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【全国通用】2024中考数学二轮复习（重难点题型突破）
专题04 圆的综合问题-4.1 与全等三角形结合
圆在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就圆与全等三角形综合问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
1.构造全等三角形
利用圆中的等弦，等半径和角平分线等条件构造全等三角形，从而实现边、角的转化。
1）利用等弦构造全等三角形
条件：如图1，PA、PB为⊙O的两条弦，C为劣弧AB的中点，弦CD⊥PA于E，结论：AE=PE+PB。
2）利用等半径构造全等三角形
条件：如图2，AB是⊙O的直径，CD是O的弦，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，结论：CE=DF。
2.圆中常见全等模型：燕尾模型、蝴蝶模型、手拉手（旋转）模型、对角互补模型、半角模型等。
1） 燕尾型/蝴蝶型全等模型
条件：OA，OB是的半径，OC=OD。 结论：①△AOC≌△BOD；②△PAD≌△PBC；
条件：OA，OE是的半径，AD⊥OE，EB⊥OA。结论：①△AOD≌△EOB；②△ABD≌△EDB；
2）手拉手（旋转）型全等模型
注意：圆中的手拉手模型一般是需要辅助线构造出来的（常用旋转或截长补短法）。
条件：是△ABD的外接圆，且AD=BD，∠ADB=，C为圆O上一点。
结论：①△ADC≌△BDC’；②△DCC’是等腰三角形；
特别地，当=60°时，CD=CA+CB； 当=90°时，CD=CA+CB；
考向一　利用等弦构造全等三角形
例1．（22-23九年级下·湖北武汉·期中）如图，A，B，C，P是圆上的四个点，．
(1)判断的形状，并证明你的结论．(2)若，求的长

【答案】(1)是等腰三角形，理由见解析(2)．
【分析】（1）由圆周角定理得到，即可证明问题；（2）作于M，交延长线于N，推出，得到AM=AN，PN=PM，即可证明Rt△ABN≌Rt△ACM，得到，从而求出的长，得到的长，于是求出的长．
【详解】（1）解：是等腰三角形，理由如下：
∵，，，
∴，∴，∴是等腰三角形；
（2）解：作于M，交延长线于N，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，

∴，∵，
∴，∴，∴，
∵，∴，∴．
【点睛】本题考查圆周角定理，等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，关键是通过作辅助线构造全等三角形．
例2．（2023九年级上·浙江·专题练习）已知：如图，是的直径，点C、D为圆上两点，且弧弧，于点F，的延长线于点E．求证：．
【答案】见解析
【分析】由弧弧，根据圆周角定理得到，，而，，根据角平分线定理得到，于是有，即可得到结论．
【详解】证明：∵弧弧，∴，，
又∵，，∴，∴，∴．
【点睛】本题考查了在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等．也考查了圆周角定理、角平分线的性质以及三角形全等的判定与性质．
例3．（2023·湖北武汉·模拟预测）如图，为圆内接四边形的对角线，且点D为的中点；(1)如图1，若、直接写出与的数量关系；
(2)如图2、若、平分，，求的长度．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）如图：绕B逆时针旋转交于E,即，先说明是等边三角形可得；再说明是等边三角形可得 ，进而证明可得，最后根据即可证明结论；（2）如图：连接,交于E，先说明为直径,即，再运用圆周角定理和勾股定理可得，进而求得、，最后运用勾股定理即可解答
【详解】（1）解：如图：绕B逆时针旋转交于E，即，
∵，∴，∴是等边三角形，∴ ,
∵点D为的中点∴，∵，∴是等边三角形，
∴ ，∴,即,
∴，∴,∴,即．

（2）解：如图：连接，交于E，∵，∴为直径,即
∵点D为的中点，∴， ∴,即,解得：,
∵平分，∴,又∵,∴垂直平分,即，∴,
∵．∴是的中位线，∴，∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关定理是解答本题的关键．
例4．（23-24九年级上·陕西渭南·期末）【定义新知】
定义：有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．
【初步应用】（1）如图1，四边形是圆美四边形，是美角．
①的度数为________；②连接，若的半径为5，求线段的长；
【拓展提升】（2）如图2，已知四边形是圆美四边形，是美角，连接，若平分，判断、与之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）①60；②（2）
【分析】（1）①根据定义列式计算即可．②根据定义求角，根据直径对的圆周角是直角，运用勾股定理计算即可．（2）延长到点M，使得，连接，得到 是等边三角形，证明即可．
【详解】（1）①∵四边形是圆美四边形，是美角，
∴,∴,解得，故答案为：60．
②作圆的直径,连接,则 ∵圆的半径为5，∴,
∵，∴.∴．
（2）关系为：，理由如下：如图，延长到点M，使得，连接，
∵四边形是圆美四边形，是美角，∴,
∴,解得，∴,
∵平分，∴,∴是等边三角形，
∴,，∴，∴，
∵，∵，∴,∴,
∵,∴．
【点睛】本题考查了新定义问题，等边三角形的判定和性质，圆的内接四边形的性质，三角形全等的判定和性质，圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，熟练掌握圆的性质是解题的关键．
考向二　利用等半径构造全等三角形
例1．（23-24九年级上·山东菏泽·期中）如图在平面直角坐标系中，的圆心在轴上，且经过点和点，点是第二象限圆上的任意一点，且，则的圆心的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆周角定理和坐标与图形性质，三角形全等的性质和判定，作辅助线，构建三角形全等，根据圆周角定理得：，再证明，根据，根据线段的和差关系即可求解，作辅助线构建三角形全等是关键．
【详解】解：连接，过作轴于，过作 轴于，
则，，∵和点，∴，，
∵，∴，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴， 故答案为：．
例2．（2023·湖北武汉·模拟预测）如图为圆O的直径，为圆O的弦，C为O上一点，，，垂足为D．(1)连接，判断与的位置关系，并证明；(2)若，，求圆O的半径；

【答案】(1)，证明见详解(2)5
【分析】（1），理由如下：延长交于点，连接，再根据圆的基本性质及等腰三角形的性质即可；（2）由（1）中结论，，，先证明，再根据勾股定理即可．
【详解】（1）解：，理由如下：延长交于点，连接，，

，；
（2）解：由（1）中结论，，
，，
设的半径为，则，
在中，，即，解得：，即的半径为5．
【点睛】本题考查圆的基本性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
考向三　燕尾型/蝴蝶型全等模型
例1．（2023·重庆九年级课时练习）如图，以O为圆心的两个圆中，大圆的半径分别交小圆于点C，D，连结，下列选项中不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据圆的基本性质，等腰三角形的性质，以及全等三角形的判定与性质逐项分析即可．
【详解】解：由圆的基本性质可知：，，
∴，即：，故A正确；∴和均为等腰三角形，
∵和的顶角均为，
∴，，
∴，∴，故B正确；
∵当是的中位线时，满足，由于不一定为的中点，
∴不一定等于，故C错误；
在和中，∴，
∴，故D正确；故选：C．
【点睛】本题考查圆的基本性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等，理解圆的基本性质，熟练运用等腰三角形的判定以及全等三角形的判定是解题关键．
例2．（2022·河南焦作·统考一模）欧几里得，古希腊数学家，被称为“几何之父”，他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛的认为是历史上最成功的教科书．他在第Ⅲ卷中提出这样一个命题：“由已知点作直线切于已知圆”．如图，设A是已知点，小圆O为已知圆．具体作法是：以O为圆心，为半径作大圆O，连接交小圆O于点B，过B作，交大圆O于点C，连接，交小圆O于点D，连接，则是小圆O的切线．
为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”的过程．
已知：如图，点A，C和点B，D分别在以O为圆心的同心圆上，_________．
求证：___________．
证明：
【答案】，是小圆O的切线，证明见解析
【分析】通过证明三角形全等即可得到，从而证明切线．
【详解】已知：如图，点A，C和点B，D分别在以O为圆心的同心圆上，
求证：是小圆O的切线
证明：∵点A，C和点B，D分别在以O为圆心的同心圆上，∴．
在和中,∴，∴，
∵，∴，∴，∴是小圆O的切线．
【点睛】本题考查切线的证明，找准判断切线的三个因素是解题的关键．
例3．（2023·江苏·九年级专题练习）如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD，连结AC．
(1)△ACD为等边三角形；(2)请证明：E是OB的中点；(3)若AB＝8，求CD的长．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)
【分析】（1）根据垂直平分线的性质证明AC＝AD＝CD即可
（2）要证明：E是OB的中点，只要求证OE＝OB＝OC，即证明∠OCE＝30°即可；
（3）在直角△OCE中，根据勾股定理就可以解得CE的长，进而求出CD的长．
【详解】（1）证明：连接AC，如图
∵直径AB垂直于弦CD于点E，∴，AC＝AD，
∵过圆心O的线CF⊥AD，∴AF＝DF，即CF是AD的中垂线，
∴AC＝CD，∴AC＝AD＝CD．即：△ACD是等边三角形，
（2）△ACD是等边三角形，CF是AD的中垂线，
＝30°，
在Rt△COE中，OE＝OC，∴OE＝OB，∴点E为OB的中点；
（3）解：在Rt△OCE中，AB=8 ∴OC＝AB＝4，
又∵BE＝OE，∴OE＝2，∴CE＝，∴CD＝2CE＝．
【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理、中垂线性质、30°所对的直角边是斜边的一半，等边三角形的判定和性质．解此类题一般要把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形里，运用勾股定理求解．
例4．（2023秋·江苏南京·九年级校联考期末）在以为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于，两点．
(1)如图①，若大圆、小圆的半径分别为13和7，，则的长为______．
(2)如图②，大圆的另一条弦交小圆于，两点，若，求证．
【答案】(1)(2)见解析
【分析】（1）连接，，过点作，则为，的中点，得出，，根据勾股定理即可求出的长；（2）过作，作，垂足分别为、，得出，，，，连接、、、，通过证明和，即可得证．
【详解】（1）连接，，过点作，则为，的中点，
∵，∴，，
∵，∴，，
∴，∴，
∴，∴，故答案为：
（2）过作，作，垂足分别为、，
∴，，，，
又∵，∴，连接、、、，
在和中，，∴，∴，
在和中，，∴，∴，∴．
【点睛】本题主要考查垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解此类题的关键．
例5．（2022·河南平顶山·统考二模）阅读下面的材料，完成相应的任务：
在1815年某杂志上刊登了这样一个命题：如图，圆O中的弦AB的中点为G，过点G任作两弦CD，EF，弦FC，ED分别交AB于P，Q，则PG=QG．由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶，故称“蝴蝶定理”、是古代欧氏平面几何中最精彩的结果之一．
任务：(1)如图1，AB为⊙O的任一弦．
①若G为弦AB的中点，连接OG，则OG与AB的位置关系为______；
②若OG⊥AB，判断AG与BG之间的数量关系，并说明理由．
(2)下面是“蝴蝶定理”的证明过程（部分），请补充完整．
证明：过O作OM⊥FC于点M，ON⊥DE于点N，
连接OP，OQ，MG，NG，OG，
由任务（1）可知：CF=2MC，ED=2NE，OG⊥AB且∠OMC=∠OGP=90°，∠ONQ=∠OGQ=90°，
∵∠F=∠D，∠C=∠E，∴△FGC∽△DGE，
即，又，取PO的中点O′，在四边形MOGP中，
∵∠OMC=∠OGP=90°，∴MO′=OO′=PO′，GO′=OO′=PO′，
即：MO′=OO′=GO′=PO′，∴M，O，G，P四点在以O′为圆心的一个圆上，
∴∠1=∠2（同弧所对的圆周角相等），同理：∠3=∠4，
______________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________
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【答案】(1)①OG⊥AB；②AG=BG，理由见解析 (2)见解析
【分析】（1）①利用“SSS”证明△AGO≌△BGO，即可解决问题；
②利用“HL”证明Rt△AGO≌Rt△BGO，即可解决问题；
（2）证明△MGC∽△NGE，推出∠1=∠4，∠2=∠3，利用“SAS”证明△PGO≌△QGO，即可证得PG=QG．
【详解】（1）解：①OG⊥AB；连接OA、OB，∵G为弦AB的中点，∴AG=BG，
在△AGO和△BGO中，，∴△AGO≌△BGO(SSS) ，
∴∠AGO=∠BGO=90°，即OG⊥AB；
②AG=BG，理由如下，连接OA、OB，
∵OG⊥AB，∴∠AGO=∠BGO=90°，在Rt△AGO和Rt△BGO中，，
∴Rt△AGO≌Rt△BGO(HL)，∴AG=BG；
（2）补充如下：∵，又，∴△MGC∽△NGE，∴∠1=∠4，∴∠2=∠3，
在△PGO和△QGO中，，∴△PGO≌△QGO(SAS) ，∴PG=QG．
【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．
考向四　手拉手（旋转）型全等模型
例1．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，是圆的直径，为圆的弦，且平分，若，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了角平分线的性质、三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、圆周角定理，作交的延长线于，作交于，由角平分线的性质可得，证明可得，证明和是等腰直角三角形，从而得出，从而得到，求出，再由，求出的长即可得解，熟练掌握角平分线的性质、三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、圆周角定理是解此题的关键．
【详解】解：如图，作交的延长线于，作交于，则，
，
平分，，，，
四边形是圆的内接四边形，，
，，
在和中，，，，
是圆的直径，，平分，，
、是等腰直角三角形，
，，，
，，，，
，故选：D．
例2．（22-23九年级下·浙江·阶段练习）如图，在圆内接四边形中，，为直径，若四边形的面积是，的长是，则与之间的数关系式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】延长到，使，连接，先证明，得到，再证明，，最后得到．
【详解】解：如图，延长到，使，连接，
四边形是圆内接四边形，，，
在和中，，
，
，
即，，故选：C．
【点睛】本题考查圆的内接四边形，全等三角形的判定与性质，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
例3．（2023·贵州遵义·三模）问题背景：如图1，是的直径，点，点在圆上（在直径的异侧），且为弧的中点，连接，，，，．
探究思路：如图2，将绕点顺时针旋转得到，证明，，三点共线，从而得到为等腰直角三角形，，从而得出．
(1)请你根据探究思路，写出完整的推理过程；问题解决：(2)若点，点在直径的同侧，如图3所示，且点为弧的中点，连接，，，直接写出线段的长为__________（用含有，的式子表示）；拓展探究：(3)将沿翻折得到，如图4所示，试探究：，，之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)推理过程如下(2)(3)
【分析】（1）根据旋转的性质，得，可得：，，，根据勾股定理，即可；（2）将绕点点顺时针得到，根据全等三角形的判定和性质，得，得到，推出，得是等腰直角三角形，根据勾股定理，等量代换，即可．（3）将绕点点顺时针得到，沿翻折得到，则，得，根据全等三角形的判定和性质，勾股定理，即可．
【详解】（1）∵绕点顺时针旋转得到，
∴，，∴，，，
∴，∴，
∵，∴，∵，∴．
（2）绕点点顺时针得到，∴，
∴，，，∴，
∴，∴是等腰直角三角形，∴，
∵，，∴，∴．
（3）∵绕点点逆时针得到，点在上，∴，
∵沿翻折得到，∴，∴，
∴，，，
∵，∴，∴，
∵是圆的直径，∴，∴，∴，
∵，，∴，
∴，∴，
在和中，，∴，
∴，∴．
【点睛】本题考查圆的基本性质，全等三角形，旋转和折叠的知识，解题的关键是掌握圆的基本性质，全等三角形的判定和性质，旋转和折叠的性质，勾股定理的运用．
一、选择题
1．（23-24九年级上·河南漯河·期末）定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．如图，和 组成圆的折弦，，是的中点，于，则下列结论一定成立的是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查圆周角定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，在上截取，证明，推出，利用等腰三角形“三线合一”可证，等量代换可得．
【详解】解：如图，在上截取，连接，，，，
是的中点，，，
和都是所对的圆周角，，
在和中，，，，
又，，，故C选项正确，
现有条件不能证明选项A，B，D中的结论一定成立，故选C．
2．（2023九年级上·广东·专题练习）如图，在梯形中，，，，，以上一点O为圆心的圆经过A，D两点，且，则圆心O到弦的距离为（　　）

A．5 B． C． D．
【答案】C
【分析】证明，得出，根据勾股定理求出，，过O作，垂足为F，根据是等腰直角三角形，求出，即可得出答案．
【详解】解：∵，，∴，
在与中，，∴，∴，
根据勾股定理得，∴，过O作，垂足为F，

∵，，∴是等腰直角三角形，
∴，即O到距离为．故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，点到直线的距离，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法证明．
3．（23-24九年级上·河南新乡·阶段练习）如图，是的直径，点C为圆上一点， ，D是弧的中点，与交于点E．若E是的中点，则的长为（　　）
A．5 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】连接交于F，由垂径定理得，，可证，接着证明得到，计算得，然后设，则，，最后利用勾股定理计算得到的长．
【详解】解：连接交于F，如图，D是弧的中点，，，
是直径，，，，
E是的中点，，，，，
∵，，∴，，，
设，则，，在中，，
，解得，负值舍去，即，故选：B．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，也考查了垂径定理．
4．（23-24九年级·广东广州·阶段练习）如图，圆内接四边形，，对角线平分，过点作交的延长线于点，若．，则的面积为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】在上截取，由题意可得，进一步得和为等边三角形，由圆周角定理可得，证得，则有，得到等边的边长为5，即可求得面积．
【详解】解：在上截取，如图，
∵四边形为的内接四边形，∴，则，
∵平分，∴，
∵，∴，∴为等边三角形，
∵，，∴为等边三角形，
∴，，则，
∵，∴，∴为等边三角形，则，
在和中∴∴，
则，即等边的边长为5，那么，故选：B．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的对角互补、圆周角定理、平行线的性质、等边三角形的判定与性质和全等三角形的判定和性质，解题的关键是找到辅助线，并熟练等边三角形相关知识．
5．（23-24九年级·江苏·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的圆心在轴上，且经过点和点，点是第一象限圆上的任意一点，且，则的圆心的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如图所示，连接，过点作于点，过点作于点，根据圆周角定理可得，运用直角三角形两锐角互余，可证，由此可证，可得点的坐标，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，过点作于点，过点作于点，
∵，，，∴，，
∵，∴，∴，
∵轴，轴，即，，∴，∴，
在中，，∴，∴，
∵，∴，∴，故选：．
【点睛】本题主要考查圆周角定理，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识，构造全等三角形是解题的关键．
6．（22-23九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，点 和C、D分别在以点O为圆心的两个同心圆上，若，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由得，证，利用全等的性质可得结果．
【详解】解：，，，
在和中，，，，故选：B．
【点睛】本题考查了圆的半径相等，全等三角形的判定和性质；证明三角形全等是解题的关键．
二、填空题
7．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）如图，是圆内接三角形，点是圆上一点，连结，，与交于点，且满足，．若，，则 ．
【答案】1
【分析】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握这些知识是解题的关键．
由圆周角定理得，利用证明得到，再证明，利用相似三角形对应边成比例计算即可．
【详解】解：∵，∴，
在和中，，，，
，，，
，，，
，，或（舍去）．故答案为：1．
8．（2023·安徽·模拟预测）如图，点在反比例函数的图象上，以点为圆心的与两坐标轴都相切，为轴负半轴上的一点，交轴于点，连接．
（1）点的坐标为 ；（2）若，则的长为 ．
【答案】
【分析】（1）过点分别向轴、轴作垂线，垂足分别为点，根据且，求出，即可得出答案；
（2）先证明，得出，根据，得出，求出，即可得出．
【详解】解：（1）过点分别向轴、轴作垂线，垂足分别为点，如图所示：
由题意，得且，∴，即点的坐标为．故答案为：．
（2）∵，∴四边形为矩形，
∵，∴四边形为正方形，∴，
∵，∴，∴，∴，
∵，，∴，，
∴，
，，
即，负值舍去．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用，切线的性质，正方形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质和判定．
9．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）古代数学家阿基米德曾经提出一个定理：一个圆中一条由两条长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点．如图（1），弦，是的一条折弦，点是的中点，过点作于，则．根据这个定理解决问题：如图（2），边长为的等边内接于，点为优弧上的一点．，则的周长是 ．
【答案】/
【分析】过点Q作于T，在上截取，连接，，先求出，得到等腰直角，利用勾股定理求得，再证明，得，从而利用等腰三角形三线合一性质得出，即可得出，则，即可由三角形周长公式求解．
【详解】解：如图，过点Q作于T，在上截取，连接，，
∵等边∴，，∵∴
∵∴∴
∵∴，由题意可得：，，
在和中，，，，
，， ∴
∴∴的周长，
故答案为：．
【点睛】本题考查全等三角形判定和性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，合理添加辅助线构造全等三角形是解题关键．
10．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，圆的直径为，弦为，的平分线交圆于点，则的长是 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆周角的性质，圆心角、弧、弦的对等关系，全等三角形的判定，角平分线的性质等知识点的运用，首先作，交的延长线于点，作于点，连接，，由平分，根据角平分线的性质得出， 由证明，得出的长, 又是等腰直角三角形，从而求出的长，准确作出辅助线是解题的关键．
【详解】如图，作，交的延长线于点，作于点，连接，，
∵平分，∴，∴，，∴，
∵，在和， ∴,
∴，同理:，∴，
∵是直径，∴，∵， ，
∴，∴，∴ ，∴，
∵平分，∴，∵是等腰直角三角形，∴，
故答案为：．
11．（23-24九年级上·江苏常州·期中）如图，中，四边形内接于圆， 是直径，，若，则 ．

【答案】
【分析】过A点作，交的延长线与点E，证明，从而得到四边形的面积等于的面积，然后证明出是等腰直角三角形，根据三角形的面积公式即可求出的长度．
【详解】解：如图，过A点作，交的延长线与点E，，
为的直径，，，，

，，，
，，，，
在和中，，，，
，，．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理和全等三角形的判定与性质，关键在于运用转化思想，将四边形的面积转化为的面积．
12．（22-23九年级上·江苏泰州·期中）如图，已知圆的直径，为圆上一点（不与、重合），连接、．弦平分，交于点，过点作于点，交圆于点，连接，若，则的度数为 ．

【答案】
【分析】设交于，如图，根据圆周角定理得到，则，再证明，，则可判断，所以，接着证明，则根据垂径定理得到，然后根据圆周角定理得到，最后利用互余可计算出的度数．
【详解】解：设交于，如图，
的直径，，弦平分，，
，，，，

在和中，，，，
，，，，
，．故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．
13．（23-24九年级·江苏·假期作业）如图，E为正方形的边上一点（不与重合），将沿直线翻折到，延长交于点G，点O是过B、E、G三点的圆劣弧上一点，则 ．
【答案】135
【分析】连接，由折叠的性质得出，，，由正方形的性质得出，，证明，证出，求出，则可得出答案．
【详解】解：连接，
∵将沿直线翻折到，∴，
∵四边形为正方形，∴，∴，
∵，，∴，∴，
∴，
∵四边形为圆内接四边形，∴，
∴，故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
14．（22-23九年级上·江苏泰州·期中）如图，在圆内接四边形在中，弦，，连接对角线，、分别是和上的两点，且，连接、相交于点，已知，，则的面积为 ．
【答案】
【分析】过点作，交于点，根据圆内接四边形的对角互补，得到，推出是等边三角形，证明，得到，推出，进而求出，利用三角形面积公式进行求解即可．
【详解】解：过点作，交于点，
∵在圆内接四边形在中，，∴，
∵，∴是等边三角形，∴，
又∵，∴，∴，
∴，∴，
∵，，∴，∴，
∴；故答案为：．
【点睛】本题考查圆内接四边形，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握圆内接四边形的内对角互补，证明三角形全等，是解题的关键．
三、解答题
15．（2023·广西梧州·二模）如图，在中，为上一点，以点为圆心，为半径作圆，与相切于点，过点作交的延长线于点，且．
(1)求证：为的切线；(2)若，sin，求的长．
【答案】(1)见解析(2)的长为
【分析】（1）作于点，由得到，根据角平分线定理，即可得到，即可得证，（2）先根据锐角三角函数，求出、的长，由，可求、、的长，根据，即可求解，本题考查了切线的性质与判定，角平分线定理，锐角三角函数，勾股定理，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理．
【详解】（1）证明：作于点，则，
∵与相切于点，∴，∵交的延长线于点，∴，
∵，，，∴，
∵，∴，
∴，∴，∴点在上，
∵是的半径，且，∴是的切线，
（2）解：∵，，∴，∴，
∵，∴，
∴，∴，
∴，，
∵，∴．
16．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦切小圆于点．(1)求证；(2)若两圆半径分别为3和5，则_________．
【答案】(1)见解析(2)9.6
【分析】本题考查切线的性质，垂径定理，全等三角形的判定和性质，掌握切线的性质，是解题的关键．（1）连接 ，根据切线的性质结合垂径定理，得到，证明，得到，即可得证；
（2）延长交于点，连接，得到，设，得到，根据，列出方程进行求解即可．
【详解】（1）证明：连接 ，
∵ 大圆的弦 分别切小圆于点， ∴．
∴．
∵， ∴． ∴． ∴．
（2）延长交于点，连接，
∵，∴，∵，∴，，
∵∴，∴，
设，则：，∵，
∴，解得：，∴，∴．
17．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的半径，分别交小圆于点，，连接，，交点为，连接并延长，交于点，交大圆于点．(1)求证：；(2)与有怎样的位置关系？请说明理由．
【答案】(1)见解析(2)，理由见解析
【分析】（1）根据同圆半径相等得到为等腰三角形，即可得出结论；（2）通过证明，推出进而证明，得到，再通过证明，得到，根据等腰三角形性质即可得出．
【详解】（1）证明：，为以点为圆心的大圆半径，
，为等腰三角形，；
（2），为以点为圆心的大圆半径，，为以点为圆心的小圆半径，
，，，即，
在与中，，，
，，即，
在与中，，，，
在与中，，，，
又为等腰三角形，．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质定理是解答本题的关键．
18．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知，在扇形中，，，点P在半径上，连接．(1)把沿翻折，点O的对称点为点Q．①如图1，当点Q刚好落在弧上，求弧的长；②如图2，点Q落在扇形内部，的延长线与弧交于点C，过点Q作，垂足为H，，求的长；(2)如图3，记扇形在直线上方的部分为图形W，把图形W沿着翻折，点B的对称点为点E，弧所在的圆与的延长线交于点F，若，求的长．
【答案】(1)①；②16(2)
【分析】（1）①连接，证明为等边三角形，得根据得，利用弧长公式即可解答；②过O作，证，即可解答；
（2）将沿着翻折得，过点Q作，垂足为点H，过点P作，垂足为点D，得四边形是矩形，结合（1）②的结论以及折叠的性质可得，，根据勾股定理求，设，，，由，得，解方程即可
【详解】（1）①连接，由翻折得，
，为等边三角形，，，，
弧的长：；
②过O作，，
，，由翻折得，
在与中，，
，；
（2）如图所示，将沿着翻折得，
过点Q作，垂足为点H，过点P作，垂足为点D，
∵，∴四边形是矩形，由折叠和 (1) 可知，，，
，，，
在中，
设，则，，
在中，，解得：的长为．
【点睛】本题考查弧长公式，垂径定理，勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握折叠的性质以及垂径定理，构造合理的辅助线，是解答本题关键．
19．（23-24九年级上·广东湛江·期末）综合运用：
【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点M是的中点，则从M向所作垂线的垂足D是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程．
证明：如图2，在上截取，连接和，
∵M是的中点，∴，∴（相等的弧所对的弦相等），
又∵（同弧所对的圆周角相等），∴，∴，
又∵，∴，∴，即．
(1)【理解运用】如图1，是的两条弦，，，点M是的中点，于点D，则的长为________；(2)【变式探究】如图3，若点M是的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断之间存在怎样的数量关系？并加以证明；(3)【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下列问题：如图4，是的直径，点A圆上一定点，点D圆上一动点，且满足，若，的半径为10，求长．
【答案】(1)2(2)，理由见解析(3)的长为或．
【分析】（1）由“问题”呈现结论即可求解；（2）在上截取，连接、、、，证明可得，由等腰三角形的性质可得，可得结论；
（3）分两种情况讨论，由（1）结论可求解．
【详解】（1）解：由题意得：，即，
，，，故答案为：2；
（2）解：，证明：在上截取，连接、、、，如图3，

是弧的中点，，，
又，，，，
又，，，即；
（3）解：如图4，当点在下方时，过点作于点，连接，
是圆的直径，，
，圆的半径为10，，，
，，，，
当点在上方时，，同理得，综上所述：的长为或．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，理解题意是解本题的关键．
20．（23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图1，在中，弦平分圆周角，我们将圆中以A为公共点的三条弦，，构成的图形称为圆中“爪形A”，弦，，称为“爪形A”的爪．(1)如图2，四边形内接于，；①证明：圆中存在“爪形D”；②若，求证：．(2)如图3，四边形内接于圆，其中，连接．若“爪形D”的爪之间满足，则 ．

【答案】(1)①见解析，②见解析(2)
【分析】（1）①由圆周角的性质直接证明即可；②延长至点E，使得，连接，证明，由全等三角形的性质得出，，证出是等腰直角三角形，由勾股定理及等腰直角三角形的性质可得出结论；（2）延长至点E，使得，连接，证明，由全等三角形的性质得出，，证出是等边三角形，即可求解．
【详解】（1）①证明：∵，，，
平分圆周角，∴圆中存在“爪形D”．
②如图所示，延长至点E，使得，连接，

，，，
在和中，，，，，
，，，为等腰直角三角形，
由勾股定理得：，即，，．
（2）解：延长至点E，使得，连接，
，，，
在和中，，，，，
，，，是等边三角形，
，．故答案为：．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
21．（23-24九年级上·湖南长沙·期中）新定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦．
(1)如图1，，是⊙的等垂弦，，，垂足分别为，．求证：四边形是正方形；(2)如图2，弦与弦交于点，，．①求证：，是⊙的等垂弦；②连接，若，，求的长度．

【答案】(1)见解析(2)①见解析；②
【分析】（1）根据垂直的定义及等垂弦定义推出四边形是矩形，根据垂径定理得出，即可判定矩形是正方形；（2）①连接，由圆心角、弦的关系及全等三角形的判定和性质可得，由圆周角定理可得，，可得结论；②连接并双向延长交于点F，交于点G，根据题意得出为等腰直角三角形，再由垂直平分线的判定和性质得出，利用平行线的判定和性质及全等三角形的判定和性质即可求解．
【详解】（1）证明：∵，是的等垂弦，，，
∴，∴四边形是矩形，∵，是的等垂弦，∴，
∵，，∴，∴矩形是正方形；
（2）①证明：连接，∵，，∴，∴，

∵，∴∴，
∵，，∴，∴，
∵，，∴、是的等垂弦．
②连接并双向延长交于点F，交于点G，如图所示：
由①得，，∴为等腰直角三角形，
∵，∴，，
∵，∴垂直平分，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴垂直平分，∴，
∵，∴∴，
∵，∴∴，∴．
【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，线段垂直平分线的判定和性质及勾股定理解三角形，全等三角形的判定和性质等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
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【全国通用】2024中考数学二轮复习（重难点题型突破）
专题04 圆的综合问题-4.1 与全等三角形结合
圆在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就圆与全等三角形综合问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
1.构造全等三角形
利用圆中的等弦，等半径和角平分线等条件构造全等三角形，从而实现边、角的转化。
1）利用等弦构造全等三角形
条件：如图1，PA、PB为⊙O的两条弦，C为劣弧AB的中点，弦CD⊥PA于E，结论：AE=PE+PB。
2）利用等半径构造全等三角形
条件：如图2，AB是⊙O的直径，CD是O的弦，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，结论：CE=DF。
2.圆中常见全等模型：燕尾模型、蝴蝶模型、手拉手（旋转）模型、对角互补模型、半角模型等。
1） 燕尾型/蝴蝶型全等模型
条件：OA，OB是的半径，OC=OD。 结论：①△AOC≌△BOD；②△PAD≌△PBC；
条件：OA，OE是的半径，AD⊥OE，EB⊥OA。结论：①△AOD≌△EOB；②△ABD≌△EDB；
2）手拉手（旋转）型全等模型
注意：圆中的手拉手模型一般是需要辅助线构造出来的（常用旋转或截长补短法）。
条件：是△ABD的外接圆，且AD=BD，∠ADB=，C为圆O上一点。
结论：①△ADC≌△BDC’；②△DCC’是等腰三角形；
特别地，当=60°时，CD=CA+CB； 当=90°时，CD=CA+CB；
考向一　利用等弦构造全等三角形
例1．（22-23九年级下·湖北武汉·期中）如图，A，B，C，P是圆上的四个点，．
(1)判断的形状，并证明你的结论．(2)若，求的长

例2．（2023九年级上·浙江·专题练习）已知：如图，是的直径，点C、D为圆上两点，且弧弧，于点F，的延长线于点E．求证：．
例3．（2023·湖北武汉·模拟预测）如图，为圆内接四边形的对角线，且点D为的中点；(1)如图1，若、直接写出与的数量关系；
(2)如图2、若、平分，，求的长度．
例4．（23-24九年级上·陕西渭南·期末）【定义新知】
定义：有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．
【初步应用】（1）如图1，四边形是圆美四边形，是美角．
①的度数为________；②连接，若的半径为5，求线段的长；
【拓展提升】（2）如图2，已知四边形是圆美四边形，是美角，连接，若平分，判断、与之间的数量关系，并说明理由．
考向二　利用等半径构造全等三角形
例1．（23-24九年级上·山东菏泽·期中）如图在平面直角坐标系中，的圆心在轴上，且经过点和点，点是第二象限圆上的任意一点，且，则的圆心的坐标是 ．
例2．（2023·湖北武汉·模拟预测）如图为圆O的直径，为圆O的弦，C为O上一点，，，垂足为D．(1)连接，判断与的位置关系，并证明；(2)若，，求圆O的半径；

考向三　燕尾型/蝴蝶型全等模型
例1．（2023·重庆九年级课时练习）如图，以O为圆心的两个圆中，大圆的半径分别交小圆于点C，D，连结，下列选项中不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
例2．（2022·河南焦作·统考一模）欧几里得，古希腊数学家，被称为“几何之父”，他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛的认为是历史上最成功的教科书．他在第Ⅲ卷中提出这样一个命题：“由已知点作直线切于已知圆”．如图，设A是已知点，小圆O为已知圆．具体作法是：以O为圆心，为半径作大圆O，连接交小圆O于点B，过B作，交大圆O于点C，连接，交小圆O于点D，连接，则是小圆O的切线．
为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”的过程．
已知：如图，点A，C和点B，D分别在以O为圆心的同心圆上，_________．
求证：___________．
证明：
例3．（2023·江苏·九年级专题练习）如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD，连结AC．
(1)△ACD为等边三角形；(2)请证明：E是OB的中点；(3)若AB＝8，求CD的长．
例4．（2023秋·江苏南京·九年级校联考期末）在以为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于，两点．(1)如图①，若大圆、小圆的半径分别为13和7，，则的长为______．
(2)如图②，大圆的另一条弦交小圆于，两点，若，求证．
例5．（2022·河南平顶山·统考二模）阅读下面的材料，完成相应的任务：
在1815年某杂志上刊登了这样一个命题：如图，圆O中的弦AB的中点为G，过点G任作两弦CD，EF，弦FC，ED分别交AB于P，Q，则PG=QG．由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶，故称“蝴蝶定理”、是古代欧氏平面几何中最精彩的结果之一．
任务：(1)如图1，AB为⊙O的任一弦．
①若G为弦AB的中点，连接OG，则OG与AB的位置关系为______；
②若OG⊥AB，判断AG与BG之间的数量关系，并说明理由．
(2)下面是“蝴蝶定理”的证明过程（部分），请补充完整．
证明：过O作OM⊥FC于点M，ON⊥DE于点N，
连接OP，OQ，MG，NG，OG，
由任务（1）可知：CF=2MC，ED=2NE，OG⊥AB且∠OMC=∠OGP=90°，∠ONQ=∠OGQ=90°，
∵∠F=∠D，∠C=∠E，∴△FGC∽△DGE，
即，又，取PO的中点O′，在四边形MOGP中，
∵∠OMC=∠OGP=90°，∴MO′=OO′=PO′，GO′=OO′=PO′，
即：MO′=OO′=GO′=PO′，∴M，O，G，P四点在以O′为圆心的一个圆上，
∴∠1=∠2（同弧所对的圆周角相等），同理：∠3=∠4，
______________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________
考向四　手拉手（旋转）型全等模型
例1．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，是圆的直径，为圆的弦，且平分，若，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．
例2．（22-23九年级下·浙江·阶段练习）如图，在圆内接四边形中，，为直径，若四边形的面积是，的长是，则与之间的数关系式是（ ）
A． B． C． D．
例3．（2023·贵州遵义·三模）问题背景：如图1，是的直径，点，点在圆上（在直径的异侧），且为弧的中点，连接，，，，．
探究思路：如图2，将绕点顺时针旋转得到，证明，，三点共线，从而得到为等腰直角三角形，，从而得出．
(1)请你根据探究思路，写出完整的推理过程；问题解决：(2)若点，点在直径的同侧，如图3所示，且点为弧的中点，连接，，，直接写出线段的长为__________（用含有，的式子表示）；拓展探究：(3)将沿翻折得到，如图4所示，试探究：，，之间的数量关系，并说明理由．
一、选择题
1．（23-24九年级上·河南漯河·期末）定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．如图，和 组成圆的折弦，，是的中点，于，则下列结论一定成立的是 （ ）
A． B． C． D．
2．（2023九年级上·广东·专题练习）如图，在梯形中，，，，，以上一点O为圆心的圆经过A，D两点，且，则圆心O到弦的距离为（　　）

A．5 B． C． D．
3．（23-24九年级上·河南新乡·阶段练习）如图，是的直径，点C为圆上一点， ，D是弧的中点，与交于点E．若E是的中点，则的长为（　　）
A．5 B．3 C．2 D．1
4．（23-24九年级·广东广州·阶段练习）如图，圆内接四边形，，对角线平分，过点作交的延长线于点，若．，则的面积为（）
A． B． C． D．
5．（23-24九年级·江苏·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的圆心在轴上，且经过点和点，点是第一象限圆上的任意一点，且，则的圆心的坐标是（ ）
A． B． C． D．
6．（22-23九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，点 和C、D分别在以点O为圆心的两个同心圆上，若，，则（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
7．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）如图，是圆内接三角形，点是圆上一点，连结，，与交于点，且满足，．若，，则 ．
8．（2023·安徽·模拟预测）如图，点在反比例函数的图象上，以点为圆心的与两坐标轴都相切，为轴负半轴上的一点，交轴于点，连接．
（1）点的坐标为 ；（2）若，则的长为 ．
9．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）古代数学家阿基米德曾经提出一个定理：一个圆中一条由两条长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点．如图（1），弦，是的一条折弦，点是的中点，过点作于，则．根据这个定理解决问题：如图（2），边长为的等边内接于，点为优弧上的一点．，则的周长是 ．
10．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，圆的直径为，弦为，的平分线交圆于点，则的长是 ．
11．（23-24九年级上·江苏常州·期中）如图，中，四边形内接于圆， 是直径，，若，则 ．

12．（22-23九年级上·江苏泰州·期中）如图，已知圆的直径，为圆上一点（不与、重合），连接、．弦平分，交于点，过点作于点，交圆于点，连接，若，则的度数为 ．

13．（23-24九年级·江苏·假期作业）如图，E为正方形的边上一点（不与重合），将沿直线翻折到，延长交于点G，点O是过B、E、G三点的圆劣弧上一点，则 ．
14．（22-23九年级上·江苏泰州·期中）如图，在圆内接四边形在中，弦，，连接对角线，、分别是和上的两点，且，连接、相交于点，已知，，则的面积为 ．
三、解答题
15．（2023·广西梧州·二模）如图，在中，为上一点，以点为圆心，为半径作圆，与相切于点，过点作交的延长线于点，且．
(1)求证：为的切线；(2)若，sin，求的长．
16．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦切小圆于点．(1)求证；(2)若两圆半径分别为3和5，则_________．
17．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的半径，分别交小圆于点，，连接，，交点为，连接并延长，交于点，交大圆于点．(1)求证：；(2)与有怎样的位置关系？请说明理由．
18．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知，在扇形中，，，点P在半径上，连接．(1)把沿翻折，点O的对称点为点Q．①如图1，当点Q刚好落在弧上，求弧的长；②如图2，点Q落在扇形内部，的延长线与弧交于点C，过点Q作，垂足为H，，求的长；(2)如图3，记扇形在直线上方的部分为图形W，把图形W沿着翻折，点B的对称点为点E，弧所在的圆与的延长线交于点F，若，求的长．
19．（23-24九年级上·广东湛江·期末）综合运用：
【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点M是的中点，则从M向所作垂线的垂足D是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程．
证明：如图2，在上截取，连接和，
∵M是的中点，∴，∴（相等的弧所对的弦相等），
又∵（同弧所对的圆周角相等），∴，∴，
又∵，∴，∴，即．
(1)【理解运用】如图1，是的两条弦，，，点M是的中点，于点D，则的长为________；(2)【变式探究】如图3，若点M是的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断之间存在怎样的数量关系？并加以证明；(3)【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下列问题：如图4，是的直径，点A圆上一定点，点D圆上一动点，且满足，若，的半径为10，求长．
20．（23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图1，在中，弦平分圆周角，我们将圆中以A为公共点的三条弦，，构成的图形称为圆中“爪形A”，弦，，称为“爪形A”的爪．(1)如图2，四边形内接于，；①证明：圆中存在“爪形D”；②若，求证：．(2)如图3，四边形内接于圆，其中，连接．若“爪形D”的爪之间满足，则 ．

21．（23-24九年级上·湖南长沙·期中）新定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦．
(1)如图1，，是⊙的等垂弦，，，垂足分别为，．求证：四边形是正方形；(2)如图2，弦与弦交于点，，．①求证：，是⊙的等垂弦；②连接，若，，求的长度．
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