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2024年高考数学知识精讲+针对性训练：直线和圆的方程
知识精讲
直线的倾斜角与斜率
(1)倾斜角α的取值范围：0°≤α<180°.
(2)倾斜角为α(α≠90°)的直线的斜率k＝tanα，倾斜角为90°的直线斜率不存在．
(3)
直线的方程
(1)点斜式: y－y0＝k(x－x0) (2)斜截式:y＝kx＋b
(2)两点式: (4)截距式:
(3)一般式：
两条直线的位置关系
斜截式 一般式
方程 l1 : y = k1x + b1 l2 : y = k2x + b2
相交 k1 k2
垂直 k1k2= 1 A1A2 + B1B2= 0
平行 k1 = k2 且b1 b2 或
平面上的距离公式
(1)任意两点间的距离： 若 P1(x1，y1) ，P2(x2，y2) ，则
(2)点到直线的距离：点 P0(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0 的距离为
(3)两条平行直线间的距离： 直线Ax＋By＋C1＝0，Ax＋By＋C2＝0(其中A 与 B 不同时为0 ，且 C1≠C2)间的距离
针对性训练
一、选择题
1．已知直线，若，则实数（　　）
A．或1 B．0或1 C．1 D．
2．倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，与抛物线相交于两点，其中点位于第一象限，若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
3．直线分别与x轴、y轴交于A，B两点，点P在圆上运动，则面积的最小值为（　　）
A．6 B．4 C．2 D．
4．数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心（三边中垂线的交点）、重心（三边中线的交点）、垂心（三边高的交点）依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知的顶点为，，，则该三角形的欧拉线方程为（　　）
A． B．
C． D．
5．原点到直线的距离的最大值为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在Rt中，是直角，的内切圆与分别切于点，点是图中阴影区域内的一点（不包含边界）.若，则至少满足（　　）
A． B．
C． D．
7．在平面直角坐标系中，，是上一动点，则直线的斜率的取值范围为 （　　）
A． B．
C． D．
8． 圆，过点作圆的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．已知为直线上的一点，动点与两个定点，的距离之比为2，则（　　）
A．动点的轨迹方程为
B．
C．的最小值为
D．的最大角为
10．已知圆，则下列命题是真命题的是
A．若圆关于直线对称，则
B．存在直线与所有的圆都相切
C．当时，为圆上任意一点，则的最大值为
D．当时，直线，为直线上的动点．过点作圆的切线，，切点为，，则最小值为4
11．已知直线，则下列表述正确的是（　　）
A．当时，直线的倾斜角为
B．当实数变化时，直线恒过点
C．当直线与直线平行时，则两条直线的距离为1
D．直线与两坐标轴正半轴围成的三角形面积的最小值为4
三、填空题
12．已知圆M：和点P，过点P作圆M的切线，切点分别为A，B，则三角形PAB外接圆的方程为　 　
13．月球背面指月球的背面，从地球上始终不能完全看见．某学习小组通过单光源实验来演示月球背面．由光源点射出的两条光线与圆分别相切于点，称两射线的切点上方部分与优弧上方所夹的平面区域（含边界）为圆的“背面”．若以点为圆心，为半径的圆处于的“背面”，当取得最大值时的值为　 　．
14．已知为正实数，设直线的斜率为，直线的斜率为，且与交于轴外一点，若，与轴围成一个等腰三角形，则的所有可能的取值为　 　.
四、解答题
15． 已知直线：，：ax+y-a=0，且直线与垂直．
（1）求a的值：
（2）若直线l过直线与的交点P，且原点到该直线的距离为3，求直线l的方程．
16．已知经过原点的直线与圆相交于两点.
（1）若，求的斜率；
（2）已知存在轴上的点，使直线的斜率之和恒为0，求的值.
17．已知圆．
（1）求直线被圆截得弦长；
（2）已知为圆C上一点，求与圆C外切于点A，且半径为6的圆的方程．
18．已知曲线C是到两个定点，的距离之比等于常数的点组成的集合．
（1）求曲线C的方程；
（2）设过点B的直线l与C交于M，N两点；问在x轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点Q的坐标及定值；若不存在，请说明理由．
19．已知半径为3的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线相切．
（1）求圆的方程；
（2）设直线与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，是否存在实数a，使得弦AB的垂直平分线l过点？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
2．【答案】A
3．【答案】C
4．【答案】A
5．【答案】D
6．【答案】C
7．【答案】D
8．【答案】C
9．【答案】A,C,D
10．【答案】B,D
11．【答案】A,B,D
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】（1）解：由直线与垂直，得，即，解得；
（2）解：由（1）得，直线的方程为，即，
由，得，即点P坐标为
①当直线l的斜率不存在时，其直线方程为，满足题意；
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即，
因为原点到该直线的距高为3，所以，所以，
则直线l的方程为．
综上所述，直线l的方程为或．
16．【答案】（1）解：由圆，知圆心坐标为，半径为2，
因为，所以点到的距离为，
因为直线经过原点，且由题意易知斜率不可能为0，可设其方程为，
由点到直线的距离公式可得：，
解得
（2）解：设，联立
，
得，
所以，，
由题意得，即，
因为，所以，即，
解得.
17．【答案】（1）解：的圆心为，半径，
圆心到直线的距离为，
故弦长为，
（2）解：由题意可知在直线上，由于，，
所以直线方程为，
设，则，
化简可得，解得或，
由于两圆外切，且点为切点，所以不符合，舍去，
故，圆心为则圆的方程为
18．【答案】（1）解：设点，由题意可知，则有，整理得，故曲线C的方程为.
（2）解：
设直线l方程为，点，，
联立，得，
所以，
因此
若，即时，，所以定值为，
当斜率不存在时，直线l为，
联立可求得，，
所以，符合题意.
故存在定点，使得为定值-4.
19．【答案】（1）解：设圆心为，且是整数．则点到直线的距离为3．
得，所以或（舍去），
轨迹方程：
（2）解：联立圆的方程与直线方程，，得到
因为直线与圆有两个交点，所以，
解得.
（3）解：当时显然不符合题意；
当时，设l的方程为，
由于直线l垂直平分弦AB，故圆心必在l上，
符合（2）的范围，
所以.

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