资源简介 登陆21世纪教育 助您教考全无忧南通市立体几何训练--回归课本1．P16 练习3.下列图形表示放置的直观图,画出它们原来的图形.答案:2．P29 习题12.如图,在三棱锥A-BCD中,E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点.(1) 求证:四边形EFGH是平行四边形;(2) 若AC=BD,求证:四边形EFGH为菱形;(3) 当AC与BD满足什么条件时,四边形EFGH是正方形 答案(1)由E,F分别为AB,BC的中点,得EF∥AC.且 EF=AC.同理,GH∥AC,且GH=AC,所以EF∥GH且EF=GH,即四边形EFGH为平行四边形.(2)由已知得EH=BD,EF=AC,BD=AC, EH=EF.由(1)得四边形EFGH为平行四边形, 四边形EFGH为菱形.(3)ACBD,且AC=BD.3．P35 练习1.已知与平面,指出下列命题是否正确,并说明理由:(1) 若,则与相交;(2) 若,则(3) 若∥,,,则∥答案(1)正确 (2)错误 (3)正确4．练习2.某空间图形的三视图如图所示,试画出它的直观图,并指出其中的线面垂直关系.答案:如图,四面体PABC中,PAAB,ACAB,PAAC,则PA平面ABC,AC平面PAB,AB平面PAC.练习3.如图,已知,垂足分别为且.求证: 平面.答案:因为同理平面APB.5．在四棱锥P-ABCD中，若ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD(1) 指出图中有哪些三角形是直角三角形，并说明理由；（2）若PA＝AD＝AB求PC与平面ABCD所成角的正切值答（1）三角形PAB,与三角形PAD（2）6．在三棱锥p-ABC中，顶点p在平面ABC内的射影是三角形ABC的外心．求证：PA=PB=PC7．证明：,P在ABC的射影设为O,则OA=OB=OC,因为是ABC的外心,即OA=OB=OC为半径,又OP是射影,故OP垂直于ABC,那么对于三角形OPA=OPB=OPC均为直角三角形,并且他们是全等的,则PA=PB=PC8．在三棱锥P-ABC中，点P在平面ABC上的射影O是三角形ABC的垂心；求证：PA⊥BC证明：因为：O是△ABC的垂心所以：直线AO垂直直线BC又因为：直线PO垂直于平面ABC所以：PO直线垂直于直线BC所以：直线BC垂直于平面POA所以：PA垂直BC9．如图，已知有公共边AB的两个全等矩形ABCD和ABEF不在同一个平面内，P、Q对角线AE、BD上的动点。当P、Q满足什么条件时，PQ∥平面CBE？答： PQ‖BCE的充要条件是EP＝BQ证明： 设PQ‖BCE,过PQ可作BCE的平行平面TVW,容易证明：⊿TEP≌⊿VBQ.∴EP＝BQ.反之，如果EP＝BQ.作PT⊥EF.QW⊥DC,则⊿TEP≌⊿WCQ（A,A,S）.T,P,W,Q到ECB等距离，PQ‖ECB.总之，PQ‖BCE的充要条件是EP＝BQ。10．P47(1)判断下列命题是否正确，并说明理由：（1） 若平面内的两条直线分别与平面平行，则与平行（2） 若平面内有无数条直线与平面平行，则与平行（3） 平行于同一条直线的两个平面平行（4） 过已知平面外一点，有且仅有一个平面与已知平面平行（5） 过已知平面外一条直线，必能做出与已知平面平行的平面正确的有（4）11．P47(2)判断下列命题是否正确，并说明理由：（1） 若，，则（2） 若，，则（3） ，，则正确的有（3）12．P-51例2有一根长为5cm，底面半径为1cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕4圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多少厘米？（精确到0.1cm）解：把圆柱表面及缠绕其上的铁丝展开在平面上，得到矩形ABCD，由题意知BC=5cm，AB=，点A与点C就是铁丝的起止位置，故线段AC的长度即为铁丝的最短长度，答：铁丝的最短长度约为.13．P53练习6一个正三棱台的两个底面的边长分别等于8cm和18cm，侧棱长等于13cm,求它的侧面积14．P65-12如图，把长，宽各为5，4的长方形ABCD沿对角线AC折成直二面角，求顶点B和D之间的距离构造直角三角形15．P65-15三个球的半径比是1：2：3，求证：其中最大的一个球的体积是另两个球的体积之和的3倍16．P65-16正方体，等边圆柱（底面直径和高相等的圆柱），球的体积相等，则哪一个表面积最小球表面积最小A'O'O'x'x'y'y'ABDEFGHCABCPABP21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 1 页）21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 1 页 （共 5 页）登陆21世纪教育 助您教考全无忧南通市立体几何训练--例题精选1如图,在四棱锥中,底面是边长为的正方形,侧面底面，若、分别为、的中点.(Ⅰ) //平面；(Ⅱ) 求证:平面平面；(本小题满分14分)解：(Ⅰ)证明：连结，在中，的中位线,//，且平面,平面， ………7分(Ⅱ)证明：∵面面 ，平面面 ，∴平面 ，又,∴面面 (其它解法参照给分) ………14分２如图四边形是菱形，平面， 为的中点. 求证：⑴ ∥平面；⑵ 平面平面.[解]：证：设 ,连 。⑴ ∵为菱形， ∴ 为中点，又为中点。∴∥ （5分）又 , ∴∥（7分）⑵ ∵为菱形， ∴, （9分）又∵， ∴ （12分）又 ∴ 又∴ （14分）3、已知ABCD是矩形,AD=4,AB=2,E、F分别是线段AB、BC的中点,PA⊥平面ABCD.(1)求证:PF⊥FD；(2)设点G在PA上,且EG//平面PFD,试确定点G的位置.解：（1）证明:连结AF,在矩形ABCD中,因为AD=4,AB=2,点F是BC的中点,所以∠AFB=∠DFC=45°.所以∠AFD=90°,即AF⊥FD. …………………3分又PA⊥平面ABCD,所以PA⊥FD. …………… 4分所以FD⊥平面PAF. ………………………… 5分故PF⊥FD. ………………………………………6分(2)过E作EH//FD交AD于H,则EH//平面PFD,且AH=AD. …………………………8分再过H作HG//PD交PA于G,则GH//平面PFD,且 AG=PA. ………………………10分所以平面EHG//平面PFD,则EG//平面PFD, …………………………………………12分从而点G满足AG=PA. ……………………………………………………………… 13分[说明:①用向量法求解的,参照上述评分标准给分；②第(2)小题也可以延长DF与AB交于R,然后找EG//PR进行处理.]4、如图已知平面，且是垂足．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若，试判断平面与平面的位置关系，并证明你的结论．解：（Ⅰ）因为，所以．同理．又，故平面． 5分（Ⅱ）设与平面的交点为，连结、．因为平面，所以，所以是二面角的平面角．又，所以，即．在平面四边形中，，所以．故平面平面． 14分5、已知等腰梯形PDCB中（如图1），PB=3，DC=1，PB=BC=，A为PB边上一点，且PA=1，将△PAD沿AD折起，使面PAD⊥面ABCD（如图2）。（1）证明：平面PAD⊥PCD；（2）试在棱PB上确定一点M，使截面AMC把几何体分成的两部分；（3）在M满足（Ⅱ）的情况下，判断直线AM是否平行面PCD.解：（I）证明：依题意知：（II）由（I）知平面ABCD∴平面PAB⊥平面ABCD.在PB上取一点M，作MN⊥AB，则MN⊥平面ABCD，设MN=h则要使即M为PB的中点.（III）以A为原点，AD、AB、AP所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系则A（0，0，0），B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），M（0，1，）由（I）知平面，则的法向量。又为等腰因为所以AM与平面PCD不平行.6、如图，在四棱锥中，平面平面，，是等边三角形，已知，，．（Ⅰ）设是上的一点，证明：平面平面；（Ⅱ）当点位于线段PC什么位置时，平面？（Ⅲ）求四棱锥的体积．证明：（Ⅰ）在中，∵，，，∴．∴． 2分又 ∵平面平面，平面平面，平面，∴平面．又平面，∴平面平面． 4分（Ⅱ）当点位于线段PC靠近C点的三等分点处时，平面． 5分证明如下：连接AC，交于点N，连接MN．∵，所以四边形是梯形．∵，∴．又 ∵，∴，∴MN． 7分∵平面，∴平面． 9分（Ⅲ）过作交于，∵平面平面，∴平面．即为四棱锥的高． 11分又 ∵是边长为4的等边三角形，∴． 12分在中，斜边边上的高为，此即为梯形的高．∴梯形的面积． 14分故． 15分7、如图, 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，点D是AB的中点， （I）求证：AC⊥BC1； （II）求证：AC 1//平面CDB1；解析：（1）证明线线垂直方法有两类：一是通过三垂线定理或逆定理证明，二是通过线面垂直来证明线线垂直；（2）证明线面平行也有两类：一是通过线线平行得到线面平行，二是通过面面平行得到线面平行.答案:解法一：（I）直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4AB=5，∴ AC⊥BC，且BC1在平面ABC内的射影为BC，∴ AC⊥BC1；（II）设CB1与C1B的交点为E，连结DE，∵ D是AB的中点，E是BC1的中点，∴ DE//AC1，∵ DE平面CDB1，AC1平面CDB1，∴ AC1//平面CDB1；解法二：∵直三棱柱ABC－A1B1C1底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC、BC、C1C两两垂直，如图，以C为坐标原点，直线CA、CB、C1C分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则C（0,0，0），A（3,0，0），C1（0,0，4），B（0,4，0），B1（0,4，4），D（，2,0）（1）∵＝（－3,0，0），＝（0，－4,0），∴ ＝0，∴AC⊥BC1.（2）设CB1与C1B的交战为E，则E（0,2，2）.∵＝（－，0,2），＝（－3,0，4），∴，∴DE∥AC1.点评：2．平行问题的转化：面面平行线面平行线线平行；主要依据是有关的定义及判定定理和性质定理．?8、 如图所示，四棱锥P—ABCD中，ABAD，CDAD，PA底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M为PC的中点。(1)求证：BM∥平面PAD；(2)在侧面PAD内找一点N，使MN平面PBD；(3)求直线PC与平面PBD所成角的正弦。解析：本小题考查直线与平面平行，直线与平面垂直，二面角等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.答案：（1）是的中点，取PD的中点，则，又四边形为平行四边形∥，∥ （4分）（2）以为原点，以、、 所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，在平面内设，，， 由由是的中点，此时 （8分）（3）设直线与平面所成的角为，，设为故直线与平面所成角的正弦为 （12分）解法二：（1）是的中点，取PD的中点，则，又四边形为平行四边形∥，∥ （4分）（2）由（1）知为平行四边形，又同理，为矩形 ∥，，又作故交于，在矩形内，，， 为的中点当点为的中点时， （8分）（3）由（2）知为点到平面的距离，为直线与平面所成的角，设为，直线与平面所成的角的正弦值为点评：（1）证明线面平行只需证明直线与平面内一条直线平行即可；（2）求斜线与平面所成的角只需在斜线上找一点作已知平面的垂线，斜线和射影所成的角，即为所求角；（3）证明线面垂直只需证此直线与平面内两条相交直线垂直变可.这些从证法中都能十分明显地体现出来9、 如图，四棱锥中，侧面是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面是的菱形，为的中点.(Ⅰ)求与底面所成角的大小；(Ⅱ)求证：平面；(Ⅲ)求二面角的余弦值.解析：求线面角关键是作垂线，找射影，求异面直线所成的角采用平移法 ( http: / / www. / wxc / ) 求二面角的大小也可应用面积射影法，比较好的方法是向量法 ( http: / / www. / wxc / )答案：(I)取DC的中点O，由ΔPDC是正三角形，有PO⊥DC．又∵平面PDC⊥底面ABCD，∴PO⊥平面ABCD于O．连结OA，则OA是PA在底面上的射影．∴∠PAO就是PA与底面所成角．∵∠ADC=60°，由已知ΔPCD和ΔACD是全等的正三角形，从而求得OA=OP=．∴∠PAO=45°．∴PA与底面ABCD可成角的大小为45°． ……6分(II)由底面ABCD为菱形且∠ADC=60°，DC=2，DO=1，有OA⊥DC．建立空间直角坐标系如图，则, ．由M为PB中点，∴．∴．∴，．∴PA⊥DM，PA⊥DC． ∴PA⊥平面DMC．……4分(III)．令平面BMC的法向量，则，从而x+z=0； ……①, ，从而． ……②由①、②，取x= 1，则． ∴可取．由(II)知平面CDM的法向量可取，∴． ∴所求二面角的余弦值为－． ……6分法二：（Ⅰ）方法同上（Ⅱ）取的中点，连接，由（Ⅰ）知，在菱形中，由于，则，又，则，即，又在中，中位线，，则，则四边形为，所以，在中，，则，故而，则（Ⅲ）由（Ⅱ）知，则为二面角的平面角，在中，易得，，故，所求二面角的余弦值为点评：本题主要考查异面直线所成的角、线面角及二面角的一般求法，综合性较强 ( http: / / www. / wxc / ) 用平移法求异面直线所成的角，利用三垂线定理求作二面角的平面角，是常用的方法.10、 如图所示：边长为2的正方形ABFC和高为2的直角梯形ADEF所在的平面互相垂直且DE=，ED//AF且∠DAF=90°。（1）求BD和面BEF所成的角的余弦；（2）线段EF上是否存在点P使过P、A、C三点的平面和直线DB垂直，若存在，求EP与PF的比值；若不存在，说明理由。解析：1.先假设存在，再去推理，下结论： 2.运用推理证明计算得出结论，或先利用条件特例得出结论，然后再根据条件给出证明或计算。答案：（1）因为AC、AD、AB两两垂直，建立如图坐标系，则B（2，0，0），D（0，0，2），E（1，1，2），F（2，2，0），则设平面BEF的法向量，则可取，∴向量所成角的余弦为。即BD和面BEF所成的角的余弦。（2）假设线段EF上存在点P使过P、A、C三点的平面和直线DB垂直，不妨设EP与PF的比值为m，则P点坐标为则向量，向量所以。点评：本题考查了线线关系，线面关系及其相关计算，本题采用探索式、开放式设问方式，对学生灵活运用知识解题提出了较高要求。11、 已知正方形 ( http: / / wxc. / ) 、分别是、的中点,将沿折起,如图所示,记二面角的大小为 ( http: / / wxc. / )(I) 证明平面;(II)若为正三角形,试判断点在平面内的射影是否在直线上,证明你的结论,并求角的余弦值 ( http: / / wxc. / )分析:充分发挥空间想像能力，重点抓住不变的位置和数量关系，借助模型图形得出结论，并给出证明.解: (I)证明:EF分别为正方形ABCD得边AB、CD的中点,EB//FD,且EB=FD,四边形EBFD为平行四边形 ( http: / / wxc. / )BF//ED.,平面 ( http: / / wxc. / )(II)如右图,点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上,过点A作AG垂直于平面BCDE,垂足为G,连结GC,GD ( http: / / wxc. / )ACD为正三角形,AC=AD.CG=GD.G在CD的垂直平分线上, 点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上,过G作GH垂直于ED于H,连结AH,则,所以为二面角A-DE-C的平面角 ( http: / / wxc. / ) 即.设原正方体的边长为2a,连结AF,在折后图的AEF中,AF=,EF=2AE=2a,即AEF为直角三角形, .在RtADE中, ., ( http: / / wxc. / )点评：在平面图形翻折成空间图形的这类折叠问题中，一般来说，位于同一平面内的几何元素相对位置和数量关系不变：位于两个不同平面内的元素，位置和数量关系要发生变化，翻折问题常用的添辅助线的方法是作棱的垂线。关键要抓不变的量.12、 设棱锥M-ABCD的底面是正方形，且MA＝MD，MA⊥AB，如果ΔAMD的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径.分析：关键是找出球心所在的三角形，求出内切圆半径.解： ∵AB⊥AD，AB⊥MA，∴AB⊥平面MAD，由此，面MAD⊥面AC.记E是AD的中点，从而ME⊥AD.∴ME⊥平面AC，ME⊥EF.设球O是与平面MAD、平面AC、平面MBC都相切的球.不妨设O∈平面MEF，于是O是ΔMEF的内心.设球O的半径为r，则r＝设AD＝EF＝a,∵SΔAMD＝1.∴ME＝.MF＝,r＝≤＝-1。当且仅当a＝，即a＝时，等号成立.∴当AD＝ME＝时，满足条件的球最大半径为-1.点评：涉及球与棱柱、棱锥的切接问题时一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面，把空间问题化归为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系。注意多边形内切圆半径与面积和周长间的关系；多面体内切球半径与体积和表面积间的关系。13、（本小题满分14分）如图,在四棱锥中,底面是边长为的正方形,侧面底面，若、分别为、的中点.(Ⅰ) //平面；(Ⅱ) 求证:平面平面；解：(Ⅰ)证明：连结，在中，的中位线，// ，且平面，平面，(Ⅱ)证明：∵面面 ，平面面 ，∴平面 ，又,∴面面14、.在直三棱柱中，，，是的中点，是上一点，且．（1）求证： 平面；（2）求三棱锥的体积；（3）试在上找一点，使得平面．解：（1）证明：为中点 ，又直三棱柱中：底面底面，，平面，平面 ．在 矩形中：， ， ，即， ，平面；（2）解：平面=；（3）当时，平面．证明：连，设，连， 为矩形，为中点，为中点，，平面，平面 平面．15、．如图，以长方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A、C及另两个顶点为顶点构造四面体．（1）若该四面体的四个面都是直角三角形，试写出一个这样的四面体（不要求证明）；（2）我们将四面体中两条无公共端点的棱叫做对棱，若该四面体的任一对对棱垂直，试写出一个这样的四面体（不要求证明）；（3）若该四面体的任一对对棱相等，试写出一个这样的四面体（不要求证明），并计算它的体积与长方体的体积的比．解：（1）如四面体A1-ABC或四面体C1-ABC或四面体A1-ACD或四面体C1-ACD；（2）如四面体B1-ABC或四面体D1-ACD；（3）如四面体A-B1CD1设长方体的长、宽、高分别为，则16、已知三棱柱ABC—A1B1C1的三视图如图所示，其中主视图AA1B1B和左视图B1BCC1均为 矩形，俯视图△A1B1C1中，A1C1=3，A1B1=5，（1）在三棱柱ABC—A1B1C1中，求证：BC⊥AC1；（2）在三棱柱ABC—A1B1C1中，若D是底边AB的中点，求证：AC1∥平面CDB1；（3）若三棱柱的高为5，求三视图中左视图的面积.解：（1）因为主视图和左视图均为矩形、所以该三棱柱为直三棱柱，……1分又俯视图△A1B1C1中，A1C1=3，A1B1=5，，由余弦定理可得又∵BC⊥CC1，CC1∩A1C1=C1，∴BC⊥平面ACC1A1∵AC1平面ACC1A1，∴BC⊥AC1……………………………………4分（2）连BC1交B1C于M，则M为BC1的中点，连DM，则DM∥AC1…………6分∵DM平面DCB1，AC1平面DCB1，∴AC1∥平面CDB1……………………8分（3）左视图中BC的长等于底面△ABC中顶点C到边AB的距离d∴左视图的面积………………………………12分17、．如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，为上的点，且BF⊥平面ACE．（1）求证：AE⊥BE；（2）求三棱锥D－AEC的体积；（3）设M在线段AB上，且满足AM＝2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE.解：（1）证明：，∴，则 …………2分又，则∴ 又 ∴ …………4分（2）×× …………8分（3）在三角形ABE中过M点作MG∥AE交BE于G点,在三角形BEC中过G点作GN∥BC交EC于N点,连MN,则由比例关系易得CN＝ …………10分MG∥AE MG平面ADE, AE平面ADE,MG∥平面ADE同理, GN∥平面ADE平面MGN∥平面ADE又MN平面MGN MN∥平面ADEN点为线段CE上靠近C点的一个三等分点 …………12分18、 如图，四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，PA=BC=（1）求证：平面PAC⊥平面PCD；（2）在棱PD上是否存在一点E，使CE∥平面PAB？若存在，请确定E点的位置；若不存在，请说明理由.解证：设PA=1.（1）由题意PA=BC=1，AD=2.……………………………………2分由勾股定理逆定理得AC⊥CD.……………………………………3分又∵PA⊥面ABCD，CD面ABCD，∴PA⊥CD. 又PA∩AC=A，∴CD⊥面PAC.……………………5分又CD面PCD，∴面PAD⊥面PCD.……………………6分（2）作CF∥AB交于AD于F，作EF∥AP交于PD于E，连接CE.……8分∵CF∥AB，EF∥PA，CF∩EF=F，PA∩AB=A，∴平面EFC∥平面PAB.………………10分又CE平面EFC，∴CE∥平面PAB.∵BC=，AF=BC，∴F为AD的中点，∴E为PD中点.故棱PD上存在点E，且E为PD中点，使CE∥面PAB.………12分19.如图，已知点B在以AC为直径的圆上，SA⊥面ABC，AE⊥SB于E，AF⊥SC于F.（1）证明：SC⊥EF；（2）若求三棱锥S—AEF的体积.解：（1）…………4分………6分（2）中，又…………8分由（1）知得…………10分由（1）知…………12分20、在正方体中，已知E、F、G分别是棱AB、AD、的中点．（1）求证：BG//平面；（2）若P为棱上一点，求当等于多少时，平面平面？法一：（1）证明：连接，在正方形中分别为中点， ∴，∴平面， ……2分又分别为中点， ∴，∴， ……4分 ∴平面平面， 又平面，∴平面；…6分法二：延长FE交CB的延长线于H，连接． 由分别为中点， 则，，又G为中点，∴，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ……4分 ∴，又平面，∴平面； ……………6分（2）解：法一：连接AC交于EF于O点，连接， ∵∴， 则为二面角的平面角， …………………………8分 若平面平面EFP，则，设． 在中，，， ， ∴，∴， ……………………………12分∴当时，平面． ……………………………14分法二：当时，平面平面EFP． ……………………7分证明如下：设正方体的棱长为1，则，∴，连接AC与EF交O，连接，，则，，∴，即为直角三角形，∴， ………………………11分又，∴，又，∴平面EFP， ………………………13分又平面，∴平面平面EFP． ………………………14分法三：取D为坐标原点，分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设，设．8分设面的法向量为，则，解得，…10分设面EFP的法向量为，则解得，令，得，∴， ………………………13分∴时，平面平面EFP． ………………………14分BACDPQOPABCDFE·PABCDFE·HGABCMPDABCA1B1C1Exyz转化转化1,3,5ＶAＣＤＢABCDD1+A1+C1+B1+BCADEFMABCDA1D1C1B1GEFP（第17题）ABCDA1D1C1B1GEFPABCDA1D1C1B1GEFPHO21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 1 页）21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 1 页 （共 16 页） 展开更多...... 收起↑ 资源列表 南通市立体几何训练--例题精选.doc 南通市立体几何训练--回归课本.doc
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