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【全国通用】2024中考数学二轮复习（重难点题型突破）
专题03 反比例函数综合问题-3.2与几何图形结合问题
反比例函数与几何的综合问题，是历年来中考的热点，常见于中考试卷的压轴题中，其融合了特殊平行四边形、特殊三角形的性质、（全等）相似三角形的判定及性质、锐角三角函数的应用等数学核心知识，考查了学生的分类讨论、数形结合、转化化归等数学思想、综合分析和应用知识的能力。
这类问题主要包括反比例函数与特殊三角形的综合、反比例函数与四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形）的综合、反比例函数与圆的综合等三种题型。解反比例函数与几何图形的综合题，一般先设出几何图形中的未知数，然后结合函数的图像用含未知数的式子表示出几何图形与图像的交点坐标，再由函数解析式及几何图形的性质写出含未知数及待求字母系数的方程（组），解方程（组）即可得所求几何图形的未知量或函数解析式中待定字母的值。
特殊几何图形的存在性问题解题思想：（1）找点构成等腰三角形、直角三角形、（特殊）平行四边形等问题；（2）找点构成三角形全等、相似问题；（3）求点的坐标。
虽然部分特殊几何的存在性问题有一定“套路”可循，但大多题目试题命题灵活，并无单一模式，对学生提出了相当大的挑战。然而万变不离其宗，从特殊三角形、四边形本身的性质入手，结合边、角的相互转化，就能拨开迷雾、追寻真迹。
特别注意：（1）这类题大多需要用到分类讨论思想；（2）注意“三角形ABC是 ....”和“以点A、B、C为顶点的三角形是....”的区别，前者顺序已定，后者可以随机顺序，需进一步讨论。
考向一　反比例函数与特殊三角形的综合问题
例1．（2023年黑龙江龙东地区中考数学真题）如图，是等腰三角形，过原点，底边轴，双曲线过两点，过点作轴交双曲线于点，若，则的值是（ ）

A． B． C． D．
例2．（2023年四川省达州市中考数学真题）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于两点，以为边作等边三角形，若反比例函数的图象过点，则的值为 ．

例3．（2023年江苏省镇江市中考数学真题）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A，两点，点C在x轴负半轴上，．(1)______，______，点C的坐标为______．(2)点P在x轴上，若以B，O，P为顶点的三角形与相似，求点P的坐标．

例4．（2023年四川省眉山市中考数学真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点，与反比例函数在第四象限内的图象交于点．
(1)求反比例函数的表达式：(2)当时，直接写出x的取值范围；(3)在双曲线上是否存在点P，使是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

例5．（2023年四川省成都市数学中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与反比例函数的图象的一个交点为，过点B作AB的垂线l．
(1)求点A的坐标及反比例函数的表达式；(2)若点C在直线l上，且的面积为5，求点C的坐标；(3)P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画，使它与位似，相似比为m．若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值．

考向二　反比例函数与特殊四边形的综合问题
例1．（2023年福建省中考真题数学试题）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数和的图象的四个分支上，则实数的值为（　　）

A． B． C． D．3
例2．（2023.山东中考模拟预测）如图，点、为反比例函数上的动点，点、为反比例函数上的动点，若四边形为菱形，则该菱形边长的最小值为___________．
例3．（23-24九年级上·四川达州·阶段练习）如图，矩形的边，，动点在边上（不与、重合），过点的反比例函数的图象与边交于点，直线分别与轴和轴相交于点和．给出下列命题：若，则的面积为；若，则点关于直线的对称点在轴上；满足题设的的取值范围是；若，则；其中正确的命题个数是（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
例4．（2023年四川省泸州市中考数学真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与，轴分别相交于点A，B，与反比例函数的图象相交于点C，已知，点C的横坐标为2．(1)求，的值；(2)平行于轴的动直线与和反比例函数的图象分别交于点D，E，若以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，求点D的坐标．
例5．（2023年河南省中考数学真题）小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点和点B为顶点，分别作菱形和菱形，点D，E在x轴上，以点O为圆心，长为半径作，连接．
(1)求k的值；(2)求扇形的半径及圆心角的度数；(3)请直接写出图中阴影部分面积之和．
考向三　反比例函数与圆的综合问题
例1．（2023年山东省烟台市中考数学真题）如图，在直角坐标系中，与轴相切于点为的直径，点在函数的图象上，为轴上一点，的面积为6，则的值为 ．

例2．（2023春·广东九年级课时练习）已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，点是反比例函数图像上的一个动点，若以点为圆心，为半径的圆与直线相交，交点为、，当弦的长等于时，点的坐标为______．
例3．（2023·广东·统考二模）如图，A，C是双曲线上关于原点对称的点，B，D是双曲线上关于原点对称的点，圆弧与围成了一个封闭图形，当线段AC与BD都最短时，图中阴影部分的面积为 ．
例4．（2023·成都·中考模拟）设双曲线与直线交于，两点（点在第三象限），将双曲线在第一象限的一支沿射线的方向平移，使其经过点，将双曲线在第三象限的一支沿射线的方向平移，使其经过点，平移后的两条曲线相交于点，两点，此时我们称平移后的两条曲线所围部分（如图中阴影部分）为双曲线的“眸”，为双曲线的“眸径”.当双曲线的眸径为6时，的值为__________.
一、选择题
1．（2023年四川省宜宾中考数学真题）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在y，x轴上，轴．点M、N分别在线段、上，，，反比例函数的图象经过M、N两点，P为x正半轴上一点，且，的面积为3，则k的值为（　　）

A． B． C． D．
2．（23-24九年级上·江苏南通·期末）如图，正方形ABCD的顶点分别在函数和的图象上，若轴，点C的纵坐标为4，则的值为（ ）

A．26 B．28 C．30 D．32
3．（22-23九年级上·广西贵港·期末）如图，在平面直角坐标系中有菱形，点A的坐标为，对角线、相交于点，，双曲线经过的中点，交于点，下列四个结论：①；②；③点的坐标是；④连接、，则，则正确的结论有（ ）．
A．个 B．个 C．个 D．个
4．（2023·广西南宁·一模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，点P在以为圆心，1为半径的圆上，点Q是的中点，且长的最大值为1.5，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24九年级上·广东佛山·期末）如图，正方形OABC的边长为4，点D是OA边的中点，连接CD，将△OCD沿着CD折叠得到△ECD，CE与OB交于点F．若反比例函数y＝的图象经过点F，则m的值为（　　）
A． B． C． D．
6．（2021·江苏南通·中考真题）平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于A，B两点，其中点A在第一象限．设为双曲线上一点，直线，分别交y轴于C，D两点，则的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
7．（2021·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在第二象限，其余顶点都在第一象限，AB∥X轴，AO⊥AD，AO=AD．过点A作AE⊥CD，垂足为E，DE=4CE．反比例函数的图象经过点E，与边AB交于点F，连接OE，OF，EF．若，则k的值为（ ）
A． B． C．7 D．
二、填空题
8．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）如图1，矩形的四个顶点、在上，、在上，满足，且点、的横坐标之和等于点的横坐标，则矩形的面积为 ．

9．（23-24九年级·浙江衢州·阶段练习）如图，分别过反比例函数图像上的点P1（1，y1），P2（1+2，y2），P3（1+2+3，y3），．．．，Pn（1+2+3+．．．+n，yn）作x轴的垂线，垂足分别为A1，A2，A3，．．．，An，连接A1P2，A2P3，A3P4，．．．，An-1Pn，再以A1P1，A1P2为一组邻边画一个平行四边形A1P1B1P2，以A2P2，A2P3为一组邻边画一个平行四边形A2P2B2P3，以此类推，则B2的纵坐标是 ；点B1，B2，．．．，Bn的纵坐标之和为 ．
10．（2023年浙江省绍兴市中考数学真题）如图，在平面直角坐标系中，函数（为大于0的常数，）图象上的两点，满足．的边轴，边轴，若的面积为6，则的面积是 ．
11．（2023.江苏中考模拟预测）在平面直角坐标系中，将一点的横坐标与纵坐标互换后得到的点称为它的“互换点”，点M和A为函数的图象第一象限上的一组互换点（M点在A点的左侧）．直线AM分别交x轴、y轴于C、D两点，连接AO交双曲线另一支于点B，连接BM分别交x轴、y轴于点E，F．则下列结论正确的是______．（写出所有正确结论的序号）
①；②；③若，则；④若，M点的横坐标为1，则
12．（2023年浙江省宁波市中考数学真题）如图，点A，B分别在函数图象的两支上（A在第一象限），连接AB交x轴于点C．点D，E在函数图象上，轴，轴，连接．若，的面积为9，四边形的面积为14，则的值为 ，a的值为 ．

13．（2023年江苏省连云港市中考数学真题）如图，矩形的顶点在反比例函数的图像上，顶点在第一象限，对角线轴，交轴于点．若矩形的面积是6，，则 ．

14．（2023·四川成都·二模）某数学小组利用作图软件，将反比例函数和的图象绕点O逆时针旋转45°，得到了美丽的“雪花”图案，再顺次将图象交点连接，得到一个八边形，若该八边形的周长为16，则k＝ ．
15．（2023·四川成都·统考一模）平面直角坐标系中，矩形ABOC的顶点，点B在x轴上，双曲线分别交两边AC，AB于E、F两点（E、F不与A重合），沿着EF将矩形ABOC折叠使A、D两点重合．若折叠后，是等腰三角形，则此时点D的坐标为 ．
16．（2023·四川成都·统考二模）有一边是另一边的倍的三角形叫做幸运三角形，这两边中较长边称为幸运边，这两边的夹角叫做幸运角．如图，是幸运三角形，为幸运边，为幸运角，，点B，C在反比例函数的图象上，点C在点B的上方，且点B的纵坐标为．当是直角三角形且时，则k的值为 ．
三、解答题
17．（2023年辽宁省营口市中考数学真题）如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，，．(1)求反比例函数的解析式；(2)点C在这个反比例函数图象上，连接并延长交x轴于点D，且，求点C的坐标．

18．（2023年四川省广安市中考数学真题）如图，一次函数（为常数，）的图象与反比例函数为常数，的图象在第一象限交于点，与轴交于点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式．(2)点在轴上，是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标．

19．（2022·四川成都·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．(1)求反比例函数的表达式及点的坐标；(2)过点作直线，交反比例函数图象于另一点，连接，当线段被轴分成长度比为的两部分时，求的长；(3)我们把有两个内角是直角，且一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形称为“完美筝形”．设是第三象限内的反比例函数图象上一点，是平面内一点，当四边形是完美筝形时，求，两点的坐标．
20．（2023··成都七中校考三模）直线：与y轴交于点C，反比例函数的图象交于点、B．(1)求a的值及B的坐标；(2)在x轴上存在点D，使，求点D的坐标；
(3)如图2，将反比例函数的图象沿直线：翻折得到一个封闭图形（图中阴影部分），若直线：与此封闭图形有交点，求出满足条件的k的取值范围．

21．（2023·四川成都·二模）如图，已知一次函数分别与x轴和反比例函数交于点．(1)求b和k；(2)C为直线上一动点，过点C作x轴的平行线，与反比例函数交于点D，若四边形为平行四边形，求点C的坐标；(3)我们把两直角边比为1：2的直角三角形称为“黄金直角三角形”，点P为x轴上一动点，Q为反比例函数上一点，当三角形是以为斜边的“黄金直角三角形”时，求点P的坐标．

22．（2023·四川成都·统考模拟预测）如图1，平面直角坐标系中，，反比例函数的图象分别交矩形的两边、于E、F（E、F不与A重合），沿着将矩形折叠使A、D重合．(1)当点E为中点时，求点F的坐标，并直接写出与对角线的关系；
(2)如图2，连接．①的周长是否有最小值，若有，请求出最小值；若没有，请说明理由；
②当平分时，直接写出k的值．
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【全国通用】2024中考数学二轮复习（重难点题型突破）
专题03 反比例函数综合问题-3.2与几何图形结合问题
反比例函数与几何的综合问题，是历年来中考的热点，常见于中考试卷的压轴题中，其融合了特殊平行四边形、特殊三角形的性质、（全等）相似三角形的判定及性质、锐角三角函数的应用等数学核心知识，考查了学生的分类讨论、数形结合、转化化归等数学思想、综合分析和应用知识的能力。
这类问题主要包括反比例函数与特殊三角形的综合、反比例函数与四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形）的综合、反比例函数与圆的综合等三种题型。解反比例函数与几何图形的综合题，一般先设出几何图形中的未知数，然后结合函数的图像用含未知数的式子表示出几何图形与图像的交点坐标，再由函数解析式及几何图形的性质写出含未知数及待求字母系数的方程（组），解方程（组）即可得所求几何图形的未知量或函数解析式中待定字母的值。
特殊几何图形的存在性问题解题思想：（1）找点构成等腰三角形、直角三角形、（特殊）平行四边形等问题；（2）找点构成三角形全等、相似问题；（3）求点的坐标。
虽然部分特殊几何的存在性问题有一定“套路”可循，但大多题目试题命题灵活，并无单一模式，对学生提出了相当大的挑战。然而万变不离其宗，从特殊三角形、四边形本身的性质入手，结合边、角的相互转化，就能拨开迷雾、追寻真迹。
特别注意：（1）这类题大多需要用到分类讨论思想；（2）注意“三角形ABC是 ....”和“以点A、B、C为顶点的三角形是....”的区别，前者顺序已定，后者可以随机顺序，需进一步讨论。
考向一　反比例函数与特殊三角形的综合问题
例1．（2023年黑龙江龙东地区中考数学真题）如图，是等腰三角形，过原点，底边轴，双曲线过两点，过点作轴交双曲线于点，若，则的值是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设，根据反比例函数的中心对称性可得，然后过点A作于E，求出，点D的横坐标为，再根据列式求出，进而可得点D的纵坐标，将点D坐标代入反比例函数解析式即可求出的值．
【详解】解：由题意，设，∵过原点，∴，
过点A作于E，∵是等腰三角形，
∴，∴，点D的横坐标为，
∵底边轴，轴，∴，
∴，∴点D的纵坐标为，
∴，∴，解得：，故选：C．

【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，中心对称的性质，等腰三角形的性质等知识，设出点B坐标，正确表示出点D的坐标是解题的关键．
例2．（2023年四川省达州市中考数学真题）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于两点，以为边作等边三角形，若反比例函数的图象过点，则的值为 ．

【答案】
【分析】过点A作轴交x轴于点D，过点C作轴于点E，连接，首先联立求出，，然后利用勾股定理求出，，然后证明出，利用相似三角形的性质得到，，最后将代入求解即可．
【详解】如图所示，过点A作轴交x轴于点D，过点C作轴于点E，连接，

∵一次函数与反比例函数的图象相交于两点，
∴联立，即，∴解得，∴，，
∴，，∴，∴，
∵是等边三角形，∴，，
∴，∴，
∵，∴，∵，∴，∴，
又∵，∴，∴，即，
∴解得，，∴点C的坐标为，
∴将代入得，．故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
例3．（2023年江苏省镇江市中考数学真题）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A，两点，点C在x轴负半轴上，．(1)______，______，点C的坐标为______．(2)点P在x轴上，若以B，O，P为顶点的三角形与相似，求点P的坐标．

【答案】(1)，，(2)点P的坐标为或
【分析】（1）点B是两函数图象的交点，利用待定系数法求出m，k的值；根据“A，B两点关于原点对称”求出点A的坐标，过点A作x轴的垂线，利用等腰直角三角形的性质，结合图形，求出点C的坐标．（2）根据点P在x轴上，结合图形，排除点P在x轴负半轴上的情形，当点P在x轴正半轴上时，两个三角形中已有一对角相等，而夹角的两边的对应关系不确定，故分类讨论：①；②．分别求出两种情况下的长，从而得出点P的坐标．
【详解】（1）（1）将代入，得，∴．
将代入，得，∴．
如图，过点A作轴于点D，则．

∵点A，B关于原点O对称，∴，∴．
又∵，∴，∴，∴．
故答案为：，，；
（2）由（1）可知，，．
当点P在x轴的负半轴上时，，∴．
又∵，∴与不可能相似．
当点P在x轴的正半轴上时，．
①若，则，∵，∴，∴；
②若，则，
又∵，，∴，∴．
综上所述，点P的坐标为或．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、相似三角形的性质．熟练掌握用待定系数法求函数表达式，并能利用数形结合思想和分类讨论思想分析是解答本题的关键．
例4．（2023年四川省眉山市中考数学真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点，与反比例函数在第四象限内的图象交于点．
(1)求反比例函数的表达式：(2)当时，直接写出x的取值范围；(3)在双曲线上是否存在点P，使是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)(2)或(3)或
【分析】（1）将，代入,求得一次函数表达式，进而可得点C的坐标，再将点C的坐标代入反比例函数即可；（2）将一次函数与反比例函数联立方程组，求得交点坐标即可得出结果；（3）过点A作交y轴于点M，勾股定理得出点M的坐标，在求出直线AP的表达式，与反比例函数联立方程组即可．
【详解】（1）解：把，代入中得：，∴，
∴直线的解析式为，
在中，当时，，∴，
把代入中得：，∴，∴反比例函数的表达式；
（2）解：联立，解得或，
∴一次函数与反比例函数的两个交点坐标分别为，
∴由函数图象可知，当或时，一次函数图象在反比例函数图象上方，
∴当时，或；
（3）解：如图所示，设直线交y轴于点，
∵，，∴，，，
∵是以点A为直角顶点的直角三角形，∴，
∴，∴，解得，∴，
同理可得直线的解析式为，
联立，解得或，∴点P的坐标为或．

【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，勾股定理，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键．
例5．（2023年四川省成都市数学中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与反比例函数的图象的一个交点为，过点B作AB的垂线l．
(1)求点A的坐标及反比例函数的表达式；(2)若点C在直线l上，且的面积为5，求点C的坐标；(3)P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画，使它与位似，相似比为m．若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值．

【答案】(1)点A的坐标为，反比例函数的表达式为；
(2)点C的坐标为或(3)点P的坐标为；m的值为3
【分析】（1）利用直线解析式可的点C的坐标，将点代入可得a的值，再将点代入反比例函数解析式可得k的值，从而得解；
（2）设直线l于y轴交于点M，由点B的坐标和直线l是的垂线先求出点M的坐标，再用待定系数法求直线l的解析式，C点坐标为，根据(分别代表点B与点C的横坐标)可得点C的横坐标，从而得解；
（3） 位似图形的对应点与位似中心三点共线可知点B的对应点也在直线l上，不妨设为点E，则点A的对应点是点D，直线l与双曲线的解析式联立方程组得到，由得到，继而得到直线与直线的解析式中的一次项系数相等，设直线的解析式是：，将代入求得的解析式是：，再将直线与双曲线的解析式联立求得，再用待定系数法求出的解析式是，利用直线的解析式与直线l的解析式联立求得点P的坐标为，再用两点间的距离公式得到，从而求得．
【详解】（1）解：令，则∴点A的坐标为，
将点代入得：解得：∴
将点代入得：解得：∴反比例函数的表达式为；
（2）解：设直线l于y轴交于点M，直线与x轴得交点为N，

令解得：∴，∴，
又∵，∴∵，∴
又∵直线l是的垂线即，，
∴，∴ 设直线l的解析式是：，
将点，点代入得：解得：
∴直线l的解析式是：， 设点C的坐标是
∵，(分别代表点B与点C的横坐标)
解得： 或6，当时，；当时，，
∴点C的坐标为或
（3）∵位似图形的对应点与位似中心三点共线，
∴点B的对应点也在直线l上，不妨设为点E，则点A的对应点是点D，
∴点E是直线l与双曲线的另一个交点，
将直线l与双曲线的解析式联立得：解得：或∴
画出图形如下：又∵∴∴
∴直线与直线的解析式中的一次项系数相等，
设直线的解析式是： 将点代入得：
解得：∴直线的解析式是：
∵点D也在双曲线上，∴点D是直线与双曲线的另一个交点，
将直线与双曲线的解析式联立得：解得：或∴
设直线的解析式是：
将点，代入得：解得：
∴直线的解析式是：，
又将直线的解析式与直线l的解析式联立得：解得：∴点P的坐标为
∴；∴
【点睛】本题考查直线与坐标轴的交点，求反比例函数解析式，反比例函数的图象与性质，反比例函数综合几何问题，三角形的面积公式，位似的性质等知识，综合性大，利用联立方程组求交点和掌握位似的性质是解题的关键．
考向二　反比例函数与特殊四边形的综合问题
例1．（2023年福建省中考真题数学试题）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数和的图象的四个分支上，则实数的值为（　　）

A． B． C． D．3
【答案】A
【分析】如图所示，点在上，证明，根据的几何意义即可求解．
【详解】解：如图所示，连接正方形的对角线，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，点在上，∵，，∴．

∴．∴．∵点在第二象限，∴．故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质，反比例函数的的几何意义，熟练掌握以上知识是解题的关键．
例2．（2023.山东中考模拟预测）如图，点、为反比例函数上的动点，点、为反比例函数上的动点，若四边形为菱形，则该菱形边长的最小值为___________．
【答案】4
【分析】连接AC、BD，则．设，，则．根据两点的距离公式可分别求出AD、AB、OA、OD的长．再根据菱形的性质即得出，即可求出a和m的关系．最后在中，利用勾股定理即可求出AD的最小值．
【详解】如图，连接AC、BD，则．根据题意可设，，则．
∴,,
∴,
∵，∴．整理得：，即
在中，，即，
整理得：，将代入上式得：．
∵，∴．∴该菱形边长的最小值为4．故答案为4．
【点拨】本题考查反比例函数图象和性质，菱形的性质，两点的距离公式以及勾股定理，数据处理难度大，较难．作出辅助线是解答本题的关键．
例3．（23-24九年级上·四川达州·阶段练习）如图，矩形的边，，动点在边上（不与、重合），过点的反比例函数的图象与边交于点，直线分别与轴和轴相交于点和．给出下列命题：若，则的面积为；若，则点关于直线的对称点在轴上；满足题设的的取值范围是；若，则；其中正确的命题个数是（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【分析】若则计算故命题正确；如答图所示，若，可证明直线是线段的垂直平分线，故命题正确；因为点不经过点，所以，即可得出的范围；求出直线的解析式，得到点、的坐标，然后求出线段、的长度； 利用算式，求出，故命题正确．
【详解】∵，∴，，∴，，
∴
，故正确；
∵，∴，，∴，，
如答图，过点作轴于点，则，，
在线段上取一点，使得，连接，
在中，由勾股定理得：，∴，
在中，由勾股定理得：，∴，
又∵，∴点与点关于直线对称，故正确；
由题意，点与点不重合， ∴，∴， 故错误；
设， 则，，设直线的解析式为，则有，
，解得，∴，
令，得，∴，令，得，∴，
如上答图， 过点作轴于点，则，，
在中，，，由勾股定理得：，
在中，，，由勾股定理得：，
∴，解得，∴, 故命题正确；
综上所述，正确的命题是：，共个，故选：．
【点睛】本题主要考查了函数的图象与性质、反比例函数图象上点的坐标特征、比例系数k的几何意义、待定系数法、矩形及勾股定理等多个知识点，解题的关键是掌握以上知识点．
例4．（2023年四川省泸州市中考数学真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与，轴分别相交于点A，B，与反比例函数的图象相交于点C，已知，点C的横坐标为2．(1)求，的值；(2)平行于轴的动直线与和反比例函数的图象分别交于点D，E，若以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，求点D的坐标．
【答案】(1)，；(2)点D的坐标为或
【分析】（1）求得，利用待定系数法即可求得直线的式，再求得，据此即可求解；（2）设点，则点，用平行四边形的性质得到，解方程即可求解．
【详解】（1）解：∵，∴，
∵直线经过点，∴，解得，，∴直线的解析式为，
∵点C的横坐标为2，∴，∴，
∵反比例函数的图象经过点C，∴；
（2）解：由（1）得反比例函数的解析式为，令，则，∴点，
设点，则点，
∵以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，∴，
∴，整理得或，
由得，整理得，解得，
∵，∴，∴点；由得，
整理得，解得，∵，∴，∴点；
综上，点D的坐标为或．
【点睛】此题是反比例函数综合题，考查了待定系数法，平行四边形的性质，解一元二次方程，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
例5．（2023年河南省中考数学真题）小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点和点B为顶点，分别作菱形和菱形，点D，E在x轴上，以点O为圆心，长为半径作，连接．
(1)求k的值；(2)求扇形的半径及圆心角的度数；(3)请直接写出图中阴影部分面积之和．
【答案】(1)(2)半径为2，圆心角为(3)
【分析】（1）将代入中即可求解；（2）利用勾股定理求解边长，再利用三角函数求出的度数，最后结合菱形的性质求解；（3）先计算出，再计算出扇形的面积，根据菱形的性质及结合的几何意义可求出，从而问题即可解答．
【详解】（1）解：将代入中，得，解得：；
（2）解：过点作的垂线，垂足为，如下图：

，，，半径为2；
，∴，，
由菱形的性质知：，，
扇形的圆心角的度数：；
（3）解：，，
，如下图：由菱形知，，

，，．
【点睛】本题考查了反比例函数及的几何意义，菱形的性质、勾股定理、圆心角，解题的关键是掌握的几何意义．
考向三　反比例函数与圆的综合问题
例1．（2023年山东省烟台市中考数学真题）如图，在直角坐标系中，与轴相切于点为的直径，点在函数的图象上，为轴上一点，的面积为6，则的值为 ．

【答案】24
【分析】设，则，则，根据三角形的面积公式得出，列出方程求解即可．
【详解】解：设，∵与轴相切于点， ∴轴，
∴，则点D到的距离为a，
∵为的直径，∴，∴，解得：，故答案为：．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，反比例函数的图象和性质，解题的关键掌握切线的定义：经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线，以及反比例函数图象上点的坐标特征．
例2．（2023春·广东九年级课时练习）已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，点是反比例函数图像上的一个动点，若以点为圆心，为半径的圆与直线相交，交点为、，当弦的长等于时，点的坐标为______．
【答案】或
【分析】当点在直线上方时，作，利用垂径定理可得，由勾股定理易得，作轴交直线于点，由可得，设，则，易得，，因为点在反比例函数图像上，所以易得可得，易得点的坐标，当点在直线下方时，利用对称性可得点的另一坐标．
【详解】解：当点在直线上方时，连接，作，
，而，．作轴交直线于点，
∵∠,∴，，∴，
设，则，，
∵点是反比例函数图像上的一个动点，，
，（负值舍去），
当点在直线下方时，由对称性可知．故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了垂径定理、反比例函数与一次函数的交点、勾股定理等知识点，正确作出恰当的辅助线、利用勾股定理和垂径定理解得是解答此题的关键．
例3．（2023·广东·统考二模）如图，A，C是双曲线上关于原点对称的点，B，D是双曲线上关于原点对称的点，圆弧与围成了一个封闭图形，当线段AC与BD都最短时，图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】设点A，要使当线段AC与BD都最短，就是使OA最短，利用勾股定理表示出OA与x的函数解析式，将其函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质可求出OA的最小值，即可求出AC的值；再利用同样的方法可求出BC的长；再证明△ABC是等边三角形，然后利用扇形的面积公式和三角形的面积公式可求出阴影部分的面积．
【详解】解：设点A， 要使当线段AC与BD都最短，就是使OA最短，
∴， ∴当时，OA的最小值为，
∴x=1（负值舍去），∴点A（1，1），点； ∴AC=，
设点B ， 要使当线段BD都最短，就是使OB最短，
∴，∴当时，OB的最小值为，
∴x=-（负值舍去），∴点B ， 点D；
∵点B和点D，点A和点C关于原点对称 ∴BC=AB=CD=AD，
∴，∴△ABC是等边三角形，∴BC=AC=AB，∴，
∴S阴影部分=．故答案为：
【点睛】本题考查了反比例函数，线段最值，二次函数求最值，等边三角形，弓形面积的计算，解题关键在于求出线段的最值．
例4．（2023·成都·中考模拟）设双曲线与直线交于，两点（点在第三象限），将双曲线在第一象限的一支沿射线的方向平移，使其经过点，将双曲线在第三象限的一支沿射线的方向平移，使其经过点，平移后的两条曲线相交于点，两点，此时我们称平移后的两条曲线所围部分（如图中阴影部分）为双曲线的“眸”，为双曲线的“眸径”.当双曲线的眸径为6时，的值为__________.
【答案】
【详解】以PQ为边，作矩形PQQ′P′交双曲线于点P′、Q′，联立直线AB及双曲线解析式成方程组，通过解方程组可求出点A、B的坐标，由PQ的长度可得出点P的坐标（点P在直线y=-x上找出点P的坐标），由图形的对称性结合点A、B和P的坐标可得出点P′的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出结论．
详解：以PQ为边，作矩形PQQ′P′交双曲线于点P′、Q′，如图所示．
联立直线AB及双曲线解析式成方程组，，解得：，，
∴点A的坐标为（-，-），点B的坐标为（，）．
∵PQ=6，∴OP=3，点P的坐标为（-，）．
根据图形的对称性可知：AB=OO′=PP′，∴点P′的坐标为（-+2，+2）．
又∵点P′在双曲线y=上，∴（-+2） （+2）=k，解得：k=．故答案为．
点睛：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性质以及解一元一次方程，利用矩形的性质结合函数图象找出点P′的坐标是解题的关键．
一、选择题
1．（2023年四川省宜宾中考数学真题）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在y，x轴上，轴．点M、N分别在线段、上，，，反比例函数的图象经过M、N两点，P为x正半轴上一点，且，的面积为3，则k的值为（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过点作轴于点，设点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，则，，，先求出点的坐标为，再根据可得，然后将点的坐标代入反比例函数的解析式可得，从而可得的值，由此即可得．
【详解】解：如图，过点作轴于点，

设点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，则，，，
，，
，，∴，，
，解得，，
，，的面积为3，
，即，整理得：，
将点代入得：，整理得：，
将代入得：，解得，则，故选：B．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的几何应用，熟练掌握反比例函数的性质，正确求出点的坐标是解题关键．
2．（23-24九年级上·江苏南通·期末）如图，正方形ABCD的顶点分别在函数和的图象上，若轴，点C的纵坐标为4，则的值为（ ）

A．26 B．28 C．30 D．32
【答案】D
【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，涉及正方形性质，
连接交于，延长交轴于，设，，根据轴，可得，，，即知，从而，，由在反比例函数的图象上，在的图象上，得，，即得．
【详解】解：连接交于，延长交轴于，如图：

四边形是正方形，，设，，
轴，，，，
，都在反比例函数的图象上，，
，，，，
在反比例函数的图象上，在的图象上，
，，；故选：D．
3．（22-23九年级上·广西贵港·期末）如图，在平面直角坐标系中有菱形，点A的坐标为，对角线、相交于点，，双曲线经过的中点，交于点，下列四个结论：①；②；③点的坐标是；④连接、，则，则正确的结论有（ ）．
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【分析】过作轴于点，过作轴于点，设，则，结合勾股定理可求出x的值，进而可分别求出，，故可判断①②；由菱形的性质可求得的长度，结合勾股定理可求得，结合三角形相似的判定和性质可以得到点的坐标，则可求得双曲线解析式．设，将其代入反比例函数解析式即求得点的横坐标，由此可判断③；由菱形的性质可知，的面积等于菱形的面积的一半，即可判断④．
【详解】解：如图，过作轴于点，过作轴于点，
，．设，则．
∵四边形为菱形，∴，，即，
，，，，故①正确；
，故②错误；
∵，．
在中，，，由勾股定理可得，．
∵轴，，∴，∴，∴．
为中点，即，，，
，．双曲线过点，，
双曲线解析式为．由上可知，，故可设，
将其代入双曲线，得，，，故③正确；
，，故④正确．综上所述，正确的结论有3个．　故选C．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的特征，勾股定理，菱形的性质，三角形相似的判定和性质，坐标与图形．正确作出辅助线是解题的关键．
4．（2023·广西南宁·一模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，点P在以为圆心，1为半径的圆上，点Q是的中点，且长的最大值为1.5，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先确定长的最大时点P的位置，当所在的直线过圆心C，且圆心C在线段上时，最长，设，则，，根据勾股定理计算t的值，可得k的值．
【详解】解：连接，由对称性得：，∵Q是的中点，∴，
∵长的最大值为，∴长的最大值为，
如图，当所在的直线过圆心C，且圆心C在线段上时，最长，过B作轴于D，
∵，∴，∵B在直线上，设，则，，
在中，由勾股定理得：，
∴，解得（舍）或，∴，
∵点B在反比例函数的图象上，∴；故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、圆的性质，勾股定理的应用，解题的关键是利用中位线的性质和圆的性质确定出点P的位置．
5．（23-24九年级上·广东佛山·期末）如图，正方形OABC的边长为4，点D是OA边的中点，连接CD，将△OCD沿着CD折叠得到△ECD，CE与OB交于点F．若反比例函数y＝的图象经过点F，则m的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据折叠的性质得到，，设，利用两点间的距离公式得到，，解关于、的方程组得到点的坐标为，，再利用待定系数法求出直线的解析式为，易得直线的解析式为，解方程组得，，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征求的值．
【详解】解：正方形的边长为4，点是边的中点，
，，，，
沿着折叠得到，，，
设，，，，，
点的坐标为，，设直线的解析式为，
把，，分别代入得，解得，直线的解析式为，
易得直线的解析式为，解方程组得，，，
点，在反比例函数的图象上，．故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握反比例函数为常数，的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值，即．也考查了正方形的性质和折叠的性质．
6．（2021·江苏南通·中考真题）平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于A，B两点，其中点A在第一象限．设为双曲线上一点，直线，分别交y轴于C，D两点，则的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】根据直线与双曲线相交于A，B两点，其中点A在第一象限求得，，再根据为双曲线上一点求得；根据点A与点M的坐标求得直线AM解析式为，进而求得，根据点B与点M的坐标求得直线BM解析式为，进而求得，最后计算即可．
【详解】解：∵直线与双曲线相交于A，B两点，
∴联立可得：解得：或
∵点A在第一象限，∴，．
∵为双曲线上一点，∴．解得：．∴．
设直线AM的解析式为，
将点与点代入解析式可得：解得：
∴直线AM的解析式为．∵直线AM与y轴交于C点，∴．
∴．∴．
∵，∴．设直线BM的解析式为，
将点与点代入解析式可得：
解得：∴直线BM的解析式为．
∵直线BM与y轴交于D点，∴．∴．
∴．∵，∴．
∴
=4．故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的综合应用，涉及到分式方程，一元二次方程和二元一次方程组的求解，正确求出点的坐标和直线解析式是解题关键．
7．（2021·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在第二象限，其余顶点都在第一象限，AB∥X轴，AO⊥AD，AO=AD．过点A作AE⊥CD，垂足为E，DE=4CE．反比例函数的图象经过点E，与边AB交于点F，连接OE，OF，EF．若，则k的值为（ ）
A． B． C．7 D．
【答案】A
【分析】延长EA交x轴于点G，过点F作x轴的垂线，垂足分别为H，则可得△DEA≌△AGO，从而可得DE=AG，AE=OG，若设CE=a，则DE=AG=4a，AD=DC=DE+CE=5a，由勾股定理得AE=OG=3a，故可得点E、A的坐标，由AB与x轴平行，从而也可得点F的坐标，根据 ，即可求得a的值，从而可求得k的值．
【详解】如图，延长EA交x轴于点G，过点F作x轴的垂线，垂足分别为H
∵四边形ABCD是菱形∴CD=AD=AB，CD∥AB
∵AB∥x轴，AE⊥CD∴EG⊥x轴，∠D+∠DAE=90゜
∵OA⊥AD∴∠DAE+∠GAO=90゜∴∠GAO=∠D
∵OA=OD∴△DEA≌△AGO(AAS)∴DE=AG，AE=OG
设CE=a，则DE=AG=4CE=4a，AD=AB=DC=DE+CE=5a
在Rt△AED中，由勾股定理得：AE=3a∴OG=AE=3a，GE=AG+AE=7a∴A（3a,4a），E(3a,7a)
∵AB∥x轴，AG⊥x轴，FH⊥x轴∴四边形AGHF是矩形∴FH=AG=3a，AF=GH
∵E点在双曲线上∴ 即
∵F点在双曲线上，且F点的纵坐标为4a∴ 即∴
∵∴ 解得：
∴ 故选：A．
【点睛】本题是反比例函数与几何的综合题，考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，三角形全等的判定与性质等知识，关键是作辅助线及证明△DEA≌△AGO，从而求得E、A、F三点的坐标．
二、填空题
8．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）如图1，矩形的四个顶点、在上，、在上，满足，且点、的横坐标之和等于点的横坐标，则矩形的面积为 ．

【答案】
【分析】设，，得的横坐标为，由结合构造相似，计算出的坐标，再根据平移求出点坐标，即可求出的值，最后计算矩形面积即可．
【详解】∵点、在上 ∴设，，且
过作轴交轴于，过作交于，过作于，
则，，

∵矩形满足，∴∴
∴,∴，
∵矩形∴从到和从到都可以看成先向右平移，再向上平移
∴，
∵、在上，∴整理得：
∵点、的横坐标之和等于点的横坐标，∴∴，整理得，
代入可得，整理得，解得或，
当，，不合题意；当，，
∴
∴．故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数值的几何意义和反比例函数图象上点的坐标特征．找到符合条件的关键点的坐标是解本题的关键．
9．（23-24九年级·浙江衢州·阶段练习）如图，分别过反比例函数图像上的点P1（1，y1），P2（1+2，y2），P3（1+2+3，y3），．．．，Pn（1+2+3+．．．+n，yn）作x轴的垂线，垂足分别为A1，A2，A3，．．．，An，连接A1P2，A2P3，A3P4，．．．，An-1Pn，再以A1P1，A1P2为一组邻边画一个平行四边形A1P1B1P2，以A2P2，A2P3为一组邻边画一个平行四边形A2P2B2P3，以此类推，则B2的纵坐标是 ；点B1，B2，．．．，Bn的纵坐标之和为 ．
【答案】
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求得点P1、P2的纵坐标，由平行四边形对边平行且相等的性质求得点B1的纵坐标是y2+y1、B2的纵坐标是y3+y2、B3的纵坐标是y4+y3，据此可以推知点Bn的纵坐标是，再求和整理即可．
【详解】∵点P1(1，y1)，P2(1+2，y2)在反比例函数的图象上，
∴，∴．
又∵四边形A1P1B1P2，是平行四边形，∴ ,
∴点B1的纵坐标是：．
∵点P3(1+2+3，y3) 在反比例函数的图象上，∴,
∴点B2的纵坐标是：．
∵点P4(1+2+3+4，y4) 在反比例函数的图象上，∴,
∴点B3的纵坐标是：．…
∴点Bn的纵坐标是：
∴点B1，B2，．．．，Bn的纵坐标之和为
．故答案为，．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的图象．解答此题的关键是根据平行四边形的对边平行且相等的性质求得点Bn的纵坐标为yn+1+yn．
10．（2023年浙江省绍兴市中考数学真题）如图，在平面直角坐标系中，函数（为大于0的常数，）图象上的两点，满足．的边轴，边轴，若的面积为6，则的面积是 ．
【答案】2
【分析】过点作轴于点，轴于点，于点，利用，，得到，结合梯形的面积公式解得，再由三角形面积公式计算，即可解答．
【详解】解：如图，过点作轴于点，轴于点，于点，

；
故答案为：2．
【点睛】本题考查反比例函数中的几何意义，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
11．（2023.江苏中考模拟预测）在平面直角坐标系中，将一点的横坐标与纵坐标互换后得到的点称为它的“互换点”，点M和A为函数的图象第一象限上的一组互换点（M点在A点的左侧）．直线AM分别交x轴、y轴于C、D两点，连接AO交双曲线另一支于点B，连接BM分别交x轴、y轴于点E，F．则下列结论正确的是______．（写出所有正确结论的序号）
①；②；③若，则；④若，M点的横坐标为1，则
【答案】①③④
【分析】设点A（m，n），则M（n，m），求出直线AM的解析式，得到OC=OD，∠ODC=∠OCD=45°，作AP⊥x轴于P，MQ⊥y轴于Q，证明△OAP≌△OMQ，得到∠AOP=∠MOQ，由此判断①正确；过O作OH⊥MA于H，得到DH=CH，结合，得到MH=AH，但是DM与MH不一定相等，故②错误；作，连接FR，求出直线BM的解析式为，得到OF=OE=m-n，证明△BOE≌△AOR，判定四边形AMFR是矩形，得到AR=MF，AM=FR，设MF=2x，则MB=7x，证明△BOE≌△MOF，求出EF=3x，由DM=AC=2x，故③正确；过H作HG⊥x轴于G，AN⊥HG于N，设AH=a，证明△AOM是等边三角形，得到∠AOH=30°，∠HOG=∠OHG=∠AHN=45°，，，得到，求出a，得到A（，1），故④正确．
【详解】解：设点A（m，n），则M（n，m），∴直线AM的解析式为，
∴D（0，m+n），C（m+n，0），∴OC=OD，∴∠ODC=∠OCD=45°，
作AP⊥x轴于P，MQ⊥y轴于Q，∴∠OQM=∠OPA=90°，QM=AP=n，OQ=OP=m，
∴△OAP≌△OMQ，∴∠AOP=∠MOQ，∴，故①正确；
过O作OH⊥MA于H，∵OC=OD，∴DH=CH，
∵，∴DM=AC，∴MH=AH，但是DM与MH不一定相等，
故不一定成立，故②错误；
如图，作，连接FR，则∠BEO=∠ARO，
∵连接AO交双曲线另一支于点B，点A（m，n），∴B（-m，-n），OA=OB，
∵点M（n，m），∴直线BM的解析式为，
∴F（0，m-n），E（n-m，0），∴OF=OE=m-n，
∵∠BOE=∠AOR，∴△BOE≌△AOR，∴OR=OE=OF， ∴∠OFR=∠ORF=45°，
∵∠ARC=∠MEC=∠ACE=45°，∴∠EFR=∠ARF=∠RAC=90°，∴四边形AMFR是矩形，
∴AR=MF，AM=FR，设MF=2x，则MB=7x，∴AC=AR=2x，BF=5x，
∵OE=OF， OA=OM=OB，∠BOE=∠AOR=∠MOE，∴△BOE≌△MOF，∴BE=MF=2x，∴EF=3x，
∵∠FER=∠FRE=45°，∴FR= EF=3x，∴AM=3x，∵DM=AC=2x，∴，故③正确；
过H作HG⊥x轴于G，AN⊥HG于N，设AH=a，
∵，OA=OM，∴△AOM是等边三角形，∴∠AOM=∠OAM=60°，
∵OH⊥MA，∴∠AOH=30°，∴∠AOC=15°，∴∠HOG=∠OHG=∠AHN=45°，
∵AH=a，∴，∴，
∵M点的横坐标为1，∴QM=AP=GN=1，∴，
得，∴，∴A（，1），∴，故④正确；故答案为：①③④．
【点拨】此题考查了反比例函数与一次函数的综合知识，反比例函数的轴对称性，求一次函数的解析式，全等三角形的判定及性质，矩形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，正确掌握各知识点并熟练应用解决问题是解题的关键．
12．（2023年浙江省宁波市中考数学真题）如图，点A，B分别在函数图象的两支上（A在第一象限），连接AB交x轴于点C．点D，E在函数图象上，轴，轴，连接．若，的面积为9，四边形的面积为14，则的值为 ，a的值为 ．

【答案】 12 9
【分析】如图，延长，交于点，与轴交于点，而轴，轴，可得，的面积是5，设，，则，，，利用面积可得，，由，，可得，可得③，再利用方程思想解题即可．
【详解】解：如图，延长，交于点，与轴交于点，而轴，轴，
∴，∵的面积为9，四边形的面积为14，∴的面积是5，

设，，∴，，
∴，，，，
∴，，
整理得：，，
∵，，∴，∴，∴，则③，
把③代入②得：，∴，即④，
把③代入①得：⑤，把④代入⑤得：；故答案为：12；9
【点睛】本题考查的是反比例函数的几何应用，平行线分线段成比例的应用，坐标与图形面积，熟练的利用方程思想解题是关键．
13．（2023年江苏省连云港市中考数学真题）如图，矩形的顶点在反比例函数的图像上，顶点在第一象限，对角线轴，交轴于点．若矩形的面积是6，，则 ．

【答案】
【分析】方法一：根据的面积为，得出，，在中，，得出，根据勾股定理求得，根据的几何意义，即可求解．
方法二：根据已知得出则，即可求解．
【详解】解：方法一：∵，∴
设，则，∴
∵矩形的面积是6，是对角线，∴的面积为，即∴
在中，即即 解得：
在中， ∵对角线轴，则，
∴,
∵反比例函数图象在第二象限，∴，
方法二：∵，∴
设，则，∴，∴，，
∵，∴，故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数的几何意义，余弦的定义，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
14．（2023·四川成都·二模）某数学小组利用作图软件，将反比例函数和的图象绕点O逆时针旋转45°，得到了美丽的“雪花”图案，再顺次将图象交点连接，得到一个八边形，若该八边形的周长为16，则k＝ ．
【答案】/
【分析】先判断八边形为正八边形，进而得出八边形的边长，然后连接OA、OB、OC、BC、AB过点A作AE⊥OB于点E，求出一个中心角的度数，设，用a和正八边形的边长把△ABE三边表示出来，利用求出a的值，即可求出点B的坐标，进而可以求出k的值．
【详解】解：连接OA、OB、OC、BC、AB，过点A作AE⊥OB于点E，BC于x轴交于点D，如图所示：
∵反比例函数的图像关于原点成中心对称图形，的图像也关于原点对称成中心对称图形，且反比例函数的图像与的图像关于x轴或y轴也成轴的对称图形，
∴将反比例函数和的图象绕点O逆时针旋转45°后，将图象交点连接，得到的八边形为正八边形，且O点为八边形的中心，
，，
，，∴，，
，，
设，则，，
、关于x轴对称，，
，，，，
，即解得：，
，点坐标为
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正八边形的性质、三角形相似的判定和性质，求反比例函数关系式，旋转的特点、以及解三角形的知识，作出适当的辅助线是解题的关键．
15．（2023·四川成都·统考一模）平面直角坐标系中，矩形ABOC的顶点，点B在x轴上，双曲线分别交两边AC，AB于E、F两点（E、F不与A重合），沿着EF将矩形ABOC折叠使A、D两点重合．若折叠后，是等腰三角形，则此时点D的坐标为 ．
【答案】或
【分析】分三种情况讨论：①，②，③，分别计算DN和BN的长确定点D的坐标即可解答．
【详解】解：过D点作，
①当时，如图3，有，，
，，，
，，
，，，即；
②当时，如图4，在中，，，
，，
，，即；
③当时，，，
，即，，
此时D、F、B三点共线且F点与B点重合，不符合题意舍去，，
综上所述，所求D点坐标为或．
【点睛】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，相似三角形的判定与性质，翻折的性质，矩形的性质，解直角三角形等知识．解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用分类讨论思想解决问题．
16．（2023·四川成都·统考二模）有一边是另一边的倍的三角形叫做幸运三角形，这两边中较长边称为幸运边，这两边的夹角叫做幸运角．如图，是幸运三角形，为幸运边，为幸运角，，点B，C在反比例函数的图象上，点C在点B的上方，且点B的纵坐标为．当是直角三角形且时，则k的值为 ．
【答案】
【分析】作辅助线构造三垂直模型，证得相似三角形，再利用对应边的关系把、的坐标表示出来，再代入计算即可．
【详解】解：过作轴于，过作于，过作轴于，如图，
，，
，，，
设，则，，，
的纵坐标为，即，，，，
，
点、在函数的图象上，，
解得：（舍去），，，故答案为．
【点睛】本题考查了新定义的理解和运用，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，反比例函数的性质，表示出、的坐标是解题的关键．
三、解答题
17．（2023年辽宁省营口市中考数学真题）如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，，．(1)求反比例函数的解析式；(2)点C在这个反比例函数图象上，连接并延长交x轴于点D，且，求点C的坐标．

【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用正切值，求出，进而得到，即可求出反比例函数的解析式；
（2）过点A作轴于点E，易证四边形是矩形，得到，，再证明是等腰直角三角形，得到，进而得到，然后利用待定系数法求出直线的解析式为，联立反比例函数和一次函数，即可求出点C的坐标．
【详解】（1）解：轴，，，，
，，，点A在反比例函数的图象上，
，反比例函数的解析式为；
（2）解：如图，过点A作轴于点E，
，四边形是矩形，，，
，是等腰直角三角形，，
，，设直线的解析式为，
，解得：，直线的解析式为，
点A、C是反比例函数和一次函数的交点，
联立，解得：或，，．

【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了锐角三角函数值，矩形的判定和性质，待定系数法求函数解析式，反比例函数和一次函数交点问题等知识，求出直线的解析式是解题关键．
18．（2023年四川省广安市中考数学真题）如图，一次函数（为常数，）的图象与反比例函数为常数，的图象在第一象限交于点，与轴交于点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式．(2)点在轴上，是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标．

【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为(2)或或
【分析】（1）根据待定系数法，把已知点代入再解方程即可得出答案；
（2）首先利用勾股定理求出得的长，再分两种情形讨论即可．
【详解】（1）解：把点代入一次函数得，解得：，
故一次函数的解析式为，把点代入，得，，
把点代入，得，故反比例函数的解析式为；
（2）解：，，，
当时，或，当时，点关于直线对称，，
综上所述：点的坐标为或或．
【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了函数图象上点的坐标的特征，等腰三角形的性质等知识，运用分类思想是解题的关键．
19．（2022·四川成都·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．(1)求反比例函数的表达式及点的坐标；(2)过点作直线，交反比例函数图象于另一点，连接，当线段被轴分成长度比为的两部分时，求的长；(3)我们把有两个内角是直角，且一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形称为“完美筝形”．设是第三象限内的反比例函数图象上一点，是平面内一点，当四边形是完美筝形时，求，两点的坐标．
【答案】(1)反比例函数的表达式为，点的坐标为；(2)或(3)，
【分析】(1)首先把点A的坐标代入，即可求得点A的坐标，再把点A的坐标代入，即可求得反比例函数的解析式，再利用方程组，即可求得点B的坐标；
(2)设直线AC的解析式为y=kx+b，点C的坐标为，直线AC与y轴的交点为点D， 把点A、C的坐标分别代入y=kx+b，可求得点D的坐标为，可求得AD、CD的长，再分两种情况分别计算，即可分别求得；(3)方法一：如图，过点作，交的另一支于点，过点作轴的平行线，过点作轴的垂线，交于点，作交于点，设交于点，根据，求得点的坐标，进而求得的解析式，设点D的坐标为(a，b)，根据定义以及在直线上，建立方程组，即可求得点的坐标．
【详解】（1）解：把点A的坐标代入，得，解得a=1，
故点A的坐标为(1,4)，把点A的坐标代入，得k=4，故反比例函数的表达式为，
， 得，解得，，故点A的坐标为(1,4)，点的坐标为；
（2）解：设直线AC的解析式为y=kx+b，点C的坐标为，直线AC与y轴的交点为点D，
把点A、C的坐标分别代入y=kx+b，得， 解得， 故点D的坐标为，
，，
如图：当AD:CD=1:2时，连接BC，
得，得，得，
解得或(舍去)，故或(舍去)，
故此时点C的坐标为(-2,-2)，，
如图：当CD:AD=1:2时，连接BC，
得，得，得，
解得或(舍去)，故或(舍去)，
故此时点C的坐标为 ，，
综上，BC的长为或；
（3）解：如图，过点作，交的另一支于点，过点作轴的平行线，过点作轴的垂线，交于点，作交于点，设交于点，如图
∵设，，则
， 又，，
即，解得或（舍去），则点
设直线的解析式为，将点，，，解得
直线的解析式为
设，根据题意，的中点在直线上，则
∵
则，解得或（在直线上，舍去） ．
综上所述，．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合，利用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式，平面直角坐标系中两点间距离公式，相似三角形的判定与性质等知识，采用分类讨论的思想和待定系数法求解析式是解决本题的关键．
20．（2023··成都七中校考三模）直线：与y轴交于点C，反比例函数的图象交于点、B．(1)求a的值及B的坐标；(2)在x轴上存在点D，使，求点D的坐标；
(3)如图2，将反比例函数的图象沿直线：翻折得到一个封闭图形（图中阴影部分），若直线：与此封闭图形有交点，求出满足条件的k的取值范围．

【答案】(1)；(2)点的坐标为或(3)
【分析】（1）先将点A坐标代入一次函数，求点A的坐标，将点A坐标代入反比例函数，求得的值，再列方程求得点B的坐标即可解答；（2）求出和的长，再利用三角函数求得点到的距离，利用三角形面积公式即可列方程，解答；（3）求出直线：与反比例函数，只有一个交点时的值和交点坐标，利用轴对称的性质，求得该交点坐标在翻折后的对应点坐标，则直线：经过该对应点坐标时，与反比例函数翻折后的解析式也只有一个交点，求出此时的值，即可得到k的取值范围．
【详解】（1）解：代入，可得，解得，，
将代入，可得，解得，反比例函数的解析式为，
列方程，解得，，经检验，，是方程的解，
当时，，；
（2）解：如图，画出图形，过点作的垂线段交于点E，

当时，得，解得，
当时，得，，，，
设，故，，，
，可得方程，解得，，
点的坐标为或；
（3）解：列方程，整理得，
当和，只有一个交点时，只有一个解，
此时，即，解得，
当时，方程为，解得，和的交点为，
如图，设和的交点为，设与反比例函数的图象沿直线：翻折后的函数的交点为F，连接交于点，过点作轴的平行线交于点，连接，故，，，当时，可得，解得，
，，，

，，，
，点M的横坐标为，
当时，可得，，，
将代入，可得，解得，
满足条件的k的取值范围为．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，根据一元二次方程根的情况求系数，轴对称，解直角三角形，正确求出反比例函数，充分利用数形结合的思想是解题的关键．
21．（2023·四川成都·二模）如图，已知一次函数分别与x轴和反比例函数交于点．(1)求b和k；(2)C为直线上一动点，过点C作x轴的平行线，与反比例函数交于点D，若四边形为平行四边形，求点C的坐标；(3)我们把两直角边比为1：2的直角三角形称为“黄金直角三角形”，点P为x轴上一动点，Q为反比例函数上一点，当三角形是以为斜边的“黄金直角三角形”时，求点P的坐标．

【答案】(1) (2)
(3)（，0）或（，0）或（，0）或（，0）
【分析】（1）采用待定系数法计算即可求出．
（2）设出C点坐标，结合平行四边形的性质，表示出D点坐标，再代入到反比例函数中即可求出．
（3）判定出，根据对应边成比例，再结合，解出数值即可．
【详解】（1）解：将点B的坐标代入一次函数表达式得：，则，
则一次函数的表达式为：；将点A的坐标代入上式得：，则，即点A，
将点A的坐标代入反比例函数表达式得：，
即反比例函数的表达式为：，即，．
（2）设点C，
∵四边形为平行四边形，∴CD＝OB＝2，点C与点D的纵坐标相同，
则点D（m﹣2，m﹣2），将点D的坐标代入反比例函数表达式得：，
解得：或（舍），故点C的坐标为：．
（3）设点Q，P 如图所示，分别过点A、Q作x轴的垂线M、N，

∵是直角三角形的斜边，则，∴，
∵，∴，∵，∴，
∵直角边比为1：2，则上述两个三角形的相似比为或2，
即，即＝2或，又解得：或
即点P的坐标为：（，0）或（，0）或（，0）或（，0）．
【点睛】本题主要考查了反比例函数，一次函数，相似三角形，平行四边形的性质等知识点，灵活运用以上知识点解决综合题是解题的关键．
22．（2023·四川成都·统考模拟预测）如图1，平面直角坐标系中，，反比例函数的图象分别交矩形的两边、于E、F（E、F不与A重合），沿着将矩形折叠使A、D重合．(1)当点E为中点时，求点F的坐标，并直接写出与对角线的关系；
(2)如图2，连接．①的周长是否有最小值，若有，请求出最小值；若没有，请说明理由；
②当平分时，直接写出k的值．
【答案】(1)，；(2)①有，；②．
【分析】（1）先求解的坐标，再求解反比例函数的解析式，再求解的坐标，可得为中位线，从而可得结论；（2）①连接、，证明，可得，由，关于对称，可得点D在过点A且与垂直的直线上．可得，则当时取最小值时，有最小值，从而可得答案；②当点在x轴上时，证明，求解，则点坐标为，可得直线解析式为：，直线解析式为：，可得及中点坐标为，同理可得：直线BC解析式为：，设解析式为：，可得解析式为：，可得点F的坐标为，从而可得答案．
【详解】（1）解： 点E为中点，，，
将代入，得，点F的坐标为，
∴，分别为，的中点，∴．
（2）①连接、，，∴，
将代入得，，将代入得，，
，，又，
，，，
∵，关于对称，，，∴点D在过点A且与垂直的直线上．
，
当时取最小值时，有最小值，
如图，此时，点D在线段上．，
又，，
，即，∴，有最小值为．
②当点在x轴上时，同理可得：，而，
∴，，即，点坐标为，
设直线解析式为：，代入，，
得，解得，∴直线解析式为：，
如图，当平分时，∴，∴直线与轴的交点坐标为：，
∴同理可得：直线解析式为：，
联立得，解得，∴中点坐标为，
同理可得：直线BC解析式为：，
∴设解析式为：，代入得，解得，
∴解析式为：，当时，，∴点F的坐标为，．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，反比例函数的解析式，矩形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质，熟练地利用一次函数的性质解题是解本题的关键．
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