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2023～2024学年度泉州市初中教学质量监测（一）
初三数学
2024.03
（本卷共25题：满分：150分；考试时间：120分钟）
友情提示：所有答案必须填写到答题卡相应的位置上。
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．（ ）
A． B． C．6 D．8
2．已知实数a，b满足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．据统计，2024年元旦假期，某市推出多项文旅活动，共接待游客204.58万人次，实现旅游收入14.12亿元．将数据1412000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．从“1，2，3，4，x”这组数据中任选一个数，选中奇数的概率为，则x可以是（ ）
A．0 B．2 C．4 D．5
5．右图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
6．对于非零实数a，下列运算一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．已知一次函数，函数值y随自变量x的增大而减小，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，点C是弦AB的中点，连接OA，OC，若，则（ ）
A．37° B．53° C．54° D．63°
9．现代办公纸张通常以A0，Al，A2，A3，A4等标记来表示纸张的幅面规格，一张A2纸可裁成2张A3纸或4张A4纸．现计划将100张A2纸裁成A3纸和A4纸，两者共计300张，设可裁成A3纸x张，A4纸y张，根据题意，可列方程组（ ）
A． B． C． D．
10．在平面直角坐标系中，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，线段AB与x轴交于点C．若，的面积为5，则k的值为（ ）
A． B． C． D．6
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．比较大小：______．（填“＞”、“＝”或“＜”）
12．在中，，，点D为AC的中点，则BD的长为______．
13．某校计划开展球类课外活动，有篮球、足球、羽毛球、排球四种项目供学生选择，每位学生只选一个项目．现根据学生的选择情况绘制成如图所示的统计图，若选择篮球项目的学生有240人，则选择排球项目的学生有______人．
14．东西塔是泉州古城的标志性建筑之一．如图，某课外兴趣小组在距离西塔塔底A点50米的C处，用测角仪测得塔顶部B的仰角为42°，则可估算出西塔AB的高度为______米．
（结果保留整数，参考数据：，，）．
15．若实数x满足，则的值为______．
16．己知正六边形的一条对称轴与抛物线的对称轴重合，且该正六边形至少有三个顶点落在抛物线的图象上，则该正六边形的边长可以为______．（写出符合要求的一个答案即可）
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（8分）
计算：．
18．（8分）
解不等式组：
19．（8分）
如图，在矩形ABCD中，点E，F在BC上，且，连接AE，DF．
求证：．
20．（8分）
先化简，再求值：，其中．
21．（8分）
如图，在中，．
（1）在线段BC上作点P，使得点P到AB的距离与点P到AC的距离相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，若，求证：．
22．（10分）
有甲、乙两个不透明袋子，甲袋装有三个小球，分别标有数字1，2，4，乙袋装有两个小球，分别标有数字2，3，这些小球除数字不同外其余都相同．
（1）从甲袋任意摸出一个小球，求“恰好摸到数字为1的小球”的概率；
（2）现制定游戏规则如下：游戏者先选定一个袋子摸出一个小球，再从另一个袋子摸出一个小球，若第一个袋子摸出小球的数字小于第二个袋子摸出小球的数字，则该游戏者可获得一份奖品．为了使获奖的可能性更大，游戏者应先选定从哪个袋子摸球？说明你的理由．
23．（10分）
某校组织九年级学生，以“运用函数知识探究铜锌混合物中的铜含量”为主题，开展跨学科主题学习活动．已知常温下，铜与稀盐酸不会发生反应，锌与稀盐酸发生反应后不生成固体难溶物．小明按实验操作规程，在放有10g铜锌混合物样品（不含其它杂质）的烧杯中，逐次加入等量等溶度的20g稀盐酸，每次加入前，测出与记录前次加入并充分反应后剩余固体的质量，直到发现剩余固体的质量不变时停止加入．记录的数据如下表所示，然后小明通过建立函数模型来研究该问题，研究过程如下：
（ⅰ）收集数据：
加入稀盐酸的累计总量x（单位：g） 0 20 40 60 80 100
充分反应后剩余固体的质量y（单位：g） 10 8.7 7.8 6.1 4.5 3.5
（ⅱ）建立模型：在如图的平面直角坐标系中，描出这些数值所对应的点．发现这些点大致位于同一个函数的图象上，且这一个函数的类型最有可能是______；（填“一次函数”、“反比例函数”或“二次函数”）
（ⅲ）求解模型：为使得所描的点尽可能多地落在该函数图象上，根据过程（ⅱ）所选的函数类型，求出该函数的表达式；
（ⅳ）解决问题：根据剩余固体的质量不再变化时，所加稀盐酸的总量求得样品中的铜含量．
阅读以上材料，回答下列问题：
（1）完成小明的研究过程（ⅱ）（描点，并指出函数类型）；
（2）完成小明的研究过程（ⅲ）；
（3）设在研究过程（ⅳ）中，发现最后剩余固体的质量保持2.2g不再变化，请你根据前述求得的函数表达式，计算加入稀盐酸的总量至少为多少时，剩余固体均为铜．
24．（12分）
已知抛物线经过，两点．
（1）求抛物线所对应的函数表达式；
（2）直线l：（k、t是常数，）与抛物线有且只有一个公共点．
①求直线l所对应的函数表达式；
②将直线l向下平移2个单位得到直线，过点A的直线m：与抛物线的另一个交点为D（异于点B），过点B的直线n：与抛物线的另一交点为E（异于点A），当直线m，n的交点P在定直线上时，试探究直线DE是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标：若不过定点，请说明理由．
25．（14分）
在中，，，点E在内部，以AE为斜边作等腰直角三角形ADE，使得点D，E在AC的异侧，连接BD交AC于点M，点G在MC上，且满足．
（1）如图1，求证：；
（2）当点E是BD的中点时，连接BG，如图2，求的值；
（3）连接EC，延长DG交EC于点F，如图3，求证：点F是EC的中点．
图1 图2 图3
2023-2024学年度泉州市初中教学质量监测（一）初三数学
解答题参考答案及评分标准
说明：
（一）考生的正确解法与“参考答案”不同时，可参照“参考答案及评分标准”酌情给分．
（二）如解答的某一步出现错误，这一错误没有改变后续部分的考查目的，可酌情给分，但原则上不超过后面应得的分数的二分之一；如属严重的概念性错误，就不给分．
（三）以下解答各行右端所注分数表示正确做完该步应得的累计分数．
一、选择题（共40分）1-5：ABCDD 6-10：ADBDA
二、填空题（共24分）
11．＜ 12．2 13．60 14．4.5 15．1/4 16．2或或（写出一个即给满分）
三、解答题（共86分）
17．（8分）
解：原式．
18．（8分）
解：解不等式①，得．解不等式②，得．所以不等式组的解为：．
19．（8分）
证明：∵四边形ABCD是矩形，∴，．
在和中，∵，∴．
20．（8分）
解：原式
当时，原式．
21．（8分）
解：
（1）如图所示，点P即为所求；
（2）∵，∴，
由（1）得，∴．
∵，∴，∴，即．
22．（10分）
解：（1）从甲袋任意摸出一个小球，标有数字的所有可能结果为1，2，4，共3种等可能的结果，
恰好摸到数字为1的小球的结果只有1种，
所以P（恰好摸到数字为1的小球）；
（2）游戏者应先从甲袋摸球．理由如下：
（ⅰ）若先选定从甲袋摸球，画树状图如下：
共有6种等可能结果，其中“第一个袋子摸出小球的数字小于第二个袋子摸出小球的数字”的共有3种结果，
所以P（先选甲袋而获奖）．
（ⅱ）若先选定从乙袋摸球，画树状图如下：
共有6种等可能结果，其中“第一个袋子摸出小球的数字小于第二个袋子摸出小球的数字”的共有2种结果，
所以P（先选乙袋而获奖）．
因为，所以游戏者应先选定从甲袋摸球．
23．（10分）
解：（1）描点：这一个函数的类型最有可能是一次函数；
（2）设该函数表达式是，
将（0，10），（20，8.7）代入上式，得，解得．
所以，所求函数表达式是；
（3）根据题意，当剩余固体的质量保持2.2g不再变化时，剩余固体均为铜，
由（2）可得，当时，即，解得，
所以当加入稀盐酸的总量至少为120g时，剩余固体均为铜．
24．（12分）
解：（1）将，代入，得．解得．
所以抛物线所对应的函数表达式为．
（2）①将代入，得，所以，
将代入直线l：，得，所以，即直线l：．
联立，得，
因为直线l：与抛物线有且只有一个公共点，
所以方程的两个实数根相等，所以，解得，
所以直线l所对应的函数表达式为；
②因为直线l：向下平移2个单位得到直线，
所以直线所对应的函数表达式为．
联立，得，解得或，
所以点，其中．
联立，得，解得或2，所以点，其中．
联立，解得，所以点，
又因为点P在直线：上，
所以，整理得．
设直线DE所对应的函数表达式是，
将，代入上式，得，解得，
所以直线DE所对应的函数表达式是．
又因为，所以当时，，所以直线DE过定点．
25．（14分）
解：（1）∵，，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴．
图1
（2）法一：设，
在中，，∴．
∵点E是BD的中点，∴，
∵，∴，
由（1）得，∴，∴，即，∴
过点G作交BD于点N，
∵，∴，∴，
∴在中，．
图2
法二：由（1）得，
∵，∴，
∴，即，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，
设，在中，，
∴，
∵点E是BD的中点，∴，
在中，，∴，
过点E作交AB于点H，
设，，
在中，，
在中，，
∴，解得，
∴，解得，
（或由等面积法，可得，解得）
∴在中，，
∴．
（3）法一：延长ED至点H，使得，连接AH，CH，
∵，∴，，∴，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，∴，
由（1）得，∴，∴，
又，∴，即点F是EC的中点．
法二：过点B作，延长DF交BN于点N，连接CN，
∴，∴，
∵，，∴，，
∵，，∴，∴，，
∵，∴．
设，∴，
∴，
∵，∴，
∵，，∴，∴，即点F是EC的中点．

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