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第六章 图形与变换
第三节 图形的相似
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 比例线段 ☆☆☆ 此部分内容中考常以综合题形式来体现知识，作为初中几何部分的一个重要内容，很多涉及几何的试题都需要借助相似的性质解决，其知识内容主要包括:平行线分线段分成比例，相似图形，相似三角形的性质和判定图形的位似以及相似三角形的实际应用。在中考中，平行线分线段分成比例、图形的位似和相似三角形的性质等一些基础知识都可能会以选择题和填空题的形式进行单独考查，内容形式单一简单，纵观近几年中考还是多与其他几何知识相结合进行运用考查，在综合题中一般难度较大，需要多掌握解答技巧和解题模型。
考点2相似三角形的判定 ☆☆☆
考点3 相似三角形的性质 ☆☆☆
考点4相似三角形的应用 ☆☆☆
1．比和比例的有关概念及性质：
(1)若＝或a∶b＝c∶d，其中b，c称为 ，a，d称为 ．
(2)若＝或a∶b＝b∶c，则b叫做a，c的
(3)把一条线段(AB)分成两条线段，使其中较长线段(AC)是原线段(AB)与较短线段(BC)的比例中项，这就叫做把这条线段 ，即AC2＝ ，其中AC＝ AB≈ AB．
（4）比例的基本性质及定理：
(1)＝ ad＝ ．
2.平行线分线段成比例定理及推论
（1）三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.
（2）.平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交,截得的对应线段成比例.
3.相似多边形
（1）定义
各角分别相等,各边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做 ,相似比为1的两个多边形全等.
（2）性质
①相似多边形的对应角 ,对应边的 ;
②相似多边形周长的比等于 ；
③相似多边形面积的比等于 .
4.相似三角形
（1）定义
三角分别 ,三边成比例的两个三角形叫做相似三角形.
（2）判定
①平行于三角形一边的直线与其他两边相交,所构成的三角形与 相似;
②两角对应相等,两三角形相似;
③两边对应成 且夹角 ,两三角形相似;
④三边对应成比例,两三角形相似;
⑤斜边和一条直角边对应成比例,两直角三角形相似.
（3）性质
①相似三角形的对应角 ,对应边的 ;
②相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于 ;
③相似三角形周长的比等于 ;
④相似三角形面积的比等于 .
5.位似图形
位似图形的定义: 如果两个图形不仅是相似图形,且对应点连线相交于一点,对应线段相互平行,那么这样的两个图形叫做位似图形,位似图形对应点连线的交点是位似中心.
常见的位似图形：
画位似图形的方法：两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的同侧.（即画位似图形时，注意关于某点的位似图形有两个.）
判断位似图形的方法：首先看这两个图形是否相似，再看对应点的连线是否经过位似中心.
位似图形的性质：
1) 位似图形的对应顶点的连线所在直线相交于一点；
2）位似图形的对应边互相平行或者共线.
3) 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.
4) 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或–k.
画位似图形的步骤：
1）确定位似中心,找原图形的关键点.
2）确定位似比.
3）以位似中心为端点向各关键点作射线.
4）顺次连结各截取点，即可得到要求的新图形.
■考点一　比例线段
◇典例1：
1．（2020 拱墅区二模）已知，则的值为（　　）
A． B． C． D．
2．（2021 温岭市一模）如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG＝2，GD＝1，DF＝5，则BC：CE＝（　　）
A．3：5 B．1：3 C．5：3 D．2：3
◆变式训练
1．（2022 富阳区一模）若＝，则的值等于 　　．
2．（2023 义乌市模拟）已知线段a＝2，b＝8，则a，b的比例中项是 　　．
3．（2023 宁波模拟）如图，AB∥CD∥EF，直线l1、l2分别与这三条平行线交于点A、C、E和点B、D、F．已知AC＝3，CE＝5，DF＝4，则BD的长为 　　．
4．（2023 开化县模拟）美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到美的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（　　）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
■考点二 相似三角形的判定
◇典例2：（2023 余杭区二模）如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，点D在边AC上，且DE⊥AC交BC于点E．
（1）求证：△CDE∽△CBA；
（2）若AB＝3，AC＝5，E是BC中点，求DE的长．
◆变式训练
1．（2023 昔阳县模拟）如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加下列一个条件，不正确的是（　　）
A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C． D．
2．（2023 桐庐县一模）如图，已知△ABC和△ADE，AB＝AC，AD＝AE，点D在BC边上，∠BAD＝∠CAE，边DE与AC相交于点F．
（1）求证：△ABC∽△ADE；
（2）如果AE∥BC，DA＝DC，连结CE．
求证：四边形ADCE是菱形．
■考点三 相似三角形的性质
◇典例3：（2021 拱墅区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，△ADE∽△ABC，连接BD，CE．
（1）判断BD与CE的数量关系，并证明你的结论；
（2）若AB＝2，AD＝4，∠BAC＝120°，∠CAD＝30°．求BD的长．
◆变式训练
1．（2024 瑶海区一模）如果两个相似三角形的相似比是1：3，那么它们的面积比是（　　）
A．1：3 B．1：9 C．1： D．3：1
2．（2023 柯桥区一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边OB，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，点A的坐标为（8，6），点P在矩形ABOC的内部，点E在BO边上，且满足△PBE∽△CBO，当△APC是等腰三角形时，点P的坐标为　 　．
■考点四 相似三角形的应用
◇典例4：（2023 宁波模拟）如图，为了测量平静的河面的宽度，即EP的长，在离河岸D点3.2米远的B点，立一根长为1.6米的标杆AB，在河对岸的岸边有一根长为4.5米的电线杆MF，电线杆的顶端M在河里的倒影为点N，即PM＝PN，两岸均高出水平面0.75米，即DE＝FP＝0.75米，经测量此时A、D、N三点在同一直线上，并且点M、F、P、N共线，点B、D、F共线，若AB、DE、MF均垂直于河面EP，求河宽EP是多少米？
◆变式训练
1．（2022 衢州）希腊数学家海伦给出了挖掘直线隧道的方法：如图，A，B是两侧山脚的入口，从B出发任作线段BC，过C作CD⊥BC，然后依次作垂线段DE，EF，FG，GH，直到接近A点，作AJ⊥GH于点J．每条线段可测量，长度如图所示．分别在BC，AJ上任选点M，N，作MQ⊥BC，NP⊥AJ，使得＝＝k，此时点P，A，B，Q共线．挖隧道时始终能看见P，Q处的标志即可．
（1）CD﹣EF﹣GJ＝　　km．
（2）k＝　　．
2．（2022 温州）如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片OA，OB，此时各叶片影子在点M右侧成线段CD，测得MC＝8.5m，CD＝13m，垂直于地面的木棒EF与影子FG的比为2：3，则点O，M之间的距离等于 　 　米．转动时，叶片外端离地面的最大高度等于 　 　米．
1．（2023 兰溪市模拟）若＝，则＝（　　）
A． B． C． D．
2．（2022 富阳区一模）已知线段AB＝2，点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），则线段AP的长为（　　）
A． B． C．3﹣ D．﹣1
3．（2021 鄞州区模拟）如图，已知△ABC∽△BDC，其中AC＝4，CD＝2，则BC＝（　　）
A．2 B． C． D．4
4．（2022 丽水）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段AB＝3，则线段BC的长是（　　）
A． B．1 C． D．2
5．（2023 宁波模拟）矩形相邻的两边长分别为25和x（x＜25），把它按如图所示的方式分割成五个全等的小矩形，每一个小矩形均与原矩形相似，则x的值为（　　）
A．5 B．5 C．5 D．10
6．（2023 莲都区一模）如图，测量小玻璃管口径的量具ABC，AB的长为3cm，AC被分为5等份．若小玻璃管口DE正好对着量具上2等份处（DE∥AB），那么小玻璃管口径DE的长为（　　）
A． B．2cm C． D．1cm
7．（2023 余杭区校级模拟）如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠BAC，则添加下列条件后，不能判定△ADC和△BAC相似的是（　　）
A．CA平分∠BCD B．∠DAC＝∠ABC C． D．
8．（2023 舟山）如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（2，1），C（3，2），现以原点O为位似中心，在第一象限内作与△ABC的位似比为2的位似图形△A′B′C′，则顶点C′的坐标是（　　）
A．（2，4） B．（4，2） C．（6，4） D．（5，4）
9．（2023 萧山区二模）如图，△ABC中，DE∥BC，若，那么下列结论中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
10．（2023 路桥区二模）如图，在平行四边形ABCD中，E为AB上一点，且AE：EB＝1：2，AC与DE相交于点F，S△AEF＝3，则S△ACD为（　　）
A．9 B．12 C．27 D．36
11．（2022 绍兴）将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD，其中∠A＝90°，AB＝9，BC＝7，CD＝6，AD＝2，则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是（　　）
A． B． C．10 D．
12．（2023 绍兴）如图，在△ABC中，D是边BC上的点（不与点B，C重合）．过点D作DE∥AB交AC于点E；过点D作DF∥AC交AB于点F，N是线段BF上的点，BN＝2NF，M是线段DE上的点，DM＝2ME．若已知△CMN的面积，则一定能求出（　　）
A．△AFE的面积 B．△BDF的面积 C．△BCN的面积 D．△DCE的面积
13．（2022 萧山区二模）若2m＝3n，则的值是 　　．
14．（2023 舟山三模）如图，△ABC中，AB＝9，AC＝6，点E在AB上，且AE＝3，点F在AC上，连接EF．若△AEF∽△ACB，则AF＝　 　．
15．（2022 湖州）如图，已知在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，DE∥BC，＝．若DE＝2，则BC的长是 　 　．
16．（2021 舟山）如图，在直角坐标系中，△ABC与△ODE是位似图形，则它们位似中心的坐标是 　 　．
17．（2023 湖州）某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度，采用以下方法：如图，把支架（EF）放在离树（AB）适当距离的水平地面上的点F处，再把镜子水平放在支架（EF）上的点E处，然后沿着直线BF后退至点D处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A，再用皮尺分别测量BF，DF，EF，观测者目高（CD）的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度．已知CD⊥BD于点D，EF⊥BD于点F，AB⊥BD于点B，BF＝6米，DF＝2米，EF＝0.5米，CD＝1.7米，则这棵树的高度（AB的长）是 　 　米．
18．（2023 杭州）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＜90°，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上，连接DE，EF，FD，已知点B和点F关于直线DE对称．设＝k，若AD＝DF，则＝　　（结果用含k的代数式表示）．
19．（2023 丽水）小慧同学在学习了九年级上册“4.1 比例线段”3节课后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程．
20．（2022 杭州）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF．已知四边形BFED是平行四边形，＝．
（1）若AB＝8，求线段AD的长．
（2）若△ADE的面积为1，求平行四边形BFED的面积．
21．（2021 西湖区二模）如图，在矩形ABCD中，E是CD上一点，AE＝AB，作BF⊥AE．
（1）求证：△ADE≌△BFA；
（2）连接BE，若△BCE与△ADE相似，求．
22．（2023 杭州一模）如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，∠ABC＝2∠ACB，点D平分，连接AD，BD，CD．
（1）求证：AB＝CD．
（2）过点D作DG∥AB，分别交AC，BC于点E，F，交⊙O于点G．
①若AD＝a，BC＝b，求线段EF的长（用含a，b的代数式表示）．
②若∠ABC＝72°，求证：FG2＝EF DF．
1．（2023 宁波模拟）若＝，则的值是（　　）
A． B．﹣ C．﹣2 D．2
2．（2023 余杭区模拟）如图，已知AB∥CD∥EF，BC：CE＝3：4，AF＝21，那么DF的长为（　　）
A．9 B．12 C．15 D．18
3．（2023 金东区一模）如图，线段BD，CE相交于点A，DE∥BC．若BC＝3，DE＝1.5，AD＝2，则BD的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（2022 贺州）如图，在△ABC中，DE∥BC，DE＝2，BC＝5，则S△ADE：S△ABC的值是（　　）
A． B． C． D．
5．（2023 东明县一模）如图，已知∠1＝∠2，那么添加一个条件后，仍不能判定△ABC与△ADE相似的是（　　）
A．∠C＝∠AED B．∠B＝∠D C．＝ D．＝
6．（2021 绍兴）如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，已知路灯高PO＝5m，树影AC＝3m，树AB与路灯O的水平距离AP＝4.5m，则树的高度AB长是（　　）
A．2m B．3m C．m D．m
7．（2021 温州）如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，位似比为2：3，点A，B的对应点分别为点A′，B′．若AB＝6，则A′B′的长为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．15
8．（2023 余杭区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝108°，点P在BC边上，若AP是∠BAC的三等分线，则BP的长度为（　　）
A．或5 B． C．﹣1或2 D．或2
9．（2023 绍兴模拟）小明在星期天上午8：30测得某树的影长为9m，下午13：00他又测得该树的影长为4m（如图所示），若两次日照的光线互相垂直，则这棵树的高度为（　　）
A．8m B．6m C．4.5m D．4m
10．（2023 嵊州市一模）如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠BCD＝90°，连接AC，BD交于点E，若AD＝5，AC＝10，BC＝20，则AE的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．（2024 义乌市模拟）如图是一个由A，B，C三种相似的直角三角形纸片（相似比相同）拼成的矩形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中A，B，C的纸片的面积分别S1，S2，S3，若S1＞S2＞S3，则这个矩形的面积一定可以表示为（　　）
A．4S1 B．6S2 C．4S2+3S3 D．3S1+4S3
12．（2023 杭州一模）如图，在正方形ABCD中，点E在边BC上（不与点B，C重合，点F在边AB上，且AF＝BE，连接AE，DF，对角线AC与DF交于点G，连接BG，交AE于点H．若DF＝4GH，则＝（　　）
A． B． C． D．
13．（2022 钱塘区一模）已知线段a＝+1，b＝﹣1，则a，b的比例中项线段等于 　　．
14．（2021 镇江）如图，点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，△ADE∽△ABC，M，N分别是DE，BC的中点，若＝，则＝　　．
15．（2023 婺城区模拟）如图，矩形ABCD中，AD＝2，AB＝4，剪去一个矩形AEFD后，余下的矩形EBCF∽矩形BCDA，则CF的长为　　．
16．（2022 嘉兴）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E．点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD的长为 　　．
17．（2022 杭州）某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度，把标杆DE直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC＝8.72m，EF＝2.18m．已知B，C，E，F在同一直线上，AB⊥BC，DE⊥EF，DE＝2.47m，则AB＝　　m．
18．（2023 衢州）下面是勾股定理的一种证明方法：图1所示纸片中，∠ACB＝90°（AC＜BC），四边形ACDE，CBFG是正方形．过点C，B将纸片CBFG分别沿与AB平行、垂直两个方向剪裁成四部分，并与正方形ACDE，△ABC拼成图2．
（1）若cos∠ABC＝，△ABC的面积为16，则纸片Ⅲ的面积为 　　．
（2）若，则＝　　．
19．（2023 杭州模拟）如图所示，延长平行四边形ABCD一边BC至点F，连结AF交CD于点E，若．
（1）求证：△ADE∽△FCE；
（2）若BC＝3，求CF的长．
20．（2023 慈溪市一模）如图是某风车平面示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片OA，OB，此时各叶片影子在点M右侧形成线段CE，O的对应点为D，测得MC＝4m，CE＝16m，此时太阳的与地面的夹角为30°（即∠ODM＝30°）．
（1）求旋转中心到地面的距离OM的值；
（2）风车转动时，要求叶片外端离地面的最低高度高于2.5米，请判断此风车是否符合要求．
21．（2023 婺城区模拟）请阅读以下材料并完成相应的任务．17世纪德国著名天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿”．黄金分割比（简称：黄金比）是指把一条线段分割为两部分，较长部分与整体长度之比等于较短部分与较长部分的长度之比（如图①）即，其比值为．
已知顶角为36°的等腰三角形是黄金三角形的一种；当底角被平分时，形成两个较小的等腰三角形，这两个三角形之一相似于原三角形，而另一个三角形可用于产生螺旋形曲线（如图②）．
任务：
（1）如图③，在圆内接正十边形中，AB是正十边形的一条边，M是∠ABO的平分线与半径OA的交点．若OA＝2，求正十边形边长AB的长度；
（2）在（1）的条件下，利用图③进一步探究，请你写出sin18°与黄金比之间的关系，并说明理由．
22．（2021 杭州）如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AG交⊙O于点G，交BC边于点F，连接BG．
（1）求证：△ABG∽△AFC．
（2）已知AB＝a，AC＝AF＝b，求线段FG的长（用含a，b的代数式表示）．
（3）已知点E在线段AF上（不与点A，点F重合），点D在线段AE上（不与点A，点E重合），∠ABD＝∠CBE，求证：BG2＝GE GD．
23．（2023 钱塘区三模）如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F．
（1）求证：FC＝2FA．
（2）若EF＝1，求AC的长．
（3）连接DF，判断△CDF的形状，并说明理由．
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第六章 图形与变换
第三节 图形的相似
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 比例线段 ☆☆☆ 此部分内容中考常以综合题形式来体现知识，作为初中几何部分的一个重要内容，很多涉及几何的试题都需要借助相似的性质解决，其知识内容主要包括:平行线分线段分成比例，相似图形，相似三角形的性质和判定图形的位似以及相似三角形的实际应用。在中考中，平行线分线段分成比例、图形的位似和相似三角形的性质等一些基础知识都可能会以选择题和填空题的形式进行单独考查，内容形式单一简单，纵观近几年中考还是多与其他几何知识相结合进行运用考查，在综合题中一般难度较大，需要多掌握解答技巧和解题模型。
考点2相似三角形的判定 ☆☆☆
考点3 相似三角形的性质 ☆☆☆
考点4相似三角形的应用 ☆☆☆
1．比和比例的有关概念及性质：
(1)若＝或a∶b＝c∶d，其中b，c称为内项，a，d称为外项．
(2)若＝或a∶b＝b∶c，则b叫做a，c的比例中项．
(3)把一条线段(AB)分成两条线段，使其中较长线段(AC)是原线段(AB)与较短线段(BC)的比例中项，这就叫做把这条线段黄金分割，即AC2＝AB·BC，其中AC＝ AB≈ 0.618 AB．
（4）比例的基本性质及定理：
(1)＝ ad＝ bc ．
2.平行线分线段成比例定理及推论
（1）三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.
（2）.平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交,截得的对应线段成比例.
3.相似多边形
（1）定义
各角分别相等,各边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比,相似比为1的两个多边形全等.
（2）性质
①相似多边形的对应角相等,对应边的成比例;
②相似多边形周长的比等于相似比;
③相似多边形面积的比等于相似比的平方.
4.相似三角形
（1）定义
三角分别相等,三边成比例的两个三角形叫做相似三角形.
（2）判定
①平行于三角形一边的直线与其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似;
②两角对应相等,两三角形相似;
③两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似;
④三边对应成比例,两三角形相似;
⑤斜边和一条直角边对应成比例,两直角三角形相似.
（3）性质
①相似三角形的对应角相等,对应边的成比例;
②相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比;
③相似三角形周长的比等于相似比;
④相似三角形面积的比等于相似比的平方.
5.位似图形
位似图形的定义: 如果两个图形不仅是相似图形,且对应点连线相交于一点,对应线段相互平行,那么这样的两个图形叫做位似图形,位似图形对应点连线的交点是位似中心.
常见的位似图形：
画位似图形的方法：两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的同侧.（即画位似图形时，注意关于某点的位似图形有两个.）
判断位似图形的方法：首先看这两个图形是否相似，再看对应点的连线是否经过位似中心.
位似图形的性质：
1) 位似图形的对应顶点的连线所在直线相交于一点；
2）位似图形的对应边互相平行或者共线.
3) 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.
4) 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或–k.
画位似图形的步骤：
1）确定位似中心,找原图形的关键点.
2）确定位似比.
3）以位似中心为端点向各关键点作射线.
4）顺次连结各截取点，即可得到要求的新图形.
■考点一　比例线段
◇典例1：
1．（2020 拱墅区二模）已知，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】比例的性质．
【答案】D
【点拨】根据比例的性质解答即可．
【解析】解：由，可得：2y＝5（x﹣2y），
解得：5x＝12y，
所以的值为，
故选：D．
【点睛】此题考查比例的性质，关键是根据比例的性质得出x，y的关系式．
2．（2021 温岭市一模）如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG＝2，GD＝1，DF＝5，则BC：CE＝（　　）
A．3：5 B．1：3 C．5：3 D．2：3
【考点】平行线分线段成比例．
【答案】A
【点拨】直接根据平行线分线段成比例定理求解．
【解析】解：∵AB∥CD∥EF，
∴＝＝＝．
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
◆变式训练
1．（2022 富阳区一模）若＝，则的值等于 　　．
【考点】比例的性质．
【答案】．
【点拨】先把要求的式子变成1+，再进行计算即可得出答案．
【解析】解：∵＝，
∴＝1+＝1+＝．
故答案为：．
【点睛】此题考查了比例的性质，把要求的式子变成1+是解题的关键．
2．（2023 义乌市模拟）已知线段a＝2，b＝8，则a，b的比例中项是 　4　．
【考点】比例线段．
【答案】4
【点拨】设线段a，b的比例中项为c，根据比例中项的定义可知，c2＝ab，代入数据可直接求得c的值，注意两条线段的比例中项为正数．
【解析】解：设线段a，b的比例中项为c，
∵c是长度分别为2、8的两条线段的比例中项，
∴c2＝ab＝2×8，
即c2＝16，
∴c＝4（负数舍去）．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了线段的比．根据比例的性质列方程求解即可．解题的关键是掌握比例中项的定义，如果a：b＝b：c，即b2＝ac，那么b叫做a与c的比例中项．
3．（2023 宁波模拟）如图，AB∥CD∥EF，直线l1、l2分别与这三条平行线交于点A、C、E和点B、D、F．已知AC＝3，CE＝5，DF＝4，则BD的长为 　　．
【考点】平行线分线段成比例．
【答案】．
【点拨】先根据平行线分线段成比例定理得到＝，然后利用比例性质得到BD的长．
【解析】解：∵AB∥CD∥EF，
∴＝，即＝，
解得BD＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
4．（2023 开化县模拟）美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到美的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（　　）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
【考点】黄金分割．
【答案】C
【点拨】先求得下半身的实际高度，再根据黄金分割的定义求解．
【解析】解：根据已知条件得下半身长是165×0.60＝99cm，
设需要穿的高跟鞋是ycm，则根据黄金分割的定义得：
＝0.618，
解得：y≈8cm．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了黄金分割的应用．关键是明确黄金分割所涉及的线段的比，难度适中．
■考点二 相似三角形的判定
◇典例2：（2023 余杭区二模）如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，点D在边AC上，且DE⊥AC交BC于点E．
（1）求证：△CDE∽△CBA；
（2）若AB＝3，AC＝5，E是BC中点，求DE的长．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【答案】见试题解答内容
【点拨】（1）由DE⊥AC，∠B＝90°可得出∠CDE＝∠B，再结合公共角相等，即可证出△CDE∽△CBA；
（2）在Rt△ABC中，利用勾股定理可求出BC的长，结合点E为线段BC的中点可求出CE的长，再利用相似三角形的性质，即可求出DE的长．
【解析】（1）证明：∵DE⊥AC，∠B＝90°，
∴∠CDE＝90°＝∠B．
又∵∠C＝∠C，
∴△CDE∽△CBA．
（2）解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，
∴BC＝＝4．
∵E是BC中点，
∴CE＝BC＝2．
∵△CDE∽△CBA，
∴＝，即＝，
∴DE＝＝．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）利用“两角对应相等两三角形相似”证出两三角形相似；（2）利用相似三角形的性质求出DE的长．
◆变式训练
1．（2023 昔阳县模拟）如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加下列一个条件，不正确的是（　　）
A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C． D．
【考点】相似三角形的判定．
【答案】D
【点拨】根据相似三角形的判定方法，逐项判断即可．
【解析】解：在△ABP和△ACB中，∠BAP＝∠CAB，
∴当∠ABP＝∠C时，满足两组角对应相等，可判断△ABP∽△ACB，故A正确；
当∠APB＝∠ABC时，满足两组角对应相等，可判断△ABP∽△ACB，故B正确；
当时，满足两边对应成比例且夹角相等，可判断△ABP∽△ACB，故C正确；
当＝时，其夹角不相等，则不能判断△ABP∽△ACB，故D不正确；
故选：D．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，即在两个三角形中，满足三边对应成比例、两边对应成比例且夹角相等或两组角对应相等，则这两个三角形相似．
2．（2023 桐庐县一模）如图，已知△ABC和△ADE，AB＝AC，AD＝AE，点D在BC边上，∠BAD＝∠CAE，边DE与AC相交于点F．
（1）求证：△ABC∽△ADE；
（2）如果AE∥BC，DA＝DC，连结CE．
求证：四边形ADCE是菱形．
【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析；
【点拨】（1）由等角加同角相等可得∠BAC＝∠DAE，由△ABC和△ADE的顶角相等，且都是等腰三角形，以此即可证明△ABC∽△ADE；
（2）根据平行线的性质得∠AEF＝∠CDF，∠EAF＝∠DCF，进而得到∠ADF＝∠CDF，由等腰三角形三线合一的性质可得AF＝CF，再通过AAS证明△AEF≌△CDF，得到AE＝CD，由对边平行且相等的四边形是平行四边形可证明四边形ADCE为平行四边形，最后根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明四边形ADCE是菱形．
【解析】（1）证明：∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+CAD，即∠BAC＝∠DAE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴∠B＝∠ACB＝，∠ADE＝∠E＝，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠B＝∠ACB＝∠ADE＝∠E，
∴△ABC∽△ADE；
（2）证明：如图，
∵AE∥BC，
∴∠AEF＝∠CDF，∠EAF＝∠DCF，
由（1）可知，∠DCF＝∠ADF＝∠AEF，
∴∠ADF＝∠CDF，
∵DA＝DC，
∴AF＝CF，
在△AEF和△CDF中，
，
∴△AEF≌△CDF（AAS），
∴AE＝CD，
∵AE∥CD，AE＝CD，
∴四边形ADCE为平行四边形，
∵DA＝DC，
∴平行四边形ADCE为菱形．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定、等腰三角形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质，熟练菱形的判定方法是解题关键．菱形的判定：①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）．②四条边都相等的四边形是菱形．③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
■考点三 相似三角形的性质
◇典例3：（2021 拱墅区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，△ADE∽△ABC，连接BD，CE．
（1）判断BD与CE的数量关系，并证明你的结论；
（2）若AB＝2，AD＝4，∠BAC＝120°，∠CAD＝30°．求BD的长．
【考点】相似三角形的性质；全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．
【答案】（1）BD＝CE；（2）2．
【点拨】（1）根据SAS证明△ABD≌△ACE即可；
（2）作DH⊥BA交BA的延长线于H，然后根据勾股定理和直角三角形的性质即可求出BD的长．
【解析】解：（1）结论：BD＝CE，
理由：∵△ADE∽△ABC，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠CAD＝∠CAD+∠DAE，
即∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，△ADE∽△ABC，
∴AD＝AE，
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）如图1中，作DH⊥BA交BA的延长线于H．
∵∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝150°，
∴∠DAH＝30°，
∵∠H＝90°，AD＝4，
∴DH＝2，AH＝2，
∴BH＝AH+AB＝4
在Rt△BDH中，BD＝．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
◆变式训练
1．（2024 瑶海区一模）如果两个相似三角形的相似比是1：3，那么它们的面积比是（　　）
A．1：3 B．1：9 C．1： D．3：1
【考点】相似三角形的性质．
【答案】B
【点拨】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解决问题即可．
【解析】解：∵两个相似三角形的相似比是1：3，
∴这两个相似三角形的面积比＝1：9，
故选：B．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
2．（2023 柯桥区一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边OB，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，点A的坐标为（8，6），点P在矩形ABOC的内部，点E在BO边上，且满足△PBE∽△CBO，当△APC是等腰三角形时，点P的坐标为　（，）或（4，3）　．
【考点】相似三角形的性质；坐标与图形性质；等腰三角形的性质；矩形的性质．
【答案】（，）或（4，3）．
【点拨】由题意得出P点在AC的垂直平分线上或在以点C为圆心AC为半径的圆弧上，由此分两种情形分别求解，可得结论．
【解析】解：∵点P在矩形ABOC的内部，且△APC是等腰三角形，
∴P点在AC的垂直平分线上或在以点C为圆心AC为半径的圆弧上；
①当P点在AC的垂直平分线上时，点P同时在BC上，AC的垂直平分线与BO的交点即是E，如图1所示：
∵PE⊥BO，CO⊥BO，
∴PE∥CO，
∴△PBE∽△CBO，
∵四边形ABOC是矩形，A点的坐标为（8，6），
∴点P横坐标为4，OC＝6，BO＝8，BE＝4，
∵△PBE∽△CBO，
∴＝，即＝，
解得：PE＝3，
∴点P（4，3）；
②P点在以点C为圆心AC为半径的圆弧上，圆弧与BC的交点为P，
过点P作PE⊥BO于E，如图2所示：
∵CO⊥BO，
∴PE∥CO，
∴△PBE∽△CBO，
∵四边形ABOC是矩形，A点的坐标为（8，6），
∴AC＝BO＝8，CP＝8，AB＝OC＝6，
∴BC＝＝＝10，
∴BP＝2，
∵△PBE∽△CBO，
∴＝＝，即：＝＝，
解得：PE＝，BE＝，
∴OE＝8﹣＝，
∴点P（，）；
综上所述：点P的坐标为：（，）或（4，3）；
故答案为：（，）或（4，3）．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、坐标与图形的性质、平行线的判定、勾股定理、分类讨论等知识，熟练掌握相似三角形与等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
■考点四 相似三角形的应用
◇典例4：（2023 宁波模拟）如图，为了测量平静的河面的宽度，即EP的长，在离河岸D点3.2米远的B点，立一根长为1.6米的标杆AB，在河对岸的岸边有一根长为4.5米的电线杆MF，电线杆的顶端M在河里的倒影为点N，即PM＝PN，两岸均高出水平面0.75米，即DE＝FP＝0.75米，经测量此时A、D、N三点在同一直线上，并且点M、F、P、N共线，点B、D、F共线，若AB、DE、MF均垂直于河面EP，求河宽EP是多少米？
【考点】相似三角形的应用．
【答案】12米．
【点拨】延长AB交EP的反向延长线于点H，由△ABD∽△AHO求得OH，再由△AHO∽△NPO求得OP，便可解决问题，
【解析】解：延长AB交EP的反向延长线于点H，
则四边形BDEH是矩形，
∴BH＝DE＝0.75，BD∥EH，
∴AH＝AB+BH＝AB+DE＝1.6+0.75＝2.35，
∵BD∥OH，
∴△ABD∽△AHO，
∴＝，
∴＝，
∴HO＝4.7，
∵PM＝PN，MF＝4.5米，FP＝0.75米，
∴PN＝MF+FP＝5.25米，
∵AH⊥EP，PN⊥EP，
∴AH∥PN，
∴△AHO∽△NPO，
∴＝，
∴＝，
∴PO＝10.5，
∴PE＝PO+OE＝10.5+（4.7﹣3.2）＝12，
答：河宽EP是12米．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，关键是构造和证明三角形相似．
◆变式训练
1．（2022 衢州）希腊数学家海伦给出了挖掘直线隧道的方法：如图，A，B是两侧山脚的入口，从B出发任作线段BC，过C作CD⊥BC，然后依次作垂线段DE，EF，FG，GH，直到接近A点，作AJ⊥GH于点J．每条线段可测量，长度如图所示．分别在BC，AJ上任选点M，N，作MQ⊥BC，NP⊥AJ，使得＝＝k，此时点P，A，B，Q共线．挖隧道时始终能看见P，Q处的标志即可．
（1）CD﹣EF﹣GJ＝　1.8　km．
（2）k＝　　．
【考点】相似三角形的应用；数学常识；列代数式．
【答案】1.8；．
【点拨】（1）根据图中三条线段所标数据即可解答；
（2）连接AB，过点A作AZ⊥CB，交CB的延长线于点Z．易得AZ＝1.8，BZ＝4＝2.6，证明△BMQ∽△BZA，即可解答．
【解析】解：（1）CD﹣EF﹣GJ＝5.5﹣1﹣2.7＝1.8（km）；
（2）连接AB，过点A作AZ⊥CB，交CB的延长线于点Z．
由矩形性质得：AZ＝CD﹣EF﹣GJ＝1.8，
BZ＝DE+FG﹣CB﹣AJ＝4.9+3.1﹣3﹣2.4＝2.6，
∵点P，A，B，Q共线，
∴∠MBQ＝∠ZBA，
又∵∠BMQ＝∠BZA＝90°，
∴△BMQ∽△BZA，
∴＝k＝＝＝．
故答案为：1.8；．
【点睛】本题重点考查矩形性质和相似三角形的判定和性质，解题关键是恰当作出辅助线．
2．（2022 温州）如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片OA，OB，此时各叶片影子在点M右侧成线段CD，测得MC＝8.5m，CD＝13m，垂直于地面的木棒EF与影子FG的比为2：3，则点O，M之间的距离等于 　10　米．转动时，叶片外端离地面的最大高度等于 　（10+）　米．
【考点】相似三角形的应用；平行投影；旋转的性质．
【答案】10，（10+）．
【点拨】作辅助线，构建直角△CND，证明△HMC∽△EFG，根据垂直于地面的木棒EF与影子FG的比为2：3，列比例式可得HM的长，由三角函数的定义可得CN的长，从而得OA＝OB＝，由此可解答．
【解析】解：如图，设AC与OM交于点H，过点C作CN⊥BD于N，
∵HC∥EG，
∴∠HCM＝∠EGF，
∵∠CMH＝∠EFG＝90°，
∴△HMC∽△EFG，
∴＝＝，即＝，
∴HM＝，
∵BD∥EG，
∴∠BDC＝∠EGF，
∴tan∠BDC＝tan∠EGF，
∴＝＝，
设CN＝2x，DN＝3x，则CD＝x，
∴x＝13，
∴x＝，
∴AB＝CN＝2，
∴OA＝OB＝AB＝，
在Rt△AHO中，∵∠AHO＝∠CHM，
∴sin∠AHO＝＝，
∴＝，
∴OH＝，
∴OM＝OH+HM＝+＝10（米），
以点O为圆心，OA的长为半径作圆，当OB与OM共线时，叶片外端离地面的高度最大，其最大高度等于（10+）米．
故答案为：10，（10+）．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
1．（2023 兰溪市模拟）若＝，则＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】比例的性质．
【答案】D
【点拨】利用比例的性质，进行计算即可解答．
【解析】解：∵＝，
∴＝，
∴
＝2+
＝2+
＝，
故选：D．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
2．（2022 富阳区一模）已知线段AB＝2，点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），则线段AP的长为（　　）
A． B． C．3﹣ D．﹣1
【考点】黄金分割．
【答案】D
【点拨】根据黄金比值为计算即可．
【解析】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，
∴AP＝×AB＝×2＝﹣1，
故选：D．
【点睛】本题考查的是黄金分割的概念，熟记黄金比值为是解题的关键．
3．（2021 鄞州区模拟）如图，已知△ABC∽△BDC，其中AC＝4，CD＝2，则BC＝（　　）
A．2 B． C． D．4
【考点】相似三角形的性质．
【答案】B
【点拨】直接利用相似三角形的性质得出BC2＝AC CD，进而得出答案．
【解析】解：∵△ABC∽△BDC，
∴＝，
∵AC＝4，CD＝2，
∴BC2＝AC CD＝4×2＝8，
∴BC＝2．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的性质，正确得出对应边关系是解题关键．
4．（2022 丽水）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段AB＝3，则线段BC的长是（　　）
A． B．1 C． D．2
【考点】平行线分线段成比例．
【答案】C
【点拨】过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在的平行横线于E，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
【解析】解：过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在的平行横线于E，
则＝，即＝2，
解得：BC＝，
故选：C．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
5．（2023 宁波模拟）矩形相邻的两边长分别为25和x（x＜25），把它按如图所示的方式分割成五个全等的小矩形，每一个小矩形均与原矩形相似，则x的值为（　　）
A．5 B．5 C．5 D．10
【考点】相似多边形的性质；矩形的性质．
【答案】B
【点拨】根据相似多边形的性质得出比例式，即可得到答案．
【解析】解：∵原矩形的长为25，宽为x，
∴小矩形的长为x，宽为＝5，
∵小矩形与原矩形相似，
∴，
解得：x＝5或﹣5（舍去），
故选：B．
【点睛】本题主要考查了相似多边形的性质、矩形的性质，注意分清对应边是解决本题的关键．
6．（2023 莲都区一模）如图，测量小玻璃管口径的量具ABC，AB的长为3cm，AC被分为5等份．若小玻璃管口DE正好对着量具上2等份处（DE∥AB），那么小玻璃管口径DE的长为（　　）
A． B．2cm C． D．1cm
【考点】相似三角形的应用．
【答案】A
【点拨】根据平行线的性质可得∠BAC＝∠EDC，∠B＝∠CED，从而可得△ABC∽△DEC，然后利用相似三角形的性质进行计算，即可解答．
【解析】解：∵DE∥AB，
∴∠BAC＝∠EDC，∠B＝∠CED，
∴△ABC∽△DEC，
∴＝，
∴＝，
∴DE＝，
故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握A字模型相似三角形是解题的关键．
7．（2023 余杭区校级模拟）如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠BAC，则添加下列条件后，不能判定△ADC和△BAC相似的是（　　）
A．CA平分∠BCD B．∠DAC＝∠ABC C． D．
【考点】相似三角形的判定．
【答案】C
【点拨】已知∠ADC＝∠BAC，则A、D选项可根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；C选项虽然也是对应边成比例但无法得到其夹角相等，所以不能推出两三角形相似；B选项可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定．
【解析】解：在△ADC和△BAC中，∠ADC＝∠BAC，
如果△ADC∽△BAC，需满足的条件有：
①∠DAC＝∠ABC或CA是∠BCD的平分线；
②＝；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定方法；熟记三角形相似的判定方法是解决问题的关键．
8．（2023 舟山）如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（2，1），C（3，2），现以原点O为位似中心，在第一象限内作与△ABC的位似比为2的位似图形△A′B′C′，则顶点C′的坐标是（　　）
A．（2，4） B．（4，2） C．（6，4） D．（5，4）
【考点】位似变换；坐标与图形性质．
【答案】C
【点拨】根据位似变换的性质解答即可．
【解析】解：∵△ABC与△A′B′C′位似，△A′B′C′与△ABC的相似比为2：1，
∴△ABC与△A′B′C′位似比为1：2，
∵点C的坐标为（3，2），
∴点C′的坐标为（3×2，2×2），即（6，4），
故选：C．
【点睛】本题考查的是位似变换的性质、相似三角形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
9．（2023 萧山区二模）如图，△ABC中，DE∥BC，若，那么下列结论中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】相似三角形的判定与性质；平行线分线段成比例．
【答案】D
【点拨】运用平行线分线段成比例定理对各个选项进行判断即可．
【解析】解：∵AD：DB＝2：3，
∴＝，
∵DE∥BC，
∴＝＝，A不符合题意，
＝＝，B不符合题意；
＝＝，C不符合题意，
＝＝，
故选：D．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
10．（2023 路桥区二模）如图，在平行四边形ABCD中，E为AB上一点，且AE：EB＝1：2，AC与DE相交于点F，S△AEF＝3，则S△ACD为（　　）
A．9 B．12 C．27 D．36
【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【答案】D
【点拨】利用平行四边形的对边平行且相等的性质，相似三角形的判定与性质求得△DFC的面积，再利用等高的三角形的面积比等于底的比求得△AFD的面积，则S△ACD＝S△CDF+S△ADF＝36．
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD．
∵AE：EB＝1：2，
∴AE：AB＝1：3，
∴AE：CD＝1：3．
∵AB∥CD，
∴△AEF∽△CDF，
∴，
∴S△CDF＝9S△AEF＝27．
∵△AEF∽△CDF，
∴，
∴S△AEF：S△ADF＝EF：DF＝1：3，
∴S△ADF＝3S△AEF＝9，
∴S△ACD＝S△CDF+S△ADF＝27+9＝36，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，等高的三角形的面积比等于底的比，熟练掌握平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
11．（2022 绍兴）将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD，其中∠A＝90°，AB＝9，BC＝7，CD＝6，AD＝2，则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是（　　）
A． B． C．10 D．
【考点】相似三角形的性质；矩形的性质．
【答案】A
【点拨】根据题意，画出相应的图形，然后利用相似三角形的性质和分类讨论的方法，求出剪掉的两个直角三角形的斜边长，然后即可判断哪个选项符合题意．
【解析】解：如图1所示，
由已知可得，△DFE∽△ECB，
则，
设DF＝x，CE＝y，
则，
解得，
∴DE＝CD+CE＝6+＝，故选项B不符合题意；
EB＝DF+AD＝+2＝，故选项D不符合题意；
如图2所示，
由已知可得，△DCF∽△FEB，
则，
设FC＝m，FD＝n，
则，
解得，
∴FD＝10，故选项C不符合题意；
BF＝FC+BC＝8+7＝15；
如图3所示：
此时两个直角三角形的斜边长为6和7；
故选：A．
【点睛】本题考查相似三角形的性质、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的方法解答．
12．（2023 绍兴）如图，在△ABC中，D是边BC上的点（不与点B，C重合）．过点D作DE∥AB交AC于点E；过点D作DF∥AC交AB于点F，N是线段BF上的点，BN＝2NF，M是线段DE上的点，DM＝2ME．若已知△CMN的面积，则一定能求出（　　）
A．△AFE的面积 B．△BDF的面积 C．△BCN的面积 D．△DCE的面积
【考点】相似三角形的判定与性质；平行线的性质；三角形的面积．
【答案】D
【点拨】如图所示，连接ND，证明△FBD∽△EDC，得出＝，由已知得出 ，则 ，又∠NFD＝∠MEC，则△NFD∽△MEC，进而得出∠MCD＝∠NDB，可得MC∥ND，结合题意得出，即可求解．
【解析】解：如图所示，连接ND，
∵DE∥AB，DF∥AC，
∴∠ECD＝∠FDB，∠FBD＝∠EDC，∠BFD＝∠A，∠A＝DEC．
∴△FBD∽△EDC，∠NFD＝∠MEC．
∴＝，
∵DM＝2ME，BN＝2NF，
∴，ME＝DE，
∴
∴，
又∵∠NFD＝∠MEC，
∴△NFD∽△MEC．
∴∠ECM＝∠FDN．
∵∠FDB＝∠ECD，
∴∠MCD＝∠NDB．
∴MC∥ND．
∴S△MNC＝S△MDC．
∵DM＝2ME，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
13．（2022 萧山区二模）若2m＝3n，则的值是 　　．
【考点】比例的性质．
【答案】．
【点拨】根据比例的基本性质，进行计算即可解答．
【解析】解：∵2m＝3n，
∴＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
14．（2023 舟山三模）如图，△ABC中，AB＝9，AC＝6，点E在AB上，且AE＝3，点F在AC上，连接EF．若△AEF∽△ACB，则AF＝　4.5　．
【考点】相似三角形的性质．
【答案】4.5．
【点拨】由△AEF∽△ACB，得到AF：AB＝AE：AC，代入有关数据，即可求出AF的长．
【解析】解：∵△AEF∽△ACB，
∴AF：AB＝AE：AC，
∵AB＝9，AC＝6，AE＝3，
∴AF：9＝3：6，
∴AF＝4.5．
故答案为：4.5．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，关键是掌握相似三角形的对应边成比例．
15．（2022 湖州）如图，已知在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，DE∥BC，＝．若DE＝2，则BC的长是 　6　．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【答案】6．
【点拨】由平行线的旋转得出∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，得出△ADE∽△ABC，由相似三角形的旋转得出，代入计算即可求出BC的长度．
【解析】解：∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵＝，DE＝2，
∴，
∴BC＝6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行线的性质，相似三角形的判定方法是解决问题的关键．
16．（2021 舟山）如图，在直角坐标系中，△ABC与△ODE是位似图形，则它们位似中心的坐标是 　（4，2）　．
【考点】位似变换；坐标与图形性质．
【答案】（4，2）．
【点拨】根据图示，对应点所在的直线都经过同一点，该点就是位似中心．
【解析】解：如图，
点G（4，2）即为所求的位似中心．
故答案为：（4，2）．
【点睛】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或在同一条直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
17．（2023 湖州）某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度，采用以下方法：如图，把支架（EF）放在离树（AB）适当距离的水平地面上的点F处，再把镜子水平放在支架（EF）上的点E处，然后沿着直线BF后退至点D处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A，再用皮尺分别测量BF，DF，EF，观测者目高（CD）的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度．已知CD⊥BD于点D，EF⊥BD于点F，AB⊥BD于点B，BF＝6米，DF＝2米，EF＝0.5米，CD＝1.7米，则这棵树的高度（AB的长）是 　4.1　米．
【考点】相似三角形的应用．
【答案】4.1
【点拨】过点E作水平线交AB于点G，交CD于点H，根据镜面反射的性质求出△CHE∽△AGE，再根据对应边成比例解答即可．
【解析】解：过点E作水平线交AB于点G，交CD于点H，如图，
∵DB是水平线，CD，EF，AB都是铅垂线，
∴DH＝EF＝GB＝0.5米，EH＝DF＝2米，EG＝FB＝6米，
∴CH＝CD﹣DH＝1.7﹣0.5＝1.2（米），
又根据题意，得∠CHE＝∠AGE＝90°，∠CEH＝∠AEG，
∴△CHE∽△AGE，
∴，即，
解得：AG＝3.6米，
∴AB＝AG+GB＝3.6+0.5＝4.1（米）．
故答案为：4.1．
【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，通过作辅助线构造相似三角形，并利用相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．
18．（2023 杭州）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＜90°，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上，连接DE，EF，FD，已知点B和点F关于直线DE对称．设＝k，若AD＝DF，则＝　　（结果用含k的代数式表示）．
【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；轴对称的性质．
【答案】．
【点拨】先根据轴对称的性质和已知条件证明DE∥AC，再证△BDE∽△BAC，推出EC＝k AB，通过证明△ABC∽△ECF，推出CF＝k2 AB，即可求出的值．
【解析】解：∵点B和点F关于直线DE对称，
∴DB＝DF，
∵AD＝DF，
∴AD＝DB，
∵AD＝DF，
∴∠A＝∠DFA，
∵点B和点F关于直线DE对称，
∴∠BDE＝∠FDE，
∵∠BDE+∠FDE＝∠BDF＝∠A+∠DFA，
∴∠FDE＝∠DFA，
∴DE∥AC，
∴∠C＝∠DEB，∠DEF＝∠EFC，
∵点B和点F关于直线DE对称，
∴∠DEB＝∠DEF，
∴∠C＝∠EFC，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B，
∵∠ACB＝∠EFC，
∴△ABC∽△ECF，
∴＝，
∵DE∥AC，
∴∠BDE＝∠A，∠BED＝∠C，
∴△BDE∽△BAC，
∴＝＝，
∴EC＝BC，
∵＝k，
∴BC＝k AB，
∴EC＝k AB，
∴＝，
∴CF＝k2 AB，
∴＝＝＝＝．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，轴对称的性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的定义和性质等，有一定难度，解题的关键是证明△ABC∽△ECF．
19．（2023 丽水）小慧同学在学习了九年级上册“4.1 比例线段”3节课后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程．
【考点】比例线段．
【答案】2．
【点拨】由＝2，得到a＝2c，因此＝，得到b＝c，故＝＝，＝＝，所以＝＝．
【解析】解：当＝2时，＝＝，理由如下：
∵＝2，
∴a＝2c，
∴＝，
∴b＝c，
∴＝＝，＝＝，
∴＝＝．
故答案为：2．
【点睛】本题考查比例线段，关键是由＝2，＝＝，得到b＝c．
20．（2022 杭州）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF．已知四边形BFED是平行四边形，＝．
（1）若AB＝8，求线段AD的长．
（2）若△ADE的面积为1，求平行四边形BFED的面积．
【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【答案】（1）2；
（2）6．
【点拨】（1）证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形对应边的比相等列式，可解答；
（2）根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可得△ABC的面积是16，同理可得△EFC的面积＝9，根据面积差可得答案．
【解析】解：（1）∵四边形BFED是平行四边形，
∴DE∥BF，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝，
∵AB＝8，
∴AD＝2；
（2）∵△ADE∽△ABC，
∴＝（）2＝（）2＝，
∵△ADE的面积为1，
∴△ABC的面积是16，
∵四边形BFED是平行四边形，
∴EF∥AB，
∴△EFC∽△ABC，
∴＝（）2＝，
∴△EFC的面积＝9，
∴平行四边形BFED的面积＝16﹣9﹣1＝6．
【点睛】本题主要平行四边形的性质，相似三角形的性质和判定，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题关键．
21．（2021 西湖区二模）如图，在矩形ABCD中，E是CD上一点，AE＝AB，作BF⊥AE．
（1）求证：△ADE≌△BFA；
（2）连接BE，若△BCE与△ADE相似，求．
【考点】相似三角形的性质；全等三角形的判定与性质；矩形的性质．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）．
【点拨】（1）根据矩形的性质得出∠D＝∠DAB＝90°，求出∠DAE+∠FAB＝90°，∠FBA+∠FAB＝90°，求出∠D＝∠AFB，∠DAE＝∠FBA，再根据全等三角形的判定推出即可；
（2）根据矩形的性质得出∠C＝∠D＝90°，DC∥AB，根据平行线的性质得出∠CEB＝∠ABE，
设∠CEB＝∠ABE＝x°，根据等腰三角形的性质求出∠AEB＝∠EBA＝x°，根据相似三角形的性质得出两种情况：①∠DEA＝∠CEB＝x°，根据∠DEA+∠AEB+∠CEB＝180°得出x+x+x＝180，求出x，再解直角三角形求出AE和AD，再求出答案即可；②∠DEA＝∠EBC，设∠DEA＝∠EBC＝y°，求出∠DEA+∠AEB+∠CEB＝（y+2x）°＝180°，∠EBC+∠CEB＝（y+x）°＝90°，求出x，再得出答案即可．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠DAB＝90°，
∴∠DAE+∠FAB＝90°，
∵BF⊥AE，
∴∠AFB＝90°，
∴∠D＝∠AFB，∠FBA+∠FAB＝90°，
∴∠DAE＝∠FBA，
在△ADE和△BFA中
，
∴△ADE≌△BFA（AAS）；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠D＝90°，DC∥AB，
∴∠CEB＝∠ABE，
设∠CEB＝∠ABE＝x°，
∵AE＝AB，
∴∠AEB＝∠EBA＝x°，
当△BCE与△ADE相似时，有两种情况：
①∠DEA＝∠CEB＝x°，
∵∠DEA+∠AEB+∠CEB＝180°，
∴x+x+x＝180，
解得：x＝60，
即∠DEA＝60°，
∴∠DAE＝90°﹣60°＝30°，
∴AE＝2DE，由勾股定理得：AD＝＝＝DE，
∵AE＝AB，
∴＝＝＝；
②∠DEA＝∠EBC，
设∠DEA＝∠EBC＝y°，
∵∠CEB＝∠EBA＝∠AEB＝x°，
则∠DEA+∠AEB+∠CEB＝y°+x°+x°＝（y+2x）°＝180°，
在Rt△BCE中，∠EBC+∠CEB＝y°+x°＝（y+x）°＝90°，
即，
解得：x＝90°，
即∠CEB＝90°，
此时点E和点C重合，△BEC不存在，舍去；
所以＝．
【点睛】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质，等腰三角形的性质和直角三角形的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．
22．（2023 杭州一模）如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，∠ABC＝2∠ACB，点D平分，连接AD，BD，CD．
（1）求证：AB＝CD．
（2）过点D作DG∥AB，分别交AC，BC于点E，F，交⊙O于点G．
①若AD＝a，BC＝b，求线段EF的长（用含a，b的代数式表示）．
②若∠ABC＝72°，求证：FG2＝EF DF．
【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理；三角形的外接圆与外心．
【答案】（1）证明见解析过程；
（2）①；
②证明见解析过程．
【点拨】（1）由点D平分，可得，则∠ABD＝∠CBD，由∠ABD+∠CBD＝∠ABC，可得2∠CBD＝∠ABC，则∠ACB＝∠CBD，进而结论得证；
（2）证明四边形ABFD是菱形，则BF＝AD＝a，CF＝b﹣a，证明△CEF∽△CAB，则，即，求解即可；
②由∠ABC＝72°，可得∠ACB＝36°，∠CAB＝72°，由DG∥AB，可得∠CEF＝∠CFE＝72°，证明△CEF∽△DCF，则，即EF DF＝CF2，如图，连接CG，∠DGC＝∠DBC＝36°，说明∠DGC＝∠FCG，则FG＝CF，进而结论得证．
【解析】（1）证明：∵点D平分，
∴，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵∠ABD+∠CBD＝∠ABC，
∴2∠CBD＝∠ABC，
∵∠ABC＝2∠ACB，
∴∠ACB＝∠CBD，
∴AB＝CD；
（2）①解：由（1）可知，AB＝AD＝CD＝a，则，
∴，
∴∠BCD＝∠ABC，
∵DG∥AB，
∴∠DFC＝∠ABC，
∴∠BCD＝∠DFC，
∴DF＝CD，
∴DF＝AB，
∴四边形ABFD是平行四边形，
∵AB＝AD，
∴四边形ABFD是菱形，
∴BF＝AD＝a，CF＝b﹣a，
∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴，即，
解得：，
∴线段EF的长为；
②证明：∵∠ABC＝72°，
∴∠ACB＝36°，
∴∠CAB＝72°，
∵DG∥AB，
∴∠CEF＝∠CFE＝72°，
∵∠DFC＝∠DCF＝72°，
∴△CEF∽△DCF，
∴，即EF DF＝CF2，
如图，连接CG，
∴∠DGC＝∠DBC＝36°，
∵∠FCG＝∠DFC﹣∠DGC＝36°，
∴∠DGC＝∠FCG，
∴FG＝CF，
∴FG2＝EF DF．
【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、垂径定理、圆周角定理以及三角形的外接圆与外心，解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
1．（2023 宁波模拟）若＝，则的值是（　　）
A． B．﹣ C．﹣2 D．2
【考点】比例的性质．
【答案】C
【点拨】由＝，可得b＝3a，把b换成3a即可求出的值．
【解析】解：∵＝，
∴b＝3a，
∴＝＝﹣2．
故选：C．
【点睛】此题考查了比例的性质．此题比较简单，解题的关键是掌握比例变形．
2．（2023 余杭区模拟）如图，已知AB∥CD∥EF，BC：CE＝3：4，AF＝21，那么DF的长为（　　）
A．9 B．12 C．15 D．18
【考点】平行线分线段成比例．
【答案】B
【点拨】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【解析】解：∵AB∥CD∥EF，BC：CE＝3：4，
∴＝＝，
∵AF＝21，
∴＝，
解得：DF＝12，
故选：B．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
3．（2023 金东区一模）如图，线段BD，CE相交于点A，DE∥BC．若BC＝3，DE＝1.5，AD＝2，则BD的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】相似三角形的判定与性质．
【答案】D
【点拨】由DE∥BC，利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠B＝∠D，∠C＝∠E，进而可得出△ABC∽△ADE，再利用相似三角形的性质可得出＝，代入BC＝3，DE＝1.5，AD＝2即可求出AB的长，此题得解．
【解析】解：∵DE∥BC，
∴∠B＝∠D，∠C＝∠E，
∴△ABC∽△ADE，
∴＝，即＝，
∴AB＝4，
∴BD＝AB+AD＝4+2＝6．
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形对应边的比相等是解题的关键．
4．（2022 贺州）如图，在△ABC中，DE∥BC，DE＝2，BC＝5，则S△ADE：S△ABC的值是（　　）
A． B． C． D．
【考点】相似三角形的性质．
【答案】B
【点拨】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
【解析】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵DE＝2，BC＝5，
∴S△ADE：S△ABC的值为，
故选：B．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
5．（2023 东明县一模）如图，已知∠1＝∠2，那么添加一个条件后，仍不能判定△ABC与△ADE相似的是（　　）
A．∠C＝∠AED B．∠B＝∠D C．＝ D．＝
【考点】相似三角形的判定．
【答案】C
【点拨】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．
【解析】解：∵∠1＝∠2
∴∠DAE＝∠BAC
∴A，B，D都可判定△ABC∽△ADE
选项C中不是夹这两个角的边，所以不相似，
故选：C．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定：
①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；
②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；
③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．
6．（2021 绍兴）如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，已知路灯高PO＝5m，树影AC＝3m，树AB与路灯O的水平距离AP＝4.5m，则树的高度AB长是（　　）
A．2m B．3m C．m D．m
【考点】相似三角形的应用；中心投影．
【答案】A
【点拨】利用相似三角形的性质求解即可．
【解析】解：∵AB∥OP，
∴△CAB∽△CPO，
∴，
∴，
∴AB＝2（m），
故选：A．
【点睛】本题考查中心投影以及相似三角形的应用．测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．
7．（2021 温州）如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，位似比为2：3，点A，B的对应点分别为点A′，B′．若AB＝6，则A′B′的长为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．15
【考点】位似变换．
【答案】B
【点拨】根据位似图形的概念列出比例式，代入计算即可．
【解析】解：∵图形甲与图形乙是位似图形，位似比为2：3，AB＝6，
∴＝，即＝，
解得，A′B′＝9，
故选：B．
【点睛】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，掌握位似图形的两个图形是相似图形、相似三角形的性质是解题的关键．
8．（2023 余杭区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝108°，点P在BC边上，若AP是∠BAC的三等分线，则BP的长度为（　　）
A．或5 B． C．﹣1或2 D．或2
【考点】黄金分割；等腰三角形的性质．
【答案】C
【点拨】根据已知条件得出∠B＝∠C＝36°，再根据AP是∠BAC的三等分线，求出∠BAP的度数与AC＝PC＝2，再根据AA证出△BAP∽△BCA，＝，从而得出＝，最后代值计算即可得出答案．
【解析】解：∵AB＝AC＝2，∠BAC＝108°，
∴∠B＝∠C＝36°，
∵AP是∠BAC的三等分线，
∴∠BAP＝36°，∠CAP＝72°，
∴∠CPA＝72°，
∴AC＝PC＝2，
在△BAP与△BCA中，
，
∴△BAP∽△BCA，
∴＝，
∴＝，
∴BP2+2BP﹣4＝0，
∴BP＝﹣1或2（舍去）．
当∠BAP＝72°，∠CAP＝36°时，
AB＝PB＝2，
故选C．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质以及黄金分割，掌握相似三角形的判断以及等腰三角形的性质是解题的关键．
9．（2023 绍兴模拟）小明在星期天上午8：30测得某树的影长为9m，下午13：00他又测得该树的影长为4m（如图所示），若两次日照的光线互相垂直，则这棵树的高度为（　　）
A．8m B．6m C．4.5m D．4m
【考点】相似三角形的应用；平行投影．
【答案】B
【点拨】根据题意，画出示意图，易得Rt△EDC∽Rt△FDC，进而可得；即DC2＝ED FD，代入数据可得答案．
【解析】解：根据题意，作△EFC；
树高为CD，且∠ECF＝90°，ED＝4，FD＝9，
∵∠ECD+∠FCD＝90°，∠CED+∠ECD＝90°，
∴∠CED＝∠FCD，
又∵∠EDC＝∠FDC＝90°，
∴Rt△EDC∽Rt△FDC，
∴；
即DC2＝ED FD，
代入数据可得DC2＝36，
解得DC＝6．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，本题通过投影的知识结合三角形的相似，求解高的大小；是平行投影性质在实际生活中的应用．
10．（2023 嵊州市一模）如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠BCD＝90°，连接AC，BD交于点E，若AD＝5，AC＝10，BC＝20，则AE的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】相似三角形的判定与性质；平行线的判定．
【答案】B
【点拨】根据平行线的判定可以得到AD∥BC，然后即可得到△AED∽CEB，从而可以得到，再根据AC的值，即可求得AE的值．
【解析】解：∵∠ADC＝∠BCD＝90°，
∴∠ADC+∠BCD＝180°，
∴AD∥BC，
∴△AED∽CEB，
∴，
即，
∴，
∴AC＝AE+CE，AC＝10，
∴AE＝AC＝2，
故选：B．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、平行线的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
11．（2024 义乌市模拟）如图是一个由A，B，C三种相似的直角三角形纸片（相似比相同）拼成的矩形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中A，B，C的纸片的面积分别S1，S2，S3，若S1＞S2＞S3，则这个矩形的面积一定可以表示为（　　）
A．4S1 B．6S2 C．4S2+3S3 D．3S1+4S3
【考点】相似三角形的性质；矩形的性质．
【答案】A
【点拨】如图，由A、B、C三种直角三角形相似，设相似比为k，EF＝m，则GH＝mk，FH＝mk2．想办法构建方程，求出k定值，证明S2+S3＝S1即可解决问题；
【解析】解：如图，由A、B、C三种直角三角形相似，设相似比为k，EF＝m，则GH＝mk，FH＝mk2．
∴EH＝m（1+k2），FM＝，FK＝km（1+k2），
则有：km（1+k2）+mk＝，
整理得：k4+k2﹣1＝0，
∴k2＝或（舍去），
∴S2＝S1，S3＝（）2S1＝S1，
∴S2+S3＝S1，
∴这个矩形的面积＝2S1+2（S2+S3）＝4S1，
故选：A．
【点睛】本题考查相似三角形的性质、矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
12．（2023 杭州一模）如图，在正方形ABCD中，点E在边BC上（不与点B，C重合，点F在边AB上，且AF＝BE，连接AE，DF，对角线AC与DF交于点G，连接BG，交AE于点H．若DF＝4GH，则＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
【答案】A
【点拨】设GH＝a，则DF＝4a，证明△DAF≌△ABE和△DAG≌△BAG，推出AH＝BH＝HE，作EQ∥AC，证明△EQH≌△AGH，得到BQ＝QH＝GH＝a，DG＝BG＝3a，设AF＝b，则CD＝3b＝AD，推出，在Rt△AFD中，利用勾股定理求得，代入计算即可求解．
【解析】解：设GH＝a，则DF＝4a，
∵正方形ABCD中，AF＝BE，
∴AD＝AB，∠DAF＝∠ABE＝90°，
∴△DAF≌△ABE（SAS），
∴DF＝AE，∠ADF＝∠BAE，
∵对角线AC与DF交于点G，
∴BG＝DG，
∵AB＝AD，AG＝AG，
∴△DAG≌△BAG（SSS），
∴∠ADF＝∠ABG＝∠BAE，
∴AH＝BH，
∵∠BAE+∠AEB＝∠ABH+∠HBE＝90°，
∴∠HBE＝∠HEB，
∴AH＝BH＝HE，
作EQ∥AC，
∴∠EHQ＝∠AHG，∠QEH＝∠GAH，
∴△EQH≌△AGH（ASA），
∴EQ＝AG，QH＝GH＝a，
∵DF＝AE，
∴，
∴BQ＝QH＝GH＝a，
∴DG＝BG＝3a，GF＝DF﹣DG＝a，
∵AF∥DC，
∴△AFG∽△CDG，
∴＝＝＝，
设AF＝b，则CD＝3b＝AD，
∴，
∴，
在Rt△AFD中，
AF2+AD2＝DF2，即b2+（3b）2＝（4a）2，
整理得：，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及正方形的性质，解题的关键是学会利用参数构建等量关系是解决的问题．
13．（2022 钱塘区一模）已知线段a＝+1，b＝﹣1，则a，b的比例中项线段等于 　2　．
【考点】比例线段；分母有理化．
【答案】2．
【点拨】根据比例中项的定义直接列式求值，问题即可解决．
【解析】解：设a、b的比例中项为x，
∵a＝+1，b＝﹣1，
∴x2＝ab＝（+1）（﹣1）＝（）2﹣12＝5﹣1＝4
∴x＝＝2（舍去负值），
即a、b的比例中项线段等于2，
故答案为：2．
【点睛】该题主要考查了比例中项等基本概念问题和根式的乘法；熟练掌握比例中项的概念和根式的化简方法是解决问题的关键．
14．（2021 镇江）如图，点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，△ADE∽△ABC，M，N分别是DE，BC的中点，若＝，则＝　　．
【考点】相似三角形的性质．
【答案】
【点拨】根据相似三角形对应中线的比等于相似比求出，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．
【解析】解：∵M，N分别是DE，BC的中点，
∴AM、AN分别为△ADE、△ABC的中线，
∵△ADE∽△ABC，
∴＝＝，
∴＝（）2＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方、相似三角形对应中线的比等于相似比是解题的关键．
15．（2023 婺城区模拟）如图，矩形ABCD中，AD＝2，AB＝4，剪去一个矩形AEFD后，余下的矩形EBCF∽矩形BCDA，则CF的长为　1　．
【考点】相似多边形的性质；矩形的性质．
【答案】1
【点拨】根据相似多边形的性质，利用比例性质求出CE，再利用勾股定理计算即可．
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝2，AB＝DC＝4，
∵四边形EFBC是矩形，
∴EF＝BC＝2，CF＝BE，
∵余下的矩形EBCF∽矩形BCDA，
∴，
即，
∴CF＝1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了相似多边形的性质：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形；相似多边形对应边的比叫做相似比．
16．（2022 嘉兴）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E．点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD的长为 　　．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【答案】．
【点拨】根据正切的定义求出AB，证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【解析】解：由题意得，DE＝1，BC＝3，
在Rt△ABC中，∠A＝60°，
则AB＝＝＝，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，即＝，
解得：BD＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、解直角三角形，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
17．（2022 杭州）某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度，把标杆DE直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC＝8.72m，EF＝2.18m．已知B，C，E，F在同一直线上，AB⊥BC，DE⊥EF，DE＝2.47m，则AB＝　9.88　m．
【考点】相似三角形的应用；平行投影．
【答案】9.88．
【点拨】根据平行投影得AC∥DF，可得∠ACB＝∠DFE，证明Rt△ABC∽△Rt△DEF，然后利用相似三角形的性质即可求解．
【解析】解：∵同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC＝8.72m，EF＝2.18m．
∴AC∥DF，
∴∠ACB＝∠DFE，
∵AB⊥BC，DE⊥EF，
∴∠ABC＝∠DEF＝90°，
∴Rt△ABC∽Rt△DEF，
∴，即，
解得AB＝9.88，
∴旗杆的高度为9.88m．
故答案为：9.88．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．证明Rt△ABC∽△Rt△DEF是解题的关键．
18．（2023 衢州）下面是勾股定理的一种证明方法：图1所示纸片中，∠ACB＝90°（AC＜BC），四边形ACDE，CBFG是正方形．过点C，B将纸片CBFG分别沿与AB平行、垂直两个方向剪裁成四部分，并与正方形ACDE，△ABC拼成图2．
（1）若cos∠ABC＝，△ABC的面积为16，则纸片Ⅲ的面积为 　9　．
（2）若，则＝　　．
【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形；一元二次方程的应用；全等三角形的判定与性质；勾股定理的证明．
【答案】（1）9；
（2）．
【点拨】（1）在图1中，过C作CM⊥AB于M，由cos∠ABC＝，可得CT＝BC，CM＝AC，故CT CM＝BC AC＝BC AC，而△ABC的面积为16，即可得纸片Ⅲ的面积为CT BT＝CT CM＝9；
（2）标识字母如图，设NT＝19t，证明△BFN≌△CBW（ASA），可得BN＝CW＝34t，由△BCT∽△WBT，有CT WT＝BT2，即CT （34t﹣CT）＝（15t）2，可得CT＝9t或CT＝25t，而BK＝CT，AK＝WT，即可得到答案．
【解析】解：（1）在图1中，过C作CM⊥AB于M，如图：
∵CT∥AB，
∴∠ABC＝∠BCT，
∵cos∠ABC＝，
∴cos∠BCT＝，即＝，
∴CT＝BC，
∵∠ACM＝90°﹣∠BCM＝∠ABC，
∴cos∠ACM＝cos∠ABC＝，即＝，
∴CM＝AC，
∴CT CM＝BC AC＝BC AC，
∵△ABC的面积为16，
∴BC AC＝16，
∴BC AC＝32，
∴CT CM＝18，
∴纸片Ⅲ的面积为CT BT＝CT CM＝9；
故答案为：9；
（2）如图：
∵＝，
∴＝，
设NT＝19t，则BT＝15t，BN＝34t，
∵∠FBN＝90°﹣∠CBN＝∠BCW，BF＝BC，∠BFN＝∠CBW＝90°，
∴△BFN≌△CBW（ASA），
∴BN＝CW＝34t，
∵∠BCT＝∠WBT，∠BTC＝∠WTB＝90°，
∴△BCT∽△WBT，
∴＝，
∴CT WT＝BT2，
∴CT （34t﹣CT）＝（15t）2，
解得CT＝9t或CT＝25t，
当CT＝9t时，WT＝25t，这情况不符合题意，舍去；
当CT＝25t时，WT＝9t，
而BK＝CT，AK＝WT，
∴＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的性质与判定，涉及正方形性质及应用，全等三角形性质与判定，锐角三角函数等知识，解题的关键是掌握三角形相似的判定定理．
19．（2023 杭州模拟）如图所示，延长平行四边形ABCD一边BC至点F，连结AF交CD于点E，若．
（1）求证：△ADE∽△FCE；
（2）若BC＝3，求CF的长．
【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【答案】（1）证明过程见解析；
（2）9．
【点拨】（1）利用平行四边形的性质可以证明△ADE∽△FCE；
（2）结合（1）利用相似三角形的性质和已知条件即可求解．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BF，AD＝BC，
∴△ADE∽△FCE；
（2）解：∵△ADE∽△FCE，
∴＝，
∵＝，
∴CF＝3AD＝3BC，
∵BC＝3，
∴CF＝9．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质，解决本题的关键是得到△ADE∽△FCE．
20．（2023 慈溪市一模）如图是某风车平面示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片OA，OB，此时各叶片影子在点M右侧形成线段CE，O的对应点为D，测得MC＝4m，CE＝16m，此时太阳的与地面的夹角为30°（即∠ODM＝30°）．
（1）求旋转中心到地面的距离OM的值；
（2）风车转动时，要求叶片外端离地面的最低高度高于2.5米，请判断此风车是否符合要求．
【考点】相似三角形的应用；平行投影．
【答案】（1）4m，（2）风车符合要求．
【点拨】（1）先利用平行线等分线段定理求出CD，再在Rt△OMD中求出OM；
（2）先在Rt△FMC、Rt△FOA中利用特殊角及直角三角形的边角关系求出FM、OA，再利用线段的和差关系得结论．
【解析】解：（1）由题意知：AC∥OD∥BE，AO＝OB，
∴∠ODM＝∠ACM＝30°，CD＝DE＝8m．
∴MD＝MC+CD＝12m．
在Rt△OMD中，
∵tan∠ODM＝，
∴OM＝tan∠ODM MD
＝tan30°×12
＝×12
＝4（m）．
（2）∵太阳光线恰好垂直照射叶片OA，
∴∠OAC＝90°．
∵∠AFO＝∠MOC，
∴∠AOM＝∠ACM＝30°．
在Rt△FMC中，
∵tan∠ACM＝，
∴FM＝tan∠ACM MC＝tan30°×4＝（m）．
∴OF＝OM﹣FM＝4﹣＝（m）．
在Rt△FOA中，
∵cos∠AOM＝，
∴OA＝cos∠AOM OF＝cos30°×＝4（m）．
∴叶片外端离地面的最低高度为：OM﹣OA＝（4﹣4）m．
∵4﹣4≈6.92﹣4＝2.92＞2.5，
∴此风车符合要求．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，掌握平行线等分线段定理和直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
21．（2023 婺城区模拟）请阅读以下材料并完成相应的任务．17世纪德国著名天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿”．黄金分割比（简称：黄金比）是指把一条线段分割为两部分，较长部分与整体长度之比等于较短部分与较长部分的长度之比（如图①）即，其比值为．
已知顶角为36°的等腰三角形是黄金三角形的一种；当底角被平分时，形成两个较小的等腰三角形，这两个三角形之一相似于原三角形，而另一个三角形可用于产生螺旋形曲线（如图②）．
任务：
（1）如图③，在圆内接正十边形中，AB是正十边形的一条边，M是∠ABO的平分线与半径OA的交点．若OA＝2，求正十边形边长AB的长度；
（2）在（1）的条件下，利用图③进一步探究，请你写出sin18°与黄金比之间的关系，并说明理由．
【考点】黄金分割；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；正多边形和圆．
【答案】（1）；
（2）sin18°是黄金比的一半，理由见解析．
【点拨】（1）由题意易得∠AOB＝36°，则可得∠ABM＝∠OBM＝36°，∠BMA＝72°，然后可得△ABM∽△AOB，进而可得AB2＝AO2﹣AO AB，然后问题可求解；
（2）延长AO交⊙O于点P，连接PB，由题意可得∠OPB＝18°，则有AP＝2OA＝4，然后可根据三角函数进行求解．
【解析】解：（1）∵正十边形的中心角为36°，
∴∠AOB＝36°，
∵OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO＝72°，
∵BM平分∠ABO，
∴∠ABM＝∠OBM＝36°，∠BMA＝72°，
∴∠BMA＝∠BAM，
∴OM＝BM＝AB，
∴△ABM∽△AOB，
∴，即，
∴AB2＝AO2﹣AO AB，
∴，解得（负值已舍去），
∵OA＝2，
∴；
（2）sin18°是黄金比的一半；
理由如下：如图，延长AO交⊙O于点P，连接PB，
∵∠AOB＝36°，
∴∠OPB＝18°，
∵AP是⊙O的直径，AP＝2OA＝4，
∴∠ABP＝90°，
∴，即．
∴sin18°是黄金比的一半．
【点睛】本题主要考查黄金分割比、相似三角形的性质与判定及三角函数，熟练掌握黄金分割比、相似三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键．
22．（2021 杭州）如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AG交⊙O于点G，交BC边于点F，连接BG．
（1）求证：△ABG∽△AFC．
（2）已知AB＝a，AC＝AF＝b，求线段FG的长（用含a，b的代数式表示）．
（3）已知点E在线段AF上（不与点A，点F重合），点D在线段AE上（不与点A，点E重合），∠ABD＝∠CBE，求证：BG2＝GE GD．
【考点】相似三角形的判定与性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心．
【答案】（1）证明见解析；
（2）a﹣b；
（3）证明见解答过程．
【点拨】（1）根据∠BAC的平分线AG交⊙O于点G，知∠BAG＝∠FAC，由圆周角定理知∠G＝∠C，即可证△ABG∽△AFC；
（2）由（1）知＝，由AC＝AF得AG＝AB，即可计算FG的长度；
（3）先证△DGB∽△BGE，得出线段比例关系，即可得证BG2＝GE GD．
【解析】（1）证明：∵AG平分∠BAC，
∴∠BAG＝∠FAC，
又∵∠G＝∠C，
∴△ABG∽△AFC；
（2）解：由（1）知，△ABG∽△AFC，
∴＝，
∵AC＝AF＝b，
∴AB＝AG＝a，
∴FG＝AG﹣AF＝a﹣b；
（3）证明：∵∠CAG＝∠CBG，∠BAG＝∠CAG，
∴∠BAG＝∠CBG，
∵∠ABD＝∠CBE，
∴∠BDG＝∠BAG+∠ABD＝∠CBG+∠CBE＝∠EBG，
又∵∠DGB＝∠BGE，
∴△DGB∽△BGE，
∴＝，
∴BG2＝GE GD．
【点睛】本题主要考查的是相似三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，熟练掌握圆周角定理和相似三角形的判定和性质是解题的关键．
23．（2023 钱塘区三模）如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F．
（1）求证：FC＝2FA．
（2）若EF＝1，求AC的长．
（3）连接DF，判断△CDF的形状，并说明理由．
【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质．
【答案】（1）答案见解析；（2）；（3）△CDF是等腰三角形，理由见解答过程．
【点拨】（1）先证△AEF和△CBF相似得AE/BC＝FA/FC，再根据点E为AD的中点得AE/AD＝1/2，据此即可得出结论；
（2）过点D作DH⊥AC于点H，先证EF为△ADH的中位线得DH＝2EF＝2，FA＝FH，进而根据（1）的结论得CH＝FH＝FA，设AE＝a，AB＝b，FA＝x，则AD＝2a，CD＝b，CH＝FH＝FA＝x，AC＝3x，再证△BAE和△ADC相似可得b2＝2a2，然后在Rt△ADH中由勾股定理得a2＝x2+1，在Rt△CDH中由勾股定理得b2＝x2+4，据此可求出x，进而可得AC的长；
（3）△CDF是等腰三角形．由（2）知：CH＝HF，DH⊥CF，则DH为线段FH的垂直平分线，然后根据线段垂直平分线的性质可得出结论．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC，∠BAD＝∠ADC＝90°，
∴△AEF∽△CBF，
∴，
∵点E为AD的中点，
∴AE＝ED，
∴，
即：，
∴，
∴FC＝2FA．
（2）解：过点D作DH⊥AC于点H，
∵BE⊥AC，
∴BE∥DH，
又点E为AD的中点，
∴EF为△ADH的中位线，
∴DH＝2EF＝2，FA＝FH，
由（1）知：FC＝2FA，
∴CH+FH＝2FA，
∴CH＝FH＝FA，
∴AC＝3FA，
设AE＝a，AB＝b，FA＝x，
则AD＝2a，CD＝b，CH＝FH＝FA＝x，AC＝3x，
∵∠BAD＝90°，
∴∠BAF+∠DAC＝90°，
又BE⊥AC，
∴∠ABE+∠BAF＝90°，
∴∠ABE＝∠DAC，
又∠BAD＝∠ADC＝90°，
∴△BAE∽△ADC，
∴，
即：，
∴b2＝2a2，
在Rt△ADH中，AD＝2a，AH＝2x，DH＝2，
由勾股定理得：AD2＝AH2+DH2，
即：（2a）2＝（2x）2+4，
∴a2＝x2+1，
在Rt△CDH中，DH＝2，DC＝b，CH＝x，
由勾股定理得：CD2＝DH2+CH2，
即：b2＝x2+4
∴x2+4＝2（x2+1），
解得：（舍去负值），
∴．
（3）解：△CDF是等腰三角形．理由如下：
由（2）知：CH＝HF，DH⊥CF，
∴DH为线段FH的垂直平分线，
∴DF＝DC，
∴△CDF是等腰三角形．
【点睛】此题主要考查了矩形的性质，相似形的判定和性质，三角形中位线定理，线段垂直平分线的性质，勾股定理等，解答此题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，理解相似三角形的对应边成比例．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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