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2023-2024学年河北省张家口市尚义一中等校高一（下）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知命题：，都有，则命题的否定为( )
A. ，使得 B. ，总有
C. ，总有 D. ，使得
3.已知幂函数，若函数的图象过点，则( )
A. B. C. D.
4.已知，，，则、、的大小关系是( )
A. B. C. D.
5.若扇形的面积为，圆心角为，则该扇形的弧长为( )
A. B. C. D.
6.已知不等式的解集为，则不等式的解集为( )
A. 或 B.
C. D. 或
7.已知是定义在上的偶函数，且在区间单调递减，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
8.已知函数的定义域为，对于任意实数，满足且，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若集合，，且，则实数的取值为( )
A. B. C. D.
10.下列说法正确的有( )
A. 函数在其定义域内是增函数
B. ，
C. 函数在上单调递减，且值域为
D. 若为偶函数，则也为偶函数
11.若定义域为的函数满足为奇函数，且对任意，，都有，则下列正确的是( )
A. 的图象关于点对称
B. 在上是增函数
C.
D. 关于的不等式的解集为
12.已知，，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知角的终边过点，则的值是______．
14.已知，则 ______．
15.设，且，则的最小值为______．
16.若函数在上单调递增，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知，．
化简；
若，求的值．
18.本小题分
已知为钝角，且．
求，的值；
求的值．
19.本小题分
已知函数．
求函数的定义域；
求的最大值，并求取得最大值时的值．
20.本小题分
已知函数．
判断函数的奇偶性并证明；
若，求实数的值．
21.本小题分
设集合，若关于的不等式的解集为．
求函数的解析式；
求关于的不等式的解集，其中．
22.本小题分
已知函数在区间上有最大值和最小值，且．
求、的值；
若不等式在上有解，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：集合，，
则．
故选：．
利用交集定义、不等式性质求解．
本题考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：根据题意，命题：，都有，
其否定为：，使得．
故选：．
根据题意，由全称命题和特称命题的关系，分析可得答案．
本题考查命题的否定，注意全称命题和特称命题的关系，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：幂函数，函数的图象过点，
则，解得．
故选：．
将点代入幂函数的解析式，即可求解．
本题主要考查幂函数的应用，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：因为，，
所以．
故选：．
结合指数函数的单调性即可比较函数值的大小．
本题主要考查了指数函数单调性在函数值大小比较中的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：，
，
弧长，
故选：．
先利用扇形面积公式求出半径，再利用弧长公式即可求出弧长．
本题主要考查了扇形面积公式和弧长公式，是基础题．
6.【答案】
【解析】解：因为不等式的解集为，
所以，是方程的根，即，
解得，，
所以不等式为，解得或，
所以不等式的解集为或．
故选：．
由已知不等式的解集，可得，是方程的根，再由根与系数的关系，可得，的值，代入所求的不等式中，可得不等式的解集．
本题考查二次不等式的解集与二次方程的根之间的关系的应用及二次不等式的解集的求法，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：函数是定义域为的偶函数，
可转化为，
又在上单调递减，
，
两边平方后解得或，
故的解集为．
故选：．
依题意，可将不等式转化为，继而转化为，解之可得答案．
本题考查函数的奇偶性的应用，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：函数的定义域为，对于任意实数，满足，
取，得，
所以．
故选：．
根据给定条件，利用赋值法得，再按规律计算即得．
本题主要考查了赋值法在抽象函数求值中的应用，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：解得，，则．
当时，方程无解，则；
当时，方程有解，则且，
因为，所以，因此，即或，即．
综上所述，时，的值为，，．
故选：．
空集是任何一个集合的子集，由，分别对和进行分类讨论求实数的值．
本题主要考查集合的包含关系，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：函数在，上单调递增，但在定义域内不单调，A错误；
因为恒成立，B正确；
根据指数函数的性质可知，在上单调递减，且值域为，C正确；
若为偶函数，则，
令，则，即为奇函数，D错误．
故选：．
结合反比例函数的单调性检验选项A；结合二次函数的性质检验选项B；结合指数函数的性质检验选项C；结合函数奇偶性的定义检验选项D即可判断．
本题主要考查了函数的单调性，奇偶性的判断，还考查了二次函数性质的应用，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：由定义域为的函数满足为奇函数，
得，
因此函数关于对称，
由对任意，，都有，
得在上递增，由函数的对称性知，在上递增，
因此在上是增函数，B正确；
显然，则的图象关于点不对称，A错误；
由关于对称，得，C错误；
显然，又在上单调递增，则由，得，D正确．
故选：．
根据给定条件，结合函数的对称性及单调性分别检验各选项即可判断．
本题主要考查了抽象函数对称性，单调性的应用，还考查了不等式的求解，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：因为，，
两边同时平方得，，即，
所以，，，A正确；
，，
所以，，，B正确，C错误；
所以，D正确．
故选：．
由已知结合同角基本关系检验各选项即可求解．
本题主要考查了同角基本关系在三角函数求值中的应用，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：因为角的终边过点，
所以．
故答案为：．
由已知利用任意角的三角函数的定义即可求解．
本题主要考查了任意角的三角函数的定义，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为，则．
故答案为：．
由已知结合同角商的关系进行化简即可求解．
本题主要考查了同角基本关系的应用，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：因为，且，
则，
当且仅当，即，时取等号．
故答案为：．
由已知利用乘法，结合基本不等式即可求解．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：若函数在上单调递增，
则，解得．
故答案为：
由已知结合二次函数及一次函数的单调性及分段函数的性质即可求解．
本题主要考查了一次函数及二次函数的单调性及分段函数的性质的应用，属于中档题．
17.【答案】解：
；
，，则，
又，，
．
【解析】直接利用三角函数的诱导公式化简；
利用三角函数的诱导公式及同角三角函数基本关系式求值．
本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式的应用，是基础题．
18.【答案】解：为钝角，且，
，
；
．
【解析】由已知结合同角三角函数的基本关系式求解；
利用三角函数的诱导公式化简求值．
本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及诱导公式的应用，是基础题．
19.【答案】解：函数有意义，则，即，解得，
所以原函数的定义域为．
显然，当且仅当时取等号，
因为函数在上单调递增，
所以当时，函数取得最大值，最大值为．
【解析】利用对数函数的定义，列出不等式求解即得．
利用对数函数单调性，结合二次函数最值求解即可．
本题主要考查函数的定义域和单调性，属于中档题．
20.【答案】解：函数是奇函数，理由如下：
函数的定义域为全体实数，它关于原点对称，
又，
所以函数是奇函数．
由得函数是奇函数，
若，则，
因为函数、分别是上的减函数、增函数，
因此是减函数，则，解得，
所以实数的值为．
【解析】直接由函数奇偶性的定义判定并证明即可．
结合指数函数单调性可得单调性，再借助奇函数性质即可得解．
本题主要考查函数的奇偶性和单调性，属于中档题．
21.【答案】解：解不等式得，即，
因此，
依题意，，是方程的两个根，于是，
解得，，
所以函数的解析式为；
由知，，
不等式，
即，
显然，解得或，
所以原不等式的解集为．
【解析】解指数不等式求出集合，再借助一元二次不等式的解集求出，即可；
利用的结论，解含参数的一元二次不等式即得．
本题主要考查了指数不等式和一元二次不等式的解法，属于中档题．
22.【答案】解：函数开口向上，对称轴，
所以函数在区间上单调递增，
再由有最大值和最小值，
可得，，
解得，；
由可得：；
因为不等式在上有解，
所以，
设，，所以，
设，，所以函数单调递增，
所以，
由题意只需，
所以不等式在上有解时，．
所以实数的取值范围为．
【解析】由函数的开口方向及对称轴可知，在给定区间上的单调性，进而求出最大值和最小值，由题意可得，的值；
由的函数的解析式，进而可得，换元整理可得的范围．
本题考查二次函数的最值的求法及换元法的应用，属于基础题．
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