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5.1统计同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知由小到大排列的个数据、、、，若这个数据的极差是它们中位数的倍，则这个数据的第百分位数是（ ）
A． B．6 C． D．4
2．小李一周的总开支分布如图（1）所示，其中一周的食品开支如图（2）所示，则以下判断错误的是（ ）

A．小李这一周用于肉蛋奶的支出高于用于娱乐的支出
B．小李这一周用于食品中其他类的支出在总支出中是最少的
C．小李这一周用于主食的支出比用于通信的支出高
D．小李这一周用于主食和蔬菜的总支出比日常支出高
3．甲 乙 丙 丁四名运动员参加射击项目选拔赛，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）和方差如下表所示：
甲 乙 丙 丁
8.2 9.5 9.9 7.7
0.16 0.65 0.09 0.41
根据表中数据，若从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，最合适的人是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4．为了积极推进国家乡村振兴战略，某示范村不断自主创新，拓宽村民增收渠道，近年来取得了显著成效．据悉该村2023年经济总收入是2022年的2倍，为了更好地了解该村经济收入变化情况，统计了该村两年的经济收入构成比例，得到如图所示的条形图和饼图．则以下说法错误的是（ ）
A．2023年“种植收入”和2022年“种植收入”一样多
B．2023 年“养殖收入”与“第三产业收入”之和比2022年的全年总收入还多
C．2023年“外出务工收入”是2022年“外出务工收入”的
D．2023年“其他收入”比2022年“其他收入”的2倍还多
5．采购经理指数（PMI），是国际上通用的监测宏观经济走势的先行性指数之一，具有较强的预测、预警作用．PMI高于50％时，反映经济总体较上月扩张；低于50％，则反映经济总体较上月收缩．根据2022年6月至2023年9月PMI．绘制出如下折线图．
根据该折线图，下列结论正确的是（ ）．
A．2022年6月至2023年9月各月的PMI的中位数大于50
B．2022年第四季度各月的PMI的方差小于2023年第一季度各月的PMI的方差
C．2023年第1季度各月经济总体较上月扩张
D．2023年第3季度各月经济总体较上月扩张
6．如图所示为某企业员工年龄（岁）的频率分布直方图，从左到右依次为第一组 第二组、……、第五组，若第五组的员工有80人，则第二组的员工人数为（ ）
A．140 B．240 C．280 D．320
7．已知一样本数据（如茎叶图所示）的中位数为12，若x，y均小于4，则该样本的方差最小时，x，y的值分别为（ ）
A．1，3 B．11，13 C．2，2 D．12，12
8．高三某班学生每天完成作业所需的时间的频率分布直方图如图，为响应国家减负政策，若每天作业布置量在此基础上减少小时，则减负后完成作业的时间的说法中正确的是（ ）
A．减负后完成作业的时间的标准差减少
B．减负后完成作业的时间的方差减少
C．减负后完成作业的时间在小时以上的概率大于
D．减负后完成作业的时间的中位数在至之间
二、多选题
9．一组实数满足，则（ ）
A．这组数的分位数是
B．，，，，的极差不超过，，，，，，的极差
C．，，，，的均值不超过，，，，，，的均值
D．，，，，的标准差不超过，，，，，，的标准差
10．某科技攻关青年团队有人，他们年龄分布的茎叶图如图所示，已知这人年龄的极差为，则（ ）
A． B．人年龄的平均数为
C．人年龄的分位数为 D．人年龄的方差为
11．我国于2015年10月宣布实施普遍二孩政策，为了解户籍、性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄群体中随机抽取了容量为200的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各100人；男性120人，女性80人，绘制的不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图如图所示，其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则下列叙述正确的是（ ）
A．是否倾向选择生育二胎与户籍有关
B．是否倾向选择生育二胎与性别无关
C．调查样本中倾向选择生育二胎的群体中，男性人数与女性人数相同
D．倾向选择不生育二胎的群体中，农村户籍人数多于城镇户籍人数
12．在某市高三年级举行的一次模拟考试中，某学科共有20000人参加考试.为了了解本次考试学生成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）作为样本进行统计，样本容量为，按照的分组作出频率分布直方图如图所示，其中，成绩落在区间内的人数为16.则下列结论正确的是（ ）
A．图中
B．样本容量
C．估计该市全体学生成绩的平均分为71.6分
D．该市要对成绩前的学生授予“优秀学生”称号，则授予“优秀学生”称号的学生考试成绩大约至少为77.25分
三、填空题
13．已知a，b，c是正整数，且，，，当a，b，c方差最小时，写出满足条件的一组a，b，c的值 ．
14．某班成立了两个数学兴趣小组，组人，组人，经过一周的补习后进行了一次测试，在该测试中，组的平均成绩为分，方差为，组的平均成绩为分，方差为．则在这次测试中全班学生方差为 ．
15．7个相异自然数的平均数为12，中位数为18，这7个自然数中最大的数最大可能是 ．
16．某直播间从参与购物的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组，得到的频率分布直方图如图所示，则在这200人中年龄在的人数 ，直方图中 .
四、解答题
17．某工厂生产某种电子产品配件，关键环节是需要焊接“接线盒”，焊接是否成功直接导致产品“合格”与“不合格”，公司检验组经过大量后期出厂检测发现“不合格”产品和“合格”产品的性能指标有明显差异，得到如下的“不合格”产品和“合格”产品该指标的频率分布直方图：

利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值，将该指标大于的产品判定为“不合格”，小于或等于的产品判定为“合格”．此检测标准的漏检率是将“不合格”产品判定为“合格”产品的概率，记为；错检率是将“合格”产品判定为“不合格”产品的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
(1)当漏检率时，求临界值和错检率；
(2)设函数，当时，求的解析式，并求在区间的最小值．
18．某校为了解该校高三年级学生的物理成绩，从某次高三年级物理测试中随机抽取名男生和名女生的测试试卷，记录其物理成绩（单位：分），得到如下数据：
名男生的物理成绩分别为、、、、、、、、、、、；
名女生的物理成绩分别为、、、、、、、.
(1)求这名男生物理成绩的平均分与方差；
(2)经计算得这名女生物理成绩的平均分，方差，求这名学生物理成绩的平均分与方差.
附：分层随机抽样的方差公式：，表示第层所占的比例.
19．某新能源汽车配件厂生产一种新能源汽车精密零件，为提高产品质量引入了一套新生产线，为检验新生产线所生产出来的零件质量有无显著提高，现同时用旧生产线和新生产线各生产了10个零件，得到各个零件的质量指标的数据如下：
旧生产线 5.2 4.8 4.8 5.0 5.0 5.2 5.1 4.8 5.1 5.0
新生产线 5.0 5.2 5.3 5.1 5.4 5.2 5.2 5.3 5.2 5.1
设旧生产线和新生产线所生产零件的质量指标的样本平均数分别为和，样本方差分别为和．
(1)求，及；
(2)若，则认为新生产线生产零件的质量有显著提高，否则不认为有显著提高，现计算得，试判断新生产线生产的零件质量较旧生产线生产的零件质量是否有显著提高.
20．为了了解学生躯干、腰、髋等部位关节韧带和肌肉的伸展性、弹性等，某学校对在校1500名学生进行了一次坐位体前屈测试，采用按学生性别比例分配的分层随机抽样抽取75人，已知这1500名学生中男生有900人，且抽取的样本中男生的平均数和方差分别为和13.36，女生的平均数和方差分别为和17.56．
(1)求样本中男生和女生应分别抽取多少人；
(2)求抽取的总样本的平均数，并估计全体学生的坐位体前屈成绩的方差．
（参考公式：总体分为2层，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：．记总样本的平均数为，样本方差为，则．
21．一般地，元有序实数对称为维向量.对于两个维向量，定义：两点间距离，利用维向量的运算可以解决许多统计学问题.其中，依据“距离”分类是一种常用的分类方法：计算向量与每个标准点的距离，与哪个标准点的距离最近就归为哪类.某公司对应聘员工的不同方面能力进行测试，得到业务能力分值 管理能力分值 计算机能力分值 沟通能力分值（分值代表要求度，1分最低，5分最高）并形成测试报告.不同岗位的具体要求见下表：
岗位 业务能力分值 管理能力分值 计算机能力分值 沟通能力分值 合计分值
会计（1） 2 1 5 4 12
业务员（2） 5 2 3 5 15
后勤（3） 2 3 5 3 13
管理员（4） 4 5 4 4 17
对应聘者的能力报告进行四维距离计算，可得到其最适合的岗位.设四种能力分值分别对应四维向量的四个坐标.
(1)将这四个岗位合计分值从小到大排列得到一组数据，直接写出这组数据的第三四分位数；
(2)小刚与小明到该公司应聘，已知：只有四个岗位的拟合距离的平方均小于20的应聘者才能被招录.
（i）小刚测试报告上的四种能力分值为，将这组数据看成四维向量中的一个点，将四种职业的分值要求看成样本点，分析小刚最适合哪个岗位；
（ii）小明已经被该公司招录，其测试报告经公司计算得到四种职业的推荐率分别为，试求小明的各项能力分值.
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．A
【分析】
根据极差和中位数概念得到关于的方程，再利用百分位数的概念即可.
【详解】
由小到大排列的个数据、、、，则，
这四个数为极差为，中位数为，
因为这个数据极差是它们中位数的倍，则，解得，
所以，这四个数由小到大依次为、、、，
因为，故这个数据的第百分位数是.
故选：A.
2．D
【分析】
条形图各支出占食品支出的比例乘以即是条形图各支出占总支出的比例，由此关系即可逐一判断每一个选项.
【详解】对于A，肉蛋奶的支出占食品开支的，
从而小李这一周用于肉蛋奶的支出占比（总开支是单位1）与用于娱乐的支出占比（总开支是单位1）大小关系为，故A描述正确，不符合题意；
对于B，小李这一周用于食品中其他类的支出在总支出中占比为，
对比其他类型的支出占比可知，B描述正确，不符合题意；
对于C，小李这一周用于主食的支出占比（总开支是单位1）与通信的支出占比（总开支是单位1）的大小关系为，
，故C描述正确，不符合题意；
对于D，小李这一周用于主食和蔬菜的总支出占比（总开支是单位1）与日常支出占比（总开支是单位1）的大小关系为，
，故D描述错误，符合题意.
故选：D.
3．C
【分析】
根据平均数和方差的意义分析求解.
【详解】由题意可知：丙的平均数最大且方差最小，
所以丙的总成绩最好且发挥最稳定，故最合适的人是丙.
故选：C.
4．C
【分析】设2022年总收入为m，则2023年总收入为，A选项，分别计算出2022年和2023年种植收入，得到A正确；B选项，计算出，B正确；C选项，分别计算出2022年和2023年外出务工收入，得到C错误；D选项，分别计算出2022年和2023年其他收入，得到D正确.
【详解】设2022年总收入为m，则2023年总收入为，
对于A，2022年种植收入为，2023年种植收入为，A正确；
对于B，2023年养殖收入和第三产业收入之和为，B正确；
对于C，2022年外出务工收入为，2023年外出务工收入为，
是2022年外出务工收入的，C不正确；
对于D，2022年其他收入为，2023年其他收入为，
由于，故2023年其他收入比2022年其他收入的2倍还多，D正确．
故选：C．
5．C
【分析】根据中位数定义判断A,根据数据波动情况判断B,利用扩张和收缩情况判断CD.
【详解】根据图表可知，共有10个月的PMI小于50，
所以各月的PMI的中位数小于50，A错误；
2022年第四季度各月的PMI比2023年第一季度各月PMI的波动大，
则方差也大，故B错误；
2023年第1季度各月PMI均大于50，则各月经济总体较上月扩张，C正确；同理D错误，
故选：C.
6．C
【分析】根据频率分布直方图的性质，求得的值，进一步计算即可 .
【详解】由已知得，
所以，因为第五组的员工人数为80，
所以第二组的员工人数为.
故选：C.
7．C
【分析】
由题意结合中位数可得，再求出平均数，再根据方差公式即可得解.
【详解】
因为x，y均小于4，由茎叶图可知，中位数为，
所以，样本的平均值为，
要使样本的方差最小，即使最小，
又，当且仅当“”时，等号成立，
所以x，y均为2.
故选：C．
8．D
【分析】
根据方差、标准差的性质判断A、B，由频率分布直方图分析减负前完成作业的时间在小时以上的概率，即可判断C，分析减负前完成作业的时间的中位数位于之间，即可判断D.
【详解】
依题意若每天作业布置量在此基础上减少小时，
则平均数减小小时，方差和标准差均不变，故A、B错误；
减负前完成作业的时间在小时以上的概率为，
所以减负后完成作业的时间在小时以上的概率为，故C错误；
由频率分布直方图可得，，
所以减负前完成作业的时间的中位数位于之间，
所以减负后完成作业的时间的中位数在至之间，故D正确.
故选：D
9．BD
【分析】
根据题意结合百分位数、均值、极差和标准差逐项分析判断.
【详解】依题意可知这组数据从小到大排列为，，，，，，，
由，所以这组数的分位数为第五位数，故A错误；
因为，，，，的极差为；，，，，，，的极差为；
且，则，故B正确；
例如1，4，4，4，4，4，5的平均数为，
4，4，4，4，4的平均数为，
且，即，，，，的均值可能会超过，，，，，，的均值，故C错误；
因为，分别为数据中的最小值，最大值，
剔除最大和最小值后，，，，，的波动性不超过，，，，，，的波动性，
所以，，，，的标准差不超过，，，，，，的标准差，故D正确．
故选：BD．
10．ACD
【分析】
根据极差求出，从而求出平均数、方差，再根据百分位计算规则判断C.
【详解】因为这人年龄的极差为，即，解得，故A正确；
所以这人年龄分别为、、、、、，
则人年龄的平均数为，故B错误；
又，所以人年龄的分位数为从小到大排列的第个数，即，故C正确；
又人年龄的方差，故D正确.
故选：ACD
11．AB
【分析】根据题中数据结合比例图逐项分析判断.
【详解】由不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图，知：
在A中，城镇户籍倾向选择生育二胎的比例为，农村户籍倾向选择生育二胎的比例为，
所以是否倾向选择生育二胎与户籍有关，故A正确；
在B中，男性倾向选择生育二胎的比例为，女性倾向选择生育二胎的比例为，
所以是否倾向选择生育二胎与性别无关，故B正确；
在C中，男性倾向选择生育二胎的比例为，人数为人，
女性倾向选择生育二胎的比例为，人数为人，
所以倾向选择生育二胎的人员中，男性人数与女性人数不相同，故C错误；
在D中，倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数为人，
城镇户籍人数为人，
所以倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数，故D错误.
故选：AB.
12．AD
【分析】根据频率之和等于1，即可判断A；根据频率，频数和样本容量之间的关系即可判断B；根据频率分布直方图平均数的求解方法即可判断C；根据题意算出分位数，再根据频率分布直方图的性质，即可判断D．
【详解】对于A，因为，解得，故A正确；
对于B，因为成绩落在区间,内的人数为16，所以样本容量，故B不正确；
对于C，学生成绩平均分为，故C不正确；
对于D，设授予“优秀学生”称号的学生考试成绩大约至少为，
由于的频率为，的频率为，的频率为，
则，所以，
则，解得，
所以大约成绩至少为 77.25 的学生能得到此称号，故D正确．
故选：AD．
13．或（其中一组即可）
【分析】
根据方差定义计算方差，再由方差最小，确定后转化为关于的二次函数，利用二次函数求最小值即可得解.
【详解】
设，
则
，
要使方差最小，三个数据应尽量靠近，故，，
则，
关于的二次函数的对称轴为，又且为正整数，
所以当或时，方差最小，最小值为.
故满足条件的为或.
故答案为：或（其中一组即可）
14．
【分析】利用各层方差与总体方差之间的关系式可求全班学生方差.
【详解】依题意，，，，
∴（分），
∴全班学生的平均成绩为分．
全班学生成绩的方差为
故答案为：
15．24
【分析】根据平均数和中位数的概念计算即可.
【详解】设这7个自然数从小到大排列依次为，，，，，，，
则，，
当这7个自然数中最大的一个的可能值最大时，
其他5个自然数必取最小的可能值，，，，，，
此时，则．
故答案为：24.
16．
【分析】利用频率分布直方图求出年龄在的频率即可求出；由各小矩形面积和为1求出.
【详解】由频率分布直方图知，年龄在的频率为，
所以；
由于，所以.
故答案为：30；0.035
17．(1)；
(2)；
【分析】（1）根据题意结合频率分布直方图求得，进而可求容错率；
（2）分、两种情况，根据题意求，即可得的解析式，并根据解析式求最值.
【详解】（1）由题意可知：第一个图中第一个矩形面积为，可知，
可得，解得，
所以错检率.
（2）当时，则，
，
可得；
当时，则，
，
可得；
所以，
当且仅当时，取到最小值.
18．(1)，
(2)，
【分析】（1）利用平均数和方差公式可求得、的值；
（2）利用分层抽样的平均数和方差公式可求得和的值.
【详解】（1）解：这名男生物理成绩的平均分为，
方差为.
（2）解：这名学生物理成绩的平均分为，
方差为
.
19．(1)5.0，5.2，0.012
(2)有显著提高
【分析】（1）根据平均数以及方差的计算公式，即可求得答案；
（2）分别计算的值，比较大小，结合题意，即可得结论.
【详解】（1）由题意得，
，
；
（2）由（1）可得，
，
因为，所以，
故新生产线生产的零件质量较旧生产线生产的零件质量有显著提高.
20．(1)45；30
(2)平均数；方差16
【分析】（1）根据分层抽样的概念即可求解；
（2）利用参考公式求抽取的总样本的平均数和方差，从而估计总体的方差.
【详解】（1）总体容量1500，样本容量75，则抽样比为，
所以样本中男生数量，女生数量.
（2）抽取的样本中男生的平均数，方差，
抽取的样本中女生的平均数，方差，
所以总体样本的平均数为，
总体样本的方差
.
所以估计高三年级全体学生的坐位体前屈成绩的方差为16.
21．(1)
(2)（i）小刚最适合业务员岗位；（ii）小明业务能力分值、管理能力分值、计算机能力分值、沟通能力分值分别为
【分析】（1）将合计分值从小到大排列，再利用百分位数的求法，即可求出结果；
（2）（i）根据条件，先求出各个岗位的样本点，再根据题设定义即可求出结果；（ii）先根据条件得到的相关方程组，利用，，得到，再根据题设列出方程，利用，得出，再对三种情况分析讨论，即可求出结果.
【详解】（1）将四个岗位合计分值从小到大排列得到数据，
又，所以这组数据的第三四分位数为.
（2）（i）由图表知，会计岗位的样本点为，则，
业务员岗位的样本点为，则，
后勤岗位的样本点为，则，
管理员岗位的样本点为，则，
所以，故小刚最适合业务员岗位.
（ii）四种职业的推荐率分别为，且，
所以，得到，
又均小于20，所以，且，
故可得到，
设小明业务能力分值、管理能力分值、计算机能力分值、沟通能力分值分别为，且，，
依题有①，
②，
③，
④，
由①③得，
，
整理得：，
故有三组正整数解，
对于第一组解，代入④式有，不成立；
对于第二组解，代入①式有，
解得或，代入②④式均不成立；
对于第三组解，代入②式有，
解得，代入①②③④均成立，故；
故小明业务能力分值、管理能力分值、计算机能力分值、沟通能力分值分别为.
【点睛】关键点点晴：本题第（2）问的（ii）问的解决关键在于，根据题设定义列出的相关方程组，分析得，进而选择合适的式子得到，从而分析得解.
答案第1页，共2页
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