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微专题02解三角形最值、范围与图形题型归类
研考题·聚焦关键词
题型一 与三角形中特数线段有关的最值、范围问题
例1.（2023秋·江苏盐城·高三联盟五校第一次联考改编）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则角B=___________；若，D为AC的中点，求线段BD长度的取值范围为___________．
【答案】
【解析】因为
所以，
则，
即，
所以，
又，则，
所以，即，
由，得，
所以，
所以；
因为，
所以，
因为D为AC的中点，
所以，
则，
因为，
所以，
，
则
，
因为，所以，
所以，
则，所以，
所以
故答案为：
变式:（2023上·河北保定·高三校联考开学考试）在中，角，，的对边分别为，，，若.
(1)求角的大小；
(2)若为上一点，，，求的最小值.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）依题意，，
由正弦定理得，
，所以，
所以是钝角，所以.
（2），
，所以，
即，
所以，
当且仅当时等号成立.
题型二 与三角形周长、面积有关的最值问题、范围问题
例2.（2023·全国·河南省实验中学校考模拟预测）已知三角形中，，角的平分线交于点，若，则三角形面积的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】在中，在中，
故，，
因为，故，
又角的平分线交于点，则，故.
故.
以为坐标原点建立如图平面直角坐标系，则因为，，
故，，设，则，
即，故，
化简可得，即，故点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆（除去）.
故当纵坐标最大，即时面积取最大值为.

故选：C
变式:（2023上·湖北武汉·高三华中师大一附中校考期中）记的内角的对边分别为，已知.
(1)求A的值；
(2)若的平分线与交于点，求面积的最小值.
【答案】(1)(2)
【解析】（1）因为，由正弦定理可得，
则，
，
即，
可得，
因为，则，则，
整理得，
又因为，则，
可得，所以.
（2）因为平分且，所以，
由，可得，
整理得，则，当且仅当时，等号成立，
故面积的最小值为．
例3.（2023·河北邯郸·统考二模）已知条件：①；②；③.
从三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.
问题：在中，角，，所对的边分别为，，，满足：___________.
(1)求角的大小；
(2)若，与的平分线交于点，求周长的最大值.
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分
【答案】(1)条件选择见解析，；(2).
【解析】（1）选择条件①，，
在中，由余弦定理得，
整理得，则，又，
所以.
选择条件②，，
于是，
在中，由正弦定理得，，
因为，则，即，
因为，因此，即，又，
所以.
选择条件③，，
在中，因为，即，
则，又，即有，则，
所以.
（2）由（1）知，，有，
而与的平分线交于点，即有，于是，
设，则，且，
在中，由正弦定理得，，
所以，，
所以的周长为
，由，得，
则当，即时，的周长取得最大值，
所以周长的最大值为.
题型三 组合图形中线段、周长、面积有关的最值、范围问题
例4.（湖北省黄冈市部分普通高中2024届高三上学期阶段性教学质量监测数学试题）已知的内角，，所对的边分别为，，，且．
（1）求角的大小；
（2），，点为线段的中点，点、分别在线段和上，满足，求面积的最小值．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）因为，
所以，
即，
由正弦定理，可得，
因为，可得且，
所以，则，所以，
因为，所以，
则.
（2）设
在中，，
在中，，
由得，
，
令，
其中，
所以当即时，，
所以.
变式:（广东省2024届普通高中毕业班第二次调研考试数学试题）如图，在平面内，四边形的对角线交点位于四边形内部，，，为正三角形，设.
（1）求的取值范围；
（2）当变化时，求四边形面积的最大值.
【答案】（1） （2）
【解析】（1）因为四边形的对角线交点位于四边形内部，
所以，又因为为正三角形，，所以.
在中，由余弦定理得，
又因，
将，代入并整理得且，解得，
所以的取值范围是；
（2）在中，由余弦定理可得，，
由（1）知，所以，
又因为为正三角形，所以，
又，
所以
，
所以当，即时，且成立，
四边形的面积取得最大值，最大值为.
例5.（2023·重庆·统考模拟预测）如图所示，已知圆是的外接圆，圆的直径.设，，，在下面给出条件中选一个条件解答后面的问题，
①；
②；
③的面积为.选择条件______.
(1)求的值；
(2)求的周长的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）若选①，因为，
由正弦定理可得，
显然，所以，
即，所以，所以，又，所以，
因为外接圆的半径，所以.
若选②，因为，
所以，
即，
所以，
所以，所以，又，所以，
因为外接圆的半径，所以.
若选③，的面积为，则，
由余弦定理可得，所以，所以，又，所以，
因为外接圆的半径，所以.
（2）由题知，设，，
由正弦定理，
所以，，
所以
，
因为，所以，所以，
所以
巩固能力·突破高分
1.（2023·陕西宝鸡·统考二模）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为是锐角三角形，所以，，所以，，
由正弦定理得，所以．
故选：C．
2.（2023·湖南益阳·统考模拟预测改编）中，角 的对边分别为，从下列三个条件中任选一个作为已知条件，并解答问题.①；②；③的面积为.
则的取值范围为_______________.
【答案】
【解析】选择①由正弦定理可得，，
因为，所以 ，即，
因为，所以，所以，
所以，即；
选择②，则，
由正弦定理得 ，
因为，所以 ，即，
因为，所以，所以，即；
选择③由，
可得 ，即，
所以，由于，故.
因为，所以，
所以，
所以，
即的取值范围为
故答案为：
3.（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，点O为的内心，记△OBC，的面积分别为，，，已知，,若为锐角三角形，则 AC的取值范围为_______________.；
【答案】
【解析】设的内切圆半径为r，因为，
所以，化简得：，
所以，因为，所以，所以，
因为，所以，
因为为锐角三角形，
所以，，解得：，
所以，所以AC的取值范围为．
故答案为：
4.（2023秋·江苏苏州常熟·高三常熟中学第一次月考改编）已知的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且，若为锐角三角形，，则周长的取值范围为___________．
【答案】
【解析】，
由正弦定理得，
中，，所以，得，即，
∵，则， ∴，∴.
为锐角三角形，，，
由正弦定理得，
∴，，，
周长
，
∵为锐角三角形， ∴，
∴， ∴， ∴，
∴，即周长的取值范围为.
故答案为：
5.（安徽省“皖江名校联盟”2024届高三上学期12月月考数学试题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足.
（1）求；
（2）若角的平分线交于点，且，求面积的最小值.
【答案】（1） （2）.
【解析】（1）由已知和正弦定理可得：，
所以.
又因为，，所以或者.
当时，，；
当时，与题设不符.
综上所述，.
（2）面积，
由是角平分线，，
因为，得，
即，由基本不等式，，
当且仅当时等号成立.
所以面积.
故面积的最小值.
6.(江苏省扬州市仪征中学、江都中学2024届高三12月联考数学试题)在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
（1）求A；
（2）若D是BC边上一点，AD是的平分线，且，，求的面积.
【答案】（1） （2）
【解析】（1）因为，
由二倍角公式和诱导公式可得，
整理得，
由正弦定理得，
由余弦定理得，
又，所以.
（2）如图所示，， D是BC边上一点，AD是的平分线，且，，
由于，则，
得，又，所以，
解得或（舍去），
所以.
7.(江苏省常州市华罗庚中学2024届高三上学期12月阶段检测数学试题)记锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求A；
（2）若，求的最小值．
【答案】（1） （2）
【解析】（1），
由余弦定理得，因故，
因为是锐角三角形，所以．
（2）由正弦定理知，得，故．
由余弦定理得，
故，
当，，时，是锐角三角形，所以的最小值是．
8.（山东省实验中学2024届学年高三第二次诊断考试数学试题）如图，在中，，，，点在边的延长线上.
（1）求的面积；
（2）若，为线段上靠近的三等分点，求的长.
【答案】（1） （2）
【解析】（1）中，，
因为，，
所以
因为
，
所以.
（2）方法1：因为为线段上靠近的三等分点，
所以,
所以,
所以
，
则.
方法2：在中，由余弦定理得
，
因为为线段上靠近的三等分点，
所以，
因为，
所以，
因为为锐角，
所以，
在中，由余弦定理得，
，
所以.
9.（安徽师范大学附属中学2023届高三上学期1月月考数学试题）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求A的大小；
（2）若为锐角三角形，求的取值范围．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）由，
则根据正弦定理有，即，
又由余弦定理有，得，
所以在中，得；
（2）由为锐角三角形，且，
则有，得，即，即，
所以根据正弦定理有．微专题02解三角形最值、范围与图形题型归类
研考题·聚焦关键词
题型一 与三角形中特数线段有关的最值、范围问题
例1.（2023秋·江苏盐城·高三联盟五校第一次联考改编）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则角B=___________；若，D为AC的中点，求线段BD长度的取值范围为___________．
变式:（2023上·河北保定·高三校联考开学考试）在中，角，，的对边分别为，，，若.
(1)求角的大小；
(2)若为上一点，，，求的最小值.
题型二 与三角形周长、面积有关的最值问题、范围问题
例2.（2023·全国·河南省实验中学校考模拟预测）已知三角形中，，角的平分线交于点，若，则三角形面积的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
变式:（2023上·湖北武汉·高三华中师大一附中校考期中）记的内角的对边分别为，已知.
(1)求A的值；
(2)若的平分线与交于点，求面积的最小值.
例3.（2023·河北邯郸·统考二模）已知条件：①；②；③.
从三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.
问题：在中，角，，所对的边分别为，，，满足：___________.
(1)求角的大小；
(2)若，与的平分线交于点，求周长的最大值.
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分
题型三 组合图形中线段、周长、面积有关的最值、范围问题
例4.（湖北省黄冈市部分普通高中2024届高三上学期阶段性教学质量监测数学试题）已知的内角，，所对的边分别为，，，且．
（1）求角的大小；
（2），，点为线段的中点，点、分别在线段和上，满足，求面积的最小值．
变式:（广东省2024届普通高中毕业班第二次调研考试数学试题）如图，在平面内，四边形的对角线交点位于四边形内部，，，为正三角形，设.
（1）求的取值范围；
（2）当变化时，求四边形面积的最大值.
例5.（2023·重庆·统考模拟预测）如图所示，已知圆是的外接圆，圆的直径.设，，，在下面给出条件中选一个条件解答后面的问题，
①；
②；
③的面积为.选择条件______.
(1)求的值；
(2)求的周长的取值范围.
巩固能力·突破高分
1.（2023·陕西宝鸡·统考二模）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
2.（2023·湖南益阳·统考模拟预测改编）中，角 的对边分别为，从下列三个条件中任选一个作为已知条件，并解答问题.①；②；③的面积为.
则的取值范围为_______________.
3.（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，点O为的内心，记△OBC，的面积分别为，，，已知，,若为锐角三角形，则 AC的取值范围为_______________.；
4.（2023秋·江苏苏州常熟·高三常熟中学第一次月考改编）已知的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且，若为锐角三角形，，则周长的取值范围为___________．
5.（安徽省“皖江名校联盟”2024届高三上学期12月月考数学试题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足.
（1）求；
（2）若角的平分线交于点，且，求面积的最小值.
6.(江苏省扬州市仪征中学、江都中学2024届高三12月联考数学试题)在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
（1）求A；
（2）若D是BC边上一点，AD是的平分线，且，，求的面积.
7.(江苏省常州市华罗庚中学2024届高三上学期12月阶段检测数学试题)记锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求A；
（2）若，求的最小值．
8.（山东省实验中学2024届学年高三第二次诊断考试数学试题）如图，在中，，，，点在边的延长线上.
（1）求的面积；
（2）若，为线段上靠近的三等分点，求的长.
9.（安徽师范大学附属中学2023届高三上学期1月月考数学试题）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求A的大小；
（2）若为锐角三角形，求的取值范围．

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