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微专题04体育比赛与闯关问题
研考题·聚焦关键词
题型一 n局m胜制
例1.(江苏省连云港市2023届高三下学期2月调研)为了丰富在校学生的课余生活，某校举办了一次趣味运动会活动，学校设置项目A“毛毛虫旱地龙舟”和项目B“袋鼠接力跳”．甲、乙两班每班分成两组，每组参加一个项目，进行班级对抗赛．每一个比赛项目均采取五局三胜制（即有一方先胜3局即获胜，比赛结束），假设在项目A中甲班每一局获胜的概率为，在项目B中甲班每一局获胜的概率为，且每一局之间没有影响．
(1)求甲班在项目A中获胜的概率；
(2)设甲班获胜的项目个数为X，求X的分布列及数学期望．
【答案】(1)；(2)分布列见解析，
【解析】（1）记“甲班在项目A中获胜”为事件A，
则，
所以甲班在项目A中获胜的概率为
（2）记“甲班在项目B中获胜”为事件B，
则，
X的可能取值为0，1，2，
则，
，
．
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
．
所以甲班获胜的项目个数的数学期望为
变式:甲、乙两所学校之间进行排球比赛，采用五局三胜制(先赢3局的学校获胜，比赛结束)，约定比赛规则如下:先进行男生排球比赛，共比赛两局，后进行女生排球比赛，直到分出胜负．按照以往比赛经验，在男生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为，乙校获胜的概率为，在女生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为，乙校获胜的概率为，每局比赛结果相互独立．
（1）求甲校以3:1获胜的概率；
（2）记比赛结束时女生比赛的局数为，求的分布列及期望．
【答案】（1） （2）分布列见解析，
【解析】（1）甲校以获胜的情况有：
①前两局男排比赛中甲全胜，第三局比赛中甲负，第四局比赛甲胜，概率为：
，
②前两局男排比赛中甲1胜1负，第三局比赛中甲胜，第四局比赛甲胜，概率为：
，
甲校以获胜的概率为：；
（2）记比赛结束时女生比赛的局数为，则的可能取值为1，2，3，
，
，
，
的概率分布为：
1 2 3
所以.
题型二 连胜制
例2.(2023年新课标全国Ⅰ卷·第21题)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投籃，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0．6，乙每次投篮的命中率均为0．8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0．5．
(1)求第2次投篮的人是乙的概率；
(2)求第次投篮的人是甲的概率；
(3)已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次(即从第1次到第次投篮)中甲投篮的次数为，求．
【答案】(1) (2) (3)
【解析】(1)记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件，
所以，
．
(2)设，依题可知，，则
，
即，
构造等比数列，
设，解得，则，
又，所以是首项为，公比为的等比数列，
即．
(3)因为，，
所以当时，，
故．
变式:（江苏省常州市前黄高级中学2023届高三下学期二模)2022年12月初某省青少年乒乓球培训基地举行了混双选拔赛，其决赛在韩菲/陈宇和黄政/孙艺两对组合间进行，每场比赛均能分出胜负．已知本次比赛的赞助商提供了10000元奖金，并规定：①若其中一对赢的场数先达到4场，则比赛终止，同时这对组合获得全部奖金；②若比赛意外终止时无组合先赢4场，则按照比赛继续进行各自赢得全部奖金的概率之比给两对组合分配奖金．已知每场比赛韩菲/陈宇组合赢的概率为，黄政/孙艺赢的概率为，且每场比赛相互独立．
(1)若在已进行的5场比赛中韩菲/陈宇组合赢3场、黄政/孙艺组合赢2场，求比赛继续进行且韩菲/陈宇组合赢得全部奖金的概率；
(2)若比赛进行了5场时终止（含自然终止与意外终止），则这5场比赛中两对组合之间的比赛结果共有多少不同的情况？
(3)若比赛进行了5场时终止（含自然终止与意外终止），设，若赞助商按规定颁发奖金，求韩菲/陈宇组合获得奖金数X的分布列．
【答案】(1)；(2)28；(3)分布列见详解
【解析】（1）“比赛继续进行且韩菲/陈宇组合赢得全部奖金”的对立事件为“黄政/孙艺组合再连赢2场”，
故比赛继续进行且韩菲/陈宇组合赢得全部奖金的概率.
（2）设5场比赛中韩菲/陈宇组合赢场、黄政/孙艺组合赢场，用表示比赛结果，
若比赛进行了5场时终止（含自然终止与意外终止），则有：，
故共有种不同的情况.
（3）若韩菲/陈宇组合赢1场、黄政/孙艺组合赢4场，则韩菲/陈宇组合获得奖金数为0元；
若韩菲/陈宇组合赢2场、黄政/孙艺组合赢3场，则韩菲/陈宇组合需再连赢2场，其概率为，故韩菲/陈宇组合获得奖金数为元；
若韩菲/陈宇组合赢3场、黄政/孙艺组合赢2场，则韩菲/陈宇组合需再赢1场，其概率为，故韩菲/陈宇组合获得奖金数为元；
若韩菲/陈宇组合赢4场、黄政/孙艺组合赢1场，则韩菲/陈宇组合获得奖金数为10000元；
即奖金数X的可能取值有，则有
，
故奖金数X的分布列为：
0 2500 7500 10000
题型三 积分制
例3.（江苏省徐州市2023届高考模拟）5月25日是全国大、中学生心理健康日，“5.25”的谐音即为“我爱我”，意在提醒孩子们“珍惜生命、关爱自己”.学校将举行心理健康知识竞赛.第一轮选拔共设有A，B，C三个问题，规则如下：①每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题A，B，C分别加2分，4分，5分，答错任一题减2分；②每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完三题，若累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局，若累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；③每位参加者按问题A，B，C顺序作答，直至答题结束.假设甲同学对问题A，B，C回答正确的概率依次为，，，且各题回答正确与否相互之间没有影响.
(1)求在甲同学进入下一轮的条件下，答了两题的概率；
(2)用表示甲同学本轮答题结束时答对的个数，求的分布列和数学期望.
【答案】(1)；(2)分布列见解析，
【解析】（1）记答对A，B，C分别为事件，，，
甲同学进入下一轮为事件E，答了两题为事件F，
则，
，所以，
即在甲同学进入下一轮的条件下，答了两题的概率为.
（2）由题意知的可能取值为0，1，2.
，
，
，
所以的分布列为
0 1 2
P
数学期望.
变式:（江苏省南通市如皋中学2022-2023学年高三下学期4月阶段测试)某校为减轻暑假家长的负担，开展暑期托管，每天下午开设一节投篮趣味比赛．比赛规则如下：在A，B两个不同的地点投篮．先在A处投篮一次，投中得2分，没投中得0分；再在B处投篮两次，如果连续两次投中得3分，仅投中一次得1分，两次均没有投中得0分．小明同学准备参赛，他目前的水平是在A处投篮投中的概率为p，在B处投篮投中的概率为．假设小明同学每次投篮的结果相互独立．
(1)若小明同学完成一次比赛，恰好投中2次的概率为，求p；
(2)若，记小明同学一次比赛结束时的得分为X，求X的分布列及数列期望．
【答案】(1)(2)分布列见解析；
【解析】（1）设小明在处投篮为事件，在处投篮分别为
已知小明同学恰好投中2次，分三种情况
中中不中；
中不中中；
不中中中；
其概率为：，解得：.
（2）由题意可得得分的可能取值分别为，，，，
；
；
；
；
.
综上所述可得的分布列为
5 3 2 1 0
巩固能力·突破高分
1.（2023·高三校考）.投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0．6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）
A．0．648 B．432 C．0．36 D．0．312
【答案】A
【解析】根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为=0．648，
故选：A．
2.甲，乙，丙，丁四支足球队进行单循环比赛（每两个球队都要比赛一场），每场比赛的计分方法是﹔胜者得3分，负者得0分，平局两队各得1分，全部比赛结束后，四队的得分为：甲6分，乙5分，丙4分，丁1分，则（ ）
A. 甲胜乙 B. 乙胜丙 C. 乙平丁 D. 丙平丁
【答案】C
【解析】甲，乙，丙，丁四支足球队总比赛场次6场，总得分为6+5+4+1=16分，
由比赛计分规则：胜者得3分，负者得0分，平局两队各得1分，所以在6场比赛中有2场比赛是平局，即，
丁得1分，即1+0+0=1，所以丁在3场比赛中有1场是平局，
丙得4分，即3+1+0=4，所以丙在3场比赛中有1场是平局，
而乙得分5分，即3+1+1=5，所以乙在3场比赛中有2局是平局，所以乙可能平丙，乙可能平丁，
故选：C.
3.（江苏省镇江第一中学2023届高三下学期4月检测）甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，则甲获得冠军的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】若比赛两场甲获胜，则概率为；
若比赛三场甲获胜，则概率为；
甲获得冠军的概率.
故选：D.
4.(2022年高考全国乙卷数学(理)·第10题)某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，且．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（ ）
A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
【答案】D
【解析】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，
记该棋手在第二盘与甲比赛，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为，
则此时连胜两盘的概率为
则
；
记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为，
则
记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为
则
则
即，，
则该棋手在第二盘与丙比赛，最大．选项D判断正确；选项BC判断错误；
与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关．选项A判断错误．
故选：D
5.（2023·湖北黄石·统考模拟预测）（多选）乒乓球，被称为中国的“国球”.某次比赛采用五局三胜制，当参赛甲 乙两位中有一位赢得三局比赛时，就由该选手晋级而比赛结束.每局比赛皆须分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前比赛结果影响.假设甲在任一局赢球的概率为，实际比赛局数的期望值记为，则下列说法中正确的是（ ）
A．三局就结束比赛的概率为 B．的常数项为3
C．函数在上单调递减 D．
【答案】ABD
【解析】设实际比赛局数为，则的可能取值为，
所以，
，
，
因此三局就结束比赛的概率为，则A正确；
故
，
由知常数项为3，故B正确；
由，故D正确；
由，
，所以，
令，则；令，则，
则函数在上单调递增，则C不正确.
故选：ABD.
6.(2021高考天津·第14题)甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为____________，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为______________．
【答案】①． ②．
【解析】由题可得一次活动中，甲获胜的概率为；
则在3次活动中，甲至少获胜2次的概率为．
故答案为：；．
7.(2022年高考全国甲卷数学(理)·第19题)甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0．5，0．4，0．8，各项目的比赛结果相互独立．
(1)求甲学校获得冠军的概率；
(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．
【答案】(1)； (2)分布列见解析，．
【解析】(1)设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，所以甲学校获得冠军的概率为
．
(2)依题可知，的可能取值为，所以，
,
，
，
．
即的分布列为
0 10 20 30
0．16 0．44 0．34 0．06
期望．
8.（江苏省常州市前黄高级中学2023届高三考前攀登行动（一）)中日围棋擂台赛是由中国围棋队与日本围棋队各派若干名棋手，以擂台制形式举行的围棋团体赛.这是中国和国外开设的最早的围棋对抗赛，由中国围棋协会、日本棋院和中国《新体育》杂志社联合举办，日本电器公司（NEC）赞助，因此也称NEC杯中日围棋擂台赛.该赛事从1984年开始至1996年停办，共进行了11届，结果中国队以7比4的总比分获胜.该赛事对中国围棋甚至世界围棋发展产生了很大影响，被认为是现代围棋最成功的比赛之一.中日围棋擂台赛由中日双方各派同样数量的若干名棋手组成队伍，两队各设一名主帅，采用打擂台的形式，决出最后的胜负.比赛事先排定棋手的上场顺序（主帅最后上场），按顺序对局，胜者坐擂，负方依次派遣棋手打擂，直至一方“主帅”被击败为止.设中、日两国围棋队各有名队员，按事先排好的顺序进行擂台赛，中国队的名队员按出场的先后顺序记为；日本队的名队员按出场的先后顺序记为.假设胜的概率为（为常数）.
(1)当时，若每个队员实力相当，求中国队有四名队员被淘汰且最后战胜日本队的概率；
(2)记中国队被淘汰人且中国队获得擂台赛胜利的概率为，求的表达式；
(3)写出中国队获得擂台赛胜利的概率的表达式（不用说明理由）.
【答案】(1)；(2)；(3).
【解析】（1）方法一：由于每个队员实力相当，则每场比赛胜的概率均为，
列举出中国队的出场且获得胜利的所有对阵形式，共分五种情况：
①负于，只有一种情况，获胜的概率为；
②负于，此前共淘汰4人，及，共进行4场比赛，而日本队负1场，有种情况，获胜的概率为；
③负于，此前共进行5场比赛，日本队负2场，共有种情况，获胜的概率为；
④负于，此前共进行6场比赛，日本队负3场，共有种情况，获胜的概率为；
⑤负于，此前共进行7场比赛，日本队负4场，共有种情况，获胜的概率为，
这五种情况是互斥的，所以所求事件的概率为：.
方法二：由于两队的实力相当，则可认为与（）比赛时，获胜的概率为，
而每进行一场比赛淘汰一人，中国队的出场且获得胜利，就有9人被淘汰，则共进行了9场比赛，
且最后一场是中国队胜，在此之前的8场比赛中，中国队必胜4场，负4场（若胜5场，则不必出场），
所以所求事件的概率为.
（2）中国队被淘汰人且中国队获得擂台赛胜利，则共进行了场比赛，
前场比赛中，中国队被淘汰了人，负了场，
所以.
（3）中国队获得擂台赛胜利的事件是胜的个互斥事件的和，
由（2）知，胜的概率为，
所以中国队获得擂台赛胜利的概率.
9.(江苏省南通市崇川区等5地2023届高三下学期3月高考适应性考试（一）)随着科技的发展，手机的功能已经非常强大，各类APP让用户的生活质量得到极大的提升，但是大量的青少年却沉迷于手机游戏，极大地毒害了青少年的身心健康.为了引导青少年抵制不良游戏，适度参与益脑游戏，某游戏公司开发了一款益脑游戏APP，在内测时收集了玩家对每一关的平均过关时间，如下表：
关卡x 1 2 3 4 5 6
平均过关时间y （单位：秒） 50 78 124 121 137 352
(1)通过散点图分析，可用模型拟合y与x的关系，试求y与x的经验回归方程；
(2)甲和乙约定举行对战赛，每局比赛通关用时少的人获胜（假设甲 乙都能通关），两人约定先胜4局者赢得比赛.已知甲每局获胜的概率为，乙每局获胜的概率为，若前3局中甲已胜2局，乙胜1局，求甲最终赢得比赛的概率.
参考公式：对于一组数据（xi，yi）（i=1，2，3，…，n），其经验回归直线 =x+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.
参考数据：，其中.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）令，由，即，
，，
，
，
.
（2）记“甲最终赢得比赛”为事件，
则事件包含三种情况：
一是接下去进行两局比赛，甲都赢了；
二是接下去进行三局比赛，乙在前两局胜了其中一局，甲赢了剩余两局；
三是接下去进行四局比赛，乙在前三局胜了其中两局，甲赢了剩余两局；
故，
所以甲最终赢得比赛的概率为.
10.(江苏省四校（无锡市辅仁高级中学、江阴高中、宜兴一中、常州市北郊中学）2022-2023学年高三下学期4月阶段性测试)互花米草是禾本科草本植物，其根系发达，具有极高的繁殖系数，对近海生态具有较大的危害．为尽快消除互花米草危害，2022年10月24日，市政府印发了《莆田市互花米草除治攻坚实施方案》，对全市除治攻坚行动做了具体部署．某研究小组为了解甲、乙两镇的互花米草根系分布深度情况，采用按比例分层抽样的方法抽取样本．已知甲镇的样本容量，样本平均数，样本方差；乙镇的样本容量，样本平均数，样本方差．
(1)求由两镇样本组成的总样本的平均数及其方差；
(2)为营造“广泛发动、全民参与”的浓厚氛围，甲、乙两镇决定进行一次“互花米草除治大练兵”比赛，两镇各派一支代表队参加，经抽签确定第一场在甲镇举行．比赛规则：
每场比赛直至分出胜负为止，胜方得1分，负方得0分，下一场在负方举行，先得2分的代表队获胜，比赛结束．
当比赛在甲镇举行时，甲镇代表队获胜的概率为，当比赛在乙镇举行时，甲镇代表队获胜的概率为．假设每场比赛结果相互独立.甲镇代表队的最终得分记为X，求．
参考数据：．
【答案】(1)，；(2)
【解析】（1）根据题意，得，
因为，
同理，
所以
，
所以总样本的平均数为，方差.
（2）依题意可知，的所有可能取值为，
设“第场比赛在甲镇举行，甲镇代表队获胜”为事件，“第场比赛在乙镇举行，甲镇代表队获胜”为事件，
则，
所以，
，
，
所以.微专题04体育比赛与闯关问题
研考题·聚焦关键词
题型一 n局m胜制
例1.(江苏省连云港市2023届高三下学期2月调研)为了丰富在校学生的课余生活，某校举办了一次趣味运动会活动，学校设置项目A“毛毛虫旱地龙舟”和项目B“袋鼠接力跳”．甲、乙两班每班分成两组，每组参加一个项目，进行班级对抗赛．每一个比赛项目均采取五局三胜制（即有一方先胜3局即获胜，比赛结束），假设在项目A中甲班每一局获胜的概率为，在项目B中甲班每一局获胜的概率为，且每一局之间没有影响．
(1)求甲班在项目A中获胜的概率；
(2)设甲班获胜的项目个数为X，求X的分布列及数学期望．
变式:甲、乙两所学校之间进行排球比赛，采用五局三胜制(先赢3局的学校获胜，比赛结束)，约定比赛规则如下:先进行男生排球比赛，共比赛两局，后进行女生排球比赛，直到分出胜负．按照以往比赛经验，在男生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为，乙校获胜的概率为，在女生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为，乙校获胜的概率为，每局比赛结果相互独立．
（1）求甲校以3:1获胜的概率；
（2）记比赛结束时女生比赛的局数为，求的分布列及期望．
题型二 连胜制
例2.(2023年新课标全国Ⅰ卷·第21题)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投籃，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0．6，乙每次投篮的命中率均为0．8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0．5．
(1)求第2次投篮的人是乙的概率；
(2)求第次投篮的人是甲的概率；
(3)已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次(即从第1次到第次投篮)中甲投篮的次数为，求．
变式:（江苏省常州市前黄高级中学2023届高三下学期二模）2022年12月初某省青少年乒乓球培训基地举行了混双选拔赛，其决赛在韩菲/陈宇和黄政/孙艺两对组合间进行，每场比赛均能分出胜负．已知本次比赛的赞助商提供了10000元奖金，并规定：①若其中一对赢的场数先达到4场，则比赛终止，同时这对组合获得全部奖金；②若比赛意外终止时无组合先赢4场，则按照比赛继续进行各自赢得全部奖金的概率之比给两对组合分配奖金．已知每场比赛韩菲/陈宇组合赢的概率为，黄政/孙艺赢的概率为，且每场比赛相互独立．
(1)若在已进行的5场比赛中韩菲/陈宇组合赢3场、黄政/孙艺组合赢2场，求比赛继续进行且韩菲/陈宇组合赢得全部奖金的概率；
(2)若比赛进行了5场时终止（含自然终止与意外终止），则这5场比赛中两对组合之间的比赛结果共有多少不同的情况？
(3)若比赛进行了5场时终止（含自然终止与意外终止），设，若赞助商按规定颁发奖金，求韩菲/陈宇组合获得奖金数X的分布列．
题型三 积分制
例3.（江苏省徐州市2023届高考模拟）5月25日是全国大、中学生心理健康日，“5.25”的谐音即为“我爱我”，意在提醒孩子们“珍惜生命、关爱自己”.学校将举行心理健康知识竞赛.第一轮选拔共设有A，B，C三个问题，规则如下：①每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题A，B，C分别加2分，4分，5分，答错任一题减2分；②每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完三题，若累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局，若累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；③每位参加者按问题A，B，C顺序作答，直至答题结束.假设甲同学对问题A，B，C回答正确的概率依次为，，，且各题回答正确与否相互之间没有影响.
(1)求在甲同学进入下一轮的条件下，答了两题的概率；
(2)用表示甲同学本轮答题结束时答对的个数，求的分布列和数学期望.
变式:（江苏省南通市如皋中学2022-2023学年高三下学期4月阶段测试）某校为减轻暑假家长的负担，开展暑期托管，每天下午开设一节投篮趣味比赛．比赛规则如下：在A，B两个不同的地点投篮．先在A处投篮一次，投中得2分，没投中得0分；再在B处投篮两次，如果连续两次投中得3分，仅投中一次得1分，两次均没有投中得0分．小明同学准备参赛，他目前的水平是在A处投篮投中的概率为p，在B处投篮投中的概率为．假设小明同学每次投篮的结果相互独立．
(1)若小明同学完成一次比赛，恰好投中2次的概率为，求p；
(2)若，记小明同学一次比赛结束时的得分为X，求X的分布列及数列期望．
巩固能力·突破高分
1（2023·高三校考）.投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0．6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）
A．0．648 B．432 C．0．36 D．0．312
2.甲，乙，丙，丁四支足球队进行单循环比赛（每两个球队都要比赛一场），每场比赛的计分方法是﹔胜者得3分，负者得0分，平局两队各得1分，全部比赛结束后，四队的得分为：甲6分，乙5分，丙4分，丁1分，则（ ）
A. 甲胜乙 B. 乙胜丙 C. 乙平丁 D. 丙平丁
3.（江苏省镇江第一中学2023届高三下学期4月检测）甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，则甲获得冠军的概率为（ ）
A． B． C． D．
4.(2022年高考全国乙卷数学(理)·第10题)某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，且．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（ ）
A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
5.（2023·湖北黄石·统考模拟预测）（多选）乒乓球，被称为中国的“国球”.某次比赛采用五局三胜制，当参赛甲 乙两位中有一位赢得三局比赛时，就由该选手晋级而比赛结束.每局比赛皆须分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前比赛结果影响.假设甲在任一局赢球的概率为，实际比赛局数的期望值记为，则下列说法中正确的是（ ）
A．三局就结束比赛的概率为 B．的常数项为3
C．函数在上单调递减 D．
6.(2021高考天津·第14题)甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为____________，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为______________．
7.(2022年高考全国甲卷数学(理)·第19题)甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0．5，0．4，0．8，各项目的比赛结果相互独立．
(1)求甲学校获得冠军的概率；
(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．
8.（江苏省常州市前黄高级中学2023届高三考前攀登行动（一））中日围棋擂台赛是由中国围棋队与日本围棋队各派若干名棋手，以擂台制形式举行的围棋团体赛.这是中国和国外开设的最早的围棋对抗赛，由中国围棋协会、日本棋院和中国《新体育》杂志社联合举办，日本电器公司（NEC）赞助，因此也称NEC杯中日围棋擂台赛.该赛事从1984年开始至1996年停办，共进行了11届，结果中国队以7比4的总比分获胜.该赛事对中国围棋甚至世界围棋发展产生了很大影响，被认为是现代围棋最成功的比赛之一.中日围棋擂台赛由中日双方各派同样数量的若干名棋手组成队伍，两队各设一名主帅，采用打擂台的形式，决出最后的胜负.比赛事先排定棋手的上场顺序（主帅最后上场），按顺序对局，胜者坐擂，负方依次派遣棋手打擂，直至一方“主帅”被击败为止.设中、日两国围棋队各有名队员，按事先排好的顺序进行擂台赛，中国队的名队员按出场的先后顺序记为；日本队的名队员按出场的先后顺序记为.假设胜的概率为（为常数）.
(1)当时，若每个队员实力相当，求中国队有四名队员被淘汰且最后战胜日本队的概率；
(2)记中国队被淘汰人且中国队获得擂台赛胜利的概率为，求的表达式；
(3)写出中国队获得擂台赛胜利的概率的表达式（不用说明理由）.
9.（江苏省南通市崇川区等5地2023届高三下学期3月高考适应性考试（一））随着科技的发展，手机的功能已经非常强大，各类APP让用户的生活质量得到极大的提升，但是大量的青少年却沉迷于手机游戏，极大地毒害了青少年的身心健康.为了引导青少年抵制不良游戏，适度参与益脑游戏，某游戏公司开发了一款益脑游戏APP，在内测时收集了玩家对每一关的平均过关时间，如下表：
关卡x 1 2 3 4 5 6
平均过关时间y （单位：秒） 50 78 124 121 137 352
(1)通过散点图分析，可用模型拟合y与x的关系，试求y与x的经验回归方程；
(2)甲和乙约定举行对战赛，每局比赛通关用时少的人获胜（假设甲 乙都能通关），两人约定先胜4局者赢得比赛.已知甲每局获胜的概率为，乙每局获胜的概率为，若前3局中甲已胜2局，乙胜1局，求甲最终赢得比赛的概率.
参考公式：对于一组数据（xi，yi）（i=1，2，3，…，n），其经验回归直线 =x+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.
参考数据：，其中.
10.（江苏省四校（无锡市辅仁高级中学、江阴高中、宜兴一中、常州市北郊中学）2022-2023学年高三下学期4月阶段性测试）互花米草是禾本科草本植物，其根系发达，具有极高的繁殖系数，对近海生态具有较大的危害．为尽快消除互花米草危害，2022年10月24日，市政府印发了《莆田市互花米草除治攻坚实施方案》，对全市除治攻坚行动做了具体部署．某研究小组为了解甲、乙两镇的互花米草根系分布深度情况，采用按比例分层抽样的方法抽取样本．已知甲镇的样本容量，样本平均数，样本方差；乙镇的样本容量，样本平均数，样本方差．
(1)求由两镇样本组成的总样本的平均数及其方差；
(2)为营造“广泛发动、全民参与”的浓厚氛围，甲、乙两镇决定进行一次“互花米草除治大练兵”比赛，两镇各派一支代表队参加，经抽签确定第一场在甲镇举行．比赛规则：
每场比赛直至分出胜负为止，胜方得1分，负方得0分，下一场在负方举行，先得2分的代表队获胜，比赛结束．
当比赛在甲镇举行时，甲镇代表队获胜的概率为，当比赛在乙镇举行时，甲镇代表队获胜的概率为．假设每场比赛结果相互独立.甲镇代表队的最终得分记为X，求．
参考数据：．
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