资源简介

串讲 立体几何
知识网络
二、常考题型
三、知识梳理
1.平面的基本性质
（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．
（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
（4）推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．
（5）推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
（6）推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
2.空间直线的位置关系
（1）位置关系的分类
（2）异面直线所成的角
①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
②范围：.
3.空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
（1）空间中直线与平面的位置关系
位置关系 图形表示 符号表示 公共点
直线a在平面α内 a α 有无数个公共点
直线在平面外 直线a与平面α平行 a∥α 没有公共点
直线a与平面α斜交 a∩α＝A 有且只有一个公共点
直线a与平面α垂直 a⊥α
（2）空间中两个平面的位置关系
位置关系 图形表示 符号表示 公共点
两平面平行 α∥β 没有公共点
两平面相交 斜交 α∩β＝l 有一条公共直线
垂直 α⊥β且 α∩β＝a
4.空间中线面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行 线面平行”) ∵l∥a，a α，l α， ∴l∥α
性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行 线线平行”) ∵l∥α，l β， α∩β＝b， ∴l∥b
5.面面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行 面面平行”) ∵a∥β，b∥β， a∩b＝P， a α，b α， ∴α∥β
性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 ∵α∥β，α∩γ＝a， β∩γ＝b， ∴a∥b
6.直线与平面垂直
（1）定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直．
（2）判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．
（3）推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．
（4）直线和平面垂直的性质：
①垂直于同一个平面的两条直线平行．
②直线垂直于平面，则垂直于这个平面内的任一直线．
③垂直于同一条直线的两平面平行．
7.直线和平面所成的角
（1）平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角．
（2）当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时，规定直线和平面所成的角分别为90°和0°.
（3）直线和平面所成角的范围是0°≤θ≤90°.
8.二面角的有关概念
（1）二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．
（2）二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．
（3）二面角的范围是0°≤θ≤180°.
9.平面与平面垂直
（1）定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
（2）平面与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直
性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
四、常考题型探究
考点一 平面的基本性质
例1. 能确定一个平面的条件是（ ）
A．一个点和一条直线 B．空间三个点
C．无数个点 D．两条相交直线
【答案】D
【分析】利用平面的基本性质进行判定，注意考虑条件的各种不同情况.
【详解】当点在直线上时，一个点和一条直线不能确定一个平面，故A错误；
当空间三点在一条直线上时，不能确定一个平面，故B错误；
当无数个点都在一条直线上时，不能确定一个平面，故C错误；
两条相交直线确定一个平面，故D正确.
故选:D.
例2. 下列说法中正确的是（ ）
A．空间不同的三点确定一个平面
B．空间两两相交的三条直线确定一个平面
C．空间有三个角为直角的四边形一定是平面图形
D．和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内
【答案】D
【详解】因为
A. 空间不同的三点确定一个平面 ，错误．
B. 空间两两相交的三条直线确定一个平面，可以构成棱锥，错误
C. 空间有三个角为直角的四边形一定是平面图形，可以使三棱锥错误
D. 和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内，成立，故选D
【变式探究】下列命题一定正确的是（ ）
A．三点确定一个平面 B．依次首尾相接的四条线段必共面
C．直线与直线外一点确定一个平面 D．两条直线确定一个平面
【答案】C
【详解】A：不共线的三点确定一个平面，故错误；
B：空间四边形，不共面，故错误；
C：正确；
D：两条异面直线不能确定一个平面，故错误．
故选C．
考点二 空间中直线与直线的位置关系
例3. 如图，在正方体中，直线与的位置关系是（ ）

A．异面 B．平行 C．垂直且相交 D．相交
【答案】A
【分析】由异面直线的定义判断即可.
【详解】体对角线与面对角线不在同一个平面内，且不平行，
故体对角线与面对角线的位置关系一定是异面.
故选：A.
例4. 分别和两条异面直线相交的两条直线的位置关系是 ．
【答案】相交或异面
【分析】根据异面直线的定义可知与两条异面直线相交的两条直线不可能平行，可得到位置关系.
【详解】如下图所示：此时的位置关系为：相交
如下图所示：此时的位置关系为：异面
若平行，则与的四个交点，四点共面；此时共面，不符合异面直线的定义
综上所述：的位置关系为相交或异面
本题正确结果；相交或异面
【变式探究】如果异面直线a、b所成角为α，那么α的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据异面直线a、b所成角的定义及直线与直线夹角的定义，即可得到答案．
【详解】解：由异面直线所成角的定义可知：
过空间一点，分别作相应直线的平行线，两条相交直线所成的直角或锐角为异面直线所成的角
故两条异面直线所成的角的取值范围是
故答案为：.
考点三 异面直线所成角
例5. 已知正方体，直线与直线所成角的余弦值是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据线线平行得异面直线所成的角，即可由三角形边角关系求解.
【详解】由于,所以即为直线与直线所成的角或其补角，
不妨设正方体的棱长为，则，
所以,
故选：D
例6. 是边长为a正方体，与所成角的大小 ．
【答案】
【分析】在平面内作出的平行线，通过证明垂直关系即可求出两异面直线的夹角.
【详解】连接，因为且，所以四边形是平行四边形，
所以，因为是正方形，所以，
所以，即与成.
故答案为：
【变式探究】如图，已知长方体中，，，．

(1)BC和所成的角是多少度？
(2)和BC所成的角是多少度？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）确定是异面直线与所成的角，在中根据长度关系得到答案；
（2）确定是异面直线和BC所成的角，则得到答案.
【详解】（1）因为，所以是异面直线与所成的角，
在中，，，所以.
故异面直线和所成的角是.
（2）因为，则和BC所成的角即为，显然，
则和BC所成的角是.
考点四 直线与平面平行
例7. “直线与平面没有公共点”是“直线与平面平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】从充分性和必要性两方面来分析即可.
【详解】若直线与平面没有公共点，那直线与平面只能平行，故充分条件成立；
若直线与平面平行，则直线与平面没有公共点，故必要性也成立，
所以“直线与平面没有公共点”是“直线与平面平行”的充分必要条件.
故选：.
例8. 已知直线l、平面，“l与相交”是“l与至多有一个公共点”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【答案】A
【分析】根据空间中直线与平面的位置关系即可求解.
【详解】若l与相交，则l与只有一个公共点，故充分性成立，
若l与至多有一个公共点，则l与相交或者，故必要性不成立，
故“l与相交”是“l与至多有一个公共点”的充分非必要条件，
故选:A
【变式探究】空间中有平面和直线，，若，，则下列说法中一定错误的是（ ）
A．直线平行于平面 B．直线在平面内
C．直线与平面交于一点 D．直线和共面
【答案】C
【分析】根据线面平行及两直线平行得到与平面平行或直线在平面内，根据，可得直线和共面，从而判断出答案.
【详解】因为，所以与平面平行或直线在平面内，AB正确，C错误；
因为，所以直线和共面，D正确.
故选：C
考点五 直线与平面垂直
例9. 空间中有平面和直线，，若，，则下列说法中一定错误的是（ ）
A．直线平行于平面 B．直线在平面内
C．直线与平面交于一点 D．直线和共面
【答案】C
【分析】根据线面平行及两直线平行得到与平面平行或直线在平面内，根据，可得直线和共面，从而判断出答案.
【详解】因为，所以与平面平行或直线在平面内，AB正确，C错误；
因为，所以直线和共面，D正确.
故选：C
例10. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】由空间中线线，线面，面面间的位置关系判断即可.
【详解】A：，，则无法判断n与的位置关系，A为假命题；
B：，，则无法判断n与的位置关系，B为假命题；
C：，，则m∥n或m与n是异面直线，C为假命题；
D：，，则n⊥β，D为真命题.
故选：D.
【变式探究】一条直线与一个平面的位置关系有 .
【答案】直线在平面上，直线与平面相交，直线与平面平行
【分析】按照直线与平面公共点的个数可以对直线与平面的位置关系进行分类
【详解】一条直线与一个平面的位置关系有：直线在平面上，直线与平面相交，直线与平面平行
故答案为：直线在平面上，直线与平面相交，直线与平面平行
考点六 直线与平面所成角
例11. 如图在正四面体中，直线OA与平面OBC所成的角为，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作出辅助线，得到，设，求出各边长，求出答案.
【详解】设为底面三角形的中心，取中点，连接，
则⊥平面，且，，
设，则，故，
故，
由勾股定理得，
故.
故选：A
例12. 直线与平面所成角为，则与平面内任意直线所成角的取值范围是 .
【答案】
【分析】直线与平面所成的角是直线与平面内任意一条直线所成角中最小的角，结合直线与平面所成角的范围为即可得.
【详解】直线与平面所成的角是直线与平面内任意一条直线所成角中最小的角，
且直线与平面所成角的范围为，
则与平面内任意直线所成角的取值范围是.
故答案为：.
【变式探究】如图所示，在长方体中，直线与长方体的六个面之间的位置关系如何？
【答案】见解析．
【分析】根据长方体的性质即可得出直线B1D1与长方体的六个面之间的位置关系.
【详解】在平面内，
与平面，，，都相交，
与平面平行．
考点七 平面与平面平行
例13. 已知，，是三个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】C
【分析】ABD均可举出反例，
由线面垂直的性质可得得到C正确.
【详解】对于A，垂直于同一平面的两平面相交或平行，如图1，，，而，相交，故A错误；
对于B，平行于同一直线的两平面相交或平行，如图2，
满足，，但相交，B错误；
对于C，垂直于同一平面的两直线平行，故C正确；
对于D，平行于同一平面的两直线相交、平行或异面，
如图3，满足，，但相交，故D错误.
故选：C.
例14. 已知是不同的直线,是不同的平面,下列命题中真命题为（ ）
A．若,则
B．若,则
C．若,则
D．若,则
【答案】C
【分析】可放在长方体中排除错误选项,选出正确选项.
【详解】解:由题知,不妨将, 放在长方体中可知,
关于选项A,如图所示可知A错误,
关于选项B,如图所示可知B错误,
关于选项D,如图所示可知D错误,
根据面面平行的性质定理可知,选项C正确.
故选:C
【变式探究】若平面平面，直线，则直线与平面的位置关系是（ ）
A．相交 B．平行 C．在内 D．无法判定
【答案】B
【分析】由面面平行可直接得到结果.
【详解】由面面平行的性质可知：当平面平面，直线时，.
故选：B.
考点八 平面与平面垂直
例15. 下列命题中正确的是（　　）
A．平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β
B．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥β
C．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥β
D．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β
【答案】C
【分析】根据线面垂直的判定及面面垂直的判定方法结合选项可得答案.
【详解】当平面α和β分别过两条互相垂直且异面的直线时，平面α和β有可能平行，故A不正确;
一条直线垂直于平面内的两条相交直线才能得出线面垂直，
由平面与平面垂直的判定定理知B，D均不正确，C正确.
故选：C.
例16. 在如图所示的正方体中，垂直于平面的平面有 .（写出两个，多写不加分，写错扣分）

【答案】平面，平面（答案不唯一）
【分析】证明出线面垂直，得到面面垂直，得到答案.
【详解】连接，
因为四边形为正方形，所以⊥，
因为⊥平面，平面，
所以⊥，
因为，平面，
所以⊥平面，
因为平面，
所以平面⊥平面，
同理平面，
所以平面⊥平面，
故垂直于平面的平面有平面，平面

故答案为：平面，平面(答案不唯一)
【变式探究】如图，已知直角梯形与，，，，AD⊥AB，，G是线段上一点.求证：平面⊥平面ABF
【答案】证明见解析
【分析】根据线线垂直可证线面垂直，进而可得面面垂直.
【详解】因为，，，AF、AB平面ABF，
所以AD⊥平面ABF，又AD平面ABCD，
所以平面⊥平面ABF.
考点九 平面与平面所成角
例17. 如图，在长方体中，为的中点，则二面角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由二面角的定义证明即为二面角的平面角，求出此角即得．
【详解】如图，在长方体中，平面，平面，平面，所以，且，所以即为二面角的平面角，又，易得.
故选：B.
例18. 如图，已知，，垂足为、，若，则二面角的大小是 ．
【答案】/
【分析】根据与二面角大小互补进行求解.
【详解】设二面角的大小为，
因为，，垂足为、，
所以，又，所以.
故答案为：
【变式探究】如图，棱锥的底面是矩形，平面，．
(1)求证：平面；
(2)求平面和平面夹角的余弦值的大小．
【答案】(1)证明过程见解析；
(2)
【分析】（1）求出，得到底面ABCD是正方形，对角线互相垂直，进而证明出线面垂直；（2）找到两平面的夹角的平面角，再进行求解.
【详解】（1）因为平面，BD平面，所以PA⊥BD，因为，底面是矩形，所以由勾股定理得：，所以底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD，又PA=A，所以BD⊥平面PAC.
（2）因为PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD，所以PA⊥CD，又CD⊥AD，PA，所以CD⊥平面PAD，因为PD平面PAD，所以CD⊥PD，又因为CD⊥AD，所以∠PDA是平面和平面的夹角，由于PA=AD，∠PAD=90°，所以∠PDA=45°，所以，所以平面PCD与平面ABCD的夹角余弦值为.串讲 立体几何
知识网络
二、常考题型
三、知识梳理
1.平面的基本性质
（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．
（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
（4）推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．
（5）推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
（6）推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
2.空间直线的位置关系
（1）位置关系的分类
（2）异面直线所成的角
①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
②范围：.
3.空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
（1）空间中直线与平面的位置关系
位置关系 图形表示 符号表示 公共点
直线a在平面α内 a α 有无数个公共点
直线在平面外 直线a与平面α平行 a∥α 没有公共点
直线a与平面α斜交 a∩α＝A 有且只有一个公共点
直线a与平面α垂直 a⊥α
（2）空间中两个平面的位置关系
位置关系 图形表示 符号表示 公共点
两平面平行 α∥β 没有公共点
两平面相交 斜交 α∩β＝l 有一条公共直线
垂直 α⊥β且 α∩β＝a
4.空间中线面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行 线面平行”) ∵l∥a，a α，l α， ∴l∥α
性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行 线线平行”) ∵l∥α，l β， α∩β＝b， ∴l∥b
5.面面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行 面面平行”) ∵a∥β，b∥β， a∩b＝P， a α，b α， ∴α∥β
性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 ∵α∥β，α∩γ＝a， β∩γ＝b， ∴a∥b
6.直线与平面垂直
（1）定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直．
（2）判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．
（3）推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．
（4）直线和平面垂直的性质：
①垂直于同一个平面的两条直线平行．
②直线垂直于平面，则垂直于这个平面内的任一直线．
③垂直于同一条直线的两平面平行．
7.直线和平面所成的角
（1）平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角．
（2）当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时，规定直线和平面所成的角分别为90°和0°.
（3）直线和平面所成角的范围是0°≤θ≤90°.
8.二面角的有关概念
（1）二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．
（2）二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．
（3）二面角的范围是0°≤θ≤180°.
9.平面与平面垂直
（1）定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
（2）平面与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直
性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
四、常考题型探究
考点一 平面的基本性质
例1. 能确定一个平面的条件是（ ）
A．一个点和一条直线 B．空间三个点
C．无数个点 D．两条相交直线
例2. 下列说法中正确的是（ ）
A．空间不同的三点确定一个平面
B．空间两两相交的三条直线确定一个平面
C．空间有三个角为直角的四边形一定是平面图形
D．和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内
【变式探究】下列命题一定正确的是（ ）
A．三点确定一个平面 B．依次首尾相接的四条线段必共面
C．直线与直线外一点确定一个平面 D．两条直线确定一个平面
考点二 空间中直线与直线的位置关系
例3. 如图，在正方体中，直线与的位置关系是（ ）

A．异面 B．平行 C．垂直且相交 D．相交
例4. 分别和两条异面直线相交的两条直线的位置关系是 ．
【变式探究】如果异面直线a、b所成角为α，那么α的取值范围是 ．
考点三 异面直线所成角
例5. 已知正方体，直线与直线所成角的余弦值是（ ）

A． B． C． D．
例6. 是边长为a正方体，与所成角的大小 ．
【变式探究】如图，已知长方体中，，，．

(1)BC和所成的角是多少度？
(2)和BC所成的角是多少度？
考点四 直线与平面平行
例7. “直线与平面没有公共点”是“直线与平面平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
例8. 已知直线l、平面，“l与相交”是“l与至多有一个公共点”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【变式探究】空间中有平面和直线，，若，，则下列说法中一定错误的是（ ）
A．直线平行于平面 B．直线在平面内
C．直线与平面交于一点 D．直线和共面
考点五 直线与平面垂直
例9. 空间中有平面和直线，，若，，则下列说法中一定错误的是（ ）
A．直线平行于平面 B．直线在平面内
C．直线与平面交于一点 D．直线和共面
例10. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【变式探究】一条直线与一个平面的位置关系有 .
考点六 直线与平面所成角
例11. 如图在正四面体中，直线OA与平面OBC所成的角为，则=（ ）
A． B． C． D．
例12. 直线与平面所成角为，则与平面内任意直线所成角的取值范围是 .
【变式探究】如图所示，在长方体中，直线与长方体的六个面之间的位置关系如何？
考点七 平面与平面平行
例13. 已知，，是三个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
例14. 已知是不同的直线,是不同的平面,下列命题中真命题为（ ）
A．若,则
B．若,则
C．若,则
D．若,则
【变式探究】若平面平面，直线，则直线与平面的位置关系是（ ）
A．相交 B．平行 C．在内 D．无法判定
考点八 平面与平面垂直
例15. 下列命题中正确的是（ ）
A．平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β
B．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥β
C．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥β
D．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β
例16. 在如图所示的正方体中，垂直于平面的平面有 .（写出两个，多写不加分，写错扣分）

【变式探究】如图，已知直角梯形与，，，，AD⊥AB，，G是线段上一点.求证：平面⊥平面ABF
考点九 平面与平面所成角
例17. 如图，在长方体中，为的中点，则二面角的大小为（ ）
A． B． C． D．
例18. 如图，已知，，垂足为、，若，则二面角的大小是 ．
【变式探究】如图，棱锥的底面是矩形，平面，．
(1)求证：平面；
(2)求平面和平面夹角的余弦值的大小．

展开更多......

收起↑