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【全国通用】2024中考数学二轮复习（重难点题型突破）
专题03 函数实际综合应用问题-抛物线型问题
二次函数抛物线形的应用题以实际问题为题材，二次函数为依托，利用函数图象及性质来解决问题，考查二次函数的应用，主要的解题方法有待定系数法、数形结合法等，是中考的热门考点。通过认真分析呢，我们发现这些题目都是一个套路的，利用二次函数解决抛物线形的拱门和大桥、运动轨迹等实际应用问题时，首先我们要把这些实际问题中的相应数据正确地落实到平面直角坐标系中的抛物线上，然后求解得出抛物线的解析式，通过解析式来解决测量问题、最值问题等就能把问题解决了。希望同学们多加练习，掌握这类题目的解题方法。
解决抛物线型的实际问题需要从以下方面考虑：
（1）抛物线解析式已知型：
此类题目需要将已知量（时间或高度、水平距离或高度）代入抛物线解析式中求得对应的未知量；
（2）抛物线解析式未知型：
首先需明确以下信息：①抛物线的顶点（即最高点）；②抛物线上某一点的x轴对应的y轴坐标，即当物体运动到某一点的高度；③抛物线与x轴的交点（即物体的落地点）。
其次再根据题中是否有无抛物线图象用不同方法求解：①题中无抛物线图象时或有抛物线图象且坐标系已确定时，需要提炼题中信息，找到抛物线解析式的关键点（常含最高点），利用待定系数法求得解析式，再进行相关计算即可；②题中有抛物线图象，但无坐标系时，先根据图象建立恰当的平面直角坐标系，再按①中步骤进行求解即可。
考向一　抛物线形建筑物问题
例1．（2023年陕西省中考数学试卷（A卷））某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了两个设计方案．现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示：
方案一，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点N在x轴上，，．
方案二，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点在x轴上，，．要在拱门中设置高为的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计）．方案一中，矩形框架的面积记为，点A、D在抛物线上，边在上；方案二中，矩形框架的面积记为，点，在抛物线上，边在上．现知，小华已正确求出方案二中，当时，，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：(1)求方案一中抛物线的函数表达式；(2)在方案一中，当时，求矩形框架的面积并比较，的大小．
【答案】(1)(2)，
【分析】（1）利用待定系数法则，求出抛物线的解析式即可；
（2）在中，令得：，求出或，得出，求出，然后比较大小即可．
【详解】（1）解：由题意知，方案一中抛物线的顶点，
设抛物线的函数表达式为，把代入得：，解得：，
∴；∴方案一中抛物线的函数表达式为；
（2）解：在中，令得：，解得或，
∴，∴；∵，∴．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，求二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法则，求出函数解析式．
例2．（2023·贵州·中考真题）如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在处，对称轴与水平线垂直，，点在抛物线上，且点到对称轴的距离，点在抛物线上，点到对称轴的距离是1．(1)求抛物线的表达式；(2)如图②，为更加稳固，小星想在上找一点，加装拉杆，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星找到点的位置并求出坐标；(3)为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为，当时，函数的值总大于等于9．求的取值范围．
【答案】(1)(2)点的坐标为(3)
【分析】（1）设抛物线的解析式为，将，代入即可求解；
（2）点B关于y轴的对称点，则，求出直线与y轴的交点坐标即可；
（3）分和两种情况，根据最小值大于等于9列不等式，即可求解．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴与y轴重合，设抛物线的解析式为，
，，，，将，代入，
得：，解得，抛物线的解析式为；
（2）解： 抛物线的解析式为，点到对称轴的距离是1，
当时，，，作点B关于y轴的对称点，则，，
，当，，A共线时，拉杆长度之和最短，
设直线的解析式为，
将，代入，得，解得，
直线的解析式为，当时，，
点的坐标为，位置如下图所示：

（3）解：中，抛物线开口向下，
当时，在范围内，当时，y取最小值，最小值为：
则，解得，；
当时，在范围内，当时，y取最小值，最小值为：
则，解得，；综上可知，或，的取值范围为．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，涉及求二次函数解析式，求一次函数解析式，根据对称性求线段的最值，抛物线的增减性等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，第3问注意分情况讨论．
例3．（2023年广东省深圳市中考数学真题）蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中，，取中点O，过点O作线段的垂直平分线交抛物线于点E，若以O点为原点，所在直线为x轴，为y轴建立如图所示平面直角坐标系．请回答下列问题：(1)如图，抛物线的顶点，求抛物线的解析式；

(2)如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置，，若，求两个正方形装置的间距的长；

(3)如图，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为，求的长．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）根据顶点坐标，设函数解析式为，求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可；（2）求出时对应的自变量的值，得到的长，再减去两个正方形的边长即可得解；（3）求出直线的解析式，进而设出过点的光线解析式为，利用光线与抛物线相切，求出的值，进而求出点坐标，即可得出的长．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点，设抛物线的解析式为，
∵四边形为矩形，为的中垂线，∴，，
∵，∴点，代入，得：
，∴，∴抛物线的解析式为；
（2）∵四边形，四边形均为正方形，，
∴，
延长交于点，延长交于点，则四边形，四边形均为矩形，

∴，∴，
∵，当时，，解得：，
∴，，∴，∴；
（3）∵，垂直平分，∴，∴，
设直线的解析式为，则：，解得：，∴，
∵太阳光为平行光，设过点平行于的光线的解析式为，
由题意，得：与抛物线相切，联立，整理得：，
则：，解得：；∴，当时，，∴，
∵，∴．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用．读懂题意，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合的思想，进行求解，是解题的关键．
例4．（2023年山东省青岛市中考数学真题）许多数学问题源于生活．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图①）、可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图②所示的直角坐标系中，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨，的交点．点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，，关于y轴对称．分米，点A到x轴的距离是分米，A，B两点之间的距离是4分米．

(1)求抛物线的表达式；(2)分别延长，交抛物线于点F，E，求E，F两点之间的距离；
(3)以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为，将抛物线向右平移个单位，得到一条新抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为．若，求m的值．
【答案】(1)；(2)(3)2或4；
【分析】（1）根据题意得到，，，设抛物线的解析式为代入求解即可得到答案；（2）分别求出，所在直线的解析式，求出与抛物线的交点F，E即可得到答案；（3）求出抛物线与坐标轴的交点得到，表示出新抛物线找到交点得到，根据面积公式列方程求解即可得到答案；
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，由题意可得，
，，，∴，，
把点A坐标代入所设解析式中得：，解得：，∴；
（2）解：设的解析式为：，的解析式为：，
分别将，代入得，，，
解得：，，∴的解析式为：，的解析式为：，
联立直线解析式与抛物线得：，解得（舍去），
同理，解，得（舍去），∴，，
∴E，F两点之间的距离为：；
（3）解：当时，，解得：，∴，
∵抛物线向右平移个单位，∴，
当时，，当时，，解得：，
∴，
∵，∴，解得：，（不符合题意舍去），，（不符合题意舍去），综上所述：m等于2或4；
【点睛】本题考查二次函数综合应用，解题的关键是熟练掌握函数与坐标轴的交点求法及平移的规律：左加右减，上加下减．
考向二　运动路线（轨迹）问题
例．（2023年山东省威海市中考数学真题）城建部门计划修建一条喷泉步行通道．图1是项目俯视示意图．步行通道的一侧是一排垂直于路面的柱形喷水装置，另一侧是方形水池．图2是主视示意图．喷水装置的高度是2米，水流从喷头A处喷出后呈抛物线路径落入水池内，当水流在与喷头水平距离为2米时达到最高点B，此时距路面的最大高度为3.6米．为避免溅起的水雾影响通道上的行人，计划安装一个透明的倾斜防水罩，防水罩的一端固定在喷水装置上的点处，另一端与路面的垂直高度为1.8米，且与喷泉水流的水平距离为0.3米．点到水池外壁的水平距离米，求步行通道的宽．（结果精确到0.1米）参考数据：

【答案】3.2米
【分析】先以点O为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则，，设设抛物线的解析式为，把代入，求得，即，再求出点D的坐标，即可求解．
【详解】解：如图，建立平面直角坐标系，由题意知：，，

∵抛物线的最高点B，∴设抛物线的解析式为，
把代入，得，解得，∴抛物线的解析式为，
令，则，解得：，∴，
∴ (米)，
答：步行通道的宽的长约为3.2米．
【点睛】本题考查抛物线的实际应用．熟练掌握用待定系数法求抛物线解析式和抛物线的图象性质是解题的关键．
例2．（2023年浙江省温州市中考数学真题）一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．

(1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）．
(2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？
【答案】(1)，球不能射进球门(2)当时他应该带球向正后方移动1米射门
【分析】（1）根据建立的平面直角三角坐标系设抛物线解析式为顶点式，代入A点坐标求出a的值即可得到函数表达式，再把代入函数解析式，求出函数值，与球门高度比较即可得到结论；
（2）根据二次函数平移的规律，设出平移后的解析式，然后将点代入即可求解．
【详解】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为，
设抛物线解析式为，把点代入，得，解得，
∴抛物线的函数表达式为，当时，，∴球不能射进球门；
（2）设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为，
把点代入得，解得（舍去），，
∴当时他应该带球向正后方移动1米射门．
【点睛】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式、二次函数图象的平移等知识，读懂题意，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
例3．（2023年内蒙古赤峰市中考数学真题）乒乓球被誉为中国国球．2023年的世界乒乓球标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度为的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．
乒乓球到球台的竖直高度记为（单位：），乒乓球运行的水平距离记为（单位：）．测得如下数据：
水平距离x/
竖直高度y/
(1)在平面直角坐标系中，描出表格中各组数值所对应的点，并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象；

(2)①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是__________，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是__________；②求满足条件的抛物线解析式；
(3)技术分析：如果只上下调整击球高度，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出的取值范围，以利于有针对性的训练．如图②．乒乓球台长为274，球网高为15.25．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球离度的值约为1.27．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值（乒乓球大小忽略不计）．
【答案】(1)见解析(2)①；；②
(3)乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值为
【分析】（1）根据描点法画出函数图象即可求解；（2）①根据二次函数图象的对称性求得对称轴以及顶点，根据表格数据，可得当时，；②待定系数法求解析式即可求解；（3）根据题意，设平移后的抛物线的解析式为，根据题意当时，，代入进行计算即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，

（2）①观察表格数据，可知当和时，函数值相等，则对称轴为直线，顶点坐标为，又抛物线开口向下，可得最高点时，与球台之间的距离是，
当时，，∴乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是；
故答案为：；．
②设抛物线解析式为，将代入得，
，解得：，∴抛物线解析式为；
（3）∵当时，抛物线的解析式为，
设乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值为，则平移距离为，
∴平移后的抛物线的解析式为，依题意，当时，，
即，解得：．
答：乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值为．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，画二次函数图象，二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
例4．（2023年浙江省嘉兴市中考数学真题）根据以下素材，探究完成任务．
如何把实心球掷得更远？
素材1
小林在练习投掷实心球，其示意图如图，第一次练习时，球从点A处被抛出，其路线是抛物线．点A距离地面，当球到OA的水平距离为时，达到最大高度为．
素材2
根据体育老师建议，第二次练习时，小林在正前方处（如图）架起距离地面高为的横线．球从点A处被抛出，恰好越过横线，测得投掷距离．
问题解决
任务1
计算投掷距离 建立合适的直角坐标系，求素材1中的投掷距离．
任务2
探求高度变化 求素材2和素材1中球的最大高度的变化量
任务3
提出训练建议 为了把球掷得更远，请给小林提出一条合理的训练建议．
【答案】任务一：4m；任务二：；任务三：应该尽量提高掷出点的高度、尽量提高掷出点的速度、选择适当的掷出仰角
【分析】任务一：建立直角坐标系，由题意得：抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，过点，利用待定系数法求出解析式，当时求出x的值即可得到；
任务二：建立直角坐标系，求出任务二的抛物线解析式，得到顶点纵坐标，与任务一的纵坐标相减即可；任务三：根据题意给出合理的建议即可．
【详解】任务一：建立如图所示的直角坐标系，

由题意得：抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，过点，
∴，解得，∴，
当时，，得（舍去），∴素材1中的投掷距离为4m；
（2）建立直角坐标系，如图，设素材2中抛物线的解析式为，
由题意得，过点，
∴，解得，∴
∴顶点纵坐标为，（m），
∴素材2和素材1中球的最大高度的变化量为；
任务三：应该尽量提高掷出点的高度、尽量提高掷出点的速度、选择适当的掷出仰角．
【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，求函数解析式，求抛物线与坐标轴的距离，正确理解题意建立恰当的直角坐标系是解题的关键．
例5．（2023年河南省中考数学真题）小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．
如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网与y轴的水平距离，，击球点P在y轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足一次函数关系；若选择吊球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系．(1)求点P的坐标和a的值．(2)小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式．

【答案】(1)，，(2)选择吊球，使球的落地点到C点的距离更近
【分析】（1）在一次函数上，令，可求得，再代入即可求得的值；（2）由题意可知，令，分别求得，，即可求得落地点到点的距离，即可判断谁更近．
【详解】（1）解：在一次函数，令时，，∴，
将代入中，可得：，解得：；
（2）∵，，∴，
选择扣球，则令，即：，解得：，即：落地点距离点距离为，
∴落地点到C点的距离为，
选择吊球，则令，即：，解得：（负值舍去），
即：落地点距离点距离为，
∴落地点到C点的距离为，
∵，∴选择吊球，使球的落地点到C点的距离更近．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数的应用，理解题意，求得函数解析式是解决问题的关键．
例6．（2023·河北·二模）如图，某跳水运动员进行10米跳台跳水训练，水面边缘点E的坐标为．运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点O的抛物线．在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处A点的坐标为，正常情况下，运动员在距水面高度5米以前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误．运动员入水后，运动路线为另一条抛物线．(1)求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式并求出入水处B点的坐标；(2)若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点E的水平距离为5米，问该运动员此次跳水会不会失误？通过计算说明理由；(3)在该运动员入水点的正前方有M，N两点，且，，该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为且顶点C距水面4米，若该运动员出水点D在之间（包括M，N两点），请直接写出a的取值范围．

【答案】(1)；(2)该运动员此次跳水失误了，理由见解析(3)
【分析】（1）设抛物线的解析式为，将代入即可求得解析式；令，即可求得点B的坐标；（2）求出距点E水平距离为5米的点的纵坐标即可进行判断；
（3）分别求出当抛物线经过点时的的值即可．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为 将代入解析式得：
∴抛物线的解析式为令，则
解得： ∴入水处B点的坐标
（2）解：距点E的水平距离为5米，对应的横坐标为：
将代入解析式得：
∵∴该运动员此次跳水失误了
（3）解：∵，，点E的坐标为
∴点M、N的坐标分别为：
∵该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为顶点C距水面4米
，∴当抛物线经过点时，把点M代入得：
同理，当抛物线经过点时，由点D在之间可得：
【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用．涉及了抛物线的顶点式、求抛物线上的点的坐标等．熟记二次函数的相关形式是解题关键．
一、选择题
1．（2023·广东深圳·模拟预测）某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：）．有下列结论：
①；②池底所在抛物线的解析式为；③池塘最深处到水面的距离为；
④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离减少为原来的．
其中结论正确的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】根据图象可以判断①；设出池底所在抛物线的解析式为，再把代入解析式求出即可判断②；把代入解析式求出，再用即可判断③；把代入解析式即可判断④．
【详解】解：①观察图形可知，，故①正确；
②设池底所在抛物线的解析式为，将代入，可得，
故抛物线的解析式为；故②正确；
③，当时，，
故池塘最深处到水面的距离为，故③错误；
④当池塘中水面的宽度减少为原来的一半，即水面宽度为12时，
将代入，得，可知此时最深处到水面的距离为，
即为原来的，故④正确．故选：B．
【点睛】本题考查抛物线的实际应用，体现了数学建模、数学抽象、数学运算素养．
2．（2023·湖北·一模）如图，在池中心竖直水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了实际问题与二次函数，根据图象得抛物线经过，对称轴为直线，则设抛物线的解析式为：，代入可求得，令，解得，进而可求解，熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的图象及性质是解题的关键．
【详解】解：由于在距池中心的水平距离为时达到最高，高度为，
抛物线经过，对称轴为直线，则设抛物线的解析式为：，
代入，求得：，将值代入得到抛物线的解析式为：，
令，则，则水管长为，故选C．
3．（23-24九年级上·湖南株洲·期末）一副眼镜的两个镜片下半部分轮廓分别对应两条抛物线的一部分，且在平面直角坐标系中关于y轴对称，如图所示（对应一个单位长度），轴，，最低点C在x轴上，且．则轮廓线所在抛物线对应的函数表达式为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用关于轴对称，，可得到点坐标为，由，最低点在轴上，则关于直线对称，可得到左边抛物线的顶点的坐标为，于是得到右边抛物线的顶点的坐标为，然后设顶点式利用待定系数法求抛物线的解析式．
本题考查了二次函数的应用：利用实际问题中的数量关系与直角坐标系中线段对应起来，再确定某些点的坐标，然后利用待定系数法确定抛物线的解析式，再利用抛物线的性质解决问题．
【详解】∵且，，且关于y轴对称，∴点坐标为，
∵轴，，最低点在轴上，∴关于直线对称，
∴左边抛物线的顶点的坐标为，∴右边抛物线的顶点的坐标为，
设右边抛物线的解析式为，把代入得，解得，
∴轮廓线所在抛物线对应的函数表达式为，故选：B．
4．（23-24九年级上·浙江台州·期末）杭州之门位于杭州奥体博览城，总高约310米，刷新杭州最新高度，同时也成为中国第一高H形双塔楼．双塔底部为跨度约62米，高度约34米的巨型抛物线结构（如图），则a的值最接近于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意建立平面直角坐标系，利用待定系数法求得a的值，即可判断．
【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系，双塔底部所在直线为x轴，过最高点C且垂直于x轴所在直线为y轴，则抛物线顶点为；
∵双塔底部为跨度约62米，∴，
把A、B、C三点坐标分别代入中，
得：，解得：∴，而接近，故选：A．
5．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图所示的公路隧道其截面为抛物线型，线段表示水平的路面，以为坐标原点，所在直线为轴，以过点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系．若，抛物线的顶点到的距离为，则抛物线对应的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了求抛物线的表达式，熟练掌握待定系数法求解析式是关键．根据题意得出，，设抛物线的表达式为，把代入得，再把代入求出的值，即可得出抛物线表达式．解题的关键是掌握用待定系数法求函数表达式的方法和步骤，以及二次函数的顶点式．
【详解】解：，抛物线的顶点到的距离为，，，
设抛物线的表达式为，把代入得：，
把代入得：，解得：，抛物线表达式为．故选：D．
6．（23-24九年级上·山西临汾·期末）“卢沟晓月”是著名的北京八景之一，古时乾隆皇帝曾在秋日路过卢沟桥，赋诗“半钩留照三秋淡，一练分波平镜明”于此，并题“卢沟晓月”，立碑于桥头．卢沟桥主桥拱可以近似看作抛物线，桥拱在水面的跨度约为22米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为则主桥拱最高点P与其在水中倒影之间的距离为（ ）米．
A．11 B．13 C．22 D．26
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图形和性质．由知道抛物线经过点，进而求出k的值，最高点与其在水中倒影之间的距离即为．
【详解】解：由题意知，抛物线经过点，代入解析式中：
得到：，解得，∴抛物线的顶点坐标为，∴，
∴主桥拱最高点与其在水中倒影之间的距离为米，故选：D．
7．（22-23九年级上·浙江台州·期末）以初速度（单位：）从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系是．现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为，经过秒后，将第二个相同材质的小球从地面以初速度竖直上抛．若两球能在空中相遇，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，二次函数的平移，解题的关键是数形结合．根据题意画出函数图像，再利用平移的方法即可求解．
【详解】解：当时，，画出函数图像如图所示．
当时，，画出函数图像如图所示．
第二个小球的运动高度，令，解得或1，
两球在空中相遇，即把抛物线向右平移个单位，平移后的抛物线与抛物线在第一象限有交点，当或时，两图像交于点，，故选：B．

8．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）学校组织学生去同安进行研学实践活动，小王同学发现在宾馆房间的洗手盘台面上有一瓶洗手液（如图①）.于是好奇的小王同学进行了实地测量研究.当小王用一定的力按住顶部A下压如图②位置时，洗手液从喷口B流出，路线近似呈抛物线状，且喷口B为该抛物线的顶点．洗手液瓶子的截面图下面部分是矩形．小王同学测得：洗手液瓶子的底面直径，喷嘴位置点B距台面的距离为，且B、D、H三点共线．小王在距离台面处接洗于液时，手心Q到直线DH的水平距离为，若小王不去接，则洗手液落在台面的位置距的水平距离是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意：所在直线为轴，的垂直平分线所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，喷口为抛物线顶点，共线的三点B、D、H所在直线为抛物线的对称轴，得出各点坐标，利用待定系数法求抛物线解析式进而求解．
【详解】解：根据题意：所在直线为轴，的垂直平分线所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，喷口为抛物线顶点，共线的三点B、D、H所在直线为抛物线的对称轴，

根据题意，，，，
将点坐标代入解析式得，，解得：，
∴抛物线解析式为：，
当时，即，解得：，或（舍去），
所以洗手液落在台面的位置距的水平距离是，故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是明确待定系数法求二次函数的解析式及准确进行计算．
二、填空题
9．（2024·江西·一模）如图，这是某市文化生态园中抛物线型拱桥及其示意图，已知抛物线型拱桥的函数表达式为，为了美化拱桥夜景，拟在该拱桥上距水面处安装夜景灯带，则夜景灯带的长是 ．

【答案】
【分析】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，根据题意得到，代入解析式求解即可．
【详解】由题意得，解得：，，
．故答案为：．
10．（2023年湖北省襄阳市中考数学真题）如图，一位篮球运动员投篮时，球从点出手后沿抛物线行进，篮球出手后距离地面的高度与篮球距离出手点的水平距离之间的函数关系式是．下列说法正确的是 （填序号）．
①篮球行进过程中距离地面的最大高度为；②篮球出手点距离地面的高度为．

【答案】①
【分析】先求的顶点为，再求时的值即可判断．
【详解】解：由的顶点为，
得篮球行进过程中距离地面的最大高度为，即①正确；
由当时，，即②不正确；故答案为：①．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的应用，充分利用函数表达式是关键．
11．（2023年吉林省长春市中考数学真题）年5月8日，商业首航完成——中国民商业运营国产大飞机正式起步．时分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”、是国际民航中高级别的礼仪）．如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的地物线的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A、B的水平距离为米时，两条水柱在物线的顶点H处相遇，此时相遇点H距地面米，喷水口A、B距地面均为4米．若两辆消防车同时后退米，两条水柱的形状及喷水口、到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点距地面 米．

【答案】
【分析】根据题意求出原来抛物线的解析式，从而求得平移后的抛物线解析式，再令求平移后的抛物线与轴的交点即可．
【详解】解：由题意可知：、、，
设抛物线解析式为：，将代入解析式，
解得：，，
消防车同时后退米，即抛物线向左（右）平移米，
平移后的抛物线解析式为：，令，解得：，故答案为：．
【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式、函数图像的平移及坐标轴的交点；解题的关键是求得移动前后抛物线的解析式．
12．（2023年湖北省宜昌市中考数学真题）如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则铅球推出的距离 m．

【答案】10
【分析】令，则，再解方程，结合函数图象可得答案．
【详解】解：令，则，解得：，，∴，故答案为：．
【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，理解题意令求解方程的解是解本题的关键．
13．（2023·吉林长春·二模）如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线形是全等的，正常水位时，大孔水面宽度为，顶点M距水面（即），小孔顶点N距水面（即 ，建立如图所示的平面直角坐标系．当水位上涨到刚好淹没小孔时，求出大孔的水面宽度 m．
【答案】10
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，由函数值求自变量的值的运用，解答时求出函数的解析式是关键．
根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，可以得到的坐标，设出函数关系式，待定系数求解函数式．根据的长度，得出函数的y坐标，代入解析式，即可得出E、F的坐标，进而得出答案．
【详解】解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意得，M点坐标为，A点坐标为，B点坐标为，设中间大抛物线的函数式为，
代入三点的坐标得到，解得．∴函数式为．
∵米，∴令米，代入解析式得解得：，，
∴可得(米)．故答案为：．
14．（2023·山东滨州·中考真题）如图，池中心竖直水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管的长为 米．

【答案】
【分析】由题意可得，抛物线的顶点为，经过点，设抛物线解析式为：，求解即可．
【详解】解：由题意可得，抛物线的顶点为，经过点，
设抛物线解析式为：将代入可得：，解得
即 将代入得，，故答案为：
【点睛】此题考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意，正确求得抛物线的解析式．
15．（2023·浙江温州·三模）如图，为世界最大跨度铁路拱桥——贵州北盘江特大桥．如图，已知拱桥曲线呈抛物线，主桥底部跨度米，以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，点为抛物线最高点，立柱，，都与轴垂直，，，，若，，和，，均三点共线．则立柱比 ，以及 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了二次函数的性质以及正比例函数在实际生活中的综合应用，关键是求出、、、、、、、点的坐标，表示出、、、的长度，均用含的代数式表示，进而求比即可．根据已知条件抛物线过原点及，利用交点式写出抛物线的解析式，易得顶点，，由于轴且、、、皆在上，故他们纵坐标相同；根据，，且为对称轴，轴，得横坐标为，进而推出、、点横坐标分别为、、，因为且在抛物线上，可得，、，，再根据直线过原点，求得解析式为，由于在上，可求得纵坐标，则、、纵坐标均为，表示出、、、的长度，进而求比值即可．
【详解】解：根据题意，可知二次函数图象过，，故设抛物线为，
∵为抛物线顶点；∴，，∵轴，∴点横坐标为，
∵轴，∴、、、纵坐标相同，
∵轴，，∴，，,，,；
∵轴，∴，，同理可得，，
设直线：，则，解得：；，
∵，，三点共线，∴，即，
∴，，，，∴，
，；
∵，，，∴，
∴，，故答案为：．
三、解答题
16．（2023年湖北省武汉市数学真题）某课外科技活动小组研制了一种航模飞机．通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离（单位：）以、飞行高度（单位：）随飞行时间（单位：）变化的数据如下表．
飞行时间 0 2 4 6 8 …
飞行水平距离 0 10 20 30 40 …
飞行高度 0 22 40 54 64 …
探究发现：与，与之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．直接写出关于的函数解析式和关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）．
问题解决：如图，活动小组在水平安全线上处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机．根据上面的探究发现解决下列问题．

（1）若发射平台相对于安全线的高度为0m，求飞机落到安全线时飞行的水平距离；
（2）在安全线上设置回收区域．若飞机落到内（不包括端点），求发射平台相对于安全线的高度的变化范围．
【答案】探索发现：；问题解决：（1）；（2）大于且小于
【分析】探究发现：根据待定系数法求解即可；
问题解决：（1）令二次函数代入函数解析式即可求解；
（2）设发射平台相对于安全线的高度为，则飞机相对于安全线的飞行高度．结合，即可求解.
【详解】探究发现：x与t是一次函数关系，y与t是二次函数关系，设，，
由题意得：，，解得：，∴．
问题解决（1） 解：依题总，得．解得，（舍），，当时，．
答：飞机落到安全线时飞行的水平距离为．
（2）解：设发射平台相对于安全线的高度为，飞机相对于安全线的飞行高度．
，，，
在中，当时，；当时，．．
答：发射平台相对于安全线的高度的变化范围是大于且小于．
【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的应用，利用待定系数法求函数的解析式，关键是把实际问题分析转变成数学模型．
17．（2023·河南濮阳·二模）如图（1）所示，濮阳湿地公园中，金堤河大桥是一座非常有艺术性造型的大桥．桥身是由两条抛物线钢架建造．如图（2）所示，两条抛物线有共同的对称轴，已知，过原点，两抛物线最高点的距离为．

(1)求抛物线的解析式；(2)①求主桥长为多少米？②过点与轴平行的直线为河面的水平线，，若要在与水面的交点、处建造两个桥墩，其中一个桥墩到岸边（轴）的距离是多少米？（说明：题中个单位长为米）
【答案】(1)抛物线的解析式为
(2)①主桥长为米；②其中一个桥墩到岸边（轴）的距离是米
【分析】（1）根据题意可得抛物线对称轴为，最高点，过原点，两抛物线最高点的距离为．把点代入得，即可求解．（2）①令，则，解方程即可求解；②令，解方程即可求解．
【详解】（1）解：由题知：
则抛物线对称轴为，最高点 ∵过原点，两抛物线最高点的距离为．
∴设抛物线的解析式为
把点代入得∴抛物线的解析式为
（2）①令，则解得，，
∴ 答：主桥长为米
②由题知：令，则
解得：或（舍去）， ，
答：其中一个桥墩E到岸边（轴）的距离是米
【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意求得解析式是解题的关键．
18．（2023·广东广州·一模）古往今来，桥给人们的生活带来便利，解决跨水或者越谷的交通，便于运输工具或行人在桥上畅通无阻．广州市南沙区是典型的“水乡”，万里珠江在此奔腾入海，辖域里已有的和正在建设的各式桥梁把南沙从曾经的“孤岛”连成了粵港澳大湾区的中心，助南沙货物流转、人才集聚、便民宜居．中国桥梁的桥拱线大多采用圆弧形、抛物线形和悬链形，坐落在河北省赵县洨河上的赵州桥建于隋朝，距今已有约1400年的历史，是当今世界上现存最早、保存最完整的古代敞肩石拱桥．如图①所示，赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为米，拱高（拱顶点到弦的距离）约为米．

(1)某桥主桥拱是圆弧形（如图①中），已知跨度，拱高，则这条桥主桥拱的半径是______；(2)某桥的主桥拱是抛物线形（如图②），若水面宽，拱顶（抛物线顶点）距离水面，求桥拱抛物线的解析式；(3)如图③，某时桥和桥的桥下水位均上升了，求此时两桥的水面宽度．
【答案】(1)(2)(3)水面宽度分别为米；米
【分析】（1）连接，延长至点，在在中，，代入数据即可求解；
（2）以水面所在直线为轴，的中点为原点，建立平面直角坐标系，依题意，，，设抛物线解析式为，将点代入，待定系数法求解析式即可求解；
（3）根据垂径定理，勾股定理，在中求得，即可得出，由（1）可得抛物线解析式为，当时，解一元二次方程，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，

连接，延长，由垂径定理知延长线经过点，依题意，
设半径为，则在中，，
∴即解得：，故答案为：．
（2）解：如图所示，以水面所在直线为轴，的中点为原点，建立平面直角坐标系，
依题意，，设抛物线解析式为，将点代入得，
解得：∴抛物线解析式为
（3）解：如图所示，依题意，则∴，
在中，，
∴，则水面宽度为米；由（1）可得抛物线解析式为

如图所示， 当水面上涨米时，当时，，解得：，
∴水面宽度为米
【点睛】本题考查了垂径定理的应用，二次函数的应用，熟练掌握垂径定理与二次函数的性质是解题的关键．
19．（2024·贵州·一模）如图，篮圈中心到地面的距离为米，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，篮球运行的路线是抛物线，当运行的水平距离为米时，篮球达到最大高度米，沿此抛物线可准确落入篮圈．
(1)在如图所示的直角坐标系中，求抛物线的表达式；(2)该运动员身高米，在这次跳投中，球在头顶上方米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？(3)篮球准备投出时，小强发现前方距离他1米处对方的防守运动员准备跳起拦截，为了躲避拦截，小强临时调整抛球路线，其表达式为 ，当对方的防守运动员在一个跨步（约米）的范围内起跳，即时，篮球的高度总大于这名防守运动员的最大摸高米，求b的取值范围．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用：（1）把解析式设为顶点式，利用待定系数法求解即可；（2）先求出当时，y的值，再用y的值减去运动员的高度以及减去即可得到答案；
（3）先求出抛物线对称轴为直线，根据题意可得当时，函数的最小值要大于，再讨论对称轴的位置，根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：由题意可设抛物线解析式为，
把代入中得：，解得，
∴抛物线解析式为
（2）解：在中，当时，，
，∴球出手时，他跳离地面的高度是；
（3）解：抛物线的对称轴为直线，
当时，则当时的函数值要大于，
∴，解得，∴当时，符合题意；
当时，则当时的函数值要大于，
∴，解得，此时不符合题意；
当时，则当时的函数值要大于，此时得到，∴；
当时，则当时的函数值要大于，此时得到，此时不符合题意；
综上所述，．
20．（2023·安徽芜湖·三模）消防车中的高喷消防车，采用曲臂加伸缩结构，顶端装有消防炮，其液控炮既可喷射水也可喷射泡沫，具有射程远，流量大的特点．该车主要作业于油田、高层建筑、石化企业等地方的灭火救援和处置工作．在一次模拟高层建筑起火救援中，消防炮喷水口A距离地面35米，距离大楼起火侧面20米，喷出水柱呈抛物线形，水柱最高处B距离地面50米，距离大楼起火侧面5米，如图所示建立平面直角坐标系．

(1)求出水柱所在抛物线的解析式；(2)目前火焰不断从第17层窗口窜出，若每层楼约2.9米高，窗台高度约为0.9米，窗顶距离该层地面高度约2.4米，此时水柱能否射入该层窗口？(3)火势已经向上蔓延到距离地面55米处，高喷消防车最后一节伸缩臂CA按原来方向（与水平方向夹角约为）伸长了一截（不超过12米），为阻止火势进一步蔓延，伸缩臂应该伸长几米？（伸缩臂伸长时间忽略，）
【答案】(1)抛物线解析式为：(2)此时水柱能射入该层窗口，理由见解析
(3)应伸长米
【分析】（1）根据二次函数解析式，用代入法来求出解析式．（2）根据解析式求出最大值，再进比较．（3）求出新的二次函数解析式，并根据一元二次方程来解决问题．
【详解】（1）由题意得到：B点坐标：，A点坐标：，
设抛物线的解析式为：，把A点坐标代入得：，
解得，，∴抛物线解析式为：．
（2）当时，，第16层楼顶高度为：，
，，∵，∴此时水柱能射入该层窗口
（3）过A作平行于x轴，

设伸长至处，的长即为其伸长的长度，设为，
过作于E，则，∴，，
即相当于将点A向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度．
新抛物线的解析式：，
当时，，∴，
解得：（舍去），，∴应伸长米．
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，关键用代入法来求出解析式，再转化成一元二次方程解决问题．
21．（2023·安徽滁州·二模）北京冬奥会的召开激起了人们对冰雪运动的极大热情，如图是某小型跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为轴，过跳台终点做水平线的垂线为轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某滑雪爱好者小刘从点正上方点滑出，滑出后沿一段抛物线 运动．
(1)小山坡最高处的高度是 　　米；(2)小刘在某次训练中，滑到离处的水平距离为6米时，达到滑行的最大高度米（相对于水平线），在这次训练中，当小刘滑出后离的水平距离为多少米时，他滑行高度与小山坡的竖直距离为米？(3)小刘若想滑行到最大高度时恰好在坡顶正上方，且与坡顶距离不低于3米，求跳台滑出点的最小高度．
【答案】(1)7(2)运动员与小山坡的竖直距离为米(3)跳台滑出点的最小高度为2米
【分析】（1）由的顶点为，即可解得答案．（2）设运动员运动的水平距离为米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米，依题意列出方程，解出即可；（3）先求出，再根据与坡顶距离不低于3米列出关于的不等式，即可解得答案．
【详解】（1）故答案为：7；
（2）小刘滑到离处的水平距离为6米时，其滑行高度最大为米，
的顶点为，，，解得，
设运动员运动的水平距离为米时，运动员与小山坡的竖直距离为米，
依题意得：，整理得：，
解得：，（舍去），
运动员运动的水平距离为9米时，运动员与小山坡的竖直距离为米；
（3）抛物线，当时，运动员到达坡顶，
，解得，，
与坡顶距离不低于3米，，解得：．跳台滑出点的最小高度为2米．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，熟练掌握二次函数的基本性质，并能将实际问题与二次函数模型相结合．
22．（2023·河北保定·一模）如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方的B处发出，球每次出手后的运动轨迹都是形状相同的抛物线，且抛物线的最高点C到y轴总是保持6米的水平距离，竖直高度总是比出手点B高出1米，已知米，排球场的边界点A距O点的水平距离为米，球网高度为米，且．
(1)C点的坐标为　 　（用含m的代数式表示）；(2)当时，求抛物线的表达式．
(3)当时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由．
(4)若运动员调整起跳高度，使球在点A处落地，此时形成的抛物线记为，球落地后立即向右弹起，形成另一条与形状相同的抛物线，且此时排球运行的最大高度为1米，球场外有一个可以移动的纵切面为梯形的无盖排球回收框（），其中米，米，米，若排球经过向右反弹后沿的轨迹落入回收框内（下落过程中碰到P、Q点均视为落入框内），设M点横坐标的最大值与最小值的差为d，请直接写出d的值．
【答案】(1)(2)抛物线的表达式为
(3)球能越过球网，球不会出界，理由见解析(4)
【分析】（1）抛物线的最高点C到y轴总是保持6米的水平距离，竖直高度总是比出手点B高出1米，OB＝m米，据此即可得到点C的坐标；（2）当时，得到，设抛物线的表达式为，将点代入解得，即可得到答案；（3）由（2）知，当时，抛物线的表达式为，由，得到，得到，求出当时，，即可判断球能越过球网，求出，即可判断球会不会出界；
（4）求出的表达式为，设点M的横坐标为，则，，当时，，解得：，（舍去），当时，，解得：（舍去），则，即可得到答案．
【详解】（1）解：∵抛物线的最高点C到y轴总是保持6米的水平距离，竖直高度总是比出手点B高出1米，OB＝m米，∴C；故答案为：；
（2）当时，∴，∴设抛物线的表达式为，
将点代入，得，解得：，
∴抛物线的表达式为；
（3）球能越过球网，球不会出界，理由如下：由（2）知，当时，抛物线的表达式为，
∵米，，∴（米），∵球网高度为米，∴，
当时，，∵，∴球能越过球网，
当时，，解得：，（不合题意，舍去），∴，
∵，∴球不会出界；
（4）∵球每次出手后的运动轨迹都是形状相同的抛物线，且抛物线的最高点C到y轴总是保持6米的水平距离，又∵是与形状相同的抛物线，此时排球运行的最大高度为1米，
∴设的表达式为，将点代入，得
解得：（舍去），，∴的表达式为，
设点M的横坐标为，则，，
当时，，解得：，（舍去），
当时，，解得：（舍去），
∴，∴．
【点睛】此题考查了二次函数的应用，待定系数法二次函数解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质并数形结合是解题的关键．
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【全国通用】2024中考数学二轮复习（重难点题型突破）
专题03 函数实际综合应用问题-抛物线型问题
二次函数抛物线形的应用题以实际问题为题材，二次函数为依托，利用函数图象及性质来解决问题，考查二次函数的应用，主要的解题方法有待定系数法、数形结合法等，是中考的热门考点。通过认真分析呢，我们发现这些题目都是一个套路的，利用二次函数解决抛物线形的拱门和大桥、运动轨迹等实际应用问题时，首先我们要把这些实际问题中的相应数据正确地落实到平面直角坐标系中的抛物线上，然后求解得出抛物线的解析式，通过解析式来解决测量问题、最值问题等就能把问题解决了。希望同学们多加练习，掌握这类题目的解题方法。
解决抛物线型的实际问题需要从以下方面考虑：
（1）抛物线解析式已知型：
此类题目需要将已知量（时间或高度、水平距离或高度）代入抛物线解析式中求得对应的未知量；
（2）抛物线解析式未知型：
首先需明确以下信息：①抛物线的顶点（即最高点）；②抛物线上某一点的x轴对应的y轴坐标，即当物体运动到某一点的高度；③抛物线与x轴的交点（即物体的落地点）。
其次再根据题中是否有无抛物线图象用不同方法求解：①题中无抛物线图象时或有抛物线图象且坐标系已确定时，需要提炼题中信息，找到抛物线解析式的关键点（常含最高点），利用待定系数法求得解析式，再进行相关计算即可；②题中有抛物线图象，但无坐标系时，先根据图象建立恰当的平面直角坐标系，再按①中步骤进行求解即可。
考向一　抛物线形建筑物问题
例1．（2023年陕西省中考数学试卷（A卷））某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了两个设计方案．现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示：
方案一，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点N在x轴上，，．
方案二，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点在x轴上，，．要在拱门中设置高为的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计）．方案一中，矩形框架的面积记为，点A、D在抛物线上，边在上；方案二中，矩形框架的面积记为，点，在抛物线上，边在上．现知，小华已正确求出方案二中，当时，，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：(1)求方案一中抛物线的函数表达式；(2)在方案一中，当时，求矩形框架的面积并比较，的大小．
例2．（2023·贵州·中考真题）如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在处，对称轴与水平线垂直，，点在抛物线上，且点到对称轴的距离，点在抛物线上，点到对称轴的距离是1．(1)求抛物线的表达式；(2)如图②，为更加稳固，小星想在上找一点，加装拉杆，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星找到点的位置并求出坐标；(3)为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为，当时，函数的值总大于等于9．求的取值范围．
例3．（2023年广东省深圳市中考数学真题）蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中，，取中点O，过点O作线段的垂直平分线交抛物线于点E，若以O点为原点，所在直线为x轴，为y轴建立如图所示平面直角坐标系．请回答下列问题：(1)如图，抛物线的顶点，求抛物线的解析式；

(2)如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置，，若，求两个正方形装置的间距的长；

(3)如图，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为，求的长．
例4．（2023年山东省青岛市中考数学真题）许多数学问题源于生活．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图①）、可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图②所示的直角坐标系中，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨，的交点．点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，，关于y轴对称．分米，点A到x轴的距离是分米，A，B两点之间的距离是4分米．(1)求抛物线的表达式；(2)分别延长，交抛物线于点F，E，求E，F两点之间的距离；(3)以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为，将抛物线向右平移个单位，得到一条新抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为．若，求m的值．

考向二　运动路线（轨迹）问题
例．（2023年山东省威海市中考数学真题）城建部门计划修建一条喷泉步行通道．图1是项目俯视示意图．步行通道的一侧是一排垂直于路面的柱形喷水装置，另一侧是方形水池．图2是主视示意图．喷水装置的高度是2米，水流从喷头A处喷出后呈抛物线路径落入水池内，当水流在与喷头水平距离为2米时达到最高点B，此时距路面的最大高度为3.6米．为避免溅起的水雾影响通道上的行人，计划安装一个透明的倾斜防水罩，防水罩的一端固定在喷水装置上的点处，另一端与路面的垂直高度为1.8米，且与喷泉水流的水平距离为0.3米．点到水池外壁的水平距离米，求步行通道的宽．（结果精确到0.1米）参考数据：

例2．（2023年浙江省温州市中考数学真题）一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．

(1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）．
(2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？
例3．（2023年内蒙古赤峰市中考数学真题）乒乓球被誉为中国国球．2023年的世界乒乓球标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度为的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．
乒乓球到球台的竖直高度记为（单位：），乒乓球运行的水平距离记为（单位：）．测得如下数据：
水平距离x/
竖直高度y/
(1)在平面直角坐标系中，描出表格中各组数值所对应的点，并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象；

(2)①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是__________，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是__________；②求满足条件的抛物线解析式；
(3)技术分析：如果只上下调整击球高度，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出的取值范围，以利于有针对性的训练．如图②．乒乓球台长为274，球网高为15.25．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球离度的值约为1.27．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值（乒乓球大小忽略不计）．
例4．（2023年浙江省嘉兴市中考数学真题）根据以下素材，探究完成任务．
如何把实心球掷得更远？
素材1
小林在练习投掷实心球，其示意图如图，第一次练习时，球从点A处被抛出，其路线是抛物线．点A距离地面，当球到OA的水平距离为时，达到最大高度为．
素材2
根据体育老师建议，第二次练习时，小林在正前方处（如图）架起距离地面高为的横线．球从点A处被抛出，恰好越过横线，测得投掷距离．
问题解决
任务1
计算投掷距离 建立合适的直角坐标系，求素材1中的投掷距离．
任务2
探求高度变化 求素材2和素材1中球的最大高度的变化量
任务3
提出训练建议 为了把球掷得更远，请给小林提出一条合理的训练建议．
例5．（2023年河南省中考数学真题）小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．
如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网与y轴的水平距离，，击球点P在y轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足一次函数关系；若选择吊球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系．(1)求点P的坐标和a的值．(2)小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式．

例6．（2023·河北·二模）如图，某跳水运动员进行10米跳台跳水训练，水面边缘点E的坐标为．运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点O的抛物线．在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处A点的坐标为，正常情况下，运动员在距水面高度5米以前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误．运动员入水后，运动路线为另一条抛物线．(1)求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式并求出入水处B点的坐标；(2)若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点E的水平距离为5米，问该运动员此次跳水会不会失误？通过计算说明理由；(3)在该运动员入水点的正前方有M，N两点，且，，该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为且顶点C距水面4米，若该运动员出水点D在之间（包括M，N两点），请直接写出a的取值范围．

一、选择题
1．（2023·广东深圳·模拟预测）某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：）．有下列结论：
①；②池底所在抛物线的解析式为；③池塘最深处到水面的距离为；
④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离减少为原来的．
其中结论正确的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．（2023·湖北·一模）如图，在池中心竖直水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管的长为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24九年级上·湖南株洲·期末）一副眼镜的两个镜片下半部分轮廓分别对应两条抛物线的一部分，且在平面直角坐标系中关于y轴对称，如图所示（对应一个单位长度），轴，，最低点C在x轴上，且．则轮廓线所在抛物线对应的函数表达式为（ ）

A． B． C． D．
4．（23-24九年级上·浙江台州·期末）杭州之门位于杭州奥体博览城，总高约310米，刷新杭州最新高度，同时也成为中国第一高H形双塔楼．双塔底部为跨度约62米，高度约34米的巨型抛物线结构（如图），则a的值最接近于（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图所示的公路隧道其截面为抛物线型，线段表示水平的路面，以为坐标原点，所在直线为轴，以过点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系．若，抛物线的顶点到的距离为，则抛物线对应的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24九年级上·山西临汾·期末）“卢沟晓月”是著名的北京八景之一，古时乾隆皇帝曾在秋日路过卢沟桥，赋诗“半钩留照三秋淡，一练分波平镜明”于此，并题“卢沟晓月”，立碑于桥头．卢沟桥主桥拱可以近似看作抛物线，桥拱在水面的跨度约为22米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为则主桥拱最高点P与其在水中倒影之间的距离为（ ）米．
A．11 B．13 C．22 D．26
7．（22-23九年级上·浙江台州·期末）以初速度（单位：）从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系是．现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为，经过秒后，将第二个相同材质的小球从地面以初速度竖直上抛．若两球能在空中相遇，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）学校组织学生去同安进行研学实践活动，小王同学发现在宾馆房间的洗手盘台面上有一瓶洗手液（如图①）.于是好奇的小王同学进行了实地测量研究.当小王用一定的力按住顶部A下压如图②位置时，洗手液从喷口B流出，路线近似呈抛物线状，且喷口B为该抛物线的顶点．洗手液瓶子的截面图下面部分是矩形．小王同学测得：洗手液瓶子的底面直径，喷嘴位置点B距台面的距离为，且B、D、H三点共线．小王在距离台面处接洗于液时，手心Q到直线DH的水平距离为，若小王不去接，则洗手液落在台面的位置距的水平距离是（ ）

A． B． C． D．
二、填空题
9．（2024·江西·一模）如图，这是某市文化生态园中抛物线型拱桥及其示意图，已知抛物线型拱桥的函数表达式为，为了美化拱桥夜景，拟在该拱桥上距水面处安装夜景灯带，则夜景灯带的长是 ．

10．（2023年湖北省襄阳市中考数学真题）如图，一位篮球运动员投篮时，球从点出手后沿抛物线行进，篮球出手后距离地面的高度与篮球距离出手点的水平距离之间的函数关系式是．下列说法正确的是 （填序号）．
①篮球行进过程中距离地面的最大高度为；②篮球出手点距离地面的高度为．

11．（2023年吉林省长春市中考数学真题）年5月8日，商业首航完成——中国民商业运营国产大飞机正式起步．时分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”、是国际民航中高级别的礼仪）．如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的地物线的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A、B的水平距离为米时，两条水柱在物线的顶点H处相遇，此时相遇点H距地面米，喷水口A、B距地面均为4米．若两辆消防车同时后退米，两条水柱的形状及喷水口、到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点距地面 米．

12．（2023年湖北省宜昌市中考数学真题）如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则铅球推出的距离 m．

13．（2023·吉林长春·二模）如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线形是全等的，正常水位时，大孔水面宽度为，顶点M距水面（即），小孔顶点N距水面（即 ，建立如图所示的平面直角坐标系．当水位上涨到刚好淹没小孔时，求出大孔的水面宽度 m．
14．（2023·山东滨州·中考真题）如图，池中心竖直水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管的长为 米．

15．（2023·浙江温州·三模）如图，为世界最大跨度铁路拱桥——贵州北盘江特大桥．如图，已知拱桥曲线呈抛物线，主桥底部跨度米，以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，点为抛物线最高点，立柱，，都与轴垂直，，，，若，，和，，均三点共线．则立柱比 ，以及 ．
三、解答题
16．（2023年湖北省武汉市数学真题）某课外科技活动小组研制了一种航模飞机．通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离（单位：）以、飞行高度（单位：）随飞行时间（单位：）变化的数据如下表．
飞行时间 0 2 4 6 8 …
飞行水平距离 0 10 20 30 40 …
飞行高度 0 22 40 54 64 …
探究发现：与，与之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．直接写出关于的函数解析式和关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）．
问题解决：如图，活动小组在水平安全线上处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机．根据上面的探究发现解决下列问题．
（1）若发射平台相对于安全线的高度为0m，求飞机落到安全线时飞行的水平距离；
（2）在安全线上设置回收区域．若飞机落到内（不包括端点），求发射平台相对于安全线的高度的变化范围．
17．（2023·河南濮阳·二模）如图（1）所示，濮阳湿地公园中，金堤河大桥是一座非常有艺术性造型的大桥．桥身是由两条抛物线钢架建造．如图（2）所示，两条抛物线有共同的对称轴，已知，过原点，两抛物线最高点的距离为．

(1)求抛物线的解析式；(2)①求主桥长为多少米？②过点与轴平行的直线为河面的水平线，，若要在与水面的交点、处建造两个桥墩，其中一个桥墩到岸边（轴）的距离是多少米？（说明：题中个单位长为米）
18．（2023·广东广州·一模）古往今来，桥给人们的生活带来便利，解决跨水或者越谷的交通，便于运输工具或行人在桥上畅通无阻．广州市南沙区是典型的“水乡”，万里珠江在此奔腾入海，辖域里已有的和正在建设的各式桥梁把南沙从曾经的“孤岛”连成了粵港澳大湾区的中心，助南沙货物流转、人才集聚、便民宜居．中国桥梁的桥拱线大多采用圆弧形、抛物线形和悬链形，坐落在河北省赵县洨河上的赵州桥建于隋朝，距今已有约1400年的历史，是当今世界上现存最早、保存最完整的古代敞肩石拱桥．如图①所示，赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为米，拱高（拱顶点到弦的距离）约为米．

(1)某桥主桥拱是圆弧形（如图①中），已知跨度，拱高，则这条桥主桥拱的半径是______；(2)某桥的主桥拱是抛物线形（如图②），若水面宽，拱顶（抛物线顶点）距离水面，求桥拱抛物线的解析式；(3)如图③，某时桥和桥的桥下水位均上升了，求此时两桥的水面宽度．
19．（2024·贵州·一模）如图，篮圈中心到地面的距离为米，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，篮球运行的路线是抛物线，当运行的水平距离为米时，篮球达到最大高度米，沿此抛物线可准确落入篮圈．
(1)在如图所示的直角坐标系中，求抛物线的表达式；(2)该运动员身高米，在这次跳投中，球在头顶上方米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？(3)篮球准备投出时，小强发现前方距离他1米处对方的防守运动员准备跳起拦截，为了躲避拦截，小强临时调整抛球路线，其表达式为 ，当对方的防守运动员在一个跨步（约米）的范围内起跳，即时，篮球的高度总大于这名防守运动员的最大摸高米，求b的取值范围．
20．（2023·安徽芜湖·三模）消防车中的高喷消防车，采用曲臂加伸缩结构，顶端装有消防炮，其液控炮既可喷射水也可喷射泡沫，具有射程远，流量大的特点．该车主要作业于油田、高层建筑、石化企业等地方的灭火救援和处置工作．在一次模拟高层建筑起火救援中，消防炮喷水口A距离地面35米，距离大楼起火侧面20米，喷出水柱呈抛物线形，水柱最高处B距离地面50米，距离大楼起火侧面5米，如图所示建立平面直角坐标系．(1)求出水柱所在抛物线的解析式；(2)目前火焰不断从第17层窗口窜出，若每层楼约2.9米高，窗台高度约为0.9米，窗顶距离该层地面高度约2.4米，此时水柱能否射入该层窗口？(3)火势已经向上蔓延到距离地面55米处，高喷消防车最后一节伸缩臂CA按原来方向（与水平方向夹角约为）伸长了一截（不超过12米），为阻止火势进一步蔓延，伸缩臂应该伸长几米？（伸缩臂伸长时间忽略，）
21．（2023·安徽滁州·二模）北京冬奥会的召开激起了人们对冰雪运动的极大热情，如图是某小型跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为轴，过跳台终点做水平线的垂线为轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某滑雪爱好者小刘从点正上方点滑出，滑出后沿一段抛物线 运动．
(1)小山坡最高处的高度是 　　米；(2)小刘在某次训练中，滑到离处的水平距离为6米时，达到滑行的最大高度米（相对于水平线），在这次训练中，当小刘滑出后离的水平距离为多少米时，他滑行高度与小山坡的竖直距离为米？(3)小刘若想滑行到最大高度时恰好在坡顶正上方，且与坡顶距离不低于3米，求跳台滑出点的最小高度．
22．（2023·河北保定·一模）如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方的B处发出，球每次出手后的运动轨迹都是形状相同的抛物线，且抛物线的最高点C到y轴总是保持6米的水平距离，竖直高度总是比出手点B高出1米，已知米，排球场的边界点A距O点的水平距离为米，球网高度为米，且．
(1)C点的坐标为　 　（用含m的代数式表示）；(2)当时，求抛物线的表达式．
(3)当时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由．
(4)若运动员调整起跳高度，使球在点A处落地，此时形成的抛物线记为，球落地后立即向右弹起，形成另一条与形状相同的抛物线，且此时排球运行的最大高度为1米，球场外有一个可以移动的纵切面为梯形的无盖排球回收框（），其中米，米，米，若排球经过向右反弹后沿的轨迹落入回收框内（下落过程中碰到P、Q点均视为落入框内），设M点横坐标的最大值与最小值的差为d，请直接写出d的值．
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