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二○二四年新课结束中考热身练习
数学试题
说明：
1．全卷满分为120分，考试时间为120分钟，共6页28道题。
2．考生在答题过程中，不允许使用计算器。若试题计算结果没有要求取近似值，则计算结果取精确值（保留根号和）。
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请将正确选项前的字母代号填在（ ）内）
1. 一个数的相反数的倒数是，则这个数为（ ）
A. B. C. D.
2. 西太湖是苏南仅次于太湖的第二大湖泊，南接宜兴，北通长江，东濒太湖，西接长荡湖，水域面积约平方米，这个数用科学记数法可表示为，其中的值为（ ）
A. B. C. D.
3. 一组数据23，27，20，18，x，12，它们的中位数是21，则x的值为（ ）
A. 21 B. 22 C. 23 D. 24
4. 如图是一个正方体的展开图，则与“学”字相对的是（ ）
A. 核 B. 心 C. 数 D. 养
5. 如图，是外角，，，，则的度数为（　　）
A. B. C. D.
6. 下列函数中，其图象一定不经过第二象限的是（　　）
A. B.
C. D.
7. 如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线的反向延长线交于主光轴上一点P．若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，四个全等的直角三角形围成正方形和正方形，连接，分别交，于点． 已知，正方形的面积为24，则图中阴影部分的面积之和为（ ）
A B. C. D.
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在题中横线上）
9. 16的平方根是___________．
10. 因式分解：________．
11. 在比小的数中，最大的整数是___________．
12. 若分式的值为0，则______．
13. 方程的根为________．
14. 如图，平行四边形中以点B为圆心，适当长为半径作弧，交于F、G，分别以点F、G为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点H，连接并延长，与交于点E，若，则的长为________．
15. 如图，在中，D为边上一点，且，已知，则________．
16. 如图，、是⊙O的两条切线，切点分别是A、B，，则＝_____°．
17. 如图，是的直径，点C、D在上，若，则_______度．
18. 在平面直角坐标系中，已知，，点在轴上，连接，把绕点顺时针旋转得到线段，连接．若是直角三角形，点的横坐标为_____________．
三、解答题（本大题共10小题，共84分。如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19 （1）计算：
（2）化简：
20. 方程和不等式组：
（1）
（2）
21 如图，已知AB∥DE，AB＝DE，AC＝FD，∠CEF＝90°.
(1)求证：△ABF≌△DEC；
(2)求证：四边形BCEF是矩形.
22. 安全使用电瓶车可以大幅度减少因交通事故引发的人身伤害，为此交警部门在全市范围开展了安全使用电瓶车专项宣传活动．在活动前和活动后分别随机抽取了部分使用电瓶车的市民，就骑电瓶车戴安全帽情况进行问卷调查，将收集的数据制成如下统计图表．
活动前骑电瓶车戴安全帽情况统计表
类别 人数
68
245
510
177
合计 1000
（1）宣传活动前，在抽取的市民中哪一类别的人数最多？占抽取人数的百分之几？
（2）该市约有30万人使用电瓶车，请估计活动前全市骑电瓶车“都不戴”安全帽的总人数；
（3）小明认为，宣传活动后骑电瓶车“都不戴”安全帽的人数为178，比活动前增加了1人，因此交警部门开展的宣传活动没有效果．小明分析数据的方法是否合理？请结合统计图表，对小明分析数据的方法及交警部门宣传活动的效果谈谈你的看法．
23. 三张质地相同的卡片如图所示，将卡片洗匀后背面朝上放置在桌面上，甲、乙两人进行如下抽牌游戏：甲先抽一张卡片放回，乙再抽一张．
（1）甲先抽一张卡片，则抽到的卡片上数字为偶数的概率为________；
（2）用树状图或列表的方法表示甲、乙两人游戏所有等可能的结果，并求他们抽到相同数字卡片的概率．
24. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点．
（1）求函数和的表达式；
（2）若在x轴上有一动点C，当时，求点C的坐标．
25. 一酒精消毒瓶如图，为喷嘴，为按压柄，和为导管，其示意图如图，，，．当按压柄按压到底时，此时（如图3）．
（1）求点转动到点的路径长；
（2）求点到直线的距离（结果精确到）．（参考数据：，，，，，）
26. 在中，，，，点在斜边上．
（备用图）
（1）作出经过点，且与边相切于点的（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）；
（2）若（1）中所作的的圆心落在边上，则的半径长为________；
（3）设（1）中所作与交于点，与交于点，当点在斜边上移动时，线段的最小值为________．
27. 对于和上的一点，若平面内的点满足：射线与交于点（点可以与点重合，且，则点称为点关于的“阳光点”．已知点为坐标原点，的半径为，点．
（1）若点是点关于的“阳光点”，且点在轴上，请写出一个符合条件的点的坐标________；
（2）若点是点关于的“阳光点”，且，求点的横坐标t的取值范围；
（3）直线与轴交于点，且与轴交于点，若线段上存在点关于的“阳光点”，请直接写出的取值范围是________．
28. 如图①，动点P从矩形的顶点A出发，以的速度沿折线向终点C运动；同时，一动点Q从点D出发，以的速度沿向终点C运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动．点E为的中点，连接，，记的面积为S，点P运动的时间为t，其函数图像为折线和曲线（图②），已知，，，点G的坐标为．
（1）点P与点Q的速度之比的值为______；的值为______；
（2）如果．
①求线段所在直线的函数表达式；
②求所在曲线的函数表达式；
③是否存在某个时刻t，使得？若存在，求出t的取值范围；若不存在，请说明理由．二○二四年新课结束中考热身练习
数学试题
说明：
1．全卷满分为120分，考试时间为120分钟，共6页28道题。
2．考生在答题过程中，不允许使用计算器。若试题计算结果没有要求取近似值，则计算结果取精确值（保留根号和）。
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请将正确选项前的字母代号填在（ ）内）
1. 一个数的相反数的倒数是，则这个数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据倒数的定义“乘积为1的两个数互为倒数”求出的倒数为，再根据相反数的定义“绝对值相等，正负号相反的两个数互为相反数”求出的相反数即可．
【详解】解：的倒数为，
的相反数为．
故选：C．
【点睛】本题考查相反数和倒数的定义．理解相反数和倒数的定义是解答本题的关键．
2. 西太湖是苏南仅次于太湖的第二大湖泊，南接宜兴，北通长江，东濒太湖，西接长荡湖，水域面积约平方米，这个数用科学记数法可表示为，其中的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查科学记数法，解题的关键是熟记科学记数法的定义：将一个数表示成的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数．
【详解】解：将用科学记数法可表示为，
又∵这个数用科学记数法可表示为，
∴．
故选：C．
3. 一组数据23，27，20，18，x，12，它们的中位数是21，则x的值为（ ）
A. 21 B. 22 C. 23 D. 24
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了中位数的定义以及求解方法，讨论x的位置，把这一组数据按从小到大的顺序排列，根据中位数的定义，即可求出x的大小．
【详解】解：根据题意，x的位置按从小到大排列只能是：12，18，20，x，23，27．
根据中位数是21，得出，
解得．
故选：B．
4. 如图是一个正方体的展开图，则与“学”字相对的是（ ）
A. 核 B. 心 C. 数 D. 养
【答案】B
【解析】
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，据此解答即可．
【详解】解：解：根据正方体展开图的特征，可知“数”与“养”是相对面，“素”与“核”是相对面，
因此与“学”字相对的是“心”字．
故选B．
【点睛】本题考查了正方体的表面展开图，掌握正方体表面展开图的特点是解题的关键．
5. 如图，是外角，，，，则的度数为（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由可得进而即可求；
【详解】∵,
∴
∵
∴．
故选：B.
【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握“两直线平行，内错角相等”定理是解题的关键．
6. 下列函数中，其图象一定不经过第二象限的是（　　）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分别根据正比例函数的性质．反比例函数的性质．二次函数的性质．一次函数的性质进行解答．
【详解】解：A．∵开口向下，对称轴是直线，且函数图像过点，
则函数图像过一．三．四象限，故本选项符合题意；
B．∵的系数，
∴函数图像过二．四象限，故本选项错误；
C．在中，，，
则函数过一．二．三象限，故本选项错误；
D．∵中，，
∴函数图像过二．四象限，故本选项错误；
故选：A．
【点睛】本题考查了正比例函数的性质．反比例函数的性质．二次函数的图象与性质．一次函数的性质，关键是根据系数的符号判断图象的位置．
7. 如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线的反向延长线交于主光轴上一点P．若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，首先求出和，再根据平行线的性质求出和即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
8. 如图，四个全等的直角三角形围成正方形和正方形，连接，分别交，于点． 已知，正方形的面积为24，则图中阴影部分的面积之和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据正方形的面积可得正方形边长的平方，设，则，根据勾股定理可得的平方的值，再根据题意可得，然后可得阴影部分的面积之和为梯形的面积．
【详解】解：，
，
设，
则，
，
，
根据题意可知：
，，
，
，
，
，
阴影部分的面积之和为：
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明、全等图形、梯形的面积，首先要正确理解题意，然后会利用勾股定理和梯形的面积解题．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在题中横线上）
9. 16的平方根是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据平方根的定义即可求解．
【详解】即：16的平方根是
故填：
【点睛】此题主要考查平方根，解题的关键是熟知平方根的定义．
10. 因式分解：________．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了多项式分解因式，正确掌握因式分解的方法是解题的关键．利用提公因式法和平方差公式分解因式即可．
【详解】解：
故答案为：．
11. 在比小的数中，最大的整数是___________．
【答案】1
【解析】
【分析】估算出的范围即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴在比小的数中，最大的整数是：1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握平方数是解题的关键．
12. 若分式的值为0，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查分式的值为0的条件．分式的值是0的条件是，分子为0，分母不为0，进行求解即可．
【详解】解：由题意得，，
，，
，
即当时，分式的值是
故答案为：
13. 方程的根为________．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可求解．
【详解】解：方程可化为，
∴或，
∴，．
故答案为：，
14. 如图，平行四边形中以点B为圆心，适当长为半径作弧，交于F、G，分别以点F、G为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点H，连接并延长，与交于点E，若，则的长为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查作图—基本作图，平行四边形的性质和判定，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识，过点A作交于J．证明四边形是平行四边形，再利用勾股定理的逆定理证明，推出，利用勾股定理求出即可．
【详解】解：如图，过点A作交于J．
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
15. 如图，在中，D为边上一点，且，已知，则________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据题意判定成为解题的关键．
先判定，再根据相似三角形的性质列比例式可得，最后根据线段的和差即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，即，解得：，
∴．
故答案为：．
16. 如图，、是⊙O的两条切线，切点分别是A、B，，则＝_____°．
【答案】109
【解析】
【分析】首先连接，，由是⊙O的切线，即可得，又由，即可求得的度数，然后由圆周角定理，即可求得答案．
【详解】解：连接，，作所对的圆周角，
是⊙O的两条切线，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：109．
【点睛】此题考查了切线的性质与圆周角定理，掌握辅助线的作法，以及四边形内角和是、圆内接四边形对角互补是解题的关键．
17. 如图，是的直径，点C、D在上，若，则_______度．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理的推论，直径所对的圆周角是直角，在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，据此即可求解．
【详解】解：是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
18. 在平面直角坐标系中，已知，，点在轴上，连接，把绕点顺时针旋转得到线段，连接．若是直角三角形，点的横坐标为_____________．
【答案】2或或
【解析】
【分析】分情况讨论：①当点在轴的正半轴上，且时，②当点在轴的正半轴上，且时，③当点在轴的负半轴上，且时，利用全等三角形及直角三角形的性质和正切值求解即可．
【详解】解：，，
，，
设点，
当时，点在直线上（且不与点重合），
点不能为直角顶点，
①如图，当点在轴的正半轴上，且时，
由旋转可知，，，
，，
，
，
，，
，
，即点的横坐标为2；
②如图，当点在轴正半轴上，且时，
过点作于点，则，
由旋转可知，，，
，，
，
，
，，
，
，
，，，
，
，
，即，
解得：或（不合题意，舍去），
点的横坐标为；
③如图，当点在轴的负半轴上，且时，
过点作于点，则，
同理可得，
，，
，，
同理可得，
，
，即，
解得：或（不合题意，舍去），
点的横坐标为；
综上所述，点的横坐标为2或或，
故答案为：2或或．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，角的正切，解题的关键是熟练掌握知识点，注意分类讨论思想的运用．
三、解答题（本大题共10小题，共84分。如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19. （1）计算：
（2）化简：
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题考查实数的运算，整式的混合运算，
（1）先根据零指幂、负整数指数幂、立方根及算术平方根将原式化简，再进行加减运算即可；
（2）先根据平方差公式及单项式乘以多项式的运算法则将原式展开，再合并同类项即可；
掌握相应的运算法则及公式是解题的关键．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
20. 方程和不等式组：
（1）
（2）
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程和解一元一次不等式组的基本解法．
（1）观察可得最简公分母是，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解；
（2）分别求出不等式组中每个不等式的解集，再取它们的公共部分即可．
【小问1详解】
解：，
方程两边同乘最简公分母，得，
解得，
检验：把代入最简公分母，
原方程的解为；
【小问2详解】
解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
∴不等式组的解集为：．
21. 如图，已知AB∥DE，AB＝DE，AC＝FD，∠CEF＝90°.
(1)求证：△ABF≌△DEC；
(2)求证：四边形BCEF是矩形.
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.
【解析】
【分析】(1)首先根据AB∥DE得到∠A＝∠D，然后利用SAS定理判定全等即可；
(2)首先判定四边形BCEF为平行四边形，然后根据有一个角是直角的平行四边形为矩形判定矩形即可.
【详解】证明：(1)∵AB∥DE，
∴∠A＝∠D，
∵AC＝FD，
∴AC﹣CF＝DF﹣CF，
即AF＝CD，
在△ABF与△DEC中，
，
∴△ABF≌△DEC(SAS)；
(2)∵△ABF≌△DEC，
∴EC＝BF，∠ECD＝∠BFA，
∴∠ECF＝∠BFC，
∴EC∥BF，
∴四边形BCEF是平行四边形，
∵∠CEF＝90°，
∴平行四边形BCEF是矩形.
【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，矩形的判定，解题关键在于掌握判定定理.
22. 安全使用电瓶车可以大幅度减少因交通事故引发的人身伤害，为此交警部门在全市范围开展了安全使用电瓶车专项宣传活动．在活动前和活动后分别随机抽取了部分使用电瓶车的市民，就骑电瓶车戴安全帽情况进行问卷调查，将收集的数据制成如下统计图表．
活动前骑电瓶车戴安全帽情况统计表
类别 人数
68
245
510
177
合计 1000
（1）宣传活动前，在抽取的市民中哪一类别的人数最多？占抽取人数的百分之几？
（2）该市约有30万人使用电瓶车，请估计活动前全市骑电瓶车“都不戴”安全帽的总人数；
（3）小明认为，宣传活动后骑电瓶车“都不戴”安全帽的人数为178，比活动前增加了1人，因此交警部门开展的宣传活动没有效果．小明分析数据的方法是否合理？请结合统计图表，对小明分析数据的方法及交警部门宣传活动的效果谈谈你的看法．
【答案】（1）51％（2）有效果
【解析】
【分析】（1）根据表格的人数得到抽取的市民中偶尔戴的人数最多，即可列式求解；（2）用30万乘以抽样中的“都不戴”安全帽的占比即可求解；（3）通过计算宣传活动前后“都不戴”安全帽的百分比即可比较得出结论.
【详解】（1）宣传活动前，在抽取的市民中偶尔戴的人数最多，
占抽取人数：；
答：宣传活动前，在抽取市民中偶尔戴的人数最多，占抽取人数的，
（2）估计活动前全市骑电瓶车“都不戴”安全帽的总人数：30万万（人），
答：估计活动前全市骑电瓶车“都不戴”安全帽的总人数5.31万人；
（3）宣传活动后骑电瓶车“都不戴”安全帽的百分比：，
活动前全市骑电瓶车“都不戴”安全帽的百分比：，
，
因此交警部门开展的宣传活动有效果．
23. 三张质地相同的卡片如图所示，将卡片洗匀后背面朝上放置在桌面上，甲、乙两人进行如下抽牌游戏：甲先抽一张卡片放回，乙再抽一张．
（1）甲先抽一张卡片，则抽到的卡片上数字为偶数的概率为________；
（2）用树状图或列表的方法表示甲、乙两人游戏所有等可能的结果，并求他们抽到相同数字卡片的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查用列表法或画树状图法求概率，
（1）由甲先抽一张卡片，可能出现的数字有种，而且数字出现的可能性相等，抽到的卡片上数字为偶数的只有种，直接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与他们抽到相同数字卡片的情况，再利用概率公式即可求得答案；解题的关键是掌握计算概率的公式：概率等于所求情况数与总情况数之比，注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．
【小问1详解】
解：∵甲先抽一张卡片，可能出现的数字有种，而且数字出现的可能性相等，抽到的卡片上数字为偶数的只有种；
∴抽到的卡片上数字为偶数的概率为，
故答案为：；
【小问2详解】
画树状图得：
∵共有种等可能的结果，他们抽到相同数字卡片的有种情况，
∴他们抽到相同数字卡片的概率为：．
24. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点．
（1）求函数和的表达式；
（2）若在x轴上有一动点C，当时，求点C的坐标．
【答案】（1），
（2）或
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求三角形的面积，求函数的解析式：
（1）将点、分别代入反比例函数和一次函数的解析式，求解即可；
（2）设与y轴交于点D，过点C作轴交于点E，利用三角形的面积公式，列出方程，求解即可．
【小问1详解】
解：将点代入反比例函数中，得，
；
将点分别代入一次函的解析式，得，
，
；
∴反比例函数的解析式为：，一次函数的解析式为：．
【小问2详解】
解：如图，设与y轴交于点D，过点C作轴交于点E设，
令，则
，
．
，
即．
解得或，
∴点C的坐标为或．
25. 一酒精消毒瓶如图，为喷嘴，为按压柄，和为导管，其示意图如图，，，．当按压柄按压到底时，此时（如图3）．
（1）求点转动到点的路径长；
（2）求点到直线的距离（结果精确到）．（参考数据：，，，，，）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查圆的弧长及解直角三角形的应用，
（1）由，求出，可得，根据弧长公式即可求出点转动到点的路径长；
（2）过作于，过作于，中，求出，中，，再代入计算即得到点到直线的距离；
解题的关键是掌握弧长公式，熟练运用三角函数解直角三角形．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴点转动到点的路径长为：，
即点转动到点的路径长为；
【小问2详解】
如图，过作于，过作于，
∵，
在中，，
在中，，
∴，
∵，
∴点到直线的距离约为．
26. 在中，，，，点在斜边上．
（备用图）
（1）作出经过点，且与边相切于点的（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）；
（2）若（1）中所作的的圆心落在边上，则的半径长为________；
（3）设（1）中所作的与交于点，与交于点，当点在斜边上移动时，线段的最小值为________．
【答案】（1）作图见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）过点作，连接，作垂直平分，交于点，以点为圆心为半径作即可；
（2）如图，连接，证明与切于点，根据切线长定理得到，继而得到，设，则，然后在中根据勾股定理得到，代入数据求解即可；
（3）如图，连接、、，得到为的直径，结合三角形三边关系及垂线段最短得到，继而的长度最小值为的长，当时，最短，然后根据求出的长即可．
【小问1详解】
过点作，连接，作垂直平分，交于点，以点为圆心为半径作，
∴，
又∵，为半径，
∴边与切于点且过点，
则即为所作；
【小问2详解】
如图，连接，
∵，，，为半径，
∴与切于点，
又∵与切于点，
∴，，
在中，，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得：，
∴半径长为；
【小问3详解】
如图，连接、、，
∵，即，
∴为的直径，
∴，
当点、、不共线时，，即，
当点、、共线时（点在线段上）时，，则，
综上所述，，
∴的长度最小值为的长，
又∵点在上移动，
∴时，最短，
此时，
∴，
∴，
∴，
∴当点在斜边上移动时，线段的最小值为．
【点睛】本题考查作图—复杂作图，切线的判定与性质，垂直平分线的性质，切线长定理，勾股定理，的圆周角所对的弦是直径，三角形三边关系，垂线段最短，等积法等知识点．复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图逐步操作．
27. 对于和上的一点，若平面内的点满足：射线与交于点（点可以与点重合，且，则点称为点关于的“阳光点”．已知点为坐标原点，的半径为，点．
（1）若点是点关于的“阳光点”，且点在轴上，请写出一个符合条件的点的坐标________；
（2）若点是点关于的“阳光点”，且，求点的横坐标t的取值范围；
（3）直线与轴交于点，且与轴交于点，若线段上存在点关于的“阳光点”，请直接写出的取值范围是________．
【答案】（1）（答案不唯一）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据“阳光点”的定义即可解决问题（答案不唯一）；
（2）如图，在轴上方作射线，与交于，并在射线上取点，使，则，由对称性，将关于轴对称，得，则由题意，上的点是满足条件的点，分别确定点与点的横坐标即可；
（3）是上异于点的任意一点，延长到，使得，易知点的运动轨迹是以为圆心为半径的圆，求出直线与相切时的值，再求出直线经过时的值，即可判断，再根据对称性可得时的取值范围．
【小问1详解】
解：如图，设与交于点，
当点的坐标为时，则，
∴，，
∴，
∴，
根据“阳光点”定义可知，点坐标为时符合题意，
故答案为：（答案不唯一）；
【小问2详解】
如图，在轴上方作射线，与交于，并在射线上取点，使，则，由对称性，将关于轴对称，得，则由题意，上的点是满足条件的点，设交轴于点，
∴，
∵的半径为，点，
∴，
∴，
作轴于，连接，
∴，
∵是的直径，的半径为，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴点的横坐标的取值范围是：；
【小问3详解】
如图，是上异于点的任意一点，延长到，使得，
∵直线与轴交于点，且与轴交于点，
当时，；当时，，
∴，，
∴，
∴，即直线与轴的夹角为，
∵的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
∴点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，
当直线与相切于点时，连接，
在中，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
当直线经过时，满足条件，此时，
观察图像可知：当时，线段上存在点关于的“阳光点”，
根据对称性，同法可得当时，也满足条件，
综上所述，若线段上存在点关于的“阳光点”，则的取值范围是或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查圆的综合题、锐角三角函数、直线与圆的位置关系、新定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加辅助圆解决问题，学会寻找特殊点、特殊位置解决问题．
28. 如图①，动点P从矩形的顶点A出发，以的速度沿折线向终点C运动；同时，一动点Q从点D出发，以的速度沿向终点C运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动．点E为的中点，连接，，记的面积为S，点P运动的时间为t，其函数图像为折线和曲线（图②），已知，，，点G的坐标为．
（1）点P与点Q的速度之比的值为______；的值为______；
（2）如果．
①求线段所在直线的函数表达式；
②求所在曲线的函数表达式；
③是否存在某个时刻t，使得？若存在，求出t的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），
（2）①；②；③存在，或
【解析】
【分析】（1）由函数图象可知时，Q与E重合，时，P与B重合，时，P与C重合，则Q的速度，P的速度，根据矩形的性质即可得出答案；
（2）①当时，P与A重合，Q与D重合，此时，可得，，，从而得出，根据，求出，利用待定系数法求一次函数解析式，即可得到答案；
②根据三角形面积公式可得，根据（1）中可得，，即可求出；
③分类讨论：
当Q在上，P在上时，待定系数法求直线的解析式为，根据函数的性质即可求得；
当Q在上，P在上时，求直线的解析式为，根据函数的性质即可求得；
当Q在上，P在上时，求所在曲线的函数关系为，根据函数的性质即可求得．
【小问1详解】
∵，，点G的坐标为
∴，
函数图象可知时，Q与E重合，时，P与B重合，时，P与C重合
则Q的速度，P的速度，
∵四边形是矩形
∴，
∵为的中点
∴
∴
∵P从A到B用了5秒，从B到C用了3秒，
∴，
∴
故答案为：，．
【小问2详解】
①∵
∴
由题知，时，P与A重合，Q与D重合
∴
∵
∴
即
解得
即，
∴，
当时，P与B重合，此时
∴
∴
∴
设直线的解析式为
将，代入得
解得
∴直线的解析式为；
②当时，
，
故
∴所在曲线的函数表达式为；
③当Q在上，P在上时
∵直线经过点，
设直线的解析式为
代入得
解得
∴直线的解析式为
可得随的增大而减小
当时，
即当时，
当Q在上，P在上时
直线的解析式为
由可得，当时，
当Q在上，P在上时
当时，或
即当时，
综上，当或时，．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，求一次函数解析式，三角形的面积公式，矩形的性质等知识，理解函数图象中每一个拐点的意义是解题的关键．

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