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微专题03 数列中的增项和减项问题
研考题·聚焦关键词
题型一 数列的增项问题
例1.（2023·江苏南通·二模）已知正项数列的前n项和为，且 ，， ．
(1)求；
(2)在数列的每相邻两项之间依次插入，得到数列 ，求的前100项和.
【答案】(1)，(2)186
【解析】（1）因为，当时，
，
因为，所以，故．
当时，适合上式，
所以，.
（2）（方法1）因为，，
所以当时，．
所以
所以数列：1，1，2，1，2，2，1，2，2，2，……，
设，则，
因为，所以.
所以的前100项是由14个1与86个2组成．
所以.
（方法2）设，则，
因为，所以.
根据数列的定义，知
.
变式:(2022·汕头三模）已知各项均为正数的数列中，且满足，数列的前n项和为，满足．
（1）求数列，的通项公式；
（2）若在与之间依次插入数列中的k项构成新数列：，，，，，，，，，，……，求数列中前50项的和．
【答案】（1）， （2）11522
【解析】（1）由
得：
∵
是首项，公差为2的等差数列
∴
又当时，得
当，由…①
…②
由①－②整理得：，
∵，
∴，
∴，
∴数列是首项为1，公比为3等比数列，故；
（2）依题意知：新数列中，（含）前面共有：项．
由，（）得：，
∴新数列中含有数列的前9项：，，……，，含有数列的前41项：，，，……，；
∴．
题型二 数列的减项问题
例2.（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）已知是首项为1的等差数列，公差是首项为2的等比数列，．
(1)求的通项公式；
(2)若数列的第项，满足__________（在①②中任选一个条件），，则将其去掉，数列剩余的各项按原顺序组成一个新的数列，求的前20项和．
①②．
【答案】(1)(2)
【解析】（1）设的公差为的公比为，
因为，所以，
联立消得，解得或与矛盾，
故，代回计算得，
所以
（2）若选①，则有，
所以剩余的项就是原数列的奇数项，
相当于剩余的项以2为首项，4为公比的等比数列，
所以；
若选②，则有，
因为，
所以当时，对应的为整数，满足，
当时，对应的不为整数，不满足，
所以剩余的项就是原数列的奇数项，
相当于剩余的项以2为首项，4为公比的等比数列，
所以；
变式:（江苏省南通市2023届高三高考前练习）已知数列是公差为3的等差数列，数列是公比为2的等比数列，且满足． 将数列与的公共项按照由小到大的顺序排列，构成新数列．
(1)证明：
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】（1）由，得，
由，得，
解得，
因为数列{}的公差为3，数列{}的公比为2，
所以
不是数列{}的项，是数列{}的第1项．
设，则
所以不是数列{}的项．
因为，
所以是数列{}的项．
所以
（2）由（1）可知，．
=
所以
所以．
巩固能力·突破高分
1.（2023·江苏常州·统考模拟预测）已知数列满足，在之间插入n个1，构成数列：，则数列的前100项的和为（ ）
A．178 B．191 C．206 D．216
【答案】A
【解析】数列满足，在，之间插入个1，构成数列，1，，1，1，，1，1，1，，，
所以共有个数，
当时，，
当时，，
由于，
所以．
故选：A．
2.（2022·江苏镇江·扬中市第二高级中学校考模拟预测）我国古代数学名著《孙子算经》载有一道数学问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩二，七七数之剩二，问物几何 ”根据这一数学思想，所有被3除余2的整数从小到大组成数列，所有被5除余2的正整数从小到大组成数列，把数与的公共项从小到大得到数列，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意数列是首项为2，公差为3的等差数列， ，
数列是首项为2，公差为5的等差数列，，
数列与的公共项从小到大得到数列，故数列是首项为2，公差为15的等差数列，，
对于A， ， ，错误；
对于B， ，，错误；
对于C， ，，正确；
对于D， ，，错误.
故选：C.
（2022·山东日照·高三期末改编）数列中，已知，数列{bn}满足，点在直线上,若数列中满足：①；②存在使的项组成新数列{cn}，则数列cn=（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，，，
①，，，满足①，
所以是以1为首项2为公比的等比数列，
所以.
因为点在直线上，
所以，，是首项为1公差为3的等差数列，所以.
且满足的中项一定是除3余1的数，即形如的数，
同时满足，所以，，，，
cn=
故选：B.
4.（2022·广东东莞·高三期末改编）设等差数列的前项和为，且，.
则数列的通项公式为___________；在任意相邻两项和之间插入个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列，则数列的前200项的和为_______________.
【答案】；
【解析】设等差数列的公差为，
由题得，即，
整理得，
解得.
所以.
由题意可知，的各项为
即，
因为，
且，
所以，，，，，，会出现在数列的前200项中，
所以前面（包括）共有126+7=133项，所以后面（不包括）还有67个1，
所以，
故答案为：；
5.(2022·青岛期初考试)已知等差数列{An}的首项A1为4，公差为6，在{An}中每相邻两项之间都插入两个数，使它们和原数列的项一起构成一个新的等差数列{an}，则数列{an}的通项公式为___________；若，，…，，…是从{an}中抽取的部分项按原来的顺序排列组成的一个等比数列，，令，则数列{bn}的前n项和Tn=_______________．
【答案】2n＋2；
【解析】设数列{an}的公差为d，
由题意可知，＝A2＝4＋6＝10，
所以，
解得d＝2，
所以＝2n＋2；
设等比数列，，…，，…的公比为q，
则q＝＝＝＝3，所以＝，
又＝，
所以，
，
因为，
所以4×31，
相减得：
故答案为：2n＋2；
6.（2023春·江苏南通·高三校考开学考试）“0，1数列”是每一项均为0或1的数列，在通信技术中应用广泛.设是一个“0，1数列”，定义数列：数列中每个0都变为“1，0，1”，中每个1都变为“0，1，0”，所得到的新数列.例如数列：1，0，则数列：0，1，0，1，0，1.已知数列：1，0，1，0，1，记数列，，2，3，…，则数列的所有项之和为______.
【答案】
【解析】依题意，可知经过一次变换，每个1变成3项，其中2个0，1个1；每个0变成3项，其中2个1，1个0，
因为数列：1，0，1，0，1，共有5项，3个1，2个0，
所以有项，3个1变为6个0，3个1；2个0变为4个1，2个0；故数列中有7个1，8个0；
有项，7个1变为14个0，7个1；8个0变为16个1，8个0；故数列中有23个1，22个0；
有项，23个1变为46个0，23个1；22个0变为44个1，22个0；故数列中有67个1，68个0；
所以数列的所有项之和为.
故答案为：67
7.（2022·山东烟台·一模）己知等差数列的前n项和为，，．
(1)求的通项公式；
(2)保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前n项和为，求的值．
【答案】（1）；（2）142
【解析】 (1)设的公差为d，由已知，．
解得，d＝2．所以；
(2)因为与之间插入个1，
所以在中对应的项数为
，
当k＝6时，，当k＝7时，，
所以，，且．
因此
.
8.（2022·永州三模）已知各项均为正数的数列满足，，其中是数列的前项和.
（1）求数列的通项公式；
（2）在和中插入个相同的数构成一个新数列：．求的前90项和．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）当时，，当时，递推得，
∴，，因为数列各项均为正数，所以，又∵ ，
∴数列为等差数列，故.
（2）在数列中，在之前的所有项数为
故时，当时，数列中，之前的所有项数恰好为90
∴
令，则
∴
∴,
∴.
9.（2020届陕西省西安中学高三第一次模拟）已知数列的前n项和为，且n、、成等差数列，.
（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）若数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列，求的值.
【答案】（1）证明见解析，；（2）11202.
【解析】（1）证明：因为n，，成等差数列，所以，①
所以.②
①－②，得，所以.
又当时，，所以，所以，
故数列是首项为2，公比为2的等比数列，
所以，即.
（2）根据（1）求解知，，，所以，
所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列.
又因为，，，，，，，，
，，，
所以
.
10.已知是递增的等差数列，，，，分别为等比数列的前三项.
（1）求数列和的通项公式；
（2）删去数列中的第项（其中 ），将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列，求数列的前n项和.
【答案】（1）， （2）
【解析】（1）设数列的公差为，数列的公比为q，
由已知得，解得， ，所以；
所以，，所以.
（2）由题意可知新数列为：，，，，…，
则当n为偶数时
，
则当n为奇数时,
，
综上：微专题03 数列中的增项和减项问题
研考题·聚焦关键词
题型一 数列的增项问题
例1.（2023·江苏南通·二模）已知正项数列的前n项和为，且 ，， ．
(1)求；
(2)在数列的每相邻两项之间依次插入，得到数列 ，求的前100项和.
变式:(2022·汕头三模）已知各项均为正数的数列中，且满足，数列的前n项和为，满足．
（1）求数列，的通项公式；
（2）若在与之间依次插入数列中的k项构成新数列：，，，，，，，，，，……，求数列中前50项的和．
题型二 数列的减项问题
例2.（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）已知是首项为1的等差数列，公差是首项为2的等比数列，．
(1)求的通项公式；
(2)若数列的第项，满足__________（在①②中任选一个条件），，则将其去掉，数列剩余的各项按原顺序组成一个新的数列，求的前20项和．
①②．
变式:（江苏省南通市2023届高三高考前练习）已知数列是公差为3的等差数列，数列是公比为2的等比数列，且满足． 将数列与的公共项按照由小到大的顺序排列，构成新数列．
(1)证明：
(2)求数列的前n项和．
巩固能力·突破高分
1.（2023·江苏常州·统考模拟预测）已知数列满足，在之间插入n个1，构成数列：，则数列的前100项的和为（ ）
A．178 B．191 C．206 D．216
2.（2022·江苏镇江·扬中市第二高级中学校考模拟预测）我国古代数学名著《孙子算经》载有一道数学问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩二，七七数之剩二，问物几何 ”根据这一数学思想，所有被3除余2的整数从小到大组成数列，所有被5除余2的正整数从小到大组成数列，把数与的公共项从小到大得到数列，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
（2022·山东日照·高三期末改编）数列中，已知，数列{bn}满足，点在直线上,若数列中满足：①；②存在使的项组成新数列{cn}，则数列cn=（ ）
A． B． C． D．
4.（2022·广东东莞·高三期末改编）设等差数列的前项和为，且，.
则数列的通项公式为___________；在任意相邻两项和之间插入个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列，则数列的前200项的和为_______________.
5.(2022·青岛期初考试)已知等差数列{An}的首项A1为4，公差为6，在{An}中每相邻两项之间都插入两个数，使它们和原数列的项一起构成一个新的等差数列{an}，则数列{an}的通项公式为___________；若，，…，，…是从{an}中抽取的部分项按原来的顺序排列组成的一个等比数列，，令，则数列{bn}的前n项和Tn=_______________．
6.（2023春·江苏南通·高三校考开学考试）“0，1数列”是每一项均为0或1的数列，在通信技术中应用广泛.设是一个“0，1数列”，定义数列：数列中每个0都变为“1，0，1”，中每个1都变为“0，1，0”，所得到的新数列.例如数列：1，0，则数列：0，1，0，1，0，1.已知数列：1，0，1，0，1，记数列，，2，3，…，则数列的所有项之和为______.
7.（2022·山东烟台·一模）己知等差数列的前n项和为，，．
(1)求的通项公式；
(2)保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前n项和为，求的值．
8.（2022·永州三模）已知各项均为正数的数列满足，，其中是数列的前项和.
（1）求数列的通项公式；
（2）在和中插入个相同的数构成一个新数列：．求的前90项和．
9.（2020届陕西省西安中学高三第一次模拟）已知数列的前n项和为，且n、、成等差数列，.
（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）若数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列，求的值.
10.已知是递增的等差数列，，，，分别为等比数列的前三项.
（1）求数列和的通项公式；
（2）删去数列中的第项（其中 ），将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列，求数列的前n项和.

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