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【全国通用】2024中考数学二轮复习（重难点题型突破）
专题03 反比例函数综合问题-3.1与一次函数结合问题
反比例函数与一次函数综合问题是初中《反比例函数》章节的重点内容，考查的相对比较综合，把反比例函数与一次函数结合起来，以不等式、方程组等为核心。在中考数学中，主要是以解答题形式出现。通过熟练运用的方程、不等式与函数三者之间的关系，提升数学学科素养，提高逻辑思维推断能力。本考点是中考高频考点，在各地的中考试卷中均有出现，题目难度较大一些。
1．求函数的解析式
1）求解一次函数的解析式它一般分为四个步骤：设一次函数的解析式为 y = kx + b (k ≠ 0)，列出关于 k、b 的二元一次方程组，解方程组，求出 k、b 的值，写出解析式。
2）反比例函数解析式的求法，是有两种分别是：根据图象特征求出双曲线上某个点的坐标，然后用待定系数法求反比例函数的解析式；由 k 的几何意义直接得反比例函数的解析式。
2．求一次函数与反比例函数的交点坐标
1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定：①k值同号，两个函数必有两个交点；②k值异号，两个函数可能无交点，可能有一个交点，也可能有两个交点；
2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况．
3．涉及自变量取值范围型
当一次函数与反比例函数相交时，联立两解析式，构造方程组，然后求出交点坐标。针对时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围.
4．涉及三角形的面积型
当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解．
1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S△ABC=2S△ACO=|k|；
2）如图②，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C，则S△AOB=S△AOC+S△BOC=+=；
3）如图③，已知反比例函数的图象上的两点，其坐标分别为，，C为AB延长线与x轴的交点，则S△AOB=S△AOC–S△BOC=–=．
考向一　求函数的解析式问题
例1．（2023年河北省中考数学真题）如图，已知点，反比例函数图像的一支与线段有交点，写出一个符合条件的k的数值： ．

【答案】4（答案不唯一，满足均可）
【分析】先分别求得反比例函数图像过A、B时k的值，从而确定k的取值范围，然后确定符合条件k的值即可．
【详解】解：当反比例函数图像过时，；
当反比例函数图像过时，；
∴k的取值范围为∴k可以取4．
故答案为4（答案不唯一，满足均可）．
【点睛】本题主要考查了求反比例函数的解析式，确定边界点的k的值是解答本题的关键．
例2．（2023年四川省宜宾中考数学真题）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角顶点，顶点A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上．
(1)分别求反比例函数的表达式和直线所对应的一次函数的表达式；
(2)在x轴上是否存在一点P，使周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)，
(2)在x轴上存在一点，使周长的值最小,最小值是．
【分析】（1）过点A作轴于点E，过点B作轴于点D，证明，则，由得到点A的坐标是，由A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上得到，解得，得到点A的坐标是，点B的坐标是，进一步用待定系数法即可得到答案；
（2）延长至点，使得，连接交x轴于点P，连接，利用轴对称的性质得到，，则，由知是定值，此时的周长为最小，利用待定系数法求出直线的解析式，求出点P的坐标，再求出周长最小值即可．
【详解】（1）解：过点A作轴于点E，过点B作轴于点D，则，

∵点，，∴，∴，
∵是等腰直角三角形，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴，∴点A的坐标是，
∵A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上．∴，解得，
∴点A的坐标是，点B的坐标是，∴，∴反比例函数的解析式是，
设直线所对应的一次函数的表达式为，把点A和点B的坐标代入得，
，解得,∴直线所对应的一次函数的表达式为，
（2）延长至点，使得，连接交x轴于点P，连接，

∴点A与点关于x轴对称，∴，，
∵，∴的最小值是的长度，
∵，即是定值，
∴此时的周长为最小，设直线的解析式是，
则，解得，∴直线的解析式是，
当时，，解得，即点P的坐标是，
此时，
综上可知，在x轴上存在一点，使周长的值最小，最小值是．
【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数的图象和性质、用到了待定系数法求函数解析式、勾股定理求两点间距离、轴对称最短路径问题、全等三角形的判定和性质等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．
例3．（2023年湖南省湘潭市中考数学真题）如图，点A的坐标是，点B的坐标是，点C为中点，将绕着点B逆时针旋转得到．(1)反比例函数的图像经过点，求该反比例函数的表达式；(2)一次函数图像经过A、两点，求该一次函数的表达式．

【答案】(1)(2)
【分析】（1）由点B的坐标是，点C为中点，可得，，由旋转可得：，，可得，可得，从而可得答案；（2）如图，过作于，则，而，，证明，可得，，，设直线为，再建立方程组求解即可．
【详解】（1）解：∵点B的坐标是，点C为中点，
∴，，由旋转可得：，，
∴，∴，∴反比例函数的表达式为；
（2）如图，过作于，则，而，，

∴，∴，
∴，∴，，∴，∴，
设直线为，∴，解得：，∴直线为．
【点睛】本题考查的是旋转的性质，利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，全等三角形的判定与性质，熟练的求解是解本题的关键．
例4．（2023年浙江省杭州市中考数学真题）在直角坐标系中，已知，设函数与函数的图象交于点和点．已知点的横坐标是2，点的纵坐标是．
(1)求的值．(2)过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第二象限交于点；过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第四象限交于点．求证：直线经过原点．

【答案】(1)，(2)见解析
【分析】（1）首先将点的横坐标代入求出点A的坐标，然后代入求出，然后将点的纵坐标代入求出，然后代入即可求出；（2）首先根据题意画出图形，然后求出点C和点D的坐标，然后利用待定系数法求出所在直线的表达式，进而求解即可．
【详解】（1）∵点的横坐标是2，∴将代入∴，
∴将代入得，，∴，
∵点的纵坐标是，∴将代入得，，∴，
∴将代入得∴解得，∴；
（2）如图所示，由题意可得，，，∴设所在直线的表达式为，
∴，解得，∴，∴当时，，∴直线经过原点．

【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数综合，待定系数法求函数表达式等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
考向二　求函数的交点或取值范围问题
例1．（2023年湖南省怀化市中考数学真题）如图，反比例函数的图象与过点的直线相交于、两点．已知点的坐标为，点为轴上任意一点．如果，那么点的坐标为（ ）

A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】反比例函数的图象过点，可得，进而求得直线的解析式为，得出点的坐标，设，根据，解方程即可求解．
【详解】解：∵反比例函数的图象过点
∴∴设直线的解析式为，
∴，解得：,∴直线的解析式为，
联立，解得：或，∴，
设，∵，解得：或，
∴的坐标为或，故选：D．
【点睛】本题考查一次函数与反比例数交点问题，待定系数法求解析式，求得点的坐标是解题关键．
例2．（2023年浙江省宁波市中考数学真题）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于两点，点的横坐标为1，点的横坐标为，当时，的取值范围是( )

A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】B
【分析】根据不等式与函数图像的关系，当时，的取值范围是指反比例函数在一次函数上方图像对应的的取值范围，数形结合即可得到答案．
【详解】解：由图可知，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于两点，点的横坐标为1，点的横坐标为，
当或时，有反比例函数图像在一次函数图像上方，
即当时，的取值范围是或，故选：B．
【点睛】本题考查由函数图像解不等式，熟练掌握不等式与函数图像的关系是解决问题的关键．
例3．（2023年浙江省湖州市中考数学真题）已知在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为1，点和点在函数的图象上(且)，点和点在函数的图象上．当与的积为负数时，t的取值范围是( )
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】D
【分析】将交点的横坐标1代入两个函数，令二者函数值相等，得．令，代入两个函数表达式，并分别将点A、B的坐标和点C、D的坐标代入对应函数，进而分别求出与的表达式，代入解不等式并求出t的取值范围即可．
【详解】解：∵的图象与反比例函数的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为1，∴．令，则，．
将点和点代入，得；
将点和点代入，得．
∴，，
∴，∴．
∵，
∴，∴．
①当时，，∴不符合要求，应舍去；
②当时，，∴符合要求；
③当时，，∴不符合要求，应舍去；
④当时，，∴符合要求；
⑤当时，，∴不符合要求，应舍去．
综上，t的取值范围是或．故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点，解不等式是本题的关键．
例4．（2023年山东省济南市中考数学真题）综合与实践
如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为．

【问题提出】小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？
【问题探究】小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：
设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标．如图2，反比例函数的图象与直线：的交点坐标为和_________，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或___________m，__________m．

（1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空．
【类比探究】（2）若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由．
【问题延伸】当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，当过点时，直线与反比例函数的图象有唯一交点．
（3）请在图2中画出直线过点时的图象，并求出的值．
【拓展应用】小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在问题”．
（4）若要围出满足条件的矩形地块，且和的长均不小于，请直接写出的取值范围．
【答案】（1）；4；2；（2）不能围出，理由见解析；（3）图见解析，；（4）
【分析】（1）联立反比例函数和一次函数表达式，求出交点坐标，即可解答；
（2）根据得出，，在图中画出的图象，观察是否与反比例函数图像有交点，若有交点，则能围成，否则，不能围成；（3）过点作的平行线，即可作出直线的图象，将点代入，即可求出a的值；（4）根据存在交点，得出方程有实数根，根据根的判别式得出，再得出反比例函数图象经过点，，则当与图象在点左边，点右边存在交点时，满足题意；根据图象，即可写出取值范围．
【详解】解：（1）∵反比例函数，直线：，
∴联立得：，解得：，，
∴反比例函与直线：的交点坐标为和，
当木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或，．
故答案为：4；2．
（2）不能围出．∵木栏总长为，∴，则，
画出直线的图象，如图中所示：
∵与函数图象没有交点，∴不能围出面积为的矩形；
（3）如图中直线所示，即为图象，
将点代入，得：，解得；

（4）根据题意可得∶ 若要围出满足条件的矩形地块， 与图象在第一象限内交点的存在问题，即方程有实数根，
整理得：，∴，解得：，
把代入得：，∴反比例函数图象经过点，
把代入得：，解得：，∴反比例函数图象经过点，
令，，过点，分别作直线的平行线，
由图可知，当与图象在点A左边，点B右边存在交点时，满足题意；
把代入得：，解得：，∴．
【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数综合，解题的关键是正确理解题意，根据题意得出等量关系，掌握待定系数法，会根据函数图形获取数据．
考向三　求反比例函数中的面积问题
例1．（2023年湖北省黄石市中考数学真题）如图，点和在反比例函数的图象上，其中．过点A作轴于点C，则的面积为 ；若的面积为，则 ．

【答案】 2
【分析】根据，得出，根据三角形面积公式，即可求出的面积；过点B作轴于点D，交于点E，根据，，得出，进而得出，根据梯形面积公式，列出方程，化简得，令，则，求出x的值，根据，得出，即，即可解答．
【详解】解：∵，∴，∴，
过点B作轴于点D，交于点E，
∵，∴，∴，
∵，，∴，
∴，
∴，整理得：，
令，则，解得：（舍），，
∵，∴，即，∴，故答案为：，2．

【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是是掌握反比例函数图象上点的坐标特征，灵活运用面积关系建立方程．
例2．（2023年湖北省鄂州市中考数学真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线（其中）相交于，两点，过点B作轴，交y轴于点P，则的面积是 ．

【答案】
【分析】把代入到可求得的值，再把代入双曲线函数的表达式中，可求得的值，进而利用三角形的面积公式进行求解即可．
【详解】∵直线与双曲线（其中）相交于，两点，
∴∴，∴双曲线的表达式为：，，
∵过点作轴，交轴于点，∴，∴，故答案为．
【点睛】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，数形结合是解答此题的关键．
例3．（2023年四川省雅安市中考数学真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为的正方形．点，在坐标轴上．反比例函数的图象经过点．(1)求反比例函数的表达式；(2)点D在反比例函数图象上，且横坐标大于2，．求直线的函数表达式．

【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据四边形是边长为的正方形求出点的坐标，代入求出k；
（2）设，过点D作轴，根据面积列方程，求出点D坐标，再由待定系数法求出直线的函数表达式．
【详解】（1）解：四边形是边长为的正方形，
，；即反比例函数的表达式为．
（2）解：设，过点D作轴，

点，，，∴
，
，
解得：，，经检验，是符合题意的根，即点，
设直线的函数解析式为，得∶
，解得：，即：直线的函数解析式为．
【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义和待定系数法求一次函数解析式，反比例函数图象上任意一点做x轴、y轴的垂线，组成的长方形的面积等于，灵活运用几何意义是解题关键．
例4．（2023年山东省枣庄市中考数学真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点．(1)求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中画出这个一次函数的图象；(2)观察图象，直接写出不等式的解集；(3)设直线与x轴交于点C，若为y轴上的一动点，连接，当的面积为时，求点P的坐标．

【答案】(1)，图见解析(2)或(3)或
【分析】（1）先根据反比例函数的解析式，求出的坐标，待定系数法，求出一次函数的解析式即可，连接，画出一次函数的图象即可；（2）图象法求出不等式的解集即可；
（3）分点在轴的正半轴和负半轴，两种情况进行讨论求解．
【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，∴，∴，∴，
∴，解得：，∴，图象如图所示：

（2）解：由图象可知：不等式的解集为或；
（3）解：当点在轴正半轴上时：

设直线与轴交于点，
∵，当时，，当时，，∴，∴，
∴，解得：；∴；
当点在轴负半轴上时：
，∴
解得：或（不合题意，舍去）；∴．综上：或．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
例5．（2023年广元市中考真题数学试题）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于，B两点，与x轴交于点C，将直线沿y轴向上平移3个单位长度后与反比例函数交于点D，E．(1)求k，m的值及C点坐标；(2)连接，，求的面积．

【答案】(1)；；(2)
【分析】（1）把点代入和求出k、m的值即可；把代入的解析式，求出点C的坐标即可；（2）延长交x轴于点F，先求出平移后的关系式，再求出点D的坐标，然后求出解析式，得出点F的坐标，根据求出结果即可．
【详解】（1）解：把点代入和得：
，，解得：，，
∴的解析式为，反比例函数解析式为，
把代入得：，解得：，∴点C的坐标为；
（2）解：延长交x轴于点F，如图所示：

将直线沿y轴向上平移3个单位长度后解析式为：，
联立，解得：，，∴点，
设直线的解析式为，把，代入得：
，解得：，∴直线的解析式为，
把代入得，解得：，
∴点F的坐标为，∴，∴．
【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，求一次函数解析式，反比例函数解析式，解题的关键是数形结合，熟练掌握待定系数法，能求出一次函数和反比例函数的交点坐标．
一、选择题
1．（2023·广东·九年级期中）反比例函数与在同一坐标系的图象可能为(　　)
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】先判断反比例函数图象的的符号，再判断一次函数中的符号，判断A，B，D选项，根据一次函数解析式可得，一次函数交与轴的正半轴即可判断C选项，进而即可求解．
【详解】解：A、由反比例函数的图象可知，，一次函数图象呈上升趋势且交与轴的正半轴，，即，故本选项错误；B、由反比例函数的图象可知，，一次函数图象呈下降趋势且交与轴的正半轴，，即，故本选项正确；C、由反比例函数的图象可知，，一次函数图象呈上升趋势且交于轴的负半轴，又，故本选项错误；D、由反比例函数的图象可知，，一次函数图象呈下降趋势且交与轴的正半轴，，即，故本选项错误．故选：B．
【点睛】此题主要考查反比例函数与一次函数图象综合，解题的关键是熟知两函数的图象与性质特点．
2．（2023年江苏省淮安市中考数学真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于两点，且与反比例函数在第一象限内的图象交于点．若点坐标为，则的值是（ ）．

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过点作轴于点，则，可得，进而根据已知条件的，求得直线的解析式，将代入，得出点的坐标，代入反比例函数解析式，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作轴于点，则

∴∴ ∵,∴∴ 解得：
∵点在上，∴解得：
∴直线的解析式为当时，即
又反比例函数在第一象限内的图象交于点∴,故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的性质与判定，求得点的坐标是解题的关键．
3．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交点的横坐标分别为和1，直线为与双曲线交点的横坐标分别为和1，若，则自变量x的取值范围是（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合是解题的关键．
根据图象，找出双曲线落在直线上方，且直线落在直线上方的部分对应的自变量x的取值范围即可．
【详解】解：由图象可知，当或时，双曲线落在直线上方，且直线落在直线上方，即，∴若，则自变量x的取值范围是或．故选：D．
4．（2023年安徽中考数学真题）已知反比例函数在第一象限内的图象与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设，则，，将点，代入，得出，代入二次函数，可得当时，，则，得出对称轴为直线，抛物线对称轴在轴的右侧，且过定点，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，设，则，根据图象可得，

将点代入，∴，∴，
∵，∴，∴，
对称轴为直线，当时，，∴抛物线经过点，
∴抛物线对称轴在的右侧，且过定点，当时，，故选：A．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数交点问题，二次函数图象的性质，得出是解题关键．
5．（23-24九年级上·山东德州·期末）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点，则代数式中的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查函数图像的交点以及代数式求值，根据已知代数式的值将所求代数式恒等变形成相应形式是解决问题的关键．把点分别代入与中，可得，，再将所求的代数式变形即可求解．
【详解】解：把点分别代入与中，
得，，即，，
，故选：B．
5．（2023年江苏省宿迁市中考数学真题）如图，直线、与双曲线分别相交于点．若四边形的面积为4，则的值是（ ）

A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】连接四边形的对角线，过作轴，过作轴，直线与轴交于点，如图所示，根据函数图像交点的对称性判断四边形是平行四边形，由平行四边形性质及平面直角坐标系中三角形面积求法，确定，再求出直线与轴交于点，通过联立求出纵坐标，代入方程求解即可得到答案．
【详解】解：连接四边形的对角线，过作轴，过作轴，直线与轴交于点，如图所示：

根据直线、与双曲线交点的对称性可得四边形是平行四边形，
，
直线与轴交于点，当时，，即，
与双曲线分别相交于点，
联立，即，则，由，解得，
，即，解得，故选：A．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数综合，涉及平行四边形的判定与性质，熟练掌握平面直角坐标系中三角形面积求法是解决问题的关键．
6．（2023·广西防城港·二模）边长为的个正方形如图摆放在直角坐标系中，直线平分这个正方形所组成的图形的面积，交其中两个正方形的边于、两点，过点的双曲线的一支交其中两个正方形的边于、两点，连接、、，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设，利用面积法得到，解方程得到，利用待定系数法求出直线解析式为，再确定，接着利用待定系数法确定双曲线的解析式为，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出，，然后用一个矩形的面积分别减去三个三角形的面积计算．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，若方程组无解则两者无交点，待定系数法求函数解析式，解题的关键是：熟练掌握求函数交点．
【详解】解：设，直线平分这个正方形所组成的图形的面积，
，解得：，，
把代入直线得：，解得：，直线解析式为：，
当时，，则，
双曲线经过点，，双曲线的解析式为：，
当时，，解得：，则；
当时，，则，
，故选：．
7．（23-24九年级上·山东淄博·期末）如图，直线与函数的图象交于点B，点A为x轴正半轴上的一点，点C在线段上，且．如果函数的图象经过点C，那么用下列坐标表示的点，在直线上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，待定系数法求函数解析式等知识；过B、C分别作x轴的垂线，垂足分别为E、F；由B点是一次函数与反比例函数的交点求得B的坐标；易证，结合点C在反比例函数图象上，可求得点C的坐标；求出直线解析式，然后一一验证即可．
【详解】解：如图，过B、C分别作x轴的垂线，垂足分别为E、F，
∵B点是一次函数与反比例函数的交点，
∴联立两函数解析式得：，解得：或（舍去），
∴点B的坐标为∴，
∵，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴，∴即点C的纵坐标为1，
∵点C在反比例函数图象上，∴，即，∴点C的坐标为，设直线解析式为，
把B，C两点坐标分别代入得：，解得：，即直线解析式为，
当时，；当时，；
当时，；当时，；
即点在直线上，其它点都不在直线上，故选：C．
二、填空题
8．（2023·江苏·二模）在平面直角坐标系中，若双曲线与直线恰有1个交点，则的值是 ．
【答案】/
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，
联立方程，转化成一元二次方程利用根的判别式推出、的关系即可．
【详解】解：∵双曲线与直线恰有1个交点，
∴只有一个解，整理方程得：，
，∴，∴，∴，故答案为：．
9．（23-24九年级上·内蒙古通辽·期末）定义：一次函数的特征数是．若一次函数的图象向下平移3个单位长度后与反比例函数的图象的其中一个交点A的坐标为，则一次函数的特征数是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，一次函数的平移，新定义问题，熟练掌握一次函数的平移规律，灵活运用交点的意义是解题的关键．根据平移规律，确定解析式为，由反比例函数经过点，确定交点坐标，代入一次函数解析式，确定m值，后根据定义计算即可．
【详解】解：∵一次函数的图象向下平移3个单位长度，
∴一次函数的解析式为，
∵反比例函数经过点，∴，∴，
∴，解得，∴一次函数的特征数是，
故答案为：．
10．（2023年山东省日照市中考数学真题）已知反比例函数（且）的图象与一次函数的图象共有两个交点，且两交点横坐标的乘积，请写出一个满足条件的k值 ．
【答案】（满足都可以）
【分析】先判断出一次函数的图象必定经过第二、四象限，再根据判断出反比例函数图象和一次函数图象的两个交点在同一象限，从而可以得到反比例函数的图象经过第二、四象限，即，最终选取一个满足条件的值即可．
【详解】解：，一次函数的图象必定经过第二、四象限，
，反比例函数图象和一次函数图象的两个交点在同一象限，
反比例函数（且）的函数图象经过第一、三象限，，∴，
∵，∴，∴满足条件的k值可以为1.5，
故答案为：1.5（满足都可以）．
【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的图形性质，解题的关键是根据判断出反比例函数图象和一次函数图象的两个交点在同一象限．
11．（2023年江苏省盐城市中考数学真题）如图，在平面直角坐标系中，点，都在反比例函数的图象上，延长交轴于点，过点作轴于点，连接并延长，交轴于点，连接.若，的面积是，则的值为 .

【答案】6
【分析】过点B作于点F，连接，设点A的坐标为，点B的坐标为，则，证明，则，得到，根据，进一步列式即可求出k的值.
【详解】解：过点B作于点F，连接，设点A的坐标为，点B的坐标为，则，∵，∴，

∵轴于点，∴，∴，
∴，∴，∴，
∵，的面积是，∴，
∴，∴，
则，即，解得，故答案为：6
【点睛】此题考查反比例函数图象和性质、相似三角形的判定和性质等知识，求出是解题关键.
12．（2023年山东省淄博市中考数学真题）如图，在直线：上方的双曲线上有一个动点，过点作轴的垂线，交直线于点，连接，，则面积的最大值是 ．

【答案】3
【分析】设，则，将三角形面积用代数式的形式表示出来，然后根据二次函数的最值，即可求解．
【详解】解：依题意，设，则，则
∴
∵，二次函数图象开口向下，有最大值，∴当时面积的最大值是，故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，反比例数与一次函数的性质，根据题意列出函数关系式是解题的关键．
13．（2023年辽宁省鞍山市中考数学真题）如图，在中，，顶点C，B分别在x轴的正、负半轴上，点A在第一象限，经过点A的反比例函数的图象交AC于点E，过点E作轴，垂足为点F．若点E为的中点，，，则k的值为 ．

【答案】4
【分析】过点作轴于点，证明，得，再根据，可得，再证明，得到的长，设，，得到的坐标，根据两点在同一反比例函数上，可解得的值，从而可得，再利用勾股定理解得，从而求得的值．
【详解】解：如图，过点作轴于点，

轴， ，，，
是的中点，，，
，，即，同理可得，
，，，
设，则，，，
都在反比例函数上，，解得，
，在中，，
，，故答案为：4．
【点睛】本题考查了反比例函数的图像，相似三角形的判定及性质，勾股定理，理解反比例函数图像上的点横坐标与纵坐标的乘积相同，是解题的关键．
14．（2023·四川成都·中考模拟预测）在平面直角坐标系中，已知直线（）与双曲线交于，两点（点在第一象限），直线（）与双曲线交于，两点．当这两条直线互相垂直，且四边形的周长为时，点的坐标为_________．
【答案】或
【分析】首先根据题意求出点A坐标为(，)，从而得出，然后分两种情况：①当点B在第二象限时求出点B坐标为(，)，从而得出，由此可知，再利用平面直角坐标系任意两点之间的距离公式可知：，所以，据此求出，由此进一步通过证明四边形ABCD是菱形加以分析求解即可得出答案；②当点B在第四象限时，方法与前者一样，具体加以分析即可.
【详解】∵直线()与双曲线交于，两点（点在第一象限），
∴联立二者解析式可得：，由此得出点A坐标为(，)，∴，
①当点B在第二象限时，如图所示：
∵直线（）与双曲线交于，两点，
∴联立二者解析式可得：，由此得出点B坐标为(，)，∴，
∵AC⊥BD，∴，
根据平面直角坐标系任意两点之间的距离公式可知：
，
∴，解得：，∴，
根据反比例函数图象的对称性可知：OC=OA，OB=OD，
∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，∴，
∴，解得：或2，∴A点坐标为(，)或(，)，
②当点B在第四象限时，如图所示：∵直线（）与双曲线交于，两点，
∴联立二者解析式可得：，由此得出点B坐标为(，)，∴，
∵AC⊥BD，∴，
根据平面直角坐标系任意两点之间的距离公式可知：
，
∴，解得：，∴，
根据反比例函数图象的对称性可知：OC=OA，OB=OD，
∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，∴，∴，
解得：或2，∴A点坐标为(，)或(，)，
综上所述，点A坐标为：(，)或(，)，故答案为：(，)或(，).
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数图象及性质和菱形性质的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键.
15．（2023·浙江·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，若点P是第一象限内反比例函数图象上一点，且的面积是的面积的2倍，则点P的横坐标为________．
【答案】2或．
【分析】分两种情况讨论，（1）当点P在AB下方时，作，使点O到直线AB和到直线的距离相等；（2）当点P在AB上方时，作，使点O到直线AB的距离的2倍，是到点O到直线的距离，再分别求得直线AB与x轴的交点坐标为，从而得到直线与x轴的交点坐标C，再分别求出直线的解析式，联立直线的解析式与反比例函数，转化为解二元一次方程组，即可得到交点P的坐标从而解题．
【详解】分两种情况讨论：（1）当点P在AB下方时，作，使点O到直线AB和到直线的距离相等，则的面积是的面积的2倍，对于y=x+1，当x=0时，y=1；当y=0时，x=-1；
即直线AB与x轴的交点坐标为，直线与x轴的交点坐标为，
设直线的表达式为：，将点代入得，
直线的表达式为：
联立方程组解得，（舍去），，此时点；
（2）当点P在AB上方时，如图，
作，使点O到直线AB的距离的2倍，是到点O到直线的距离，
直线AB与x轴的交点坐标为，直线与x轴的交点坐标为，
设直线的表达式为：，将点代入得，直线的表达式为：
联立方程组解得，，（舍去） ，
此时点P横坐标为∴点P的横坐标为：2或．故答案为：2或．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及解二元一次方程组、分类讨论、数形结合等数学思想，正确作出辅助图形、掌握相关知识是解题的关键．
16．（23-24九年级上·四川成都·期末）对于平面直角坐标系中的图形M和直线m，给出如下定义：若图形M上有点到直线m的距离为d，那么称这个点为图形M到直线m的“d距点”．如图，双曲线C：和直线：，若图形C到直线l的“距点”只有2个，则n的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】由直线：可知是等腰直角三角形，则，设点为图形到直线的“距点”，作交于，则，作轴交于，则，，则是等腰直角三角形，先找图形到直线的“距点”只有1个时，即只有1个解，亦即：或只有1个解，分两种情况来讨论可得当，时，为图形到直线的“距点”作出当，时的草图，通过作图发现，当时图形在直线上方必定还有两个点到直线的距离为，再根据这两个临界点求解即可．
【详解】解：令直线：与轴，轴分别交于点，点，
对于直线：，当时，，当时，，
∴，，则，∴是等腰直角三角形，则，
设点为图形到直线的“距点”，作交于，则，
作轴交于，则，，
则是等腰直角三角形，∴，则，
即：，先找图形到直线的“距点”只有1个时，
即：只有1个解，亦即：或只有1个解，
∵，则，∴，若，即，
则，解得：，
此时，，解得，即为图形到直线的“距点”
若，即，则，解得：，
此时，，解得，即为图形到直线的“距点”
作出当，时的草图，如下：
通过作图发现，当时图形在直线上方必定还有两个点到直线的距离为，
∴当图形到直线的“距点”只有1个，当图形到直线的“距点”只有3个，
则当图形到直线的“距点”只有2个时，的取值范围，故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，勾股定理，一元二次方程根的问题，利用数形结合的数学思想作出草图，找到满足条件的临界点是解决问题的关键．
三、解答题
17．（2023年四川省自贡市中考数学真题）如图，点在反比例函数图象上．一次函数的图象经过点A，分别交x轴，y轴于点B，C，且与的面积比为．

(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)请直接写出时，x的取值范围．
【答案】(1)反比例函数解析式为，一次函数解析式为或
(2)当一次函数解析式为时，x的取值范围为或；当一次函数解析式为时x的取值范围为或
【分析】（1）将代入得，，解得，可得反比例函数解析式为；当，，则，，当，，则，，由与的面积比为，可得，整理得，即，解得或，当时，将代入得，，解得，则；当时，将代入得，，解得，则；
（2）由一次函数解析式不同分两种情况求解：①当一次函数解析式为时，如图1，联立，解得或，根据函数图象判断x的取值范围即可；②当一次函数解析式为时，如图2，联立，解得或，根据函数图象判断x的取值范围即可．
【详解】（1）解：将代入得，，解得，
∴反比例函数解析式为；
当，，则，，当，，则，，
∵与的面积比为，
∴，整理得，即，解得或，
当时，将代入得，，解得，则；
当时，将代入得，，解得，则；
综上，一次函数解析式为或；
∴反比例函数解析式为，一次函数解析式为或；
（2）解：由题意知，由一次函数解析式不同分两种情况求解：
①当一次函数解析式为时，如图1，

联立，解得或，
由函数图象可知，时，x的取值范围为或；
②当一次函数解析式为时，如图2，
联立，解得或，
由函数图象可知，时，x的取值范围为或；
综上，当一次函数解析式为时，x的取值范围为或；当一次函数解析式为时x的取值范围为或．
【点睛】本题考查了一次函数解析式，反比例函数解析式，一次函数与几何综合，反比例函数与一次函数综合．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
18．（2023年山东省淄博市中考数学真题）如图，直线与双曲线相交于点，．(1)求双曲线及直线对应的函数表达式；(2)将直线向下平移至处，其中点，点在轴上．连接，，求的面积；(3)请直接写出关于的不等式的解集．

【答案】(1)，(2)(3)
【分析】将代入双曲线，求出的值，从而确定双曲线的解析式，再将点代入，确定点坐标，最后用待定系数法求直线的解析式即可；
由平行求出直线的解析式为过点作交于 ，设直线与轴的交点为，与轴的交点为, 可推导出, 再由 ，求出则的面积
数形结合求出x的范围即可.
【详解】（1）将代入双曲线，∴,
∴双曲线的解析式为，将点代入，∴,∴,
将代入,，解得，∴直线解析式为；
（2）∵直线向下平移至,

∴,设直线的解析式为将点代入
∴解得∴直线的解析式为∴
过点作交于,设直线与轴的交点为，与轴的交点为,∴,
∵,∴,
∵,，，∵，，
，∴的面积
（3）由图可知时,
【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，直线平移是性质，数形结合是解题的关键.
19．（2023年辽宁省鞍山市中考数学真题）如图，直线与反比例函数的图象交于点，，过点A作轴交x轴于点C，在x轴正半轴上取一点D，使，连接，．若的面积是6．(1)求反比例函数的解析式．(2)点P为第一象限内直线上一点，且的面积等于面积的2倍，求点P的坐标．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）根据，可得三角形面积之比，计算出的面积，面积乘2即为，解析式可得；（2）根据点的坐标求出直线的解析式为，设符合条件的点，利用面积的倍数关系建立方程解出即可．
【详解】（1）解：∵，的面积是6，∴，∴，
∵图象在第二象限，∴，∴反比例函数解析式为：；
（2）∵点，，在的图象上，∴，，∴，，
设直线的解析式为，
，解得：，∴直线的解析式为，
∵轴交x轴于点C，∴，∴，
设直线上在第一象限的点，∴，
∴，∴，∴．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数关系式．
20．（2023年江苏省泰州市中考数学真题）在平面直角坐标系中，点，的位置和函数、的图像如图所示．以为边在x轴上方作正方形，边与函数的图像相交于点E，边与函数、的图像分别相交于点G、H，一次函数的图像经过点E、G，与y轴相交于点P，连接．

(1)，，求函数的表达式及的面积；
(2)当a、m在满足的条件下任意变化时，的面积是否变化？请说明理由；
(3)试判断直线与边的交点是否在函数的图像上？并说明理由．
【答案】(1)函数的表达式为，的面积为
(2)不变，理由见解析 (3)在，理由见解析
【分析】（1）由，，可得，，，，则，当，，则；当，，解得，则；当，，解得，则；待定系数法求一次函数的解析式为，当，，则，根据，计算求解即可；（2）求解过程同（1）；
（3）设直线的解析式为，将，，代入得，，解得，即，当，，则直线与边的交点坐标为，当，，进而可得结论．
【详解】（1）解：∵，，
∴，，，，∴，
当，，则；当，，解得，则；
当，，解得，则；
设一次函数的解析式为，
将，，代入得，，解得，∴，
当，，则，∴；
∴函数的表达式为，的面积为；
（2）解：的面积不变，理由如下：
∵，，，，∴，
当，，则；当，，解得，则；
当，，解得，则；设一次函数的解析式为，
将，，代入得，，解得，
∴，当，，则，
∴；∴的面积不变；
（3）解：直线与边的交点在函数的图像上，理由如下：
设直线的解析式为，
将，，代入得，，解得，
∴，当，，
∴直线与边的交点坐标为，
当，，∴直线与边的交点在函数的图像上．
【点睛】本题考查了正方形的性质，一次函数解析式，反比例函数解析式，交点坐标．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
21．（2023年黑龙江省大庆市中考数学真题）一次函数与反比例函数的图象交于，两点，点的坐标为．

(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)求的面积；(3)过动点作轴的垂线，与一次函数和反比例函数的图象分别交于，两点，当在的上方时，请直接写出的取值范围．
【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为(2)(3)或
【分析】（1）把分别代入一次函数和反比例函数求出的值即可得到答案；
（2）联立求出点的坐标，令直线与交于点，由直线求出点的坐标，最后由，进行计算即可得到答案；
（3）直接由函数图象即可得到答案．
【详解】（1）解：把代入一次函数，
得，解得：，一次函数的解析式为：，
把代入反比例函数，得，解得：，
反比例函数的解析式为：；
（2）解：联立，解得：或，，
令直线与交于点，如图，当时，，解得：，，
， ，
（3）解：由图象可得：
当在的上方时，的取值范围为：或．
【点睛】本题考查了求反比例函数的解析式、求一次函数的解析式、反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握反比例函数和一次函数的图象与性质，是解题的关键．
22．（2020秋·陕西西安·九年级西安市铁一中学校考期中）【阅读理解】如图1，在平面直角坐标系中，直线的函数关系式，，是直线上任意两个不同的点，过点、分别作轴、轴的平行线交于点，则线段，于是有，即的值仅与的值有关，不妨称为直线的“纵横比”．
【直接应用】（1）直线的“纵横比”为_______，直线的“纵横比”为_______．
【拓展提升】（2）如图2，已知直线与直线互相垂直，请用“纵横比”原理以及相关的几何知识分析与的关系，并加以证明．
【综合应用】（3）如图3，已知点，是轴上一动点，线段绕着点按逆时针方向旋转至线段，设此时点的运动轨迹为直线，若另一条直线，且与有且只有一个公共点，试确定直线的函数关系式．
【答案】（1）2、；（2）k与m的关系为：，证明见详解；（3）或．
【分析】（1）据题目中“纵横比”的含义，答案易得；
（2）如图2，通过证三角形相似，得，再据纵横比的意义得到k、m的关系；
（3）先求出l的关系式，再由（2）的结论得直线m关系式的一次项系数，再由直线m和有且只有一个公共点求得直线m的关系式的常数项即可得到直线m的函数关系式．
【详解】（1）对于直线据题意得其“纵横比”等于|k|，易得直线的“纵横比”为2；直线的“纵横比”为．
（2）如下图：P2过作y轴平行线交于P3，在P1P2上找一点H，过H作x轴的平行线交于P4，得∠P3P2M与∠P1P2G互余 由⊥l得∠MP3P2与∠P1P2G互余
∴∠MP3P2=∠P1P2G∴△P3HP4∽△P2GP1 ∴∴
又由“纵横比”的意义得，∴
又∵，∴．
（3）点的运动轨迹为直线．取其上特殊两点，如下图
由题意知，当P在坐标原点时易知动点B坐标为D(0,8),
当P在点(0,-8)时，动点 B坐标为E(-8,0)；
∴直线l的“纵横比”为∴直线l关系式的一次项系数为1
又∵，利用（2）的结论知直线m关系式的一次项系数为-1
所以可设m关系式为：（b为待定的常量）它和的交点满足方程组
消去并整理得，由于直线m与有且只有一个公共点
∴一元二次方程有两相等实根
∴，解之得 直线m如下图所示
所以直线m的关系式为：或．
【点睛】此题考查一次函数和反比例函数的图象特点及其交点的意义．其关键是要弄清本题目中给的“纵横比”的概念和性质，用之求一次函数关系式中的“k”．
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【全国通用】2024中考数学二轮复习（重难点题型突破）
专题03 反比例函数综合问题-3.1与一次函数结合问题
反比例函数与一次函数综合问题是初中《反比例函数》章节的重点内容，考查的相对比较综合，把反比例函数与一次函数结合起来，以不等式、方程组等为核心。在中考数学中，主要是以解答题形式出现。通过熟练运用的方程、不等式与函数三者之间的关系，提升数学学科素养，提高逻辑思维推断能力。本专题考点是中考高频考点，在各地的中考试卷中均有出现，题目难度较大一些。
1．求函数的解析式
1）求解一次函数的解析式它一般分为四个步骤：设一次函数的解析式为 y = kx + b (k ≠ 0)，列出关于 k、b 的二元一次方程组，解方程组，求出 k、b 的值，写出解析式。
2）反比例函数解析式的求法，是有两种分别是：根据图象特征求出双曲线上某个点的坐标，然后用待定系数法求反比例函数的解析式；由 k 的几何意义直接得反比例函数的解析式。
2．求一次函数与反比例函数的交点坐标
1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定：①k值同号，两个函数必有两个交点；②k值异号，两个函数可能无交点，可能有一个交点，也可能有两个交点；
2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况．
3．涉及自变量取值范围型
当一次函数与反比例函数相交时，联立两解析式，构造方程组，然后求出交点坐标。针对时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围.
4．涉及三角形的面积型
当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解．
1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S△ABC=2S△ACO=|k|；
2）如图②，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C，则S△AOB=S△AOC+S△BOC=+=；
3）如图③，已知反比例函数的图象上的两点，其坐标分别为，，C为AB延长线与x轴的交点，则S△AOB=S△AOC–S△BOC=–=．
考向一　求函数的解析式问题
例1．（2023年河北省中考数学真题）如图，已知点，反比例函数图像的一支与线段有交点，写出一个符合条件的k的数值： ．

例2．（2023年四川省宜宾中考数学真题）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角顶点，顶点A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上．
(1)分别求反比例函数的表达式和直线所对应的一次函数的表达式；
(2)在x轴上是否存在一点P，使周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．

例3．（2023年湖南省湘潭市中考数学真题）如图，点A的坐标是，点B的坐标是，点C为中点，将绕着点B逆时针旋转得到．(1)反比例函数的图像经过点，求该反比例函数的表达式；(2)一次函数图像经过A、两点，求该一次函数的表达式．

例4．（2023年浙江省杭州市中考数学真题）在直角坐标系中，已知，设函数与函数的图象交于点和点．已知点的横坐标是2，点的纵坐标是．
(1)求的值．(2)过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第二象限交于点；过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第四象限交于点．求证：直线经过原点．

考向二　求函数的交点或取值范围问题
例1．（2023年湖南省怀化市中考数学真题）如图，反比例函数的图象与过点的直线相交于、两点．已知点的坐标为，点为轴上任意一点．如果，那么点的坐标为（ ）

A． B． C．或 D．或
例2．（2023年浙江省宁波市中考数学真题）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于两点，点的横坐标为1，点的横坐标为，当时，的取值范围是( )

A．或 B．或 C．或 D．或
例3．（2023年浙江省湖州市中考数学真题）已知在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为1，点和点在函数的图象上(且)，点和点在函数的图象上．当与的积为负数时，t的取值范围是( )
A．或 B．或
C．或 D．或
例4．（2023年山东省济南市中考数学真题）综合与实践
如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为．
【问题提出】小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？

【问题探究】小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：
设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标．如图2，反比例函数的图象与直线：的交点坐标为和_________，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或___________m，__________m．
（1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空．【类比探究】（2）若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由．
【问题延伸】当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，当过点时，直线与反比例函数的图象有唯一交点．（3）请在图2中画出直线过点时的图象，并求出的值．【拓展应用】小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在问题”．（4）若要围出满足条件的矩形地块，且和的长均不小于，请直接写出的取值范围．

考向三　求反比例函数中的面积问题
例1．（2023年湖北省黄石市中考数学真题）如图，点和在反比例函数的图象上，其中．过点A作轴于点C，则的面积为 ；若的面积为，则 ．

例2．（2023年湖北省鄂州市中考数学真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线（其中）相交于，两点，过点B作轴，交y轴于点P，则的面积是 ．

例3．（2023年四川省雅安市中考数学真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为的正方形．点，在坐标轴上．反比例函数的图象经过点．(1)求反比例函数的表达式；(2)点D在反比例函数图象上，且横坐标大于2，．求直线的函数表达式．

例4．（2023年山东省枣庄市中考数学真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点．(1)求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中画出这个一次函数的图象；(2)观察图象，直接写出不等式的解集；(3)设直线与x轴交于点C，若为y轴上的一动点，连接，当的面积为时，求点P的坐标．

例5．（2023年广元市中考真题数学试题）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于，B两点，与x轴交于点C，将直线沿y轴向上平移3个单位长度后与反比例函数交于点D，E．(1)求k，m的值及C点坐标；(2)连接，，求的面积．

一、选择题
1．（2023·广东·九年级期中）反比例函数与在同一坐标系的图象可能为(　　)
A． B．C． D．
2．（2023年江苏省淮安市中考数学真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于两点，且与反比例函数在第一象限内的图象交于点．若点坐标为，则的值是（ ）．

A． B． C． D．
3．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交点的横坐标分别为和1，直线为与双曲线交点的横坐标分别为和1，若，则自变量x的取值范围是（ ）
A． B．或 C． D．或
4．（2023年安徽中考数学真题）已知反比例函数在第一象限内的图象与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（ ）

A． B． C． D．
5．（23-24九年级上·山东德州·期末）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点，则代数式中的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023年江苏省宿迁市中考数学真题）如图，直线、与双曲线分别相交于点．若四边形的面积为4，则的值是（ ）

A． B． C． D．1
6．（2023·广西防城港·二模）边长为的个正方形如图摆放在直角坐标系中，直线平分这个正方形所组成的图形的面积，交其中两个正方形的边于、两点，过点的双曲线的一支交其中两个正方形的边于、两点，连接、、，则（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24九年级上·山东淄博·期末）如图，直线与函数的图象交于点B，点A为x轴正半轴上的一点，点C在线段上，且．如果函数的图象经过点C，那么用下列坐标表示的点，在直线上的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
8．（2023·江苏·二模）在平面直角坐标系中，若双曲线与直线恰有1个交点，则的值是 ．
9．（23-24九年级上·内蒙古通辽·期末）定义：一次函数的特征数是．若一次函数的图象向下平移3个单位长度后与反比例函数的图象的其中一个交点A的坐标为，则一次函数的特征数是 ．
10．（2023年山东省日照市中考数学真题）已知反比例函数（且）的图象与一次函数的图象共有两个交点，且两交点横坐标的乘积，请写出一个满足条件的k值 ．
11．（2023年江苏省盐城市中考数学真题）如图，在平面直角坐标系中，点，都在反比例函数的图象上，延长交轴于点，过点作轴于点，连接并延长，交轴于点，连接.若，的面积是，则的值为 .

12．（2023年山东省淄博市中考数学真题）如图，在直线：上方的双曲线上有一个动点，过点作轴的垂线，交直线于点，连接，，则面积的最大值是 ．

13．（2023年辽宁省鞍山市中考数学真题）如图，在中，，顶点C，B分别在x轴的正、负半轴上，点A在第一象限，经过点A的反比例函数的图象交AC于点E，过点E作轴，垂足为点F．若点E为的中点，，，则k的值为 ．

14．（2023·四川成都·中考模拟预测）在平面直角坐标系中，已知直线（）与双曲线交于，两点（点在第一象限），直线（）与双曲线交于，两点．当这两条直线互相垂直，且四边形的周长为时，点的坐标为_________．
15．（2023·浙江·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，若点P是第一象限内反比例函数图象上一点，且的面积是的面积的2倍，则点P的横坐标为________．
16．（23-24九年级上·四川成都·期末）对于平面直角坐标系中的图形M和直线m，给出如下定义：若图形M上有点到直线m的距离为d，那么称这个点为图形M到直线m的“d距点”．如图，双曲线C：和直线：，若图形C到直线l的“距点”只有2个，则n的取值范围是 ．
三、解答题
17．（2023年四川省自贡市中考数学真题）如图，点在反比例函数图象上．一次函数的图象经过点A，分别交x轴，y轴于点B，C，且与的面积比为．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)请直接写出时，x的取值范围．

18．（2023年山东省淄博市中考数学真题）如图，直线与双曲线相交于点，．(1)求双曲线及直线对应的函数表达式；(2)将直线向下平移至处，其中点，点在轴上．连接，，求的面积；(3)请直接写出关于的不等式的解集．

19．（2023年辽宁省鞍山市中考数学真题）如图，直线与反比例函数的图象交于点，，过点A作轴交x轴于点C，在x轴正半轴上取一点D，使，连接，．若的面积是6．(1)求反比例函数的解析式．(2)点P为第一象限内直线上一点，且的面积等于面积的2倍，求点P的坐标．
20．（2023年江苏省泰州市中考数学真题）在平面直角坐标系中，点，的位置和函数、的图像如图所示．以为边在x轴上方作正方形，边与函数的图像相交于点E，边与函数、的图像分别相交于点G、H，一次函数的图像经过点E、G，与y轴相交于点P，连接．
(1)，，求函数的表达式及的面积；
(2)当a、m在满足的条件下任意变化时，的面积是否变化？请说明理由；
(3)试判断直线与边的交点是否在函数的图像上？并说明理由．

21．（2023年黑龙江省大庆市中考数学真题）一次函数与反比例函数的图象交于，两点，点的坐标为．(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)求的面积；(3)过动点作轴的垂线，与一次函数和反比例函数的图象分别交于，两点，当在的上方时，请直接写出的取值范围．

22．（2020秋·陕西西安·九年级西安市铁一中学校考期中）【阅读理解】如图1，在平面直角坐标系中，直线的函数关系式，，是直线上任意两个不同的点，过点、分别作轴、轴的平行线交于点，则线段，于是有，即的值仅与的值有关，不妨称为直线的“纵横比”．
【直接应用】（1）直线的“纵横比”为_______，直线的“纵横比”为_______．
【拓展提升】（2）如图2，已知直线与直线互相垂直，请用“纵横比”原理以及相关的几何知识分析与的关系，并加以证明．
【综合应用】（3）如图3，已知点，是轴上一动点，线段绕着点按逆时针方向旋转至线段，设此时点的运动轨迹为直线，若另一条直线，且与有且只有一个公共点，试确定直线的函数关系式．
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