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第9章 分式 学案
【学习目标】
1.掌握分式的概念及其性质.
2.熟练运用分式的加减乘除运算法则进行分式的混合运算.
3.会解可化为一元一次方程的分式方程，并掌握验根的必要性与方法.
【学法指导】
1.自主学习，建立本章知识结构体系.
2.合作探究，提高应用知识解决问题的能力.
【自主学习】
1.请整理出本章知识结构图.
2.本章的主要内容有哪些？学习的关键在哪些地方？
【答案】本章主要内容包括分式的概念、分式的性质、分式的加、减、乘、除运算、分式方程的解法及应用等内容。
学习的关键是理解分式和整式的联系与区别，类比法学习较适合。
【合作学习，课内探究】
对点练习1
（1）代数式，，，，中，分式的个数是( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【分析】本题考查分式的判断，根据形如，中含有字母的式子是分式判断即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
，是分式，
故选：A．
（2）已知某个分式，当时，分式无意义，当时，分式的值为0，则该分式可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了分式无意义，分式求值，解题的关键掌握分式代值的计算方法．先根据当时，分式无意义，排除选项C、D，然后把代入A、B选项计算即可判断．
【详解】解：当时，，则分式，无意义；，则分式，有意义，故排除选项C、D，
当时，，，故选项A符合题意，选项B不符合题意，
故选：A．
对点练习2
下列约分正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了约分，根据分式的基本性质进行约分计算，然后作出判断．
【详解】解：A. ，故此选项不符合题意；
B.，故此选项不符合题意；
C. ，正确，符合题意；
D.的分子分母中不含有公因式，不能进行约分，故此选项不符合题意，
故选：C．
对点练习3
计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据含乘方的分式的乘除混合运算法则求解即可；
（2）根据分式的乘除混合运算法则求解即可．
【详解】（1）
；
（2）
；
【点睛】此题考查了含乘方的分式的乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握含乘方的分式的乘除混合运算法则．.
对点练习4
已知，则整式 ．
【答案】
【分析】本题考查了分式的加法，解二元一次方程组；
根据异分母分式的加法法则进行计算，结合已知得出关于A、B的二元一次方程组，求出A、B，再进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：．
易错题辨析
1.若是分式，则可以是（ ）
A． B．2023 C．0 D．
【答案】D
【分析】本题主要查了分式，根据形如，其中中含有字母，这样的式子叫做分式，进行判断即可．
【详解】解：是分式，则中含有字母，
∵四个选项中，只有D选项是字母；
故选D．
2. 若分式有意义，则x的取值范围是 ；
【答案】
【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件列不等式求解即可；掌握分式有意义的条件是分母不等于零成为解题的关键；
【详解】解：∵分式有意义，
∴，即；
故答案为
典例讲解
例1 若，，则的值为 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了分式的求值；根据完全平方公式的变形，代入计算即可．
【详解】解：将两边平方得：，
把代入得： ，
则原式 ，
故答案为：．
例2 列方程解应用题
某商店老板第一次用1000元购进了一批口罩，很快销售完毕；第二次购进时发现每个口罩的进价比第一次上涨了元．老板用2500元购进了第二批口罩，所购进口罩的数量是第一批购进口罩数量的2倍，同样很快销售完毕，两批口罩的售价均为15元．
(1)求第二次购进了多少个口罩？
(2)商店老板第一次购进的口罩有30元的损耗，第二次购进的口罩有125元的损耗，问商店老板在这两笔生意中共盈利多少元？
【答案】(1)第二次购进200个口罩
(2)盈利845元
【分析】本题考查了分式方程的应用；
（1）设第一次购进个口罩，第二次就购进个口罩，根据题意列出分式方程，解方程，即可求解．
（2）根据题意分别求出两次的利润，相加即可求解．
【详解】（1）解：设第一次购进个口罩，第二次就购进个口罩，
由题意得，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
则．
答：第二次购进个口罩；
（2）第一次购进100个口罩，利润为：（元）；
第二次购进200个口罩，利润为：（元），
两笔生意是盈利：利润为元．
解题方法总结：
列分式方程解应用题的方法与一般步骤是：
（1）审—— 审清题意
（2）设——直接设未知数， 或间接设未知数
（3）列——根据找出的等量关系列出分式方程
（4）解——解这个分式方程
（5）验——既要验是否为所列分式方程的根，又要验是否符合实际情况（6）答——完整地写出答案（注意单位 ）
课堂练习
1.若分式的值为零，则x的值为（ ）
A．0 B． C．3 D．3或
【答案】B
【分析】本题考查分式为的条件，熟记分式为的条件是解决问题的关键．
根据分式为的条件（分子为0，分母不为0）列式求解即可得到答案．
【详解】解：分式的值为0，
，且，
解得，
故选：B．
2.下列分式从左到右的变形中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质进行计算，逐一判断即可解答．
【详解】解：A、，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：B．
3.若，则M表示（ ）
A．1 B． C． D．a
【答案】C
【分析】列分式除法计算即可．
【详解】解：∵，
∴
，
∴，
故选：C．
【点睛】此题考查了分式的除法计算法则，正确理解题意列得分式除法算式及掌握分式除法计算法则是解题的关键．
4.已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了分式的加减法，完全平方公式及平方根，由，可得，进而得出，即可得出答案．
【详解】解：，
，，
，
，
故选：C．
5.《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列列出的分式方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出分式方程，设规定时间为天，则慢马的速度为里/天，快马的速度为里/天，再根据快马的速度是慢马的倍，列出方程即可．
【详解】解：设规定时间为天，
由题意得，，
故选B．
6.若分式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式的分母不等于零可得，求解即可，熟练掌握分式的分母不等于零是解此题的关键．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
7.，， 的最简公分母是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了最简公分母的概念，先将各个分母因式分解，然后再结合最简公分母的定义即可解答．掌握最简公分母（取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母）的定义成为解题的关键
【详解】解：∵，，，
∴它们的最简公分母是．
故答案为：．
8.化简，其结果为
【答案】
【分析】本题考查了分式的乘除．熟练掌握运算法则是解题的关键．
先进行除法运算，然后进行乘法运算即可．
【详解】解：原式，
故答案为：．
9.已知，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查分式的基本性质，分式的加减．
由可得，即，代入，约分即可求解．
【详解】∵，
∴
∴，
∴．
故答案为：
10.对于实数a，b，我们可以定义一种运算“”为：，则方程的解为 ．
【答案】
【分析】此题考查了解分式方程，根据新定义得到分式方程求解即可．
【详解】解：，
，
，
方程两边同乘以，得
去括号得
移项得
合并同类项得
经检验，是原分式方程的解，
故答案为：．
11.已知分式．
(1)当为何值时，该分式无意义；
(2)当为何整数值时，该分式的值为正整数．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据分母等于零，分式无意义可得，求出m的值即可，熟练掌握分式有无意义的条件是解题的关键；
（2）根据题意分别令或，求解即可，利用分母是分子的正约数求解是解题的关键．
【详解】（1）解：该分式无意义，
，
解得，
即当时，该分式无意义．
（2）解：该分式的值为正整数，且也为整数，
或，
解得或，
即当或时，该分式的值为正整数．
12.（1）约分：；
（2）通分：，．
【答案】（1）；（2），
【分析】本题主要考查了分式的约分和通分，熟知约分和通分的计算法则是解题的关键．
（1）分别把分子和分母分解因式，然后约去公因式即可得到答案；
（2）先把两个分式的分母分解因式，再找到两个分式的公分母，再进行同分即可．
【详解】解（1）
；
（2）∵，，
∴，．
13.(1)计算：1－÷；
(2)先化简，再求值：(1－)÷，其中x＝3.
【答案】(1)原式＝1－·＝1－＝＝－　
(2)原式＝÷＝·＝.当x＝3时，原式＝＝4
能力拓展
某大型超市购进一款热销的消毒洗衣液，由于原材料价格上涨，今年每瓶洗衣液的进价比去年每瓶洗衣液的进价上涨4元，今年用1440元购进这款洗衣液的数量与去年用1200元购进这款洗衣液的数量相同．求今年这款消毒洗衣液每瓶进价是多少元；
【答案】今年这款消毒洗衣液每瓶进价是24元
【分析】本题考查分式方程的应用，正确理解题意列出关系式是解题关键．
设今年这款消毒洗衣液每瓶进价是x元，则去年这款消毒洗衣液每瓶进价是元，根据题意列出分式方程求解即可．
【详解】解：设今年这款消毒洗衣液每瓶进价是x元，则去年这款消毒洗衣液每瓶进价是 元，根据题意可得
解得
经检验是方程的解，
元，
答：今年这款消毒洗衣液每瓶进价是24元．
学习反思
通过这节课的学习，你有哪些收获？你还有什么疑惑？
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第9章 分式 学案
【学习目标】
1.掌握分式的概念及其性质.
2.熟练运用分式的加减乘除运算法则进行分式的混合运算.
3.会解可化为一元一次方程的分式方程，并掌握验根的必要性与方法.
【学法指导】
1.自主学习，建立本章知识结构体系.
2.合作探究，提高应用知识解决问题的能力.
【自主学习】
1.请整理出本章知识结构图.
2.本章的主要内容有哪些？学习的关键在哪些地方？
【合作学习，课内探究】
对点练习1
（1）代数式，，，，中，分式的个数是( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
（2）已知某个分式，当时，分式无意义，当时，分式的值为0，则该分式可能是（ ）
A． B． C． D．
对点练习2
下列约分正确的是（ ）
A． B． C． D．
对点练习3
计算：
(1)
(2)
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对点练习4
已知，则整式 ．
易错题辨析
1.若是分式，则可以是（ ）
A． B．2023 C．0 D．
2. 若分式有意义，则x的取值范围是 ；
典例讲解
例1 若，，则的值为 ．
例2 列方程解应用题
某商店老板第一次用1000元购进了一批口罩，很快销售完毕；第二次购进时发现每个口罩的进价比第一次上涨了元．老板用2500元购进了第二批口罩，所购进口罩的数量是第一批购进口罩数量的2倍，同样很快销售完毕，两批口罩的售价均为15元．
(1)求第二次购进了多少个口罩？
(2)商店老板第一次购进的口罩有30元的损耗，第二次购进的口罩有125元的损耗，问商店老板在这两笔生意中共盈利多少元？
解题方法总结：
课堂练习
1.若分式的值为零，则x的值为（ ）
A．0 B． C．3 D．3或
2.下列分式从左到右的变形中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3.若，则M表示（ ）
A．1 B． C． D．a
4.已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5.《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列列出的分式方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6.若分式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
7.，， 的最简公分母是 ．
8.化简，其结果为
9.已知，则的值为 ．
10.对于实数a，b，我们可以定义一种运算“”为：，则方程的解为 ．
11.已知分式．
(1)当为何值时，该分式无意义；
(2)当为何整数值时，该分式的值为正整数．
12.（1）约分：；
（2）通分：，．
13.(1)计算：1－÷；
(2)先化简，再求值：(1－)÷，其中x＝3.
能力拓展
某大型超市购进一款热销的消毒洗衣液，由于原材料价格上涨，今年每瓶洗衣液的进价比去年每瓶洗衣液的进价上涨4元，今年用1440元购进这款洗衣液的数量与去年用1200元购进这款洗衣液的数量相同．求今年这款消毒洗衣液每瓶进价是多少元；
学习反思
通过这节课的学习，你有哪些收获？你还有什么疑惑？
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