直角梯形，，，
又，，平面，平面，
又平面，；
作，
，，，，
又，，
，，，
，平面，平面，
平面，平面平面.
（2）作，垂足为，且，
由（1）知：平面，平面，
，，，，，，
，，则，
以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
平面，是平面的一个法向量；
设平面的法向量，又，，
，令，解得：，，；
；
由图形可知：平面与平面所成二面角为锐二面角，
平面与平面所成二面角的余弦值为.
【变式4-3】如图所示，在几何体中，平面，点在平面的投影在线段上，，，，平面.
(1)证明：平面平面.
(2)若二面角的余弦值为，求线段的长.
【分析】（1）过点作的垂线，垂足为，连接，可证平面，从而可证，由线面平行的性质定理可证，从而可证四边形为平行四边形，通过解三角形可得，即，再由平面可证，从而可证平面，从而有平面，即可证明平面平面；
（2）分别以，，所在的直线为，，轴建立空间直角坐标系，设，利用二面角空间向量求法可得方程，求解即可.
【详解】（1）由题知，平面平面，过点作的垂线，垂足为，连接，
又因为平面平面，所以平面.
因为平面，所以，则共面.
因为平面，平面，平面平面，
所以，则四边形为平行四边形，所以.
因为，，所以，
因为，所以，
由正弦定理得，即，
所以，因为，所以，
所以，即.
因为平面，平面，所以，
又因为,平面，所以平面.
因为，所以平面.
因为平面，所以平面平面.
（2）由（1）知，，，两两垂直，分别以，，所在的直线为，，轴建立空间直角坐标系，设，如图所示，
则，，，，
所以，，.
设平面的法向量，
所以，即，令，得，
所以平面的一个法向量.
设平面的法向量，
所以，即，令，得，
所以平面的一个法向量.
所以，即，解得或，
当时，，不合题意，
所以线段的长为2.
【变式4-4】在三棱台中，为中点，，，．
(1)求证：平面；
(2)若，，平面与平面所成二面角大小为，求三棱锥的体积．
【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明即可；
（2）以为正交基底，建立空间直角坐标系，设，分别求出平面与平面的法向量，由二面角的向量公式可求出，再由等体积法求出三棱锥的体积．
【详解】（1）在三棱台中，为中点，则，又，则，
又，∴四边形为平行四边形，则，
∵，∴，又，，
∴，∵平面，，∴平面．
（2）∵，，∴，
又∵，平面，，∴平面，
∵，，为中点，∴．
以为正交基底，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，
，
设平面的一个法向量为，
则，
令，，，则，又平面的一个法向量为，
则，∴，即．
∵平面，平面平面，平面，
∴．
【变式4-5】如图，在长方体中，，，点在线段上.
(1)求D到的距离；
(2)当是的中点时，求直线与平面所成角的大小；
(3)若平面与平面所成角的余弦值为，求线段的长.
【分析】（1）连接，求出等腰三角形腰上的高即可作答.
（2）以点为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求出线面角的大小作答.
（3）设点，其中，利用空间向量法可得出关于的方程，结合的范围可求得的值，即可得解.
【详解】（1）在长方体中，，，连接，
由，得，而，
则等腰的腰上的高即为点D到的距离，底边上的高，
由，得，
所以点D到的距离为.
（2）依题意，以点为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，
则、、、、，
设平面的法向量为，，，
则，令，得，
设直线与平面所成角为为，
而，则，
因为，所以直线与平面所成角为.
（3）设点，其中，
设平面的法向量为，则，，
则，令，得，
显然平面的一个法向量为，
由，而，解得，
所以平面与平面所成角的余弦值为时，线段的长为.
考法五：用空间向量解决点到平面的距离问题
例题分析
【例5】如图，平面ABCD，，，，，点E，F，M分别为AP，CD，BQ的中点.
(1)求证：平面CPM；
(2)求平面QPM与平面CPM夹角的大小；
(3)若N为线段CQ上的点，且直线DN与平面QPM所成的角为，求N到平面CPM的距离.
【分析】（1）连接EM，证得，利用线面平行判定定理即可证明平面MPC；
（2）根据条件建立空间直角坐标系，求得平面PMQ和平面MPC法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.
（3）设，则，从而，由（2）知平面PMQ的法向量为，利用向量的夹角公式，得到关于的方程，求出，进而得到，利用点到平面距离公式求出答案.
【详解】（1）证明：连接EM，因为，，
所以，
又因为，所以四边形PABQ为平行四边形，
因为点E和M分别为AP和BQ的中点，所以且，
因为，，F为CD的中点，所以且，
可得且，即四边形EFCM为平行四边形，
所以，又平面MPC，平面MPC，
所以平面MPC.
（2）因为平面ABCD，，故以D为原点，分别以DA，DC，DP所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
依题意可得，，，，，，，
，，，，
设为平面PQM的法向量，
则，不妨设，可得，
设为平面PMC的法向量，
则，不妨设，可得.
所以，
设平面PQM与平面PMC夹角为，
所以，
即平面PQM与平面PMC夹角的正弦值为.
（3）设，即，
则.
从而.
由（2）知平面PMQ的法向量为，
而直线DN与平面PMQ所成的角为，
所以，
即，
整理得，解得或，
因为，
所以，所以，，
由（2）知：为平面的法向量，
故点N到平面CPM的距离为.
满分秘籍
1 图示：
2 计算公式：
变式训练
【变式5-1】已知在四棱锥中，底面为正方形，侧棱平面，点为中点，.
(1)求证：直线平面；
(2)求点到平面的距离.
【分析】（1）连接交于点，连接，进而根据即可证明；
（2）根据题意，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用坐标法求解即可.
【详解】（1）证明：连接交于点，连接，
因为底面为正方形，
所以为的中点，
所以，在中，为的中点，为的中点，
所以；
又因为面，面，
所以平面.
（2）解：因为平面，为正方形，平面，
所以，两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
所以，，，，，
所以，，
设平面的法向量为，
所以，，即，
令，则，，即，
，
设点P到平面MAC的距离为d，
所以，
所以，点到平面的距离为.
【变式5-2】如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=2，AA1=AB=4，E为棱AA1的中点．
(1)证明：BC⊥C1E．
(2)设=λ（0<λ<1），若C1到平面BB1M的距离为，求λ．
【分析】（1）建立空间直角坐标系，用向量法证明直线垂直；
（2）用空间向量法求点面距，根据条件列方程求出参数值．
【详解】（1）以A为坐标原点，AD，AA1，AB所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，,
所以=，=，
所以·=2×2+0+2×=0，
所以⊥，故BC⊥C1E；
（2）因为=，=，
所以=+=+λ=，
设平面BB1M的法向量为，
则，令x=1+λ，则，
因为=，
所以C1到平面BB1M的距离，
解得．
【变式5-3】如图，四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，面ABCD，，．
(1)求点A到平面PBC的距离；
(2)求二面角的正弦值．
【分析】(1) 连接AC，根据线面垂直得到线线垂直，再利用线面垂直判定得到面，建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求解即可；
(2)根据（1）中的坐标，分别求出两平面的法向量，利用向量的夹角公式和同角三角函数的基本关系即可求解.
【详解】（1）连接AC，面ABCD
，，面PAC，面PAC，，
面，，以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴建立坐标系则，
，，
设平面的法向量为，
即，令，则，，
A到面PBC距离.
（2）由（1）可知：，，，，
设平面的法向量为，
即，，令，则，
设面的法向量为，
即令，则，，
，
∴二面角的正弦值为.
【变式5-4】底面为菱形的直棱柱中，分别为棱的中点.
(1)在图中作一个平面，使得，且平面.（不必给出证明过程，只要求作出与直棱柱的截面）；
(2)若，求平面与平面的距离.
【分析】（1）取的中点，则平面即为所求平面.（2）连接,交于，则，分别以所在的直线为轴，为原点建立如图所示空间直角坐标系，利用向量法求出平面与平面的距离.
【详解】（1）
如图，取的中点，连接，则平面即为所求平面.
证明：由,平面，平面，可得平面.
由，平面，平面，可得平面.
,平面，平面,故可得平面平面，即平面.
（2）如图，连接,交于，
在直棱柱中，底面为菱形，
，
分别以所在的直线为轴，为原点建立如图所示空间直角坐标系，
又所有棱长为2，
，
，，
设是平面的一个法向量，则，即
令得，，
点到平面的距离，
平面与平面的距离.
【变式5-5】如图，四棱锥的底面是矩形，底面ABCD，，M为BC的中点.
(1)求证：平面PBD；
(2)求平面ABCD与平面APM所成角的余弦值；
(3)求D到平面APM的距离.
【分析】（1）根据线面垂直的性质，结合相似三角形的判定定理和性质、线面垂直的判定定理进行证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可；
（3）利用空间点到直线距离公式进行求解即可.
【详解】（1）因为，M为BC的中点，
所以，
因为四棱锥的底面是矩形，
所以，
所以，所以，
而，即，
因为底面ABCD，底面ABCD，
所以，而平面PBD，
所以平面PBD；
（2）因为平面ABCD，平面ABCD，
所以，
因为因为四棱锥的底面是矩形，
所以，建立如下图所示的空间直角坐标系，
，
因为平面ABCD，
所以平面ABCD的法向量为，
设平面APM的法向量为，
，，
于是有，
平面ABCD与平面APM所成角的余弦值为；
（3）由（2）可知平面APM的法向量为，，
所以D到平面APM的距离为
考法六：用空间向量解决点到直线距离问题
例题分析
【例6】如图，该几何体是由等高的半个圆柱和个圆柱拼接而成，点为弧的中点，且，，，四点共面.
(1)证明：平面平面；
(2)若平面与平面所成二面角的余弦值为，且线段长度为2，求点到直线的距离.
【分析】（1）过作，交底面弧于，连接，有为平行四边形，根据题设可得，即，再由线面垂直的性质可得 ，最后根据线面、面面垂直的判定即可证结论.
（2）构建如下图示空间直角坐标系，令半圆柱半径为，高为，确定相关点坐标，进而求平面、平面的法向量，利用空间向量夹角的坐标表示及已知条件可得，即可求出点到直线的距离.
【详解】（1）过作，交底面弧于，连接，易知：为平行四边形，
所以，又为弧的中点，则是弧的中点，
所以，而由题设知：，则，
所以，即，由底面，平面，则，又，平面，
所以平面，又平面，所以平面平面.
（2）由题意，构建如下图示空间直角坐标系，
令半圆柱半径为，高为，则，，，，
所以，，，，
若是面的一个法向量，则，令，则，
若是面的一个法向量，则，令，则，
所以，
整理可得，则，又，
由题设可知，此时点，，，
则，，
所以点到直线的距离.
.
满分秘籍
1 图示：
2 计算公式
变式训练
【变式6-1】如图1，在等腰梯形中，，沿将折成，如图2所示，连接，得到四棱锥.
(1)若平面平面，求证： ；
(2)若点是的中点，求点到直线的距离的取值范围.
【分析】（1）根据题意得到四边形是平行四边形，证得，进而证得平面，结合线面平行的性质定理，即可证得.
（2）取中点，以为原点，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，设，求得和向量，得到，且，结合点到直线的距离，即可求解.
【详解】（1）证明：在梯形中，因为且，
所以四边形是平行四边形，所以，
又因为平面，且平面，所以平面，
因为平面，且平面平面，所以.
（2）解：取中点，连接，因为是等边三角形，可得
以为原点，所在直线为轴，轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
设，
则，
所以，，，且，
则点到直线的距离
因为，所以当时，；
当时，，所以点到直线的距离的取值范围是.
【变式6-2】在梯形中，，，，，如图1．现将沿对角线折成直二面角，如图2，点在线段上．
(1)求证：；
(2)若点到直线的距离为，求的值．
【分析】（1）计算确定，证明平面，得到，再证明平面，得到答案.
（2）建立空间直角坐标系，得到各点坐标，设得到，再根据点到直线的距离公式计算得到答案.
【详解】（1），，
，故，则，即，
又平面平面，平面平面，
，平面，故平面，
平面，则 ，
又，，平面，所以平面，
又平面，则.
（2）设中点为，中点为，以为轴建立空间直角坐标系，
如图所示：
有，
设，则，设，则，
则 ，，，
点到直线的距离为，则，
即，即，解得，
所以.
【变式6-3】异面直线、上分别有两点A、B.则将线段AB的最小值称为直线与直线之间的距离.如图，已知三棱锥中，平面PBC，，点D为线段AC中点，.点E、F分别位于线段AB、PC上（不含端点），连接线段EF.
(1)设点M为线段EF中点，线段EF所在直线与线段AC所在直线之间距离为d，证明：.
(2)若 ，用含k的式子表示线段EF所在直线与线段BD所在直线之间的距离.
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求得各点的坐标，进而假设是直线与的公垂线，利用空间向量垂直的坐标表示得到关于的方程组，从而推出矛盾，由此得证；
（2）利用（1）中结论，求得直线与的公共法向量，从而利用异面直线间的距离公式求得所求.
【详解】（1）因为在三棱锥中，平面PBC，，
所以易得两两垂直，
以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，
则，故，
不妨设，，则，，
所以，即，
所以，，，
要证，只需证不是直线与的公垂线即可，
假设是直线与的公垂线，则，
故，即，
整理得，消去，得，即，
所以，不满足，故假设不成立，
所以.
.
（2）不妨设，则，
由（1）得，，，
因为，所以，则，
所以，
不妨设是直线与的公共法向量，
所以，令，则，，故，
设线段EF所在直线与线段所在直线之间的距离为，
则，
因为，
所以，即线段EF所在直线与线段所在直线之间的距离为.
【变式6-4】如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，F为线段的中点．
(1)求直线\到直线的距离；
(2)求直线到平面的距离．
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线到直线的距离；
（2）转化为到平面的距离,利用点到平面的距离向量法可得答案.
【详解】（1）建立如下图所示的空间直角坐标系，
，，
因为，所以，即，
所以点到直线的距离即为直线到直线的距离，
，，
，，
所以直线到直线的距离为；
（2）因为，平面，平面，所以平面，
所以直线到平面的距离等于到平面的距离，
,，
设平面的一个法向量为，
则，即，取，可得，
所以到平面的距离为，
所以直线到平面的距离为.
【变式6-5】如图，在三棱锥中，PA⊥平面ABC，，D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点，.
(1)求直线PA与平面DEF所成角的正弦值；
(2)求点P到平面DEF的距离；
(3)求点P到直线EF的距离．
【分析】（1）构建以A为原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，求面DEF的一个法向量、，应用向量法求线面角的正弦值；
（2）由及（1）面DEF的法向量，应用向量法求点面距离.
（3）先求出在上的投影长，再应用向量的坐标计算点P到直线EF的距离．
【详解】（1）如图，以A为原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
由，
则，
所以，
设平面DEF的一个法向量为，则，取，则．
设PA与平面DEF所成的角为θ，则，
故直线PA与平面DEF所成角的正弦值为.
（2）因为，，
所以点P到平面DEF的距离为 .
（3）因为，， 在上的投影长为，
所以点P到直线EF的距离为.
真题专练
1．如图，平面，四边形为直角梯形，.
(1)求异面直线与所成角的大小；
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据可得异面直线所成的角，利用直角三角形求解即可；
（2）以点为坐标原点，建立坐标系，再由向量法得出二面角的余弦值.
【详解】（1）由，
则异面直线与所成角即为，
由题意知，平面，又平面，
故，所以，即，
即异面直线与所成角为.
（2）因为平面，平面，
所以，又，，
所以以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系：
则，
则，
设平面的法向量为，
则，取，得，得，
取平面的法向量为，
设二面角的大小为，由图形知，为锐角，
所以，
所以二面角的余弦值为.
2．如图，在多面体ABCDE中，平面平面ABC，平面ABC，和均为正三角形，，点M为线段CD上一点．
(1)求证：；
(2)若EM与平面ACD所成角为，求平面AMB与平面ACD所成锐二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）取AC中点O，利用面面垂直的性质、线面垂直的性质证明即可推理作答.
（2）利用（1）中信息，建立空间直角坐标系，借助空间向量求解作答.
【详解】（1）取AC中点O，连接DO、OB，在正和正中，，
则，而平面平面ABC，
平面平面，平面ACD，平面ABC，于是平面ABC，平面ACD，
又平面ABC，即有，而．因此四边形DOBE是平行四边形，则，
从而平面ABC，平面ADC，
所以.
（2）由（1）知，平面ADC，为EM与平面ADC的所成角，即，
在中，，即M为DC中点，
由（1）知，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
显然平面DAC的一个法向量为，设平面MAB的一个法向量为，
则，令，得，
，
所以平面AMB与平面ACD所成锐二面角的余弦值为．
3．如图，棱长为2的正方体中，P为线段上动点．
(1)证明： 平面；
(2)当直线BP与平面所成的角正弦值为时，求点D到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）确定 平面， 平面得到平面 平面，得到证明.
（2）建立空间直角坐标系，确定平面的一个法向量为，得到，再确定法向量，再根据距离的向量公式计算得到答案.
【详解】（1），平面，平面，故 平面；
同理可得： 平面；
，且平面，故平面 平面；
，故 平面；
（2）如图所示：以分别为轴建立空间直角坐标系，
则，，，设，，，
设平面的法向量为，则，
取得到，，
BP与平面所成的角正弦值为：
，解得或（舍），
设平面的法向量为，则，
取得到，
则点D到平面的距离.
4．已知和所在的平面互相垂直，，，，，是线段的中点，.
(1)求证：；
(2)设，在线段上是否存在点（异于点），使得二面角的大小为.
【答案】(1)证明见解析
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）根据余弦定理计算，根据勾股定理得到，确定平面，得到证明.
（2）建立空间直角坐标系，计算各点坐标，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，根据向量的夹角公式计算得到答案.
【详解】（1），故，
，则，故，
又，平面，，故平面，
平面，故，
（2）△和△所在的平面互相垂直，则平面平面，
且平面，故平面，
如图所示：以分别为轴建立空间直角坐标系，
则，，，设，，
平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，则，
取得到，
则，解得，不满足题意.
综上所述：不存在点，使二面角的大小为.
5．如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，AB＝BC＝2，M，N分别为，AC的中点．
(1)求证：平面；
(2)从条件①：AB⊥MN，条件②：BM＝MN中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取AB的中点为K，连接MK，NK，易得，由线面平行的判定证平面、平面，再由面面平行的判定和性质证结论；
（2）根据所选条件证BC，BA，两两垂直，构建空间直角坐标系，向量法求线面角的正弦值即可.
【详解】（1）取AB的中点为K，连接MK，NK，
由三棱柱得：四边形为平行四边形，
因为M是中点，则，又平面，平面，
故平面，同理得平面，
又NK∩MK＝K，平面MKN，平面MKN，
故平面平面，平面MKN，
故平面；
（2）因为侧面为正方形，故，而平面，
平面平面，又平面平面，
故CB⊥平面，平面，所以CB⊥AB，
又，所以NK⊥AB，
若选①：AB⊥MN，已证NK⊥AB，又NK∩MN＝N，平面MNK，平面MNK，
故AB⊥平面MNK，平面MNK，故AB⊥MK，
又，所以，所以BC，BA，两两垂直．
故可建立如图所示的空间直角坐标系B－xyz，
则，故，，，
设平面BNM的法向量为，则，从而，取z＝1，则，
设直线AB与平面BNM所成的角为θ，则
若选②：BM＝MN，已证CB⊥平面，又，故NK⊥平面，
而平面，故NK⊥KM，
又BM＝MN，，，AB＝BC＝2，
故△MKBMKN，所以∠MKB＝∠MKN＝90°，
所以MK⊥AB，又，所以，所以BC，BA，两两垂直
故可建立如图所示的空间直角坐标系B－xyz，
则，故，，，
设平面BNM的法向量为，则从而，取z＝1，则，
设直线AB与平面BNM所成的角为θ，则．
6．如图，在直三棱柱中，平面侧面，且.
(1)求证：；
(2)若直线与平面所成的角为，为线段的中点，求平面与平面所成锐二面角的大小.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用线面垂直和面面垂直的判定与性质即可完成证明；
（2）根据（1）的结论建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量进而求得两个平面所成锐二面角的大小.
【详解】（1）取的中点为M，连接.因为，所以.
又因为平面侧面，平面侧面，平面，所以平面.
因为平面，所以.
因为在直三棱柱中，底面且平面，
所以 ，又，从而侧面，
又因为平面，所以.
（2）由（1）知平面，
所以直线与平面所成的角为，
因为，，，;
以为原点，，，分别为，，轴正向建立坐标系，
，，，，，
，，
设平面的法向量为
，故可设，
设平面的法向量为，
，故可设，
设平面与平面所成锐二面角为，
∴，所以.
7．如图，在中，，为边上一动点，交于点，现将沿翻折至.
(1)证明：平面平面；
(2)若，且，线段上是否存在一点（不包括端点），使得锐二面角的余弦值为，若存在求出的值，若不存在请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【分析】（1）由条件证明，，根据线面垂直判定定理证明平面，根据面面垂直判定定理证明平面平面；
（2）证明平面，建立空间直角坐标系，，求平面，平面的法向量，由条件列方程求即可.
【详解】（1）因为，，
所以，所以，
所以，又因为，
，平面，平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面.
（2）因为，，∴，
又∵，，平面，
∴平面，
∴、、两两垂直，以点为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
因为，，
所以.
则，，，，
平面的一个法向量为，
，设，
，
，
设平面法向量为，
则，所以，
取，则，，
故为平面的一个法向量，
所以，
解得，符合题意
即，∴.
【点睛】
8．如图，圆锥中，为底面圆的直径，，为底面圆的内接正三角形，圆锥的高，点为线段上一个动点.
(1)当时，证明：平面；
(2)当点在什么位置时，直线PE和平面所成角的正弦值最大.
【答案】(1)证明见解析；
(2)点在距离点处
【分析】（1）利用勾股定理证明出和，再用线面垂直的判定定理证明出平面；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解.
【详解】（1）因为，，所以是正三角形，则，
又底面圆，底面圆，所以，
在中，，所以，
因为是正三角形，所以，
，，
所以，，
同理可证，
又，，平面，所以平面.
（2）如图，建立以为原点的空间直角坐标系.
设，（），所以，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，
令，则，，故，
设直线和平面所成的角为，
则
，
当且仅当，即时，直线和平面所成角的正弦值最大，
故点在距离点处.
9．已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为AC和的中点，D为棱上的动点..
(1)证明：；
(2)求平面与平面DEF所成的二面角正弦值的最小值及此时点D的位置.
【答案】(1)证明见解析
(2)最小值为，点为靠近的的四等分点
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量即可证明；
（2）求出平面与平面DEF的法向量即可求解.
【详解】（1）因为三棱柱是直三棱柱，所以底面，
又底面，所以，，
又因为，，所以，
又，平面，所以平面，
又平面，所以，即两两垂直，
以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，设，则
，，，，，，，，设，
所以，，
因为，
所以，即.
（2）设平面的法向量为，
因为，，
所以，令，则，
平面的一个法向量为，
设平面与平面DEF所成的二面角为，
则，
当时，取最小值为，此时取得最大值，
所以，
所以平面与平面DEF所成的二面角正弦值的最小值为，此时点为靠近的的四等分点.
10．四棱锥中，底面为矩形， ，，平面与平面的交线为.
(1)求证：直线平行于平面；
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题意证得平面，结合线面平行的性质定理证得直线，再由线面平行的判定定理，即可证得平面；
（2）以点为原点，建立空间直角坐标系，设，取的方向向量，根据，，利用向量的夹角公式，求得，进而求得平面和平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解.
【详解】（1）证明：因为底面是矩形，可得，
又因为平面，平面，所以平面，
因为平面，且平面平面，所以直线，
又因为平面，平面，所以平面.
（2）解：以点为原点，，垂直于平面的直线分别为轴、轴和轴，建立如图空间直角坐标系，则，则，
设，取的方向向量，
因为，，
可得
，
又因为，可得，即，
解得，即，
设平面法向量为，则，
取，可得，所以，
设平面的法向量为，则，
取取，可得，所以，
所以，
由图象可得，二面角为锐二面角，
所以二面角的余弦值为.
11．如图，在多面体中，平面平面，平面，和均为正三角形，，，点在上.
(1)若平面，求；
(2)若是的中点，求二面角的正弦值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）记中点为，连接、，依题意可得，根据面面垂直的性质得到平面，如图建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，设，，依题意可得求出的值，即可得解；
（2）依题意点与点重合，利用空间向量法计算可得.
【详解】（1）记中点为，连接、，为正三角形，，
则，且.
因为平面平面 ，平面平面，平面，
所以平面，又为正三角形，所以，所以，
如图建立空间直角坐标系，则，，，，
所以，，设平面的法向量为，
则，令，则，，则，
设，，则，
因为平面，所以，解得，
所以为的中点，此时.
（2）若是的中点，则点与点重合，则平面的一个法向量可以为，
设二面角为，显然二面角为锐角，则，
所以，
所以二面角的正弦值为.
12．如图，在多面体中，上底面与下底面平行，且都是正方形，该多面体各条侧棱相等，且每条侧棱与底面所成角都相等．已知 ，垂足为点，三棱锥的体积为．
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由三棱锥的体积公式可求出，则平面，再由线面垂直、面面垂直的性质定理和判定定理即可证明；
（2）由（1）可得到直线两两垂直，所以以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量与平面的法向量，由线面角公式代入即可得出答案.
【详解】（1）取边的中点，连接，因为，所以，
由已知，可得．
因为，设点到底面的距离为，
由，解得．
因为，所以平面，平面，所以平面平面，
又因各条侧棱相等，且每条侧棱与底面所成角都相等，
所以平面，平面，平面都与底面垂直．
取边的中点，连接，则平面，
所以有，从而易得，
可得，所以四边形是平行四边形，
所以，已知，所以．
因为平面平面，平面平面，
由于，平面，所以平面，
所以．因为，平面，
所以平面．
（2）由（1）可得到直线两两垂直，
以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系．
可得，，
求得，
设平面的法向量为，
则，令，则，所以．
所以 .
13．如图，平面ABCD是圆柱OO 的轴截面，EF是圆柱的母线，AF∩DE=G，BF∩CE=H，∠ABE=60°，AB=AD=2．
(1)求证：GH∥平面ABCD；
(2)求平面ABF与平面CDE夹角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由线面平行的判定定理可得平面，再由线面平行的性质定理可得，最后由线面平行的判定定理证明平面即可；
（2）以点为原点建立空间直角坐标系，求出平面、平面的一个法向量，再利用向量的夹角公式可得答案．
【详解】（1）由题意知，平面平面，所以平面，
因为，所以平面平面，
因为平面，所以，又平面，平面，
所以平面；
（2）以点为原点建立如图所示空间直角坐标系，
在中，由，得，
所以，
所以，
设平面的一个法向量为，则
由，得，令，得，
设平面的一个法向量为，则
由，得，令，得，
所以，
所以平面与平面的夹角的正弦值为.
14．在长方体中，，点P为棱上任意一点.
(1)求证：平面⊥平面；
(2)若点E为棱上靠近点C的三等分点，求点P在棱上什么位置时，平面与平面夹角的余弦值为.
【答案】(1)证明见解析
(2)点P为棱上靠近点的第一个六等分点
【分析】（1）可证面，结合面面垂直的判定定理可得相应证明；
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，设，求出平面与平面的法向量后结合夹角的余弦值可求，故可判断的位置.
【详解】（1）在长方体中，，故四边形为正方形，
，又面ABCD，面ABCD，.，
，且AC，面，
面， 面，平面平面.
（2）
以D为原点，分别以DA，DC，为x，y，z轴建立空间直角坐标系.
设，， ，，.
设点，，则 ，，
设面一个法向量为，
则即，令，，，.
设面的一个法向量为，
则即，取，，，.
，
，或，
，，
点P为棱上靠近点的第一个六等分点时，
面与面夹角的余弦值为.
15．已知直角梯形形状如下，其中，，，．
(1)在线段CD上找出点F，将四边形沿翻折，形成几何体．若无论二面角多大，都能够使得几何体为棱台，请指出点F的具体位置（无需给出证明过程）．
(2)在（1）的条件下，若二面角为直二面角，求棱台的体积，并求出此时二面角的余弦值．
【答案】(1)或为靠近点的三等分点；
(2)；.
【分析】（1）延长交于点，连接并延长交于，翻折后证明平面平面即可推理作答.
（2）根据给定条件，证明平面，再利用锥体的体积公式结合割补法求出体积，建立空间直角坐标系求出面面角的余弦作答.
【详解】（1）在直角梯形中，延长交于点，连接并延长交于，如图，
，，，于是，则，为靠近点的三等分点，
将四边形沿翻折，即将沿翻折，无论二面角多大，
所成几何体均为三棱锥，显然平面平面，
于是平面，同理平面，而平面，
因此平面平面，从而几何体是棱锥被平行于底面的平面所截，
截面和底面间的部分，即几何体是棱台，
所以无论二面角多大，都能够使得几何体为棱台，，为靠近点的三等分点.
（2）翻折前，将,,延长一倍，三线交予点，
在等腰直角三角形中，，在棱台中，，
又二面角为直二面角，平面，
即三棱锥的体积为，
又三棱锥的体积，
则有棱台的体积为，
在线段上取，有，四边形为平行四边形,，
又面，则，以为原点，为,,的单位向量建立空间直角坐标系，
则，，
，取平面的法向量为，
，令，取，
取面的法向量，则，令，得，
显然二面角的平面角为锐角，设为，
，
所以二面角的余弦值为.
16．如图，在中，为中点，过点作垂直于，将沿翻折，使得面面，点是棱上一点，且面．
(1)求的值；
(2)求二面角的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）作垂直于点，连接，然后证明面面，利用面面垂直性质定理，结合已知可得；
（2）以为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用法向量求解可得.
【详解】（1）因为面面，面面
由题意可知，，所以，
过点作垂直于点，连接，
因为面面，
所以面，
又因为面，面，
所以，面面，
又因为面面，面面，
所以，．
因为，所以，，
在折叠前的图形中，，所以，
易知为AQ的中点，所以，
所以，，所以，．
（2）由（1）知，以为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
易知面的一个法向量，
，
设面的法向量为，
所以，令，则，故，
所以，
所以，二面角的余弦值为．
17．如图，在三棱台ABC—中，，平面平面.
(1)证明：平面；
(2)若二面角的大小是，求侧面与底面所成二面角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）在等腰梯形中，作，利用勾股定理得到，再利用面面垂直的性质定理得到，最后利用线面垂直的判定定理即可得证.
（2）建立空间直角坐标系，设，写出相应点的坐标，求出平面与平面的法向量，利用二面角的大小是求出，从而利用向量法求解二面角的余弦值，利用同角关系求出正弦值.
【详解】（1），
在等腰梯形中，作，则，
在中，，所以，，
在中，，解得，
所以，即，
由平面平面，平面平面 ，，平面，
所以平面，因为平面，所以，
因为，，平面，所以平面.
（2）如图，在平面内，过点作，以为原点，
以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，
设，则，
则，
设平面的法向量为，
则，即，令，则，
易知平面的一个法向量为，
则，解得，
即，则平面的法向量为，
易知平面的一个法向量为，
则，
设侧面与底面所成二面角的平面角为，
则，
所以侧面与底面所成二面角的正弦值为.
18．三棱台中，平面，，且，，是的中点．
(1)求三角形重心到直线的距离；
(2)求二面角的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）建立坐标系，过点作，求出，进而得出三角形重心到直线的距离；
（2）利用向量法得出二面角.
【详解】（1）因为，所以，，
在平面内过点作，建立如图所示空间直角坐标系，则
，，，，，
过点作，设，
.
则.
因为，
所以，解得，
所以，．
即三角形重心到直线的距离为.
（2），，，
设平面的法向量，则，
取，则
设平面的法向量，则，
取，则
所以，
由图可知，二面角为锐角，所以，二面角的余弦值为．19．如图，在四棱锥中，，，底面，为棱上的点，，.
(1)若 平面，求证：点为的中点；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求平面与平面夹角的余弦值.
条件①： 平面
条件②：直线与夹角的余弦值为
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用线面平行的性质证明线线平行，即可得结论；
（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，选择条件①，利用平面，确定的坐标，进而利用向量法可求平面与平面夹角的余弦值；选择条件②，利用直线与夹角的余弦值为，确定的坐标，进而利用向量法可求平面与平面夹角的余弦值．
【详解】（1）证明：过作交于，连接，如图所示：
，，，确定平面，
平面，平面，
平面平面，
，
∴四边形为平行四边形，则
为的中位线，点为的中点；
（2）选择条件①： 平面
底面，，
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则,0,，,0,，,2,，,0,，,1,，
设,,，且，， ,,，
,2,，,,,2,，
，，，
,,，
,,，,1,，
设平面的一个法向量为,,，
则，令，则，，
平面的一个法向量为,,，
,0,，若平面，则，
，解得， ,,，
平面， ,0,是平面的一个法向量，
则,，
平面与平面夹角的余弦值为．
选择条件②：直线与夹角的余弦值为
底面，，
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则,0,，,0,，,2,，,0,，,1,，
设,,，且，， ,,，
,2,，,,,2,，
，，，
,,，
,,，,1,，
直线与夹角的余弦值为
，整理得，解得或（舍），
设平面的一个法向量为,,，
则，令，则，，
平面的一个法向量为,,，
平面， ,0,是平面的一个法向量，
则,，
平面与平面夹角的余弦值为．
20．如图，正是圆柱底面圆的内接三角形，其边长为.是圆的直径，是圆柱的母线，是与的交点，圆柱的轴截面是正方形.
(1)记圆柱的体积为，三棱锥的体积为，求；
(2)设是线段上一点，且，求二面角的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理求解圆柱底面圆的半径与正的边长为的关系，从而得圆柱的高与的关系，分别计算体积即可得比值；
（2）建立空间直角坐标系，分别求解平面与平面的法向量，根据空间向量的坐标运算求解二面角的余弦值即可.
【详解】（1）已知正的边长为，
由正弦定理，（为圆柱底面圆的半径），
从而，由题意，圆柱高，
所以，，
因此.
（2）如图，过作平面PAD，易知Ax，AD，AP两两垂直，以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，.
由于O为正的中心，则，于是，
由（1）知正的边长，从而.
则，，，，，
由题意，F为线段PE上靠近E的三等分点，
则，
于是，，，，
设平面AFC的法向量为，
所以，取，则，
设平面FCO的法向量为
所以，取，则，
所以，
由图可知二面角的夹角为锐角，所以二面角的夹角的余弦值为.

展开更多......

收起↑