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2024年中考数学第一次模拟考试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项:
1、全卷分A卷和B卷,A卷满分100分,B卷满分50分;考试时间120分钟。
2、在作答前,考生务必将自己的姓名、班级写在答题卡上,并检查条形码信息。考试结束,监考人员将答题卡回。
3、选择题部分必须使用2B铅笔填涂;非选择题部分必须使用05毫米黑色签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。
4、请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题均无效。
5、保持答题卡清洁,不得折叠、污染、破损等。
数 学
A卷(共100分)
第Ⅰ卷(选择题,共32分)
一、选择题(本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符
合题目要求)
1．（ ）
A． B．2024 C． D．
2．四川省总面积486000平方公里，其中486000用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列几何体中，不能通过一个平面转得到的是（ ）
A． B． C． D．
5．小明同学随机调查七（）班名同学每天食堂午饭消费金额，制作如下统计表：
类别 同学 同学 同学 同学 同学 同学
金额（元）
则这组消费金额（ ）
A．平均数为 B．中位数为 C．众数为 D．方差为
6．如图，在中，D，E分别是，的中点，，F是上一点，连接，，．若，则的长度为（　　）

A．10 B．12 C．14 D．16
7．我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清酒、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，醑酒y斗，那么可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
8．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，且经过点，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．当时，随的增大而减小 D．
第Ⅱ卷(非选择题,共68分)
填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分)
9．因式分解： ．
10．函数与图象没有交点，则b的取值范围是 ．
11．如图，在的正方形网格中，且点A、C都在格点上，则 ．
12．如图，将绕点顺时针旋转得到，若点恰好在的延长线上，，则的度数为
13．如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点E、F，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P，作射线交于点D，过点D作于点M，若，则的周长为
三、解答题(本大题共5个小题,共48分)
14.(本小题满分12分,每题6分)（1）求不等式组的整数解，可按下列步骤完成解答：
（Ⅰ）解不等式，得 ；
（Ⅱ）解不等式，得 ；
（Ⅲ）把不等式和的解集在数轴上表示出来：

（Ⅳ）原不等式组的解集为： ；
（V）原不等式组的整数解为： ；
（2）计算：．
15.(本小题满分8分)我市某中学举行“中国梦·我的梦”的演讲比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A，B，C，D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完整，请你根据统计图解答下列问题．
（1）参加比赛的学生人数共有_____名，在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角为______度，图中m的值为______；
（2）补全条形统计图；
（3）组委会决定从本次比赛中获得A等级的学生中，选出两名去参加市中学生演讲比赛，已知A等级中男生只有1名，请用画树状图或列表的方法求出所选学生恰是一男一女的概率．
16.(本小题满分8分)如图，在小山的西侧处有一热气球，以25米分钟的速度沿着与垂直方向所成夹角为的方向升空，20分钟后到达处，这时热气球上的人发现，在处的正东方向有一处着火点，在处测得着火点的俯角为，求热气球升空点与着火点的距离．（结果精确到1米，．

17.(本小题满分10分)如图，中，，以为直径作交于点D，作交于点E，延长交的延长线于点F
（1）求证：是的切线；
（2）若为等边三角形，，求半径的长．
18.(本小题满分10分)如图，在平面直角坐标系中，等腰的斜边在x轴上，直线经过点A，交y轴于点C，反比例函数的图象也经过点A，连接．
【基础应用】
（1）求k的值；
（2）求直线的函数表达式；
【拓展应用】
（3）若点P为x轴正半轴上一个动点，在点A的右侧的的图象上是否存在一点M，使得是以点A为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
B卷(共50分)
一、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分)
19．已知是方程的一个根，则 .
20．若关于的不等式组有且只有两个整数解，关于的一次函数的图像不经过第二象限，则所有满足条件的整数的值之和为 ．
21．如图，直线交x轴，y轴于A，B两点，点在直线上，点C在x轴上，若，则点C的坐标为 ．
22．如图，矩形对角线相交于点，沿着对角线折叠，使得点落在点处，其中点的坐标为长度为，则的纵坐标为 ．
23．已知两个正数a，b，可按规则扩充为一个新数c在a，b，c三个数中取两个较大的数，按上述规则扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作，（1）若，按上述规则操作三次，扩充所得的数是 ；（2）若，经过6次操作后扩充所得的数为（m，n为正整数），则的值为 ．
二、解答题(本大题共3个小题,共30分)
24、(本小题满分8分)如图，在斜坡底部点处安装一个的自动喷水装置，喷水头视为点的高度喷水头距喷水装置底部的距离是米，自动喷水装置喷射出的水流可以近似的看成抛物线当喷射出的水流与喷水装置的水平距离为米时，达到最大高度米
（1）求抛物线的解析式；
（2）斜坡上距离水平距离为米处有一棵高度为米的小树，垂直水平地面且点到水平地面的距离为米
①记水流的高度为，斜坡的高度为，求的最大值斜坡可视作直线；
②如果要使水流恰好喷射到小树顶端的点，直接写出自动喷水装置应向后平移即抛物线向左）多少米
25、(本小题满分10分)如图，抛物线经过A、B、C三点，点、，点B在y轴上．点P是直线下方的抛物线上一动点（不与A、B重合）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）过点P作x轴的垂线，垂足为D，交直线于点E，动点P在什么位置时，最大，求出此时P点的坐标；
（3）点Q是抛物线对称轴上一动点Q，使得以点A、B、Q为顶点的三角形为直角三角形，请直接写出点Q坐标．
26、(本小题满分12分)【初步感知】
（1）如图①，在中，点为上一点，连接并延长交的延长线于点，若，求证：点是的中点；
【探究运用】
（2）如图②，在四边形中，，，，，点是的中点，且，、的延长线相交于点，求证四边形是菱形，并求的长；
【实际运用】
（3）如图③，某小区内有一块三角形区域，在边的中点处修建一个公共卫生间，在边上确定一点，使得，修两条笔直的小路和，在其交汇处修一凉亭（凉亭大小忽略不计），已知凉亭到处的距离为200米（即米），求凉亭到处的距离．
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2024年中考数学第一次模拟考试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项:
1、全卷分A卷和B卷,A卷满分100分,B卷满分50分;考试时间120分钟。
2、在作答前,考生务必将自己的姓名、班级写在答题卡上,并检查条形码信息。考试结束,监考人员将答题卡回。
3、选择题部分必须使用2B铅笔填涂;非选择题部分必须使用05毫米黑色签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。
4、请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题均无效。
5、保持答题卡清洁,不得折叠、污染、破损等。
数 学
A卷(共100分)
第Ⅰ卷(选择题,共32分)
一、选择题(本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符
合题目要求)
1．（ ）
A． B．2024 C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键；因此此题可根据绝对值的意义进行求解．
解：；
故选C．
2．四川省总面积486000平方公里，其中486000用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定，用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．根据科学记数法的表示方法解答即可．
解：486000用科学记数法表示为．
故选：C．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握算完全平方公式、幂的运算是解题的关键．分别运用完全平方公式、积的乘方和同底数幂乘法法则运算即可．
解：A． ，故A正确；
B．，故B错误；
C．，故C错误；
D，与不是同类项，不能合并，故D错误，
故选A．
4．下列几何体中，不能通过一个平面转得到的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了点线面体，根据点动成线，线动成面，面动成体可得出答案．
解：．圆柱由长方形旋转可得，故本选项不符合题意；
．圆锥由三角形旋转可得，故本选项不符合题意；
．球由半圆旋转可得，故本选项不符合题意；
．三棱柱不是由一个平面图形通过旋转得到得，故本选项符合题意；
故选：D．
5．小明同学随机调查七（）班名同学每天食堂午饭消费金额，制作如下统计表：
类别 同学 同学 同学 同学 同学 同学
金额（元）
则这组消费金额（ ）
A．平均数为 B．中位数为 C．众数为 D．方差为
【答案】C
【分析】本题考查了方差，平均数，中位数，众数，掌握计算方法是解题的关键．
根据平均数、中位数、众数、方差的定义和计算公式，分别进行计算即可得出正确答案．
解：平均数：，
方差为：，
数据从大到小排列后，居于中间的两个数为：，出现次数最多的是，
中位数为：，众数为，
故选：C．
6．如图，在中，D，E分别是，的中点，，F是上一点，连接，，．若，则的长度为（　　）

A．10 B．12 C．14 D．16
【答案】B
【分析】本题考查了三角形中位线定理、直角三角形斜边中线的性质；
根据直角三角形斜边中线的性质求出，可得的长，再根据为的中位线，即可求出．
解：∵，E是的中点，
∴，
∴，
∵D，E分别是，的中点，
∴为的中位线，
∴，
故选：B．
7．我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清酒、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，醑酒y斗，那么可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据“现在拿30斗谷子，共换了5斗酒”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
解：依题意，得：．
故选：A．
【点拨】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组和数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
8．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，且经过点，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．当时，随的增大而减小 D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据抛物线开口方向，对称轴，以及与轴的交点判断A，根据过点，判断B选项，根据抛物线与轴有2个交点判定D选项，根据对称轴为直线，当时，随的增大而增大，判断A选项，即可求解．
解：根据函数图象可知，抛物线开口向下，则，对称轴为直线，即，则
∴当时，随的增大而增大
故C选项不正确，抛物线与轴交于正半轴，则，
∴，故A选项错误，
∵抛物线经过点，对称轴为直线，则过点，
∴，故B选项错误，
∵抛物线与轴有2个交点，
∴，故D选项正确，
故选：D．
第Ⅱ卷(非选择题,共68分)
填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分)
9．因式分解： ．
【答案】
【分析】先提取公因式a，再利用公式法继续分解．
解：，
故答案为：．
10．函数与图象没有交点，则b的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，如果两函数无交点，那么联立两函数解析式所得的方程（组）无解，由于两个函数没有交点，那么联立两函数解析式所得的方程无解，由此可求出的取值范围.
解：的图象是过原点且在第一、三象限的一条直线，要使与它无交点，则的图象只能在第二、四象限，
∴，
∴，
故答案为：．
11．如图，在的正方形网格中，且点A、C都在格点上，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了求一个角的正切值，勾股定理与网格问题，确定格点得出是解题关键．
解：如图所示：点为格点，
∵，
∴且
∴
∴
故答案为：
12．如图，将绕点顺时针旋转得到，若点恰好在的延长线上，，则的度数为
【答案】
【分析】本题考查了旋转的性质，邻补角的意义，掌握旋转的性质是解题的关键．根据旋转的性质可得，进而根据邻补角的意义，即可求得的度数
解：将绕点C顺时针旋转得到，若点A恰好在的延长线上，
故答案为：
13．如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点E、F，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P，作射线交于点D，过点D作于点M，若，则的周长为
【答案】6
【分析】本题考查了角平分线的尺规作图以及角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质．先根据角平分线的判定与性质定理可得，再证明，推出，据此求解即可得．
解：由题中作图可知，平分，
，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
∴，
∴的周长为，
故答案为：6．
三、解答题(本大题共5个小题,共48分)
14.(本小题满分12分,每题6分)（1）求不等式组的整数解，可按下列步骤完成解答：
（Ⅰ）解不等式，得 ；
（Ⅱ）解不等式，得 ；
（Ⅲ）把不等式和的解集在数轴上表示出来：

（Ⅳ）原不等式组的解集为： ；
（V）原不等式组的整数解为： ；
（2）计算：．
【答案】（1）（Ⅰ）；（Ⅱ），（Ⅲ）图见分析；（Ⅳ）；（V），0，1；（2）
【分析】（1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，将解集在数轴上表示出来即可；
（2）根据分母有理化、零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值的意义进行化简计算即可．
解：（1）（I）解不等式，得，
（Ⅱ）解不等式，得，
（III）把不等式和的解集在数轴上表示出来：
，
（Ⅳ）原不等式组的解集为，
（V）原不等式组的整数解为：，0，1，
故答案为：，，，，0，1；
（2）
．
15.(本小题满分8分)我市某中学举行“中国梦·我的梦”的演讲比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A，B，C，D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完整，请你根据统计图解答下列问题．
（1）参加比赛的学生人数共有_____名，在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角为______度，图中m的值为______；
（2）补全条形统计图；
（3）组委会决定从本次比赛中获得A等级的学生中，选出两名去参加市中学生演讲比赛，已知A等级中男生只有1名，请用画树状图或列表的方法求出所选学生恰是一男一女的概率．
【答案】（1）20，72，40．；（2）见分析；（3）
【分析】本题考查了条形统计图、扇形统计图、列表法求概率等知识点，弄清题意、从条形图和扇形图得到所需信息是解题的关键．
（1）根据等级为A的人数除以所占的百分比求出总人数，用乘以D等级对应比例可得其圆心角度数，根据百分比的概念求得m的值即可；
（2）求出等级B的人数，再补全条形统计图即可；
（3）列表得出所有等可能的情况数，再找出符合条件的情况数，然后运用概率公式求解即可．
（1）解：根据题意得：总人数为：（人），
表示“D等级”的扇形的圆心角为；
C等级所占的百分比为，即．
故答案为：20，72，40．
（2）解：等级B的人数为（人），
补全统计图，如图所示：
．
（3）解：根据题意列出表格如下：
男 女1 女2
男 女1、男 女2、男
女1 男、女1 女2、女1
女2 男、女2 女1、女2
共有6种等可能结果，其中恰是一男一女的有4种．
所以恰是一男一女的概率为．
16.(本小题满分8分)如图，在小山的西侧处有一热气球，以25米分钟的速度沿着与垂直方向所成夹角为的方向升空，20分钟后到达处，这时热气球上的人发现，在处的正东方向有一处着火点，在处测得着火点的俯角为，求热气球升空点与着火点的距离．（结果精确到1米，．

【答案】热气球升空点与着火点的距离是707米．
【分析】本题考查解直角三角形的应用、俯角俯角、三角函数等知识．在中求出，再在中求出即可解决问题．
解：如图，作垂足为，（米，

∵，
，
，
在中，，
（米，
（米，
答：热气球升空点与着火点的距离是707米．
17.(本小题满分10分)如图，中，，以为直径作交于点D，作交于点E，延长交的延长线于点F
（1）求证：是的切线；
（2）若为等边三角形，，求半径的长．
【答案】（1）见详解；（2）半径的长为
【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质得到，等量代换得，由平行线的判定得到，进而得到，即可证得是的切线；
（2）根据勾股定理即可得到结论．
解：（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵，

∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵为等边三角形，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴
在中，，
∴
∴，
∴．
∴半径的长为2．
【点拨】本题考查了切线的性质，等边三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，解决本题的关键是：正确作出辅助线，证得．
18.(本小题满分10分)如图，在平面直角坐标系中，等腰的斜边在x轴上，直线经过点A，交y轴于点C，反比例函数的图象也经过点A，连接．
【基础应用】
（1）求k的值；
（2）求直线的函数表达式；
【拓展应用】
（3）若点P为x轴正半轴上一个动点，在点A的右侧的的图象上是否存在一点M，使得是以点A为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）过点作轴，易得，设，代入一次函数解析式，求出点坐标，待定系数法求值即可；
（2）先求出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式即可；
（3）过点作轴，交双曲线于点，连接，过点作，交轴于点，证明，得到，进一步求出点的坐标即可．
（1）解：过点作轴，

∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，
设，
∵点在直线上，
∴，
∴，
∴，
∵在双曲线上，
∴；
（2）由（1）知：，
∴，
∵，当时，，
∴，
设直线的解析式为，
把，代入，得：，
∴直线的解析式为：；
（3）存在，过点作轴，交双曲线于点，连接，过点作，交轴于点，

∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又，
∴是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，
∵，
∴点的横坐标为，
∵点在双曲线上，，
∴．
B卷(共50分)
一、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分)
19．已知是方程的一个根，则 .
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，得出，代入代数式，即可求解．
解：依题意，
∴
∴，
∴，
故答案为：．
20．若关于的不等式组有且只有两个整数解，关于的一次函数的图像不经过第二象限，则所有满足条件的整数的值之和为 ．
【答案】
【分析】本题考查一次函数图像与系数的关系以及一元一次不等式组的整数解，由关于的不等式组有且只有个整数解，即可求出的取值范围；由一次函数图像不经过第二象限，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，进一步可确定同时满足两个条件的的取值范围，再将其内的整数值相加即可得出结论．根据一次函数图像与系数的关系及不等式组整数解的个数，找出的取值范围是解题的关键．
解：解不等式组，
得：，
∵关于的不等式组有且只有两个整数解，
∴，
∴，
∵关于的一次函数的图像不经过第二象限，
∴，
∴，
综上所述，的范围是：，
∴所有满足条件的整数的值之和为：．
故答案为：．
21．如图，直线交x轴，y轴于A，B两点，点在直线上，点C在x轴上，若，则点C的坐标为 ．
【答案】或
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，坐标与图形，过点C作交直线于点Q，过Q点作轴于点M，过点P作轴于点N，证得，表示出点的坐标，代入直线解析式即可解题．
解：如图，当点C在直线的下方时，过点C作交直线于点Q，过Q点作轴于点M，过点P作轴于点N，
则，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，，
∵点在上，
∴，
∴点，
设点的坐标为，
则，，
∴，
∴点的坐标为，
代入解得，
∴点的坐标为；
如图，当点C在直线的上方时，过点C作交直线于点Q，过Q点作轴于点M，过点P作轴于点N，
则，
∴，，
设点的坐标为，
则，，
∴，
∴点的坐标为，
代入解得，
∴点的坐标为；
综上所述：点的坐标为或．
22．如图，矩形对角线相交于点，沿着对角线折叠，使得点落在点处，其中点的坐标为长度为，则的纵坐标为 ．
【答案】
【分析】根据矩形的性质，勾股定理可求出的值，再根据全等三角形的判定，设，根据勾股定理可得的值，过点作轴于点，运用相似三角形的判定可得，结合相似三角形的性质可求出，最后根据线段的和差此即可求解．
解：已知，
∴，
∵四边形是矩形，对角线交于点，
∴，，，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∵折叠，
∴，，
在中，
，
∴，
∴，，
设，则，
在中，，
∴，
解得，，即，则，
如图所示，过点作轴于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵点在的负半轴上，点在第四象限，
∴点的纵坐标为，
故答案为：．
23．已知两个正数a，b，可按规则扩充为一个新数c在a，b，c三个数中取两个较大的数，按上述规则扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作，（1）若，按上述规则操作三次，扩充所得的数是 ；（2）若，经过6次操作后扩充所得的数为（m，n为正整数），则的值为 ．
【答案】 255 21
【分析】（1）a=1，b=3，按规则操作三次，第一次：c=7，第二次：c=31，第三次：c=255由此即可求解；
（2）p>q>0，按规则重复两次，第一次得：，第二次得： ，所得新数大于任意旧数，故经过6次扩充，所得数为，即可求解．
解：（1）第一次，；第二次，；第三次，；
（2）第一次，；
第二次，；
第三次；
第四次，；
第五次，；
第六次，，所以．
故答案为（1）255；（2）21．
二、解答题(本大题共3个小题,共30分)
24、(本小题满分8分)如图，在斜坡底部点处安装一个的自动喷水装置，喷水头视为点的高度喷水头距喷水装置底部的距离是米，自动喷水装置喷射出的水流可以近似的看成抛物线当喷射出的水流与喷水装置的水平距离为米时，达到最大高度米
（1）求抛物线的解析式；
（2）斜坡上距离水平距离为米处有一棵高度为米的小树，垂直水平地面且点到水平地面的距离为米
①记水流的高度为，斜坡的高度为，求的最大值斜坡可视作直线；
②如果要使水流恰好喷射到小树顶端的点，直接写出自动喷水装置应向后平移即抛物线向左）多少米
【答案】（1）抛物线为；（2）①的最大值为；②喷射架应向后移动3米
【分析】此题考查了二次函数在实际问题中的应用；
（1）根据当喷射出的水流距离喷水头米时，达到最大高度米，设设水流形成的抛物线为，代入点求出二次函数的解析式，即可求解；
（2）①先求出斜坡的高度的解析式，列出，把函数解析式化为顶点式，即可求解；
②设喷射架向后平移了米，设出平移后的函数解析式，代入点的坐标即可求解．
解：（1）由题可知：当喷射出的水流距离喷水头米时，达到最大高度米
可设水流形成的抛物线为，
将点代入可得
抛物线为
（2）①由题可知点坐标为
设直线的解析式为，把点的坐标代入得：
解得
直线解析式为：
的最大值为
②设喷射架向后平移了米，则平移后的抛物线可表示为
将点代入得：
解得：或舍去
喷射架应向后移动米
25、(本小题满分10分)如图，抛物线经过A、B、C三点，点、，点B在y轴上．点P是直线下方的抛物线上一动点（不与A、B重合）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）过点P作x轴的垂线，垂足为D，交直线于点E，动点P在什么位置时，最大，求出此时P点的坐标；
（3）点Q是抛物线对称轴上一动点Q，使得以点A、B、Q为顶点的三角形为直角三角形，请直接写出点Q坐标．
【答案】（1）；（2）；（3）或或或
【分析】（1）将点、代入计算即可得；
（2）先求出点的坐标，再求出直线的解析式，然后设点的坐标为，将用含的式子表示出来，利用二次函数的性质求解即可得；
（3）设点的坐标为，先求出，再利用勾股定理求解即可得．
（1）解：将点、代入得：，
解得，
所以此抛物线的解析式为．
（2）解：对于二次函数，
当时，，即，
设直线的解析式为，
将点，代入得：，解得，
则直线的解析式为，
设点的坐标为，则点的坐标为，
，
由二次函数的性质可知，在内，当时，最大，最大值为，
，
所以当最大时，点的坐标为．
（3）解：二次函数的对称轴为直线，
则可设点的坐标为，
所以，，，
①当时，以点为顶点的三角形为直角三角形，
则，即，
解得或，
所以此时点的坐标为或；
②当时，以点为顶点的三角形为直角三角形，
则，即，
解得，
所以此时点的坐标为；
③当时，以点为顶点的三角形为直角三角形，
则，即，
解得，
所以此时点的坐标为，
综上，点的坐标为或或或．
26、(本小题满分12分)【初步感知】
（1）如图①，在中，点为上一点，连接并延长交的延长线于点，若，求证：点是的中点；
【探究运用】
（2）如图②，在四边形中，，，，，点是的中点，且，、的延长线相交于点，求证四边形是菱形，并求的长；
【实际运用】
（3）如图③，某小区内有一块三角形区域，在边的中点处修建一个公共卫生间，在边上确定一点，使得，修两条笔直的小路和，在其交汇处修一凉亭（凉亭大小忽略不计），已知凉亭到处的距离为200米（即米），求凉亭到处的距离．
【答案】（1）证明见分析；（2）；（3）凉亭到处的距离为600米
【分析】本题考查几何综合，涉及平行四边形性质、三角形相似的判定与性质、三角形全等的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关几何性质及判定是解决问题的关键．
（1）利用平行四边形性质，得到，利用面积比等于相似比的平方即可得证；
（2）由（1）中结论，由三角形全等的判定与性质得到，进而根据菱形的判定定理得到答案，从而由勾股定理求出的长；
（3）过作交的延长线于点，如图所示，由（2）中结论及三角形相似的判定与性质，由及题中条件得到，从而得到答案．
解：（1）证明：在中，，，
，
，
，
，即，
，
点是的中点；
（2）证明：，
，
又点是的中点，且，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，
在，，，，则，
；
（3）解：过作交的延长线于点，如图所示：
与（2）同理可得，
，
，
，，
，
，
，
，即，
，则，即，
米，
答：凉亭到处的距离为600米．
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