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平面向量考点专项复习
一、本章知识点脉络
二、考纲要求
知识内容 认知要求 说　明
了解 理解 掌握
7.1平面向量的概念 √ （1）平面向量概念的引入要结合生活、生产的实例进行 （2）通过平面向量的教学，培养学生计算技能，数据处理技能和数学思维能力 （3）重点是平面向量的运算及其坐标表示
7.2平面向量的加、减、数乘运算 √
7.3平面向量的坐标表示 √
三、知识精讲
1.向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向.向量的大小就是向量的长度(或称模)，记作||.
(2)零向量：长度为0的向量，记作0.
(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量.
(4)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量.向量a，b平行，记作a∥b.规定：0与任一向量平行.
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量.
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量.
2.向量的线性运算
向量运算 定　义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 (1)交换律： a＋b＝b＋a. (2)结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法 求两个向量差的运算 a－b＝a＋(－b)
数乘 规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa (1)|λa|＝|λ||a|； (2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝λμa； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.
4.平面向量的坐标表示．
（1）在平面直角坐标中，分别取与轴，轴正半轴方向相同的两个单位向量作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数使，我们把有序实数对叫做向量的坐标，记作．
（2）向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有
向量向量点．
（3）设，，则，，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差．
若，为实数，则，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐标．
（4）设，，则=，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标．
5．平面向量的直角坐标运算
①已知点，，则，
②已知，，则，，
，．
，
四、考点演练
【考点1】平面向量的概念
1.下列说法正确的是（ ）
A．向量的模是正实数
B．共线向量一定是相等向量
C．方向相反的两个向量一定是共线向量
D．两个有共同起点且共线的向量终点也必相同
【答案】C
【解析】对于A，因为，不是正实数，故A错误；
对于B，共线向量是方向相同或相反的向量，但模的大小不确定，故B错误；
对于C，共线向量是方向相同或相反的向量，故方向相反的两个向量一定是共线向量，故C正确；
对于D，两个有共同起点且共线的向量方向相同或相反，长度也不一定相同，故终点不一定相同，故D错误．
故选：C．
2.下列说法正确的是（ ）
A．单位向量都相等
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】C
【解析】对于A，单位向量的模长都相等，但方向不一定相同，所以选项A错误；
对于B，若，说明两个向量的模长相等，但方向不一定相同或相反，所以两向量不一定共线，所以选项B错误；
对于C，向量的相等条件为方向相同且模长相等，所以，则，所以选项C正确；
对于D，此时若，但两向量的方向不同，满足，但与选项D题干矛盾，所以选项D错误.
故选：C.
3.下列命题正确的是（ ）
A．零向量没有方向 B．若，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】C
【解析】对于A项：零向量的方向是任意的并不是没有方向，故A项错误；
对于B项：因为向量的模相等，但向量不一定相等，故B项错误；
对于C项：因为，，所以可得：，故C项正确；
对于D项：若，则不共线的，也有，，故D项错误.
故选：C.
4.设点是正方形的中心，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．与共线
【答案】B
【解析】如图，

因为，方向相同，长度相等，故，故A正确；
因为，方向不同，故，故B错误；
因为，，三点共线，所以，故C正确；
因为，所以与共线，故D正确.
故选：B
5.下列各量中，向量有： ．（填写序号）
①浓度；②年龄；③风力；④面积；⑤位移；⑥加速度．
【答案】③⑤⑥
【解析】向量是有大小有方向的量，故符合的有：风力，位移，加速度.
故答案为：③⑤⑥.
6.如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始点和终点的向量中，与向量相等的向量有 个.

【答案】3
【解析】根据正六边形的性质和相等向量的定义知，与向量相等的向量有，，，共3个.
故答案为：3
7.在四边形中，，则这个四边形的形状是 .
【答案】平行四边形
【解析】由可知//，且，
注意到四边形中不共线，于是//，
结合可知，该四边形是平行四边形.
故答案为：平行四边形
【考点2】平面向量的加法、减法运算
8.下列等式中，正确的个数为（ ）
①；②；③；④.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】根据相反向量的概念可知，向量的相反向量的相反向量等于它本身，所以，故①正确；
因为任意向量加上零向量等于这个向量，所以，故②正确；
因为任意向量加上它的相反向量等于零向量，所以，故③正确；
因为任意向量减去一个向量等于加上这个向量的相反向量，并且任意向量加上零向量等于这个向量，,故④正确.
所以①②③④正确，则正确的个数为4.
故选：D.
9.在四边形ABCD中，，则（　 　）
A．ABCD一定是矩形 B．ABCD一定是菱形
C．ABCD一定是正方形 D．ABCD一定是平行四边形
【答案】D
【解析】对于同起点的向量的和一般通过作平行四边形得到，由可知，由A，B，C，D构成的四边形一定是平行四边形.
故选：D.
10.下列向量关系式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】，A选项错误；
，B选项错误；
，C选项错误；
由向量加法的运算法则，有，D选项正确.
故选：D.
11.向量 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由，故B正确.
故选：B.
12.在△ABC中，若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
.
故选：D.
13.在中，（ ）
A． B． C． D．0
【答案】A
【解析】.
故选：A.
14.如图．向量 等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】如图,设，
∴．
故选：A．
15.设P为平行四边形ABCD所在平面内一点，则① ；②；③中成立的序号为 ．
【答案】②
【解析】如图，
因为四边形为平行四边形，
所以连接对角线交于点，则为的中点，
根据向量的加法运算法则可得，
在中，,
在中，,
所以,
故答案为:②.
16.填空：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
【答案】
【解析】（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
故答案为：（1）；（2）；（3）；（4）.
17.化简 ．
【答案】
【解析】，
故答案为：
18.如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，且，试用向量表示向量.
【答案】
【解析】因为四边形ACDE是平行四边形，
所以，，
故.
19.如图，在平行四边形中，，，用、表示向量、.
【答案】，
【解析】依题意，.
【考点3】平面向量的数乘运算
20.如图，已知是的边上的中线，若，，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为是的边上的中线，
所以，所以
.
故选：C
21.等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据向量的运算法则，可得.
故选：B.
22.在中，在上，且在上，且．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
.【解析】因为，
所以，则．
因为，所以，则．
故选：C
23.若在三角形中，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】如图，
因为，，
所以，
所以，
故选：A
24.化简 .
【答案】
【解析】
故答案为：
25.已知点在线段上，且，若向量，则 .
【答案】
【解析】如图，由，可得，所以，即，
故答案为：
26.在中，点D，E满足，.若，则 .
【答案】/
【解析】在中，点D，E满足，，
则，
而不共线，又，因此，
所以.
故答案为：
27.化简下列各式：
(1)3；
(2)；
(3)2．
【答案】(1) (2) (3)
【解析】（1）；
（2）；
（3）.
28．（1）计算：
①；
②；
③．
（2）设向量，求．
【答案】（1）①；②；③；（2）．
【解析】
（1）①；
②；
③．
（2）.
【考点4】平面向量坐标运算
29.若，点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设，故，而，
故，故，故，
故选：A.
30.已知平行四边形的顶点，则顶点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设，由题意得，即，
即，解得，
故顶点D的坐标为.
故选：A
31.已知点，向量，则向量＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由已知，得到，
因为，所以
故选：A.
32.若向量，，，则可用向量，表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设，即，
则有，解得，则.
故选：A.
33.已知的顶点，，，则顶点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，，，由平行四边形可得，
设，则，
所以，即的坐标为.
故选：B.
34.已知点，且，则点的坐标是 ．
【答案】
【解析】如图，连接，

设为坐标原点，建立平面直角坐标系，，
整理得．
故答案为：
35.已知点，，，则 .
【答案】
【解析】根据已知可得：，，
因此可得：.
故答案为：
36.若，则向量 ，向量 .
【答案】
【解析】由①，②.
①+②，得;
①-②，得.
故答案为：，
37.在平面直角坐标系xOy中，向量的方向如图所示，且，，，分别计算出它们的坐标．
【答案】，，．
【解析】设，，，
则，，
，，
，，
因此，，．
38.在中，AC为一条对角线．若，，则的坐标是多少？
【答案】
【解析】
，，
，
.
39.先根据下列条件画图，观察并判断以A，B，C为顶点的三角形的形状，然后进行证明．
(1)已知，，；
(2)已知，，；
(3)已知，，．
【答案】(1)图见解析，直角三角形；
(2)图见解析，锐角三角形；
(3)图见解析，直角三角形.
【解析】（1）
如图所示，易知：，
显然，
即是直角三角形；
（2）
如图所示，易得：，
显然，故是锐角三角形；
（3）如图所示，易得：，
显然，即是直角三角形.

40．如图，已知的三个顶点为，求顶点D的坐标．

【答案】．
【解析】
因为，
所以点D的坐标是．平面向量考点专项复习
一、本章知识点脉络
二、考纲要求
知识内容 认知要求 说　明
了解 理解 掌握
7.1平面向量的概念 √ （1）平面向量概念的引入要结合生活、生产的实例进行 （2）通过平面向量的教学，培养学生计算技能，数据处理技能和数学思维能力 （3）重点是平面向量的运算及其坐标表示
7.2平面向量的加、减、数乘运算 √
7.3平面向量的坐标表示 √
三、知识精讲
1.向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向.向量的大小就是向量的长度(或称模)，记作||.
(2)零向量：长度为0的向量，记作0.
(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量.
(4)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量.向量a，b平行，记作a∥b.规定：0与任一向量平行.
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量.
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量.
2.向量的线性运算
向量运算 定　义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 (1)交换律： a＋b＝b＋a. (2)结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法 求两个向量差的运算 a－b＝a＋(－b)
数乘 规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa (1)|λa|＝|λ||a|； (2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝λμa； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.
4.平面向量的坐标表示．
（1）在平面直角坐标中，分别取与轴，轴正半轴方向相同的两个单位向量作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数使，我们把有序实数对叫做向量的坐标，记作．
（2）向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有
向量向量点．
（3）设，，则，，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差．
若，为实数，则，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐标．
（4）设，，则=，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标．
5．平面向量的直角坐标运算
①已知点，，则，
②已知，，则，，
，．
，
四、考点演练
【考点1】平面向量的概念
1.下列说法正确的是（ ）
A．向量的模是正实数
B．共线向量一定是相等向量
C．方向相反的两个向量一定是共线向量
D．两个有共同起点且共线的向量终点也必相同
2.下列说法正确的是（ ）
A．单位向量都相等
B．若，则
C．若，则
D．若，则
3.下列命题正确的是（ ）
A．零向量没有方向 B．若，则
C．若，，则 D．若，，则
4.设点是正方形的中心，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．与共线
5.下列各量中，向量有： ．（填写序号）
①浓度；②年龄；③风力；④面积；⑤位移；⑥加速度．
6.如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始点和终点的向量中，与向量相等的向量有 个.

7.在四边形中，，则这个四边形的形状是 .
【考点2】平面向量的加法、减法运算
8.下列等式中，正确的个数为（ ）
①；②；③；④.
A．1 B．2 C．3 D．4
9.在四边形ABCD中，，则（　 　）
A．ABCD一定是矩形 B．ABCD一定是菱形
C．ABCD一定是正方形 D．ABCD一定是平行四边形
10.下列向量关系式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11.向量 （ ）
A． B．
C． D．
12.在△ABC中，若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
13.在中，（ ）
A． B． C． D．0
14.如图．向量 等于（ ）
A． B．
C． D．
15.设P为平行四边形ABCD所在平面内一点，则① ；②；③中成立的序号为 ．
16.填空：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
17.化简 ．
18.如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，且，试用向量表示向量.
19.如图，在平行四边形中，，，用、表示向量、.
【考点3】平面向量的数乘运算
20.如图，已知是的边上的中线，若，，则等于（　　）
A． B． C． D．
21.等于（　　）
A． B． C． D．
22.在中，在上，且在上，且．若，则（ ）
A． B． C． D．
23.若在三角形中，，，则（ ）
A． B．
C． D．
24.化简 .
25.已知点在线段上，且，若向量，则 .
26.在中，点D，E满足，.若，则 .
27.化简下列各式：
(1)3；
(2)；
(3)2．
28．（1）计算：
①；
②；
③．
（2）设向量，求．
【考点4】平面向量坐标运算
29.若，点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
30.已知平行四边形的顶点，则顶点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
31.已知点，向量，则向量＝（ ）
A． B． C． D．
32.若向量，，，则可用向量，表示为（　　）
A． B．
C． D．
33.已知的顶点，，，则顶点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
34.已知点，且，则点的坐标是 ．
35.已知点，，，则 .
36.若，则向量 ，向量 .
37.在平面直角坐标系xOy中，向量的方向如图所示，且，，，分别计算出它们的坐标．
38.在中，AC为一条对角线．若，，则的坐标是多少？
39.先根据下列条件画图，观察并判断以A，B，C为顶点的三角形的形状，然后进行证明．
(1)已知，，；
(2)已知，，；
(3)已知，，．
40．如图，已知的三个顶点为，求顶点D的坐标．

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