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18.2菱形的判定同步练习（A卷）
一．选择题（共10小题）
1．如图， ABCD对角线AC，BD交于点O，请添加一个条件：____使得 ABCD是菱形（　　）
A．AB＝AC B．AC⊥BD C．AB＝CD D．AC＝BD
2．如图所示，已知△ABC，AB＝AC，将△ABC沿边BC翻转，得到的△DBC与原△ABC拼成四边形ABDC，则能直接判定四边形ABDC是菱形的依据是（　　）
A．一组邻边相等的平行四边形是菱形
B．四边相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
3．已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD交于点O，下列结论不正确的是（　　）
A．当AB＝BC时，它是菱形
B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．当∠BAO＝∠DAO时，它是菱形
D．当AC＝BD时，它是菱形
4．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝6，将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF，若四边形ECDF为菱形时，则a的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，在给定的平行四边形上，作一个菱形，甲、乙二人的做法如下：
甲：分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧，交AD于点M，交BC于点N，连接MN，则四边形ABNM为菱形；
乙：以A为圆心，AB长为半径画弧，交AD于点E，连接BE，作BE的垂直平分线交BC于点H，则四边形ABHE为菱形；
根据两人的做法可判断（　　）
A．甲正确，乙错误 B．乙正确，甲错误
C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误
6．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形ABCD．测得A，B的距离为3，A，C的距离为2，则B，D的距离是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，点E是AB边上的中点，连接OE，OE＝2.5，AC＝8，BD＝6．有下列结论：①△ABD是等边三角形；② ABCD的周长是20；③ ABCD的BC边上的高是4.8；④ ABCD是菱形；⑤ ABCD的面积是48，其中正确的是（　　）
A．②③④ B．②④⑤ C．①②③④ D．②③④⑤
8．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，若AF＝6，则四边形AEDF的周长是（　　）
A．24 B．28 C．32 D．36
9．如图， ABCD的面积为12，AC＝BD＝6，AC与BD交于点O，分别过点C，D作BD，AC的平行线相交于点F，点G是CD的中点，点P是四边形OCFD边上的动点，则PG的最小值是（　　）
A．1 B． C． D．3
10．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB，交CB的延长线于G，连接GF，若AD⊥BD．下列结论：①DE∥BF；②四边形BEDF是菱形；③S△BFG＝S平行四边形ABCD；④FG⊥AB．其中正确的是（　　）
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④
二．填空题（共6小题）
11．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且互相垂直，添加一个条件能判定四边形ABCD为菱形．你添加的条件是 　 　．
12．如图，剪两张对边平行的纸条，纸条宽度相等，随意交叉叠放在一起，转动其中的一张，重合的部分构成了一个四边形，这个四边形是 　 　．
13．在平面直角坐标系中，已知A（0，0）、B（6，0），点C在第一象限，且AC＝BC＝6，若存在点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为 　 　．
14．如图，平行四边形ABCD中，AD＝9cm，，∠B＝45°，点M，N分别以A，C为起点，以1cm/秒的速度沿AD，CB边运动，设点M，N运动的时间为t秒（0≤t≤6），连接AN，CM，当t＝　 　时，四边形AMCN为菱形；
15．如图，△ABC是边长为1的等边三角形，D，E为线段AC上两动点，且∠DBE＝30°，过点D，E分别作AB，BC的平行线相交于点F，分别交BC，AB于点H，G．现有以下结论：①S△ABC＝；②当点D与点C重合时，FH＝；③AE+CD＝DE；④当AE＝CD时，四边形BHFG为菱形．则其中正确的结论的序号是 　 　．
16．已知A（0，3），B（6，0），点C是x轴正半轴上一点，D是同一平面内一点，若以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为 　 　．
三．解答题（共7小题）
17．如图，AE∥BF，BD平分∠ABF，且交AE于点D，过点D作DC∥AB交BF于点C．求证：四边形ABCD是菱形．
18．如图，在 ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，EF，FA，若AE＝AF，CE＝CF．求证：四边形ABCD是菱形．
19．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AD，E，F是对角线BD上的点，且BE＝DF，连接AE，CF，AF，CE．求证：四边形AFCE是菱形．
20．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC，AF与CE的延长线相交于点F，连接BF．
（1）求证：四边形AFBD是平行四边形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是菱形？请说明理由．
21．如图，△ABC中，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，F是AD的中点，FG⊥BC于点G，与DE交于点H，若FG＝AF，AG平分∠CAB，连接GE，GD．
（1）求证：△ECG≌△GHD；
（2）当∠B为多少度时，四边形AEGF为菱形，请说明理由．
22．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°，AD＝12cm，AB＝18cm，CD＝23cm，动点P从点A出发，以1cm/s的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿折线B﹣C﹣D向终点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．
（1）用含t的式子表示PB．
（2）当t为何值时，直线PQ把四边形ABCD分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？
（3）只改变点Q的运动速度，使运动过程中某一时刻四边形PBCQ为菱形，则点Q的运动速度应为多少？
23．已知：如图1，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠DCB，四边形ABFD是平行四边形，DF交BC于点E，连接AE、CF，CF＝BF．
（1）求证：△ADE≌△FCD；
（2）如图2，连接DB交AE于点G，连接CG，若AG＝DC．求证：四边形BFCG是菱形．
18.2.3菱形的判定同步练习（A卷）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图， ABCD对角线AC，BD交于点O，请添加一个条件：____使得 ABCD是菱形（　　）
A．AB＝AC B．AC⊥BD C．AB＝CD D．AC＝BD
【解答】解：当AC⊥BD时， ABCD是菱形，
故选：B．
2．如图所示，已知△ABC，AB＝AC，将△ABC沿边BC翻转，得到的△DBC与原△ABC拼成四边形ABDC，则能直接判定四边形ABDC是菱形的依据是（　　）
A．一组邻边相等的平行四边形是菱形
B．四边相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
【解答】解：由AB＝AC，将△ABC沿BC边翻折可得AB＝BD＝CD＝AC，所以根据“四边相等的四边形是菱形”可得四边形ABDC是菱形．
故选：B．
3．已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD交于点O，下列结论不正确的是（　　）
A．当AB＝BC时，它是菱形
B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．当∠BAO＝∠DAO时，它是菱形
D．当AC＝BD时，它是菱形
【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项A不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项B不符合题意；
C、如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAO＝∠BCA，
∵∠BAO＝∠DAO，
∴∠BAO＝∠BCA，
∴AB＝CB，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项D符合题意；
故选：D．
4．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝6，将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF，若四边形ECDF为菱形时，则a的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，CE∥FD，CD＝AB＝4，
∵将线段AB水平向右平得到线段EF，
∴AB∥EF∥CD，
∴四边形ECDF为平行四边形，
当CD＝CE＝4时， ECDF为菱形，
此时a＝BE＝BC﹣CE＝6﹣4＝2．
故选：B．
5．如图，在给定的平行四边形上，作一个菱形，甲、乙二人的做法如下：
甲：分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧，交AD于点M，交BC于点N，连接MN，则四边形ABNM为菱形；
乙：以A为圆心，AB长为半径画弧，交AD于点E，连接BE，作BE的垂直平分线交BC于点H，则四边形ABHE为菱形；
根据两人的做法可判断（　　）
A．甲正确，乙错误 B．乙正确，甲错误
C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误
【解答】解：甲：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
由作图可知，AM＝AB，BN＝AB，
∴AM＝BN，
∴四边形ABNM是平行四边形，
∵AM＝AB，
∴平行四边形ABNM为菱形，故甲的作法正确；
乙：如图，设AH交BE于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO＝∠BHO，
∵AH垂直平分BE，
∴BO＝EO，
又∵∠AOE＝∠HOB，
∴△AOE≌△HOB（ASA），
∴AE＝HB，
∴四边形ABHE为平行四边形，
又∵AE＝AB，
∴平行四边形ABHE为菱形，故乙的作法正确；
故选：C．
6．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形ABCD．测得A，B的距离为3，A，C的距离为2，则B，D的距离是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：过点A作AE⊥BC于E，AF⊥DC于F，连接AC，BD交于点O，
∵两张纸条宽度相同，
∴AE＝AF，
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵S ABCD＝BC AE＝CD AF，
∴BC＝CD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO＝AC＝1，BO＝DO，AC⊥BD，
∵AB＝3，
∴BO＝＝＝2，
∴BD＝2BO＝4，
故选：D．
7．如图，平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，点E是AB边上的中点，连接OE，OE＝2.5，AC＝8，BD＝6．有下列结论：①△ABD是等边三角形；② ABCD的周长是20；③ ABCD的BC边上的高是4.8；④ ABCD是菱形；⑤ ABCD的面积是48，其中正确的是（　　）
A．②③④ B．②④⑤ C．①②③④ D．②③④⑤
【解答】解：∵平行四边形ABCD，
∴OA＝OC，
∵E是AB的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴BC＝AD＝2OE＝5，
∵AC＝8，BD＝6，平行四边形ABCD，
∴OA＝4，OD＝3，
∵OA2+OD2＝32+42＝52＝AD2，
∴△AOD是直角三角形，
∴AC⊥BD，
∴ ABCD是菱形，④正确，
∴AB＝AD≠BD，
∴①错误，
∴ ABCD的周长是4AD＝5×4＝20，②正确，
∴ ABCD的面积＝AC BD＝×8×6＝24，⑤错误
∴ ABCD的面积＝BC×BC边的高＝24，
∴BC边的高＝＝4.8，③正确；
故②③④正确，
故选：A．
8．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，若AF＝6，则四边形AEDF的周长是（　　）
A．24 B．28 C．32 D．36
【解答】解：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF为平行四边形，∠EAD＝∠FDA．
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠FAD＝∠FDA，
∴FA＝FD，
∴平行四边形AEDF为菱形．
∵AF＝6，
∴C菱形AEDF＝4AF＝4×6＝24．
故选：A．
9．如图， ABCD的面积为12，AC＝BD＝6，AC与BD交于点O，分别过点C，D作BD，AC的平行线相交于点F，点G是CD的中点，点P是四边形OCFD边上的动点，则PG的最小值是（　　）
A．1 B． C． D．3
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，AC＝BD，
∴OD＝OC，
∵DF∥AC，OD∥CF，
∴四边形OCFD为菱形，
∵点G是CD的中点，点P是四边形OCFD边上的动点，
∴当GP垂直于菱形OCFD的一边时，PG有最小值．
过D点作DM⊥AC于M，过G点作GP⊥AC与P，则GP∥MD，
∵矩形ABCD的面积为12，AC＝6，
∴2×AC DM＝12，
即2××6 DM＝12，
解得DM＝2，
∵G为CD的中点，
∴GP为△DMC的中位线，
∴GP＝DM＝1，
故PG的最小值为1．
故选：A．
10．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB，交CB的延长线于G，连接GF，若AD⊥BD．下列结论：①DE∥BF；②四边形BEDF是菱形；③S△BFG＝S平行四边形ABCD；④FG⊥AB．其中正确的是（　　）
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④
【解答】解：①∵在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，
∴四边形DEBF为平行四边形，
∴DE∥BF，故①正确．
②由①知四边形DEBF为平行四边形，
∵AD⊥BD，E为边AB的中点，
∴DE＝BE＝AE，
∴四边形BEDF是菱形，故②正确．
④∵AG∥DB，AD∥BG，AD⊥BD，
∴AGBD为矩形，
∴AD＝BG＝BC，
要使FG⊥AB，则BF＝BC＝BG，
不能证明BF＝BC，即FG⊥AB不恒成立，
故④不正确．
③由④知BC＝BG，
∴，
∵F为CD中点，
∴，
∴，
故③正确．
综上可得：①②③正确．
故选：B．
二．填空题（共6小题）
11．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且互相垂直，添加一个条件能判定四边形ABCD为菱形．你添加的条件是 　AC、BD互相平分（答案不唯一）　．
【解答】解：根据“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”知，本题添加的条件可以是AC、BD互相平分．
AC、BD互相平分（答案不唯一）．
12．如图，剪两张对边平行的纸条，纸条宽度相等，随意交叉叠放在一起，转动其中的一张，重合的部分构成了一个四边形，这个四边形是 　菱形　．
【解答】解：过点D分别作DM⊥BC于点M，DN⊥AB于点N，
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAN＝∠DCM，
∵纸条宽度相等，
∴DN＝DM，
∴在△ADN和△CDM中，
，
∴△ADN≌△CDM（AAS），
∴AD＝DC，
∴平行四边形ABCD是菱形．
故答案为：菱形．
13．在平面直角坐标系中，已知A（0，0）、B（6，0），点C在第一象限，且AC＝BC＝6，若存在点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为 　（9，3）或（﹣3，3）或（3，﹣3）　．
【解答】解：∵A（0，0），B（6，0），
∴AB＝6，
∵点C在第一象限，且AC＝BC＝6，
∴AB＝AC＝BC＝6，
∴△ABC是等边三角形，
过点C作CE⊥AB于点E，
∴AE＝BE＝3，
∴CE＝AE＝3，
∴C（3，3），
当BC为菱形的对角线时，如图，
∵四边形ABDC为菱形，
∴CD＝AB＝6，AB∥CD，
∴CD+AE＝9，
∴D（9，3），
当AC为菱形的对角线时，
D′与C关于y轴对称，
∴D′（﹣3，3），
当AB为菱形的对角线时，
D′′与C关于x轴对称，
∴D′′（3，﹣3），
综上所述：点D的坐标为（9，3）或（﹣3，3）或（3，﹣3）．
故答案为：（9，3）或（﹣3，3）或（3，﹣3）．
14．如图，平行四边形ABCD中，AD＝9cm，，∠B＝45°，点M，N分别以A，C为起点，以1cm/秒的速度沿AD，CB边运动，设点M，N运动的时间为t秒（0≤t≤6），连接AN，CM，当t＝　　时，四边形AMCN为菱形；
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝3cm，
在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，∠B＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AE＝AB＝×3＝3（cm），
∵点M、N分别以A、C为起点，1cm/秒的速度沿AD、CB边运动，点M、N运动的时间为t秒（0≤t≤6），
∴AM＝CN＝t cm，
∵AM∥CN，
∴四边形AMCN为平行四边形，
∴当AN＝AM时，四边形AMCN为菱形，
∵BE＝AE＝3cm，EN＝（6﹣t）cm，
∴AN2＝32+（6﹣t）2，
∴32+（6﹣t）2＝t2，
解得：t＝，
∴当t＝时，四边形AMCN为菱形，
故答案为：．
15．如图，△ABC是边长为1的等边三角形，D，E为线段AC上两动点，且∠DBE＝30°，过点D，E分别作AB，BC的平行线相交于点F，分别交BC，AB于点H，G．现有以下结论：①S△ABC＝；②当点D与点C重合时，FH＝；③AE+CD＝DE；④当AE＝CD时，四边形BHFG为菱形．则其中正确的结论的序号是 　①②④　．
【解答】解：①过点A作AP⊥BC于点P，如图1：
∵△ABC是边长为1的等边三角形，AP⊥BC，
∴BP＝BC＝，
∴AP＝，
∴．故①正确；
②当点D与点C重合时，H，D，C三点重合，如图2：
∵∠DBE＝30°，∠ABC＝60°，
∴BE是∠ABC的平分线，
∵AB＝BC，
∴AE＝EC＝AC＝，
∵CF∥AB，
∴∠FCA＝∠A＝60°，
∵GF∥BC，
∴∠FEC＝∠ACB＝60°，
∴∠FCE＝∠FEC＝60°，
∴∠FCE＝∠FEC＝∠F＝60°，
∴△EFC为等边三角形，
∴FC＝EC＝，
即FH＝．故②正确；
③如图3，将△CBD绕点B逆时针旋转60°，得到△ABN，连接NE，过点N作NP⊥AC，交CA的延长线于P，
∴BD＝BN，CD＝AN，∠BAN＝∠C＝60°，∠CBD＝∠ABN，
∵∠DBE＝30°，
∴∠CBD+∠ABE＝30°＝∠ABE+∠ABN＝∠EBN，
∴∠EBN＝∠DBE＝30°，
又∵BD＝BN，BE＝BE，
∴△DBE≌△NBE（SAS），
∴DE＝NE，
∵∠NAP＝180°﹣∠BAC﹣∠NAB＝60°，
∴AP＝AN，NP＝AP＝AN＝CD，
∵NP2+PE2＝NE2，
∴CD2+（AE+CD）2＝DE2，
∴AE2+CD2+AE CD＝DE2，故③错误；
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°，
∵GF∥BH，BG∥HF，
∴四边形BHFG是平行四边形，
∵GF∥BH，BG∥HF，
∴∠AGE＝∠ABC＝60°，∠DHC＝∠ABC＝60°，
∴△AGE，△DCH都是等边三角形，
∴AG＝AE，CH＝CD，
∵AE＝CD，
∴AG＝CH，
∴BH＝BG，
∴ BHFG是菱形，故④正确，
故答案为：①②④．
16．已知A（0，3），B（6，0），点C是x轴正半轴上一点，D是同一平面内一点，若以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为 　（3，3）或（，3）　．
【解答】解：当AB为菱形的对角线时，如图1，设菱形的边长为m，
∵A（0，3），B（6，0），
∴OA＝3，OB＝6，
∵四边形ABCD为菱形，
∴CA＝AD＝BC，AD∥BC，
∴CA＝CB＝6﹣m，
在Rt△AOC中，32+（6﹣m）2＝m2，解得m＝，
∴D（，3）；
当AB为菱形的边时，如图2，
AB＝＝3，
∵四边形ABCD为菱形，
∴BC＝AB＝AD＝3，AD∥BC，
∴D（3，3），
综上所述，D点坐标为（3，3）或（，3），
故答案为：（3，3）或（，3）．
三．解答题（共7小题）
17．如图，AE∥BF，BD平分∠ABF，且交AE于点D，过点D作DC∥AB交BF于点C．求证：四边形ABCD是菱形．
【解答】证明：∵AE∥BF，DC∥AB，
∴四边形ABCD平行四边形，
∴∠ADB＝∠DBC，
∴BD平分∠ABF，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形．
18．如图，在 ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，EF，FA，若AE＝AF，CE＝CF．求证：四边形ABCD是菱形．
【解答】证明：∵AE＝AF，CE＝CF，
∴∠AEF＝∠AFE，∠CEF＝∠CFE，
∴∠AEF+∠CEF＝∠AFE+∠CFE，
∴∠AEC＝∠AFC，
∴∠AEB＝∠AFD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，
在△ABE与△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形．
19．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AD，E，F是对角线BD上的点，且BE＝DF，连接AE，CF，AF，CE．求证：四边形AFCE是菱形．
【解答】证明：如图，设AC交BD于点O，
∵AB＝AD，四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，
∵BE＝DF，
∴OB﹣BE＝OD﹣DF，
即EO＝FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴平行四边形AFCE是菱形．
20．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC，AF与CE的延长线相交于点F，连接BF．
（1）求证：四边形AFBD是平行四边形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是菱形？请说明理由．
【解答】（1）证明：∵E为AD的中点，D为BC中点，
∴AE＝DE，BD＝CD，
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE，
在△AFE和△DCE中，
，
∴△AFE≌△DCE（AAS），
∴AF＝CD，
∴AF＝BD，
∵AF∥BD
∴四边形AFBD为平行四边形；
（2）解：当△ABC满足条件∠BAC＝90°时，四边形AFBD是菱形，理由为：
∵E为AD的中点，D为BC中点，
∴AE＝DE，BD＝CD，
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE，
在△AFE和△DCE中，
，
∴△AFE≌△DCE（AAS），
∴AF＝CD，
∴AF＝BD，
∵AF∥BD
∴四边形AFBD为平行四边形；
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴AD＝＝BD，
∵四边形AFBD为平行四边形，AD＝BD；
∴四边形AFBD为菱形．
21．如图，△ABC中，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，F是AD的中点，FG⊥BC于点G，与DE交于点H，若FG＝AF，AG平分∠CAB，连接GE，GD．
（1）求证：△ECG≌△GHD；
（2）当∠B为多少度时，四边形AEGF为菱形，请说明理由．
【解答】（1）证明：∵AF＝FG，
∴∠FAG＝∠FGA，
∵AG 平分∠CAB，
∴∠CAG＝∠FAG，
∴∠CAG＝∠FGA，
∴AC∥FG，
∵DE⊥AC，
∴FG⊥DE，
∵FG⊥BC，
∴DE∥BC，
∴AC⊥BC，∠CGE＝∠GED，
∴∠C＝90°，
∵F是AD的中点，FG∥AE，
∴FH是△ADE的中位线，
∴H是ED的中点
∴FG是线段ED的垂直平分线，
∴GE＝GD，∠DHG＝90°，
∴∠GDE＝∠GED，
∴∠CGE＝∠GDE，
在△ECG和△GHD中，
，
∴△ECG≌△GHD（AAS）；
（2）解：当∠B为30°，四边形AEGF为菱形，理由如下：
由（1）得：DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B＝30°，
∴AE＝AD，
∴AE＝AF＝FG，
由（1）得：AE∥FG，
∴四边形AEGF是平行四边形，
∵AE＝AF，
∴四边形AEGF是菱形．
22．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°，AD＝12cm，AB＝18cm，CD＝23cm，动点P从点A出发，以1cm/s的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿折线B﹣C﹣D向终点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．
（1）用含t的式子表示PB．
（2）当t为何值时，直线PQ把四边形ABCD分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？
（3）只改变点Q的运动速度，使运动过程中某一时刻四边形PBCQ为菱形，则点Q的运动速度应为多少？
【解答】解：（1）由于P从A点以1cm/s向B点运动，
∴t s时，AP＝t×1＝t cm，
∵AB＝18 cm，
∴BP＝AB﹣AP＝（18﹣t）cm；
（2）过B点作BN⊥CD于N点，∵AB∥CD，∠ADC＝90°，
∴四边形ACNB是矩形，
∴BN＝AD＝12 cm，AD＝DN＝18 cm，
∵CD＝23 cm，∴CN＝CD﹣CN＝5 cm，
∴Rt△BNC中，根据勾股定理可得：
BC＝＝＝13 cm，
则Q在BC上运动时间为13÷2＝6.5s，
∵BC+CD＝23+13＝36 cm，
∴Q运动时间最长为36÷2＝18 s，
∴6.5 s≤t≤18 s时，Q在CD边上，
此时，直线PQ把四边形ABCD分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形，分两种情况：
①四边形PQCB是平行四边形，如图所示：
∵AB∥CD即PB∥CQ，
∴只需PB＝CQ即可，由（1）知：PB＝（18﹣t）cm，
∵Q以2cm/s沿沿折线B﹣C﹣D向终点D运动，
∴运动时间为t s时，CQ＝2 t﹣BC＝（2 t﹣13）cm，
∴18﹣t＝2 t﹣13，
解得：t＝ s；
②四边形ADQP是平行四边形，如图所示：
同理∵AP∥DQ，
∴只需AP＝DQ，四边形ADQP是平行四边形，
由（1）知：AP＝t cm，
点DQ＝CD+CB﹣2 t＝（36﹣2t）cm，
∴36﹣2t＝t，
解得：t＝12 s，
综上所述：当t＝ s或12 s时，
直线PQ把四边形ABCD分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形；
（3）设Q的速度为x cm/s，由（2）可知：Q在CD边上，此时四边形PBCQ可为菱形，
∵PB∥CQ，∴只需满足PB＝BC＝CQ即可，
由（1）知：PB＝（18﹣t）cm，
由（2）知：CQ＝（xt﹣13）cm，BC＝1 cm，
∴18﹣t＝13，xt﹣13＝13，
解得：t＝5 s，x＝5.2 cm/s，
∴当Q点的速度为5.2 cm/s时，四边形PBCQ为菱形．
23．已知：如图1，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠DCB，四边形ABFD是平行四边形，DF交BC于点E，连接AE、CF，CF＝BF．
（1）求证：△ADE≌△FCD；
（2）如图2，连接DB交AE于点G，连接CG，若AG＝DC．求证：四边形BFCG是菱形．
【解答】证明：（1）∵四边形ABFD是平行四边形，
∴DF∥AB，DA＝BF，
∴∠DEC＝∠ABC，
∵CF＝BF，∠ABC＝∠DCB，
∴DA＝CF，∠DEC＝∠DCB，
∴DE＝CD，
∵∠ABC＝∠DCB，∠FBC＝∠FCB，
∴∠ABC+∠FBC＝∠DCB+∠FCB，
∴∠ABF＝∠DCF，
∵∠ABF＝∠EDA，
∴∠EDA＝∠DCF，
在△ADE和△FCD中，
，
∴△ADE≌△FCD（SAS）．
（2）∵△ADE≌△FCD，
∴∠AED＝∠FDC，
∴AG∥DC，
∵AG＝DC，
∴四边形AGCD是平行四边形，
∴CG∥DA，CG＝DA，
∵BF∥DA，BF＝DA，
∴CG∥BF，CG＝BF，
∴四边形BFCG是平行四边形，
∴CF＝BF，
∴四边形BFCG是菱形．
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