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2024年中考数学模拟卷（武汉）
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。
4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
1．在下列数6.7，，，0，，，中，属于分数的有（ ）.
A．2个 B．3个 C．4个 D．5
【答案】B
【分析】本题考查有理数的分类，小数、百分数均属于分数，据此求解即可．
【详解】解：6.7，，，0，，，中，属于分数的有：6.7，，，共3个，
故选B．
2．如图，在中，，点D为线段上一点，将沿直线折叠后，点B落在点E处，且，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了平行线的性质，折叠问题，由平行线的性质和折叠的性质可得，再利用角的和差即可求出．掌握平行线的性质、折叠的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
由折叠得： ，
∵，
∴．
故选：C．
3．下列说法正确的是（ ）．
A．要了解一批炮弹的杀伤半径，采用抽样调查的方式
B．抛掷一枚硬币正面朝上的机会与抛掷一支铅笔笔尖朝上的机会一样大
C．某彩票的中奖率为，九年级每个班有50人，其中三个班的同学每人买一张这种彩票则一定会有同学中奖
D．某同学对武汉某社区家庭调查后发现，拥有小轿车的家庭占，于是他得出结论：武汉市拥有小轿车的家庭的百分比为
【答案】A
【详解】A、要了解一批炮弹的杀伤半径，采用抽样调查的方式，故A正确；
B、因为抛掷一支铅笔不是等可能性的随机事件，和抛一枚硬币的实验情况不好比较，故B错误；
C、彩票中奖的机会是，并不表示买100张彩票就一定会中，故C错，
D、用样本估计总体时，抽取的样本应具有广泛性的，代表性，全面性，故D错．
故选A．
4．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查同底数幂的除法，同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方等，根据相关运算法则逐项计算即可．
【详解】解：，故A选项运算正确，符合题意；
，故B选项运算错误，不合题意；
，故C选项运算错误，不合题意；
，故D选项运算错误，不合题意；
故选A．
5．如图，太阳光线与地面成的角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上的投影长是，则皮球的直径是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查平行投影以及解直角三角形，画出示意图，构造直角三角形是解题的关键．
由于太阳光线为平行光线，根据切线的性质得到为皮球的直径，，，在中，利用正弦的定义可计算出的长，从而得到皮球的直径．
【详解】为方便描述取点A、B、C、D、E，如图，点A与点B为太阳光线与球的切点，
即，，
则有四边形是矩形，
根据太阳光的特点可知，即，
则为皮球的直径，，
在中，
即，
即皮球的直径为15，
故选：B．
6．已知正比例函数，反比例函数，当时，函数的最大值为（ ）．
A．12 B．18 C．24 D．27
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的性质，掌握正比例函数与反比例函数图象的性质是解题的关键．
根据题意得到，求出，然后代入求解即可．
【详解】当时，．即，
当且仅当，即时，等号成立
．
故选：A．
7．有六张扑克牌，上面的数字分别是1，2，3，4，5，6，从中任意抽取一张记下数字，然后放回洗匀，再任意抽取一张记下数字，则抛物线与轴至多只有一个交点的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查概率的求法以及确定抛物线与x轴交点个数的条件，根据抛物线与轴至多只有一个交点得得，再通过树状图求出的个数，从而解答本题．
【详解】解：对于，令，得，
∵抛物线与轴至多只有一个交点
∴，
画树状图，如下：
共有36种等可能的结果，其中使的个数共有19种，
∴抛物线与轴至多只有一个交点的概率为，
故选：D
8．若关于的方程无解，则的值为（ ）
A．或 B．或0
C．或或0 D．或或
【答案】D
【分析】本题考查了分式方程的无解问题，正确理解分式方程的无解的含义是解答本题的关键．此分式方程无解的含义包含两种情况，其一是使得分母为零的根，是原方程的增根，在去分母后，将使分母为零的根分别代入，可求得m的值；其二是去分母后的方程无解，即方程左边为零，右边不为零，可求得m的值．
【详解】去分母，得，
整理得，
当时，，
解得；
当时，，
解得；
当时，，方程无解；
综上所述，满足题意的的值为或或，
故选D．
9．如图，是的直径，，点是圆上不与，重合的点，平分，交于，平分，交于．有以下说法：
①点是定点；②的最大值为；③为的外心；④的最大值为．其中正确的有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】此题考查了圆周角定理，勾股定理，角平分线的定义等知识，熟记圆周角定理是解题的关键．①在同圆或等圆中，根据圆周角相等，则弧相等可作判断；②先根据勾股定理得：，由完全平方公式：，展开可作判断；③证明，可作判断；④根据完全平方公式，代入可得：，开方可判断．
【详解】解：①平分，
，
，
是的直径，
是半圆的中点，即点是定点；故①正确；
②是的直径，
，
，
，，
，
，
，
的最大值为，故②正确；
③，
，
平分， 平分，
，，
，，
，
，
为的外心，故③正确；
④，
，即的最大值为，故④正确；
故选：D．
10．如图，在中，，，，连接，若、分别为线段、的中点，则线段的长为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．作，连接并延长交于，连接，首先证明，解直角三角形求出，利用三角形中位线定理即可．
【详解】作，连接并延长交于，连接，
在和中，
在中
故选：B．
二、填空题：本题共6小题，共18分。
11．若，那么 ；若，那么 .
【答案】
【分析】此题考查的是有理数乘方的逆运算．根据乘方的意义计算即可．
【详解】解：若，则；
若，则．
故答案为：；．
12．2023年是习近平总书记提出共建“一带一路”倡议的十周年，10年来取得了丰硕的成果，其中中国与共建国家的货物贸易累计规模达到1910000000美元．将1910000000美元用科学记数法表示为 美元．
【答案】
【分析】本题考查了科学记数法“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法的定义即可得．
【详解】解：，
故答案为：．
13．如图，在中，是直径，是切线，点C、O的连线交于点的延长线交于点的延长线交于点F，若，则的值为 ．
【答案】
【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、解直角三角形、圆的切线的性质、圆周角定理等知识，证明是解题的关键．连接，证明，则，证明，得到．由得到，即可得到答案．
【详解】解：如图，连接，
∵是直径，是切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
．
，
，
，
解得（舍）或，
．
14．一辆大客车和一辆小轿车同时从甲地出发去乙地，匀速而行，大客车到达乙地后停止，小轿车到达乙地后停留小时，再按照原速从乙地出发返回甲地，小轿车返回甲地后停止已知两车距甲地的距离（）与所用的时间()的关系如图所示当两车相距时，两车出发了 小时．
【答案】4或或
【分析】本题考查一次函数的应用，根据图象解决某个问题．要分三种情况讨论：当时，当时，当时．根据数量关系即可求解，该题解答过程比较复杂，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
【详解】解：由图象可知：
小轿车的速度为：，
大客车的速度为：．
设两车出发后两车相距．
当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，解得．
当两车相距时，两车出发了小时或小时或小时．
故答案为：或或．
15．已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点C，且顶点的纵坐标为，如果为直角三角形，那么的面积的最大值为 ．
【答案】1
【分析】本题考查了抛物线与轴的交点及三角形的面积，也考查了二次函数的性质．先确定再求得，然后求得，再求解即可．
【详解】解：二次函数的图象与x轴交于点，且顶点的纵坐标为，
，且点分居原点两侧，只可能是
，
，
，
而，
，
，
当且仅当时等号成立．
故答案为：1
16．“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，在如图所示的弦图中，大正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的．若，，则的面积为 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了勾股定理的证明、全等三角形的判定和性质、三角形的面积的计算、正方形的性质等知识点，正确地作出辅助线是解题的关键．
根据等腰三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，再根据勾股定理和三角形的面积公式即可解答．
【详解】解：如图：
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，解得：，
∴，
∴，
∴，
如图：连接交于M，
∵，
∴垂直平分，
∴，，
∴，
∴的面积为．
故答案为．
三、解答题：本题共9小题，共72分．第17-21题每小题8分，第22-23题10分，第24题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．对于任意实数a，b，定义关于@的一种运算如下，例如，．．
(1)比较与的大小，并说明理由．
(2)若，求x的取值范围．
(3)若不等式组的解集为，求m的取值范围．
【答案】(1)，理由见解析
(2)
(3)
【分析】（1）先根据关于的一种运算的法则计算，，由此可比较与的大小；
（2）先计算，然后将不等式可转化为，解此不等式可得的取值范围；
（3）先计算，因此可将不等式可转化为，由此可解得，然后根据不等式组，的解集为，得，解此不等式即可求出的取值范围．
【详解】（1）解： ，理由如下：
，
，，
；
（2）解：，
不等式可转化为：，
；
（3）解：，
不等式可转化为：，
，
不等式组组的解集为，
，
．
【点睛】此题主要考查了新定义，有理数的运算，解一元一次不等式和一元一次不等式组，一元一次不等式组的解集，理解题目中给出的新定义运算的法则，及一元一次不等式组的解集，熟练掌握有理数的运算，解一元一次不等式和一元一次不等式组是解决问题的关键．
18．已知：．求证：．
【答案】详见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质等知识点，求出，根据推出三角形全等，进而即可得证，熟练掌握其性质是解决此题的关键．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴．
19．元旦档刷新历史票房纪录，春节档有望继续表现优秀．春节有4部影片在春节档上映，分别是《热辣滚烫》《飞驰人生2》《 逆转时空》《第二十条》．小亮和小丽两名同学分别从《热辣滚烫》《飞驰人生2》《第二十条》三部电影中随机选择一部观看，将《热辣滚烫》表示为，《飞驰人生2》表示为，《第二十条》表示为．假设这两名同学选择观看哪部电影不受任何因素影响，且每一部电影被选到的可能性相等．记小亮同学的选择为，小丽同学的选择为．
(1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数；
(2)求小亮和小丽两名同学恰好选择观看同一部电影的概率．
【答案】(1)9种
(2)
【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．
（1）列表得出所有等可能的情况数即可；
（2）根据表格列出恰好选择观看同一部电影的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【详解】（1）解：方法一：由题意可列表如下，
A B C
A
B
C
由表可知，可能出现的结果为：，它们出现的可能性相等，一共有9种．
答：所有可能出现的结果共有9种．
方法二，画树状图如下：
可能出现的结果为：，它们出现的可能性相等，一共有9种．
答：所有可能出现的结果共有9种．
（2）解：由表（或图）可以看出，小亮、小丽两名同学选择观看同一电影的情况有3种，
即．
小亮、小丽两名同学恰好选择观看同一部电影．
答：小亮、小丽两名同学恰好选择观看同一部电影的概率为．
20．如图，以线段为直径作，交射线于点，平分交于点，过点作直线于点，交的延长线于点．连接并延长交于点．

(1)求证：直线是的切线；
(2)求证：；
(3)若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)．
【分析】（）连接，由 可证明，得到，即可证明直线是的切线；
（）由线段是的直径证明 ，再根据等角的余角相等证明，则
（）由，可得，得到是等边三角形，进而得到，，，再证明 ，即可求解．
【详解】（1）证明：连接，则，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，且，
∴直线是的切线；
（2）证明：∵线段是的直径，
∴，
∴，
∴°，，
∵，
∴，
∴；
（3）解：∵，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．

【点睛】此题考查了切线的判定、直径所对的圆周角是直角、等角的余角相等、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
21．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点的三个顶点都是格点仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线所示．
(1)在图中，先在边上找一点，使，再画点关于点对称的点；
(2)在图中，是边上一点，先画的角平分线，再画点关于直线对称的点．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据相似三角形相似比为，可得点的位置，再利用平行线分线段成比例定理即可得到点的位置；
（2）根据等腰三角形的三线合一，作出中线，即为角平分线，再利用等腰三角形的轴对称性即可得出点的位置．
【详解】（1）解：如图，点、即为所求；
理由如下，
取格点，则，
∴，
∴，
取格点，使得，作，
延长交于点，则点即为所求；
（2）如图，、点即为所求．
理由如下，
取格点，使得，取格点，则,
，
∴,
∴是的角平分线,
连接交于点，连接并延长交于点，
∵垂直平分，
∴
∴
又∵
∴
∴
∴，
即点是点关于直线对称的点．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
22．过山车是同学们很喜欢的娱乐项目.如图所示.F→E→G为过山车的一部分轨道，它可以看成一段抛物线.如图，其中米，米（轨道厚度忽略不计）.
(1)请直接写出抛物线F→E→G的函数关系式：
(2)在轨道距离地面5米处有两个位置P和G，当过山车运动到G处时，平行于地面向前运动了米至K点，又进入下坡段K→H（K接口处轨道忽略不计）.已知轨道抛物线K→H→Q的形状与抛物线P→E→G完全相同，在G到Q的运动过程中，求OH的距离：
(3)现需要在轨道下坡段F→E进行一种安全加固，建造某种材料的水平和竖直支架，且要求，已知这种材料的价格是80000元/米，如何设计支架，会使造价最低？最低造价为多少元？
【答案】(1)；
(2)10米；
(3)使米时，可使造价最低，最低造价为元
【分析】（1）由题意可知：点E为抛物线的顶点，且点E的坐标为，于是可设抛物线的解析式为，然后把点F的坐标代入求出a即可；
（2）把代入抛物线，通过解方程求出点P、G的坐标，进而可得的长，即为的长，进一步即可求出；
（3）设，，用m的代数式表示出点M、N的坐标，进而可得w与m的关系式，再利用二次函数的性质求解即可.
【详解】（1）解：由题意可知：点E为抛物线的顶点，且点E的坐标为，
∴可设抛物线的解析式为，
由于，即点F的坐标为，
代入得，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：当时，，
解得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵轨道抛物线K→H→Q的形状与抛物线P→E→G完全相同，
∴，
∴（米）；
（3）解：设，，
则点M的坐标为，点N的坐标为，
∴，
当时，，符合题意，
即当时，w最小，亦即会使造价最低，最低造价为（元）；
综上，应使米时，可使造价最低，最低造价为元.
【点睛】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质、正确理解题意是解题的关键
23．在菱形中，，点是平面内一动点，以为边作等边，其中，，按逆时针方向排列．
(1)如图①，当点在线段上，点在菱形内部时，连接，则线段与的数量关系是 ；与的夹角度数是 ；
(2)如图②，当点在线段上，点在菱形外部时，连接，求证：；
(3)如图③，当点在线段的延长线上时，连接，请直接用等式表示线段，，之间的数量关系： ．
【答案】(1)；
(2)见解析
(3)
【分析】（1）连接，根据菱形的性质和等边三角形的性质证明即可证得结论；
（2）同（1）的方法得出，再用含30度角的直角三角形得出，即可得出结论；
（3）结合（1）（2）的方法，即可得出结论．
【详解】（1）解：如图①，连接，延长交于点，与的交点为，
四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，；
是等边三角形，
，，
，
，
；
四边形是菱形，
，
，
，
，
，
四边形为菱形，
，
为菱形的对角线，
，
；
故答案为：，；
（2）证明：如图②中，连接，交于，
菱形，，
和都是等边三角形，
，，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
菱形的对角线与相交于，
，，
在中，，
；
（3）解：．
理由：如图③，连接，交于，
同（2）的方法得，，
同（1）的方法得，
．
故答案为：．
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键．
24．抛物线与轴交于两点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，已知．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由；
(3)点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线与抛物线相交于点，当面积最大时，求点的坐标及的最大值．
【答案】(1)；
(2)存在，点P的坐标为或或；
(3)，．
【分析】（1）由A、C的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；
（2）可设出P点坐标，则可表示出和的长，分、两种情况分别得到关于P点坐标的方程，可求得P点坐标；
（3）由B、C的坐标可求得直线的解析式，可设出E点坐标，则可表示出F点的坐标，从而可表示出的长，可表示出的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值及此时点E的坐标．
【详解】（1）解：在抛物线上，
则，
解得，
∴抛物线解析式为；
（2）存在，
理由：，
∴抛物线对称轴为直线，
，且，
，
∵点P在对称轴上，
∴可设，
，
当时，则有，
解得，此时P点坐标为或；
当PC=CD时，则有，
解得（与D重合，舍去）或，
此时P点坐标为，
综上可知存在满足条件的点P，其坐标为或或；
（3）当时，即，
解得或，
，，
设直线解析式为，
由题意可得，
解得，
∴直线解析式为，
∵点E是线段上的一个动点，
∴可设，则，
，
，
∴当时，S△CBF有最大值，最大值为，
此时，
，
∴当时，的面积最大，最大面积为4，此时E点坐标为．
【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中用P点的坐标表示出和是解题的关键，在（3）中用E点坐标表示出的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．中小学教育资源及组卷应用平台
2024年中考数学模拟卷（武汉）
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。
4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
1．在下列数6.7，，，0，，，中，属于分数的有（ ）.
A．2个 B．3个 C．4个 D．5
2．如图，在中，，点D为线段上一点，将沿直线折叠后，点B落在点E处，且，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
3．下列说法正确的是（ ）．
A．要了解一批炮弹的杀伤半径，采用抽样调查的方式
B．抛掷一枚硬币正面朝上的机会与抛掷一支铅笔笔尖朝上的机会一样大
C．某彩票的中奖率为，九年级每个班有50人，其中三个班的同学每人买一张这种彩票则一定会有同学中奖
D．某同学对武汉某社区家庭调查后发现，拥有小轿车的家庭占，于是他得出结论：武汉市拥有小轿车的家庭的百分比为
4．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，太阳光线与地面成的角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上的投影长是，则皮球的直径是（ ）
A． B． C． D．
6．已知正比例函数，反比例函数，当时，函数的最大值为（ ）．
A．12 B．18 C．24 D．27
7．有六张扑克牌，上面的数字分别是1，2，3，4，5，6，从中任意抽取一张记下数字，然后放回洗匀，再任意抽取一张记下数字，则抛物线与轴至多只有一个交点的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．若关于的方程无解，则的值为（ ）
A．或 B．或0
C．或或0 D．或或
9．如图，是的直径，，点是圆上不与，重合的点，平分，交于，平分，交于．有以下说法：
①点是定点；②的最大值为；③为的外心；④的最大值为．其中正确的有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，在中，，，，连接，若、分别为线段、的中点，则线段的长为（）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共6小题，共18分。
11．若，那么 ；若，那么 .
12．2023年是习近平总书记提出共建“一带一路”倡议的十周年，10年来取得了丰硕的成果，其中中国与共建国家的货物贸易累计规模达到1910000000美元．将1910000000美元用科学记数法表示为 美元．
13．如图，在中，是直径，是切线，点C、O的连线交于点的延长线交于点的延长线交于点F，若，则的值为 ．
14．一辆大客车和一辆小轿车同时从甲地出发去乙地，匀速而行，大客车到达乙地后停止，小轿车到达乙地后停留小时，再按照原速从乙地出发返回甲地，小轿车返回甲地后停止已知两车距甲地的距离（）与所用的时间()的关系如图所示当两车相距时，两车出发了 小时．
15．已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点C，且顶点的纵坐标为，如果为直角三角形，那么的面积的最大值为 ．
16．“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，在如图所示的弦图中，大正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的．若，，则的面积为 ．
三、解答题：本题共9小题，共72分．第17-21题每小题8分，第22-23题10分，第24题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．对于任意实数a，b，定义关于@的一种运算如下，例如，．．
(1)比较与的大小，并说明理由．
(2)若，求x的取值范围．
(3)若不等式组的解集为，求m的取值范围．
18．已知：．求证：．
19．元旦档刷新历史票房纪录，春节档有望继续表现优秀．春节有4部影片在春节档上映，分别是《热辣滚烫》《飞驰人生2》《 逆转时空》《第二十条》．小亮和小丽两名同学分别从《热辣滚烫》《飞驰人生2》《第二十条》三部电影中随机选择一部观看，将《热辣滚烫》表示为，《飞驰人生2》表示为，《第二十条》表示为．假设这两名同学选择观看哪部电影不受任何因素影响，且每一部电影被选到的可能性相等．记小亮同学的选择为，小丽同学的选择为．
(1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数；
(2)求小亮和小丽两名同学恰好选择观看同一部电影的概率．
20．如图，以线段为直径作，交射线于点，平分交于点，过点作直线于点，交的延长线于点．连接并延长交于点．

(1)求证：直线是的切线；
(2)求证：；
(3)若，，求的长．
21．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点的三个顶点都是格点仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线所示．
(1)在图中，先在边上找一点，使，再画点关于点对称的点；
(2)在图中，是边上一点，先画的角平分线，再画点关于直线对称的点．
22．过山车是同学们很喜欢的娱乐项目.如图所示.F→E→G为过山车的一部分轨道，它可以看成一段抛物线.如图，其中米，米（轨道厚度忽略不计）.
(1)请直接写出抛物线F→E→G的函数关系式：
(2)在轨道距离地面5米处有两个位置P和G，当过山车运动到G处时，平行于地面向前运动了米至K点，又进入下坡段K→H（K接口处轨道忽略不计）.已知轨道抛物线K→H→Q的形状与抛物线P→E→G完全相同，在G到Q的运动过程中，求OH的距离：
(3)现需要在轨道下坡段F→E进行一种安全加固，建造某种材料的水平和竖直支架，且要求，已知这种材料的价格是80000元/米，如何设计支架，会使造价最低？最低造价为多少元？
23．在菱形中，，点是平面内一动点，以为边作等边，其中，，按逆时针方向排列．
(1)如图①，当点在线段上，点在菱形内部时，连接，则线段与的数量关系是 ；与的夹角度数是 ；
(2)如图②，当点在线段上，点在菱形外部时，连接，求证：；
(3)如图③，当点在线段的延长线上时，连接，请直接用等式表示线段，，之间的数量关系： ．
24．抛物线与轴交于两点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，已知．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由；
(3)点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线与抛物线相交于点，当面积最大时，求点的坐标及的最大值．

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