资源简介

微专题01平面向量与三角形“四心”问题
研考题·聚焦关键词
题型一 三角形四心的判别
例1.(1)已知点是的内心、外心、重心、垂心之一，且满足，则点一定是的（ ）
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
【答案】B
【解析】设中点为，所以，
所以，
即，所以，
又由为中点可得点在的垂直平分线上，所以点是的外心，
故选：B
(2)已知O是平面上的一个定点，A B C是平面上不共线的三点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【答案】C
【解析】因为为方向上的单位向量，为方向上的单位向量，
则的方向与的角平分线一致，
由，可得，即，
所以点P的轨迹为的角平分线所在直线，故点P的轨迹一定经过的内心.
故选：C.
变式:（2023·河南安阳·安阳一中校考）在中，设，那么动点的轨迹必通过的（ ）
A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心
【答案】C
【解析】设的中点是，
，
即，所以，
所以动点在线段的中垂线上，故动点的轨迹必通过的外心，
故选：C.

题型二 三角形四心的应用
例2.(1)（2023·全国·高三专题练习）记内角的对边分别为，点是的重心，若则的取值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依题意，作出图形，
因为点析是的重心，所以是的中点，故，
由已知得，
因为，所以，
又因为点是的重心，所以，则，
又因为，所以，则，
又由余弦定理得，所以，整理得，
因为，令，则，
所以，
则.
故选：D.
.
(2)（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，，O为△ABC的内心，若，则x＋y的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设，根据三点共线可得，结合图像分析运算．
【详解】如图：圆O在边上的切点分别为，连接，延长交于点
设，则，则
设
∵三点共线，则，即
即
故选：D．
变式:（2022秋·安徽黄山·高三第一次质量检测试题改编）在中,,O是的外心,则的最大值为_____________
【答案】3
【解析】:由题知,记的三边为,
因为O是的外心,
记中点为,
则有,
所以
且,
所以
①,
在中,由余弦定理得:
,
即,即,
代入①中可得:,
在中,由正弦定理得:,
所以,
所以,
当时取等,
故的最大值为3.
故答案为:3
巩固能力·突破高分
1.（2024届湖南省高三九校联盟第一次联考）在中，点满足为重心，设，则可表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】.
.
故选：C
2.已知为的外心，若且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】过点作于，过点作于，
过点作交的延长线于，交的延长线于，
因为则，从而有,
而三角形的外接圆的半径为，所以,
且，所以，所以,
所以,故，由于，因此.
故选：D
3.（2023·全国·高三校考）已知H为的垂心，，，M为边BC的中点，则（ ）
A．20 B．10 C． D．
【答案】B
【解析】由题意，，，
．
故选：B．
4.（2023春·广东佛山·高三佛山市第一中学4月统考）在中，设，那么动点的轨迹必通过的（ ）
A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心
【答案】D
【解析】设线段的中点为，
则、互为相反向量，所以，
因为，即，
所以，，即，
即，即，所以，垂直且平分线段，
因此动点的轨迹是的垂直平分线，必通过的外心.
故选：D.
5.（2023·全国·高三专题练习）圆为锐角的外接圆，，点在圆上，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由为锐角三角形，则外接圆圆心在三角形内部，如下图示，
又，而，若外接圆半径为r，
则，故，且，即，
由，
对于且在圆上，当为直径时，当重合时，
所以，
综上，，
锐角三角形中，则，即恒成立，
所以，则恒成立，
综上，.
故选: C
6.（2023春·江苏南京·高三南京师范大学附属中学江宁分校校考）(多选)设点是的外心，且，下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若是正三角形，则
D．若，，，则四边形的面积是
【答案】ACD
【解析】对选项A：因为，则，，三点共线，且点是的外心，
所以，所以为中点，所以是以为直角顶点的直角三角形，故A对；
对选项B：因为，则，，三点共线，
易知是以为直角顶点的直角三角形，且为的中点，则，，故B错；
对选项C：因为是正三角形，故，则，故C对；
对选项D：因为，故在外，又，
所以，又，，则，故D对.
故选:：ACD.
7.（2023·全国·高三专题练习）已知中，，，，为的外心，若，则的值为____________.
【答案】
【解析】由题意可知，为的外心，
设半径为r，在圆O中，过O作，垂足分别为,
因为 ，两边乘以，即，
的夹角为，而，
则 ，得①，
同理两边乘 ，即，，
则 得②，
①②联立解得，，
所以，
故答案为：
8.（2023·全国·高三校考改编）的外心满足，，则的面积为____________.
【答案】
【解析】设的中点为，则可化为
即为， 三点共线且，为等腰三角形，
由垂径定理得，代入数据得,
解之：，.
故答案为：
9.（2023·全国·高三专题练习）如图，圆为的外接圆，，，为边的中点，则______.
【答案】
【解析】是BC中点，
，
M为的外接圆的圆心，即三角形三边中垂线交点，
，
同理可得，
.
故答案为：.
10.（2023·湖北·高三校考）在中，，，，且，若为的内心，则 ．
【答案】
【解析】因为，所以，因为，所以，
所以，又，，所以，所以，
由余弦定理可得，又，
所以，又，所以，所以为以为斜边的直角三角形，
设的内切圆与边相切于点，内切圆的半径为，
由直角三角形的内切圆的性质可得，故，
因为，所以，因为，所以，所以
所以.
故答案为：.微专题01平面向量与三角形“四心”问题
研考题·聚焦关键词
题型一 三角形四心的判别
例1.(1)已知点是的内心、外心、重心、垂心之一，且满足，则点一定是的（ ）
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
(2)已知O是平面上的一个定点，A B C是平面上不共线的三点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
变式:（2023·河南安阳·安阳一中校考）在中，设，那么动点的轨迹必通过的（ ）
A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心
题型二 三角形四心的应用
例2.(1)（2023·全国·高三专题练习）记内角的对边分别为，点是的重心，若则的取值是（ ）
A． B． C． D．
(2)（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，，O为△ABC的内心，若，则x＋y的最大值为（ ）
A． B． C． D．
变式:（2022秋·安徽黄山·高三第一次质量检测试题改编）在中,,O是的外心,则的最大值为_____________
巩固能力·突破高分
1.（2024届湖南省高三九校联盟第一次联考）在中，点满足为重心，设，则可表示为（ ）
A. B.
C. D.
2.已知为的外心，若且，则（ ）
A． B． C． D．
3.（2023·全国·高三校考）已知H为的垂心，，，M为边BC的中点，则（ ）
A．20 B．10 C． D．
4.（2023春·广东佛山·高三佛山市第一中学4月统考）在中，设，那么动点的轨迹必通过的（ ）
A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心
5.（2023·全国·高三专题练习）圆为锐角的外接圆，，点在圆上，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6.（2023春·江苏南京·高三南京师范大学附属中学江宁分校校考）(多选)设点是的外心，且，下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若是正三角形，则
D．若，，，则四边形的面积是
7.（2023·全国·高三专题练习）已知中，，，，为的外心，若，则的值为____________.
8.（2023·全国·高三校考改编）的外心满足，，则的面积为____________.
9.（2023·全国·高三专题练习）如图，圆为的外接圆，，，为边的中点，则______.
10.（2023·湖北·高三校考）在中，，，，且，若为的内心，则 ．

展开更多......

收起↑